2020-2021学年宁夏吴忠中学高二(上)期末数学试卷(文科)

2020-2021学年宁夏吴忠中学高二（上）期末数学试卷（文科）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 椭圆
x 225
+
y 216
=1的焦点坐标为( )
A. (±3,0)
B. (±4,0)
C. (0,±3)
D. (0,±4)
2. 已知命题p ：∀x ∈R ，x 2−x +1≥0，下列¬p 形式正确的是( )
A. ¬p ：∃x 0∈R ，使得x 02
−x 0+1≥0
B. ¬p ：∃x 0∈R ，使得x 02
−x 0+1<0 C. ¬p ：∀x ∈R ，x 2−x +1<0 D. ¬p ：∀x ∈R ，x 2−x +1≤0
3. 设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若m ⊂α，n//α，则m//n ；
②若α//β，β//γ，m ⊥α，则m ⊥γ； ③若α∩β=n ，m//n ，则m//α且m//β； ④若α⊥γ，β⊥γ，则α//β； 其中真命题的个数是( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4. 设x ∈R ，则x >2的一个必要不充分条件是( )
A. x <1
B. x >1
C. x >3
D. x <4 5. 下列四个结论，正确的是( )
①a >b ，c <d ⇒a −c >b −d ②a >b >0，c <d <0⇒ac >bd
③a >b >0⇒√a 3>√b 3
④a >b >0⇒1
a 2>1
b 2．
A. ①②
B. ②③
C. ①③
D. ①④
6. 设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1+a 3+a 5=3，则S 5=( ) A. 5 B. 7 C. 9 D. 10
7. 如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，
AA 1=2AB =2，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为( )
A. 1
5 B. 2
5 C. 35 D. 45
8. 两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察
站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( ) A. a km B. √3a km C. √2a km D. 2a km 9. 若直线x
a +y
b =1(a >0,b >0)过点(1,1)，则a +b 的最小值等于( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
10. 在正项等比数列{a n }中，a 1008⋅a 1009=1
100，则lga 1+lga 2+⋯+lga 2016=( )
A. 2015
B. 2016
C. −2015
D. −2016
11.已知a，b，c分别是△ABC的内角A、B、C的对边，若c<bcosA，则△ABC的形状为()
A. 钝角三角形
B. 直角三角形
C. 锐角三角形
D. 等边三角形
12.已知椭圆C的焦点为F1(−1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|=3|BF2|，|BF1|=
5|BF2|，则C的方程为()
A. x2
2+y2=1 B. x2
3
+y2
2
=1 C. x2
4
+y2
3
=1 D. x2
5
+y2
4
=1
二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）
13.设x，y满足约束条件{2x+3y−3≤0
2x−3y+3≥0
y+3≥0
，则z=2x+y的最小值是____________
14.在数列{a n}中，a1=2，a n+1=2a n，S n为{a n}的前n项和，若S n=126，则n=______．
15.如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆x2
a2+y2
b2
=1(a>b>0)的右焦点，直线y=b
2
与椭圆交于B，
C两点，且∠BFC=90°，则该椭圆的离心率是________．
三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）
16.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a=√7，b=2，A=60°，则sinB=(1)，c=(2)．
四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）
17.给定两个命题，命题p：对任意实数x都有ax2+ax+1>0恒成立，命题q：关于x的方程x2−x+a=0
