【易错题】高三数学上期中一模试卷(附答案)

【易错题】高三数学上期中一模试卷(附答案)
一、选择题
1．已知首项为正数的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1008a 和1009a 是方程
2201720180x x --=的两根，则使0n S >成立的正整数n 的最大值是（ ）
A ．1008
B ．1009
C ．2016
D ．2017
2．若不等式组0220y x y x y x y a ⎧⎪+⎪
⎨-⎪⎪+⎩…
„…„表示的平面区域是一个三角形，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．4,3⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
B ．(]0,1
C ．41,3
⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．(]40,1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
U
3．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若3572a a +=，则13S =（ ） A ．49
B ．91
C ．98
D ．182
4．若正数,x y 满足20x y xy +-=，则3
2x y
+的最大值为（ ） A ．
13
B ．38
C ．
37
D ．1
5．已知,x y 满足0404x y x y x -≥⎧⎪
+-≥⎨⎪≤⎩
，则3x y -的最小值为（ ）
A ．4
B ．8
C ．12
D ．16
6．已知不等式2230x x --<的解集为A ,260x x +-<的解集为B ，不等式
2+0x ax b +<的解集为A B I ，则a b +=（ ）
A ．-3
B ．1
C ．-1
D ．3
7．已知ABC ∆中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且3b =
，c =，
30B =︒，则AB 边上的中线的长为( )
A
．
2
B ．
3
4 C ．32
或
D ．
34
8．数列{a n }满足a 1=1，对任意n ∈N *都有a n +1=a n +n +1，则122019
111
a a a ++⋯+=（ ）
A ．
2020
2019
B ．
2019
1010
C ．
2017
1010
D ．
4037
2020
9．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度的看台的某一列的正前方，
从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为
和
，第一排和最后一排
的距离为56米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．若国歌长度约为秒，要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为()（米 /秒）
A ．
110
B ．
310
C ．
12
D ．
710
10．如图，有四座城市A 、B 、C 、D ，其中B 在A 的正东方向，且与A 相距120km ，
D 在A 的北偏东30°方向，且与A 相距60km ；C 在B 的北偏东30°方向，且与B 相距
6013km ，一架飞机从城市D 出发以360/km h 的速度向城市C 飞行，飞行了15min ，
接到命令改变航向，飞向城市B ，此时飞机距离城市B 有（ ）
A ．120km
B ．606km
C ．605km
D ．3km
11．如果等差数列{}n a 中，3a +4a +5a =12，那么1a +2a +…+7a =（ ） A ．14
B ．21
C ．28
D ．35
12．“中国剩余定理”又称“孙子定理”1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2019中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则此数列的项数为（ ） A ．134
B ．135
C ．136
D ．137
二、填空题
13．已知对满足4454x y xy ++=的任意正实数x ，y ，都有
22210x xy y ax ay ++--+≥，则实数a 的取值范围为______．
14．已知实数x y ，满足2,2,03,x y x y y +≥⎧⎪
-≤⎨⎪≤≤⎩
则2z x y =-的最大值是____．
15．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝
3
2，S 3＝92
，则a 1的值为________． 16．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费
用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是__________． 17．如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ=______________．
18．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，已知,,a b c 成等比数列，且
22a c ac bc -=-，则
sin c
b B
的值为________. 19．在ABC ∆中，4a =，5b =，6c =，则
sin 2sin A
C
=__________． 20．在锐角ΔABC 中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知
24,sin 4sin 6sin sin a b a A b B a B C +=+=,则ABC n 的面积取最小值时有2c =__________.
三、解答题
21．已知等差数列{}n a 满足1359a a a ++=，24612a a a ++=，等比数列{}n b 公比
1q >，且2420b b a +=，38b a =.
（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；
（2）若数列{}n c ，满足4n
n n c b =-，且数列{}n c 的前n 项和为n B ，求证：数列n n b B ⎧⎫⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和3
2
n T <
． 22．如图，在平面四边形ABCD 中，42AB =22BC =4AC =.
