2020版高考数学二轮复习专题限时集训概率文

故根据几何概型的概率计算公式.得f (x )的值不小于4的概率P ＝26＝1
3.故选B.]
3．标有数字1,2,3,4,5的卡片各1张.从这5张卡片中随机抽取1张.不放回地再随机抽取1张.则抽取的第1张卡片上的数大于第2张卡片上的数的概率为 ( )
A.12
B.15
C.35
D.25
A [5张卡片上分别写有数字1,2,3,4,5.从这5张卡片中随机抽取2张.基本事件的总数n ＝5×4＝20.抽得的第1张卡片上的数大于第2张卡片上的数的情况有：
(2,1).(3,1).(3,2).(4,1).(4,2).(4,3).(5,1).(5,2).(5,3).(5,4).共10种．故抽取的第1张卡片上的数大于第2张卡片上的数的概率P ＝1020＝1
2
.故选A.]
4．(20xx·郑州模拟)在区间(0,2)内随机取一个实数a .则满足⎩⎪⎨⎪
⎧
2x －y≥0，y≥0，
x －a≤0的点
(x .y )构成区域的面积大于1的概率是( )
A.18
B.14
C.12
D.3
4
C [作出约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
2x －y≥0，y≥0，
x －a≤0
表示的平面区域如图中阴影部分
所示.则阴影部分的面积S ＝12×a ×2a ＝a 2
＞1.∴1＜a ＜2.根据几何概型的概率计算公式得所
求概率为2－12－0＝1
2
.故选C.]
5．《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步.股一十五步.问勾中容圆径几何．”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步.问其内切圆的直径为多少步．”现若向此三角形内随机投一粒豆子.则豆子落在其内切圆外的概率是( )
A.3π10
B.3π20
C ．1－3π10
D ．1－3π20
D [如图.直角三角形的斜边长为82＋152＝17.设其内切圆的半径为r .则8－r ＋15－r ＝17.解得r ＝3.∴内切圆的面积为πr 2
＝9π.∴豆子落在内切圆外的概率P ＝1－
9π
12×8×15＝1－3π20.]
6．(20xx·全国卷Ⅱ)我国高铁发展迅速.技术先进．经统计.在经停某站的高铁列车中.有10个车次的正点率为0.97.有20个车次的正点率为0.98.有10个车次的正点率为0.99.则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为________．
0．98 [x ＝
10×0.97＋20×0.98＋10×0.99
10＋20＋10
＝0.98.
则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为0.98.]
7．已知实数x .y 满足|x |≤3.|y |≤2.则任取其中的一对实数x .y .使得x 2
＋y 2
≤4的概率为________．
π
6
[如图.在平面直角坐标系xOy 中.满足|x |≤3.|y |≤2的点在矩形ABCD 内(包括边界).使得x 2
＋y 2
≤4的点在图中圆O 内(包括边界)．由题意知.S 矩形ABCD ＝4×6＝24.S 圆O ＝4π.故任取其中的一对实数x .y .使得
x 2＋y 2≤4的概率P ＝
S 圆O S 矩形ABCD ＝4π24＝π
6
.]
8．从正五边形ABCDE 的5个顶点中随机选择3个顶点.则以它们作为顶点的三角形是锐角三角形的概率是________．
1
2
[从正五边形ABCDE 的5个顶点中随机选择3个顶点.基本事件总数为10.即ABC .ABD .ABE .ACD .ACE .ADE .BCD .BCE .BDE .CDE .以它们作为顶点的三角形是锐角三角形的种数
为5.即△ABD .△ACD .△ACE .△BCE .△BDE .所以以它们作为顶点的三角形是锐角三角形的概率
P ＝510＝12
.]
[能力提升练] (建议用时：15分钟)
9．某港口有一个泊位.现统计了某月100艘轮船在该泊位的停靠时间(单位：小时).如果停靠时间不足半小时按半小时计时.超过半小时不足1小时按1小时计时.依此类推.统计结果如表：
停靠时间 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 轮船数量
12
12
17
20
15
13
8
3
(1)设该月这100艘轮船在该泊位的平均停靠时间为a 小时.求a 的值；
(2)假定某天只有甲、乙两艘轮船需要在该泊位停靠a 小时.且在一昼夜的时间段中随机到达.求这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待的概率．
[解] (1)a ＝
1
100
×(2.5×12＋3×12＋3.5×17＋4×20＋4.5×15＋5×13＋5.5×8＋6×3)＝4.