有实数根，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．
18.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1=AC=2，
BC=1，E、F分别为A1C1、BC的中点．
(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；
(2)求证：C1F//平面ABE；
(3)求三棱锥E−ABC的体积．
19.如图，点F1，F2分别是椭圆C：x2
a2+y2
b2
=1(a>b>0)的左、右焦点，
点A是椭圆C上一点，且满足AF1⊥x轴，∠AF2F1=30°，直线AF2与椭
圆C相交于另一点B．
(1)求椭圆C的离心率e；
(2)若△ABF1的周长为4√3，求椭圆C的标准方程．
20.在城市旧城改造中，某小区为了升级居住环境，拟在小区的闲置地中规划一个面积为200m2的矩形区
域(如图所示)，按规划要求：在矩形内的四周安排2m宽的绿化，绿化造价为200元/m2，中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身器材，硬化造价为100元/m2.设矩形的长为x(m)．
(1)设总造价y(元)表示为长度x(m)的函数；
(2)当x(m)取何值时，总造价最低，并求出最低总造价．
21.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知2cosC(acosB+bcosA)=c．
(1)求C；
(2)若c=√7，△ABC的面积为3√3
2
，求△ABC的周长．
22. 已知数列{a n }的前n 项和为S n 满足2S n =4a n −a 2(n ∈N ∗)，且a 1，a 2，a 3−1成等差数列．
(1)求数列{a n }的通项公式：
(2)设b n =1
(log 2a 2n )(log 2a 2n+2
)
，{b n }的前n 项和为T n ，对任意n ∈N ∗，T n >m
23恒成立，求m 的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵25>16，∴椭圆焦点轴在x 轴，∴a =5，b =4，∴c =3.焦点坐标为(±3,0)． 故选：A ．
先确定好椭圆焦点轴，求出a ，b ，再计算出c 的值．
属于最基本的题目．但往往忽视焦点所在的坐标轴而出错． 2.【答案】B
【解析】解：∵全称量词命题的否定是存在量词命题，
∴命题p ：∀x ∈R ，x 2−x +1≥0，则¬p ：∃x 0∈R ，使得x 02−x 0+1<0，
故选：B ．
全称量词命题的否定是存在量词命题，写出结果即可．
本题考查命题的否定，全称量词命题与存在量词命题，注意量词的变换． 3.【答案】B
【解析】解；①若n//α，则α内的直线m 可能与n 平行，也可能与n 异面，故①错误； ②若α//β，β//γ，则α//γ，若m ⊥α，则m ⊥γ，故②正确； ③若m ⊂α，显然结论错误；
④以直三棱柱为例，棱柱的任意两个侧面都与底面垂直，但侧面不平行，故④错误． 故选：B ．
根据空间线面位置关系判断．
本题考查了空间线面位置关系的判断，根据几何模型举出反例是解题关键，属于中档题． 4.【答案】B
【解析】解：选项中的范围是x >2的必要不充分条件， 设选项中对应范围为集合A ， 则有(2,+∞)⫋A ，
根据选项中给出的范围(2,+∞)⫋(1,+∞)， 故选：B ．
设选项中对应范围为集合A ，利用充分条件与必要条件的定义可得(2,+∞)⫋A ，利用集合的包含关系以及选项中的范围即可得到答案．
本题考查了充分条件与必要条件的应用，涉及了集合包含关系的运用，解题的关键是掌握充分条件与必要条件的判断方法，属于基础题． 5.【答案】C
【解析】解：①a >b ，c <d ⇒a −c >b −d ，正确；
②c <d <0⇒−c >−d >0，又a >b >0，⇒−ac >−bd ，因此ac <bd ，因此②不正确；
③利用函数f(x)=√x 3在R 上单调递增，因此a >b >0⇒√a 3
>√b 3，正确； ④a >b >0⇒1
a 2<1
b 2，因此④不正确．
只有①③正确． 故选：C ．
利用不等式的基本性质、函数的单调性即可判断出是否正确．
本题考查了不等式的基本性质、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
【解析】解：由等差数列{a n}的性质，及a1+a3+a5=3，
∴3a3=3，
∴a3=1，
∴S5=5(a1+a5)
2
=5a3=5．
故选：A．
由等差数列{a n}的性质，及a1+a3+a5=3，可得3a3=3，再利用等差数列的前n项和公式即可得出．本题考查了等差数列的性质及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
7.【答案】D
【解析】解：连结BC1，因为C1D1//AB且C1D1=AB，
所以四边形ABC1D1是平行四边形，故BC 1//AD1，