（1）求cos BAC ∠；
（2）若45D ∠=︒，90BAD ∠=︒，求CD . 23．设数列的前项和为
，且
.
（1）求数列的通项公式； （2）设
，求数列
的前项和
.
24．若数列{}n a 是递增的等差数列，它的前n 项和为n T ，其中39T =，且1a ,2a ,5a 成等比数列.
（1）求{}n a 的通项公式； （2）设1
1n n n b a a +=
，数列{}n b 的前n 项和为n S ，若对任意*n N ∈，2
4n S a a ≤-恒成立，求a 的取值范围.
25．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，如果A 、B 、C 成等差数列且3b =
（1）当4
A π
=
时，求ABC ∆的面积S ；
（2）若ABC ∆的面积为S ，求S 的最大值．
26．已知函数()f x a b =⋅v v ，其中()
()2cos 32,cos ,1,a x sin x b x x R ==∈v v
．
（1）求函数()y f x =的单调递增区间；
（2）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为(),,,2,7a b c f A a ==2b c =，求
ABC ∆的面积．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．C 解析：C 【解析】
依题意知100810091008100920170,20180a a a a +=>=-<，Q 数列的首项为正数，
()
()120161008100910081009201620162016
0,0,02
2
a a a a a a S +⨯+⨯∴>∴=
=，
()120172017
1009
2017201702
a a S a
+⨯==⨯<，∴使0n S >成立的正整数n 的最大值是
2016，故选C.
2．D
解析：D 【解析】 【分析】
要确定不等式组0220y x y x y x y a
⎧⎪+⎪
⎨-⎪⎪+⎩…
„…„表示的平面区域是否一个三角形，我们可以先画出
0220y x y x y ⎧⎪
+⎨⎪-⎩
…
„…，再对a 值进行分类讨论，找出满足条件的实数a 的取值范围． 【详解】
不等式组0220y x y x y ⎧⎪
+⎨⎪-⎩
…
„…表示的平面区域如图中阴影部分所示．
由22x y x y =⎧⎨+=⎩得22,33A ⎛⎫
⎪⎝⎭，
由0
22
y x y =⎧⎨+=⎩得()10
B ,．
若原不等式组0220y x y x y x y a
⎧⎪+⎪
⎨-⎪⎪+⎩…
„…
„表示的平面区域是一个三角形，则直线x y a +=中a 的取值范
围是(]40,1,3a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭
U 故选：D 【点睛】
平面区域的形状问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，然后结合分类讨论的思想，针对图象分析满足条件的参数的取值范围．
3．B
解析：B 【解析】
∵3572a a +=，∴11272(4)a d a d ++=+，即167a d +=，∴
13711313(6)13791S a a d ==+=⨯=，故选B ．
4．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据条件可得出2x >，212
y x =+-，从而33
222(2)52
x y x x =+-++-，再根据基本不
等式可得出3123x y ≤+，则32x y +的最大值为1
3
.
【详解】
0x Q >，0y >，20x y xy +-=，
2
122
x y x x ∴=
=+--，0x >， 333
222212(2)522
x y x x x x ∴
==
+++-++--，
22(2)5592x x -+
+≥=-Q ， 当且仅当1
22x x -=
-，即3x =时取等号， 31
232(2)52
x x ∴≤
-++-，即3123
x y ≤+，
32
x y ∴
+的最大值为1
3
. 故选：A. 【点睛】
本题考查了利用基本不等式求最值的方法，注意说明等号成立的条件，考查了计算和推理能力，属于中档题.
5．A
解析：A 【解析】 【分析】
作出可行域，变形目标函数并平移直线3y x =，结合图象，可得最值． 【详解】
作出x 、y 满足0
404x y x y x -≥⎧⎪
+-≥⎨⎪≤⎩
所对应的可行域（如图ABC V ），
变形目标函数可得3y x z =-，平移直线3y x =可知， 当直线经过点(2,2)A 时，截距z -取得最大值， 此时目标函数z 取得最小值3224⨯-=. 故选：A.