(2)设甲船到达的时间为x .乙船到达的时间为y .
则⎩⎪⎨⎪⎧
0＜x≤240＜y≤24.
若这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待.则|y －x |＜4. 符合题意的区域如图中阴影部分(不包括x .y 轴)所示．
记“这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待”为事件A . 则P (A )＝24×24－2×1
2×20×20
24×24＝11
36
.
所以这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待的概率为11
36
.
10．一汽车厂生产A .B .C 三类轿车.每类轿车均有舒适型和标准型两种型号.某月的产量(单位：辆)如表：
A 类轿车
B 类轿车
C 类轿车
舒适型 100 150 z
标准型
300
450
600
按类用分层抽样的方法从这个月生产的轿车中抽取50辆.其中有A 类轿车10辆． (1)求z 的值；
(2)用分层抽样的方法从C 类轿车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体.从中任取2辆.求至少有1辆舒适型轿车的概率；
(3)用随机抽样的方法从B 类舒适型轿车中抽取8辆.经检测它们的得分如下：9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2.把这8辆轿车的得分看成一个总体.从中任取一个数
x i (1≤i ≤8.i ∈N ).设样本平均数为x .求|x i －x |≤0.5的概率．
[解] (1)设该厂这个月共生产轿车n 辆.由题意得50n ＝10
100＋300.所以n ＝2 000.则z ＝
2 000－(100＋300)－(150＋450)－600＝400.
(2)设所抽样本中有a 辆舒适型轿车.由题意得4001 000＝a
5.得a ＝2.
所以抽取的容量为5的样本中.有2辆舒适型轿车.3辆标准型轿车．
用A 1.A 2分别表示2辆舒适型轿车.用B 1.B 2.B 3分别表示3辆标准型轿车.用E 表示事件“在该样本中任取2辆.至少有1辆舒适型轿车”．从该样本中任取2辆包含的基本事件有(A 1.A 2).(A 1.B 1).(A 1.B 2).(A 1.B 3).(A 2.B 1).(A 2.B 2).(A 2.B 3).(B 1.B 2).(B 1.B 3).(B 2.B 3).共10个.
【押题1】 如图.半圆、较大圆、小圆的直径比为4∶2∶1.若在该半圆内随机取一点.则该点取自阴影部分的概率是( )
A.17
B.316
C.38
D.1316
C [设小圆的半径为r .因为半圆、较大圆、小圆的直径比为4∶2∶1.所以阴影部分的面积S 1＝π(2r )2－πr 2＝3πr 2.半圆的面积S ＝12π(4r )2＝8πr 2
.根据几何概型的概率计算公
式.得该点取自阴影部分的概率P ＝S1S ＝3πr28πr2＝3
8
.故选C.]
【押题2】 临潼石榴集中国石榴之优.素以色泽艳丽.果大皮薄.汁多味甜.品质优良等特点而著称．临潼石榴名居中国五大名榴之冠.被列为果中珍品．白居易曾写诗赞美：“日照血球将滴地.风翻火焰欲烧人．”现从该地区某村的石榴树上随机摘下100个石榴进行测重.其质量分布在区间[200,500]内(单位：克).根据统计的数据作出频率分布直方图如图所示：
(1)按分层抽样的方法从质量落在[350,400).[400,450)内的石榴中随机抽取5个.再从这5个石榴中随机抽取2个.求这2个石榴中质量至少有一个不小于400克的概率；
(2)以各组数据的中间数值代表这组数据.以频率代表概率.已知该村大约还有100 000个石榴待出售.某电商提出如下两种收购方案：
方案A ：所有石榴均以20元/千克的价格收购．
方案B ：低于350克的石榴以5元/个的价格收购.高于或等于350克的以9元/个的价格收购．
请你通过计算为该村选择收益最好的方案．
[解] (1)由题得石榴质量在[350,400)和[400,450)内的比例为3∶2.。