所以∠A1BC1就是异面直线A1B与AD1所成的角或其补角，
连结A1C1，由AB=1，AA1=2，
则A1C1=√2,A1B=BC1=√5，
所以cos∠A1BC1=
2×√5×√5=4
5
，
故异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为4
5
．
故选：D．
连结BC1，利用棱柱的几何性质得到BC1//AD1，从而得到∠A1BC1就是异面直线A1B与AD1所成的角或其补角，三角形中利用余弦定理分析求解即可．
本题考查了空间角的求解，涉及了两条异面直线所成角的求解，解题的关键是寻找平行线，找到两条异面直线所成的角，属于中档题．
8.【答案】B
【解析】解：
由图可知，∠ACB=120°，
由余弦定理
cos∠ACB=AC2+BC2−AB2
2AC⋅BC
=a2+a2−AB2
2a2=−1
2
，
则AB=√3a(km)．
故选B．
先根据题意确定∠ACB的值，再由余弦定理可直接求得|AB|的值．
本题主要考查余弦定理的应用．正弦定理和余弦定理在解三角形和解决实际问题时用的比较多，这两个定理及其推论，一定要熟练掌握并要求能够灵活应用．
9.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查利用基本不等式求最值，涉及“乘1”凑配方法，属中档题．
由已知可得1
a +1
b
=1，从而a+b=(1
a
+1
b
)(a+b)展开后利用基本不等式求出即可．
解：∵直线x
a +y
b
=1(a>0,b>0)过点(1,1)，
∴1
a +1
b
=1(a>0,b>0)，
所以a+b=(1
a +1
b
)(a+b)
=2+b
a +a
b
≥2+2√b
a
⋅a
b
=4，
当且仅当b
a =a
b
且1
a
+1
b
=1，即a=b=2时取等号，
∴a+b最小值是4，
故选：C．
10.【答案】D
【解析】解：由正项等比数列{a n}的性质可得：a1⋅a2016=a2⋅a2015=⋯=a1008⋅a1009=1
100
，
则lga1+lga2+⋯+lga2016=lg(a1a2⋅…⋅a2015⋅a2016)=lg(1
100
)1008=−2016．
故选：D．
由正项等比数列{a n}的性质可得：a1⋅a2016=a2⋅a2015=⋯=a1008⋅a1009，再利用对数的运算性质即可得出．
本题考查了等比数列的性质、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
11.【答案】A
【解析】解：∵c<bcosA，
∴利用正弦定理化简得：
sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB<sinBcosA，
整理得：sinAcosB<0，
∵sinA≠0，
∴cosB<0．
∵B∈(0,π)，
∴B为钝角，三角形ABC为钝角三角形．
故选：A．
已知不等式利用正弦定理化简，再利用诱导公式及两角和的正弦函数公式化简，整理得到sinAcosB<0，根据sin A不为0得到cosB<0，进而可得B为钝角，即可得解．
此题考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属于基础题．
12.【答案】A
【解析】解：∵|BF1|=5|BF2|，且|BF1|+|BF2|=2a，∴|BF2|=a
3
，
|BF1|=5a
3
，
∵|AF2|=3|BF2|，∴|AF2|=a，
∵|AF1|+|AF2|=2a，∴|AF1|=a，
∴|AF1|=|AF2|，则A在y轴上．
在Rt △AF 2O 中，cos∠AF 2O =1
a ，
在△BF 1F 2中，由余弦定理可得cos∠BF 2F 1=4+(a 3
)2−(
5a 3)22×2×
a
3=
3−2a 2a
，
根据cos∠AF 2O +cos∠BF 2F 1=0，可得1
a +
3−2a 2a
=0，
解得a 2=2，∴b 2=a 2−c 2=1． ∴椭圆C 的方程为：
x 22
+y 2=1．
故选：A ．
根据椭圆的定义以及余弦定理列方程可解得a ，再由隐含条件求得b ，则椭圆的方程可求． 本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题． 13.【答案】−15
【解析】解：x ，y 满足约束条件{2x +3y −3≤0
2x −3y +3≥0y +3≥0的可行域如图：
z =2x +y 经过可行域的A 时，目标函数取得最小值， 由{y =−32x −3y +3=0
，解得A(−6,−3)， 则z =2x +y 的最小值是：−15． 故答案为：−15．
画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最小值即可． 本题考查线性规划的简单应用，考查数形结合以及计算能力． 14.【答案】6
【解析】 【分析】
本题主要考查了等比数列的求和公式，解题的关键是熟练掌握基本公式，属于基础题．