【点睛】
本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．
6．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据题意先求出集合,A B ，然后求出=1,2A B -I ()，再根据三个二次之间的关系求出
,a b ，可得答案.
【详解】
由不等式2230x x --<有13x -<<，则(1,3)A =-. 由不等式260x x +-<有，则32x -<<，则(3,2)B =-. 所以=1,2A B -I ().
因为不等式2+0x ax b +<的解集为A B I , 所以方程2+=0x ax b +的两个根为1,2-. 由韦达定理有：1212a b
-+=-⎧⎨-⨯=⎩,即=1
2a b -⎧⎨=-⎩. 所以3a b +=-. 故选：A. 【点睛】
本题考查二次不等式的解法和三个二次之间的关系，属于中档题.
7．C
解析：C 【解析】 【分析】
由已知利用余弦定理可得29180a a -+=，解得a 值，由已知可求中线1
2
BD c =
，在BCD V 中，由余弦定理即可计算AB 边上中线的长． 【详解】
解：3,33,30b c B ===o Q ，
∴由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得23927233a a =+-⨯⨯⨯，
整理可得：29180a a -+=，∴解得6a =或3．
Q 如图，CD 为AB 边上的中线，则1332BD c ==，
∴在BCD V 中，由余弦定理2222cos CD a BD a BD B =+-⋅⋅，可得：
222333336(
)26CD =+-⨯⨯⨯，或222333333()23CD =+-⨯⨯⨯
， ∴解得AB 边上的中线32CD =
或37
2
． 故选C ．
【点睛】
本题考查余弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于基础题．8．B
解析：B
【解析】
【分析】
由题意可得n≥2时，a n-a n-1=n，再由数列的恒等式：a n=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（a n-a n-
1），运用等差数列的求和公式，可得a n，求得1
n
a
=()
2
1
n n+=2（
1
n
-
1
1
n+
），由数列的裂项相消求和，化简计算可得所求和．
【详解】
解：数列{a n}满足a1=1，对任意n∈N*都有a n+1=a n+n+1，
即有n≥2时，a n-a n-1=n，
可得a n=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（a n-a n-1）
=1+2+3+…+n=
1
2
n（n+1），1
n=也满足上式
1
n
a
=()
2
1
n n+=2（
1
n
-
1
1
n+
），
则
122019
111
a a a
++⋯+=2（1-1
2
+
1
2
-
1
3
+…+
1
2019
-
1
2020
）
=2（1-
1
2020
）=
2019
1010
．
故选:B．
【点睛】
本题考查数列的恒等式的运用，等差数列的求和公式，以及数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题．
9．B
解析：B
【解析】
试题分析：如下图：
由已知，在ABC
∆中，105,45,56
ABC ACB BC
∠=∠==
o o,从而可得：30
BAC
∠=o
由正弦定理，得：
56
sin 45sin 30
AB =o o
， 103AB ∴=,
那么在Rt ADB ∆中，60ABD o ∠=,3
sin 6010315AD AB ∴==⨯=o ， 即旗杆高度为15米，由3155010÷=，知：升旗手升旗的速度应为3
10
（米 /秒）. 故选B ．
考点：解三角形在实际问题中的应用．
10．D
解析：D 【解析】 【分析】
先判断三角形DAB 为直角三角形,求出BD ,然后推出CBD ∠为直角,可得CD ,进一步可得
cos BDF ∠,最后在三角形EDB 中用余弦定理可得BF .
【详解】
取AB 的中点E ,连DE ,设飞机飞行了15分钟到达F 点,连BF ,如图所示:则BF 即为所求.
因为E 为AB 的中点,且120AB km =,所以60AE km =, 又60DAE ∠=o ,60AD km =,所以三角形DAE 为等边三角形,所以
60DE km =,60ADE ∠=o ,
在等腰三角形EDB 中,120DEB ∠=o ,所以30EDB EBD ∠=∠=o , 所以90ADB ∠=o ,由勾股定理得2BD 22221206010800AB AD =-=-=, 所以3BD km =,
因为9030CBE ∠=+o o 120=o ,30EBD ∠=o ,所以CBD ∠90=o , 所以222108006013240CD BD BC =
+=+⨯=km ,
所以6033
cos BD BDC CD ∠===
, 因为1
360904
DF km =⨯
=, 所以在三角形BDF 中,
222222cos 902904
BF BD DF BD DF BDF =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯
g 10800=,
所以BF =km .
故一架飞机从城市D 出发以360/km h 的速度向城市C 飞行，飞行了15min ，接到命令改
变航向，飞向城市B ，此时飞机距离城市B 有. 故选D . 【点睛】
本题考查了利用余弦定理解斜三角形,属于中档题.
11．C
解析：C 【解析】
试题分析：等差数列{}n a 中，34544123124a a a a a ++=⇒=∴=，则
()()17412747727282
2
a a a a a a a +⨯+++=
=
==L
考点：等差数列的前n 项和
12．B
解析：B 【解析】 【分析】
由题意得出1514n a n =-，求出15142019n a n =-≤，即可得出数列的项数. 【详解】
因为能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余1的数，故1514n a n =-.由
15142019n a n =-≤得135n ≤，故此数列的项数为135，故答案为B.
【点睛】
本题主要考查阅读能力及建模能力、转化与化归思想及等差数列的通项公式及数学的转化与化归思想.属于中等题.
二、填空题
13．（﹣∞【解析】【分析】由正实数xy 满足可求得x+y≥5由x2+2xy+y2﹣ax ﹣ay+1≥0恒成立可求得a≤x+y+恒成立利用对勾函数的性质即可求得实数a 的取值范围【详解】因为正实数xy 满足而4x
解析：（﹣∞，265
] 【解析】 【分析】
由正实数x ，y 满足4454x y xy ++=，可求得x +y≥5，由x 2+2xy+y 2﹣ax ﹣ay+1≥0恒成立可求得a ≤x+y+1
x y
+恒成立，利用对勾函数的性质即可求得实数a 的取值范围． 【详解】
因为正实数x ，y 满足4454x y xy ++=，而4xy ≤（x+y ）2，
代入原式得（x +y ）2﹣4（x+y ）﹣5≥0，解得x +y≥5或x +y≤﹣1（舍去）， 由x 2+2xy+y 2﹣ax ﹣ay+1≥0可得a （x +y ）≤（x+y ）2+1，
即a ≤x+y+1
x y
+，令t=x +y ∈[5，+∞），
则问题转化为a ≤t+1t
，
因为函数y=t +1t
在[5，+∞）递增， 所以y min =5+15=265
， 所以a ≤
265
， 故答案为（﹣∞，265
] 【点睛】
本题考查基本不等式，考查对勾函数的单调性质，求得x +y≥5是关键，考查综合分析与运算的能力，属于中档题．
14．7【解析】试题分析：根据约束条件画出可行域得到△ABC 及其内部其中A （53）B （﹣13）C （20）然后利用直线平移法可得当x=5y=3时z=2x ﹣y 有最大值并且可以得到这个最大值详解：根据约束条件画
解析：7 【解析】
试题分析：根据约束条件画出可行域，得到△ABC 及其内部，其中A （5，3），B （﹣1，3），C （2，0）．然后利用直线平移法，可得当x=5，y=3时，z=2x ﹣y 有最大值，并且可以得到这个最大值． 详解：
根据约束条件2,2,03,x y x y y +≥⎧⎪
-≤⎨⎪≤≤⎩
画出可行域如图，
得到△ABC 及其内部，其中A （5，3），B （﹣1，3），C （2，0） 平移直线l ：z=2x ﹣y ，得当l 经过点A （5，3）时， ∴Z 最大为2×5﹣3=7． 故答案为7．
点睛：在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．
15．或6【解析】【分析】由题意要分公比两种情况分类讨论当q ＝1时S3＝3a1即可求解当q≠1时根据求和公式求解【详解】当q ＝1时S3＝3a1＝3a3＝3×＝符合题意所以a1＝；当q≠1时S3＝＝a1(1