由a n+1=2a n ，结合等比数列的定义可知数列{a n }是a 1=2为首项，以2为公比的等比数列，代入等比数列的求和公式即可求解． 【解答】
解：∵a n+1=2a n ， ∴
a n+1a n
=2，
∵a 1=2，
∴数列{a n }是a 1=2为首项，以2为公比的等比数列， ∴S n =
a 1(1−q n )1−q
=
2(1−2n )1−2
=2n+1−2=126，
∴2n+1=128， ∴n +1=7， ∴n =6． 故答案为6．
15.【答案】√6
3
【分析】
本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用两直线垂直的条件：斜率之积为−1，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
设右焦点F(c,0)，将y =b
2代入椭圆方程求得B ，C 的坐标，运用两直线垂直的条件：斜率之积为−1，结合离心率公式，计算即可得到所求值．方法二、运用向量的数量积的性质，向量垂直的条件：数量积为0，结合离心率公式计算即可得到所求． 【解答】
解：设右焦点F(c,0)，
将y =b
2代入椭圆方程可得x =±a √1−b 24b 2
=±
√3
2
a ， 可得B(−√3
2
a,b
2
)，C(√3
2
a,b
2
)，
由∠BFC =90°，可得k BF ⋅k CF =−1， 即有
b 2−√3
2
a−c ⋅
b 2√3
2
a−c =−1，
化简为b 2=3a 2−4c 2，
由b 2=a 2−c 2，即有3c 2=2a 2， 由e =c
a ，可得e 2=c 2a
=
2
3
， 可得e =√6
3
，
另解：设右焦点F(c,0)，
将y =b
2代入椭圆方程可得x =±a √1−b 2
4b 2=±√32a ，
可得B(−√3
2a,b
2)，C(√3
2a,b
2
)，
FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√32
a −c,
b 2
)，FC
⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32
a −c,
b 2
)， FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则c 2−34a 2十1
4b 2=0， 因为b 2=a 2−c 2，代入得3c 2=2a 2， 由e =c
a ，可得e 2=c 2a 2
=2
3
，
可得e =√63．
故答案为：√6
3
．
16.【答案】√21
7
3
【解析】
本题考查正弦定理、余弦定理，属于简单题．
由正弦定理得√7
sin60°=2
sinB
，由此能求出sin B，由余弦定理得cos60°=4+c2−7
2×2c
，由此能求出c．
【解答】
解：∵在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．a=√7，b=2，A=60°，
∴由正弦定理得：a
sinA =b
sinB
，即√7
sin60°
=2
sinB
，
解得sinB=2×√3
2√7=√21
7
．
由余弦定理得：cosA=b2+c2−a2
2bc ，即cos60°=4+c2−7
2×2c
，
解得c=3或c=−1(舍)，
故答案为：√21
7
；3．
17.【答案】解：对任意实数x都有ax2+ax+1>0恒成立⇔a=0或{a>0
△<0
⇔0≤a<4；(2分)
关于x的方程x2−x+a=0有实数根⇔△=1−4a≥0⇔a≤1
4
；…(4分)
p∨q为真命题，p∧q为假命题，即p真q假，或p假q真，…(5分)
如果p真q假，则有0≤a<4，且a>1
4
∴1
4
<a<4；…(6分)
如果p假q真，则有a<0，或a≥4，且a≤1
4
∴a<0…(7分)
所以实数a的取值范围为(−∞,0)∪(1
4
,4).…(8分)
【解析】根据二次函数恒成立的充要条件，我们可以求出命题p为真时，实数a的取值范围，根据二次函数有实根的充要条件，我们可以求出命题q为真时，实数a的取值范围，然后根据p∨q为真命题，p∧q为假命题，则命题p，q中一个为真一个为假，分类讨论后，即可得到实数a的取值范围．
本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，复合命题的真假，函数恒成立问题，其中判断出命题p与命题q为真时，实数a的取值范围，是解答本题的关键．
18.【答案】解：(1)证明：∵三棱柱ABC−A1B1C1中，侧棱垂直于底面，
∴BB1⊥AB，
∵AB⊥BC，BB1∩BC=B，BB1，BC⊂平面B1BCC1，
∴AB⊥平面B1BCC1，
∵AB⊂平面ABE，
∴平面ABE⊥平面B1BCC1；
(Ⅱ)证明：取AB中点G，连接EG，FG，则
∵F是BC的中点，
∴FG//AC，FG=1
2
AC，
∵E是A1C1的中点，
∴FG//EC1，FG=EC1，
∴四边形FGEC1为平行四边形，
∴C1F//EG，
∵C1F⊄平面ABE，EG⊂平面ABE，
∴C1F//平面ABE；
(3)解：∵AA1=AC=2，BC=1，AB⊥BC，∴AB=√3，