解析：
3
2或6 【解析】 【分析】
由题意，要分公比1,1q q =≠两种情况分类讨论，当q ＝1时，S 3＝3a 1即可求解，当q ≠1时，根据求和公式求解. 【详解】
当q ＝1时，S 3＝3a 1＝3a 3＝3×
32＝92，符合题意，所以a 1＝32
； 当q ≠1时，S 3＝
(
)3
111a q q
--＝a 1
(1＋q ＋q 2
)＝92
，
又a 3＝a 1q 2＝3
2
得a 1＝232q ，代入上式，
得
232q (1＋q ＋q 2
)＝92，即21q ＋1q －2＝0，
解得
1q ＝－2或1
q
＝1(舍去)． 因为q ＝－
12
，所以a 1＝2
3
122⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭ ＝6，
综上可得a 1＝3
2
或6. 【点睛】
本题主要考查了等比数列的性质及等比数列的求和公式，涉及分类讨论的思想，属于中档题.
16．【解析】【详解】总费用为当且仅当即时等号成立故答案为30点睛:在利用基本不等式求最值时要特别注意拆拼凑等技巧使其满足基本不等式中正(即条件要求中字母为正数)定(不等式的另一边必须为定值)等(等号取得 解析：30
【解析】 【详解】
总费用为600900464()4240x x x x +
⨯=+≥⨯=，当且仅当900
x x
=，即30x =时等号成立．故答案为30.
点睛:在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．
17．【解析】【分析】在中由余弦定理求得再由正弦定理求得最后利用两角和的余弦公式即可求解的值【详解】在中海里海里由余弦定理可得所以海里由正弦定理可得因为可知为锐角所以所以【点睛】本题主要考查了解三角形实际
解析：
14
【解析】 【分析】
在ABC ∆中，由余弦定理，求得BC ，再由正弦定理，求得sin ,sin ACB BAC ∠∠，最后利用两角和的余弦公式，即可求解cos θ的值． 【详解】
在ABC ∆中，40AB =海里，20AC =海里，120BAC ∠=o ， 由余弦定理可得2222cos1202800BC AB AC AB AC =+-⋅=o ，
所以BC =,
由正弦定理可得sin sin 7
AB ACB BAC BC ∠=
⋅∠=
，
因为120BAC ∠=o ，可知ACB ∠为锐角，所以cos ACB ∠=
所以cos cos(30)cos cos30sin sin 3014
ACB ACB ACB θ=∠+=∠-∠=o o o ． 【点睛】
本题主要考查了解三角形实际问题，解答中需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，合理使用正、余弦定理是解答的关键，其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向；第二步：定
工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化；第三步：列方程，求结果．
18．【解析】【分析】利用成等比数列得到再利用余弦定理可得而根据正弦定理和成等比数列有从而得到所求之值【详解】∵成等比数列∴又∵∴在中由余弦定理因∴由正弦定理得因为所以故故答案为【点睛】在解三角形中如果题
解析：
3
【解析】 【分析】
利用,,a b c 成等比数列得到222c b a bc +-=，再利用余弦定理可得60A =︒，而根据正弦定理和,,a b c 成等比数列有1
sin sin c b B A
=，从而得到所求之值. 【详解】
∵,,a b c 成等比数列，∴2b ac =.又∵22a c ac bc -=-，∴222c b a bc +-=.
在ABC ∆中，由余弦定理2221
cos 22
c b a A bc +-== ，
因()0,A π∈，∴60A =︒. 由正弦定理得
2sin sin sin sin sin sin c C C
b B B B B
==， 因为2b ac =， 所以2sin sin sin B A C = ，
故
2
sin sin 1sin sin sin sin 3
C C B A C A ===.
故答案为. 【点睛】
在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件，如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件，如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式.