∴V E−ABC=1
3S△ABC⋅AA1=1
3
×(1
2
×√3×1)×2=√3
3
．
【解析】本题考查线面平行、垂直的证明，考查三棱锥E−ABC的体积的计算，正确运用线面平行、垂直的判定定理是关键．
(1)证明AB⊥B1BCC1，可得平面ABE⊥B1BCC1；
(2)证明C1F//平面ABE，只需证明四边形FGEC1为平行四边形，可得C1F//EG；
(3)利用V E−ABC=1
3
S△ABC⋅AA1，可求三棱锥E−ABC的体积．
19.【答案】解：(1)在Rt△AF1F2中，∵∠AF2F1=30°，
∴|AF2|=2|AF1|，|F1F2|=√3|AF1|，
由椭圆的定义，2a=|AF1|+|AF2|=3|AF1|，2c=√3|AF1|，
∴椭圆离心率e=c
a =2c
2a
=√3|AF1|
3|AF1|
=√3
3
；
(2)△ABF1的周长=|AF1|+|BF1|+|AB|=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=4a=4√3，则a=√3，
∵e=c
a =√3
3
，∴c=1，则b2=a2−c2=2．
∴椭圆C的标准方程为x2
3+y2
2
=1．
【解析】(1)在Rt△AF1F2中，由已知求解三角形可得a，c与|AF1|的关系，再由离心率公式求解；
(2)由三角形周长求得a，结合离心率求得c，再由隐含条件求得b，则椭圆方程可求．
本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆定义的应用，考查数学转化思想与运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：(1)由矩形的长为x(m)，则矩形的宽为200
x
(m)，
则中间区域的长为x−4(m)，宽为200
x
−4(m)，则定义域为x∈(4,50)
则y=100×[(x−4)(200
x −4)]+200[200−(x−4)(200
x
−4)]
整理得y=18400+400(x+200
x
)，x∈(4,50)
(2)x+200
x
≥2√x⋅
200
x
=20√2
当且仅当x=200
x
时取等号，即x=10√2∈(4,50)
所以当x=10√2时，总造价最低为18400+8000√2元
【解析】(1)由矩形的长为x(m)，则矩形的宽为200
x
(m)，然后列出函数的解析式．
(2)利用基本不等式x+200
x ≥2√x⋅200
x
=20√2，求解函数的最值即可．
本题考查函数与方程的应用，基本不等式求解最值，考查转化思想以及计算能力．21.【答案】解：(1)由已知2cosC(acosB+bcosA)=c，
正弦定理得：2cosC(sinAcosB+cosAsinB)=sinC，
即2cosC⋅sinC=sinC，
∵0<C<π，sinC≠0，
∴cosC=1
2
，
∴C=π
3
．
(2)由c=√7，C=π
3，△ABC的面积为3√3
2
=1
2
absinπ
3
=3√3
2
，
∴ab=6，
又由余弦定理c2=b2+a2−2abcosC，可得：7=b2+a2−ab=(a+b)2−3ab=(a+b)2−18，
可得：(a+b)2=25，解得：a+b=5，
∴△ABC的周长a+b+c=5+√7．
【解析】(1)利用正弦定理和和与差公式化简已知等式可得2cosC⋅sinC=sinC，由0<C<π，sinC≠0，可求cosC=1
2
，进而可求C的值．
(2)根据ABC的面积公式可求ab=6，根据余弦定理可求a+b的值，即可求得周长．
本题考查了正余弦定理的运用和计算能力，属于基础题，解题时要注意余弦定理的合理运用．
22.【答案】解：(1)∵数列{a n}的前n项和为S n满足2S n=4a n−a2(n∈N∗)，且a1，a2，a3−1成等差数列．
∴2S1=4a1−a2⇒a2=2a1；
2S3=4a3−a2⇒a3=2a2；
∵2a2=a1+a3−1⇒a1=1，a2=2；
∴2S n=4a n−2；
2S n−1=4a n−1−2；
可得：a n=2a n−1⇒数列{a n}是首项为1，公比为2的等比数列；
∴数列{a n}的通项公式为：a n=2n−1；
(2)∵b n=1
(log2a2n)(log2a2n+2)=1
(2n−1)(2n+1)
=1
2
(1
2n−1
−1
2n+1
)；
∴{b n}的前n项和为T n=1
2[(1−1
3
)+(1
3
−1
5
)…+(1
2n−1
−1
2n+1
)]=1
2
(1−1
2n+1
)是单调递增数列；
∴T n≥T1=1
3
；
∵对任意n∈N∗，T n>m
23
恒成立，
∴1
3>m
23
⇒m<23
3
；
故m的取值范围(−∞,23
3
).
【解析】(1)根据条件求得首项及其公差即可得到结论；
(2)利用(1)的结论，进一步利用裂项相消法在数列求和中的应用求出结果，进一步利用恒成立问题的应用求出参数m的取值范围．
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．。