19．【解析】【分析】【详解】试题分析：考点：正余弦定理解三角形 解析：1
【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：222
sin 22sin cos 2cos 44cos 1sin sin 332A A A a A b c a A C C c bc
+-====⨯=
考点：正余弦定理解三角形
20．【解析】由正弦定理及得又即由于即有即有由即有解得当且仅当a=2b=2时取得等号当a=2b=1S 取得最小值易得(C 为锐角)则则
解析：5【解析】
由正弦定理及sin 4sin 6sin sin a A b B a B C +=, 得2246sin a b ab C +=, 又1
sin 2
S ab C =
,即22412a b S +=, 由于24a b +=,即有()2
22424164a b a b ab ab +=+-=-, 即有41612ab S =-,
由2
2422a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭
,即有
16128S -≤,解得23S ≥, 当且仅当a=2b =2时,取得等号, 当a =2,b=1,S 取得最小值
2
3
, 易得2sin 3C =
(C 为锐角),
则cos C =,
则22
2
2cos 5c a b ab C =+-=. 三、解答题
21．（1）n a n =，2n
n b =；（2）证明见解析.
【解析】 【分析】
（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由等差中项的性质可得出34
3
4a a =⎧⎨
=⎩，可计算出1a 和d 的值，利用等差数列的通项公式可求出n a ，根据题意得出1b 与q 的方程组，结合条件
1q >，求出1b 和q 的值，利用等比数列的通项公式可求出n b ；
（2）利用分组求和法结合等比数列的求和公式得出()()1
122213
n n n
B
++--=
，可得出
131122121n n n n b B +⎛⎫=- ⎪--⎝⎭，然后利用裂项法可求出n T ，即可证明出3
2
n T <.
【详解】
（1）1359a a a ++=Q ，由等差中项的性质得339a =，33a ∴=，同理可得44a =， 设等差数列{}n a 的公差为d ，43431d a a ∴=-=-=，1323211a a d =-=-⨯=，
()1111n a a n d n n ∴=+-=+-=.
由题意得()
2
241231120
8
b b b q q b b q ⎧+=+=⎪⎨==⎪⎩，两个等式相除得
2152q q +=，整理得22520q q -+=.
1q >Q ，解得2q =，12b ∴=，因此，111222n n n n b b q --==⨯=；
（2）442n n n
n n c b =-=-Q ，
()()()
1122424242n n n B =-+-++-Q L ()()()
()()11
2
1
2
141421244
444222
221412
3
n n n n
n
n ++---=+++-+++=-
=----L L ()()1
1
11222143223
3
n n n n ++++---⋅+==
，
()()()()()()1111
12323222221222121213
n n n
n n n n n n
n n b B +++++⋅∴===⋅------()()()()111212133112221212121n n
n n n n +++---⎛⎫=⋅=- ⎪----⎝⎭
， 22311
313113113131122122121221212212
n n n n T ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=
-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L .
【点睛】
本题考查等差数列与等比数列通项公式的求解，数列不等式的证明，涉及了裂项求和法与
分组求和法，考查计算能力，属于中等题. 22．（1
）8
；（2）CD ＝5 【解析】 【分析】
（1）直接利用余弦定理求cos∠BAC；（2）先求出
CD ． 【详解】
（1）在△ABC 中，由余弦定理得：222
cos 2AB AC BC BAC AB AC
+-∠=⋅
52
2442
=
=⨯⨯． （2）因为∠DAC＝90°－∠B AC ，所以sin∠DAC＝cos∠BAC＝
52
8
， 所以在△ACD 中由正弦定理得：sin sin45CD AC
DAC =∠︒
，522=，
所以CD ＝5． 【点睛】
本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 23．(1);(2)
.
【解析】 试题分析：
(1)由题意结合通项公式与前n 项和的关系可得
;
(2)结合(1)中求得的通项公式和所给数列通项公式的特点错位相减可得数列
的前项和
.
(3) 试题解析：
(Ⅰ)由2S n ＝3a n －1 ① 2S n －1＝3a n －1－1 ② ②-①得2a n ＝3a n －3a n －1，∴
＝3，(
)
又当n ＝1时，2S 1＝3a 1－1，即a 1＝1，（符合题意） ∴{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，∴a n ＝3n －1. (Ⅱ)由(Ⅰ)得：b n ＝
∴T n ＝＋＋＋…＋
，…………………③ T n ＝＋
＋…＋
＋
，………④ ③－④得：T n ＝＋＋
＋…＋
－
＝－＝－
∴T n ＝－.
24．(1) 21n a n =+ (2) 1a 2a ≤-≥或 【解析】
试题分析：（1）根据题目中所给的条件，用基本量来表示数列中的项，求出基本量，即可
得到通项；（2）由第一问可得，11122121n b n n ⎛⎫
=
- ⎪-+⎝⎭
，进而裂项求和，得到
221
n
a a n ≤-+恒成立，求左式的最大值即可． 解析：
（1）31239T a a a =++=Q ，13a d ∴+=
又125,,a a a Q 成等比数列2
215a a a ∴=
11a ∴=`,221n d a n =∴=-
（2）()()111111212122121n n n b a a n n n n +⎛⎫
=
==- ⎪-+-+⎝⎭
1111111-++23352121n S n n ⎛⎫∴=
-+⋅⋅⋅- ⎪-+⎝⎭ 111-221n =+（） 21
n n =+ 对任意的*n N ∈,2
4n S a a ≤-恒成立
只需n S 的最大值小于或等于24a a
-，而12n S <
22a a ∴-≥
1a ∴≤-或2a ≥
25．（1
2
）
4
. 【解析】 【分析】
（1）由A 、B 、C 成等差数列可求得60B =︒，再由正弦定理和余弦定理分别求出a 和c 的值，最后利用三角形面积公式计算即可；
（2）由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，即：2232a c ac ac ac ac =+-≥-=，可求得3ac ≤，进而求得S 的最大值． 【详解】
（1）因为A 、B 、C 成等差数列，
则：2A+C =B ，又A B C π++=，所以60B =︒，
因为：
sin sin b a
a B A
=⇒=
2222212cos 32102b a c ac B c c c ∴=+-⇒=+-⨯⇒-=⇒，（负值舍）；
ABC ∆∴
的面积1
1sin 22S ac B ==； （2）2222cos b a c ac B =+-Q ；
即：2232a c ac ac ac ac =+-≥-=，当且仅当a c =时等号成立；
1333
sin 244
ABC S ac B ac ∆∴==≤
； 即S 的最大值为：33
4
． 【点睛】
本题考查正余弦定理的应用，考查三角形面积公式的应用，考查不等式的应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题. 26．（1）(),36k k k Z ππππ⎡⎤
-++∈⎢⎥⎣⎦；（2）736
.
【解析】 【分析】
（1）利用向量数量积的坐标运算公式、降次公式和辅助角公式，化简()f x 为
()sin A x B ωϕ++的形式，将x ωϕ+代入ππ2π,2π22k k ⎡
⎤-+⎢⎥⎣
⎦中，解出x 的范围，由此
求得函数的单调区间.（2）利用()2f A =求得角A 的大小，利用余弦定理和2b c =列方程组，解方程组求得2c 的值，由此求得三角形的面积. 【详解】 （1）=
，
令πππ
2π22π,262
k x k -
≤+≤+解得，k ∈Z ， 函数y=f （x ）的单调递增区间是（k ∈Z ）．
（2）∵f （A ）=2，∴，即
，
又∵0＜A ＜π，∴，
∵
，由余弦定理得a 2=b 2+c 2﹣2bccosA=（b+c ）2﹣3bc=7，①
b=2c ，②， 由①②得， ∴．
【点睛】
本小题主要考查向量的数量积运算，考查三角函数降次公式、辅助角公式，考查利用余弦定理解三角形.属于中档题.。