2025届湖北省鄂州市梁子湖区九年级数学第一学期期末达标检测试题含解析

2025届湖北省鄂州市梁子湖区九年级数学第一学期期末达标检测试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．下列事件是必然事件的是（）
A．通常加热到100℃，水沸腾
B．抛一枚硬币，正面朝上
C．明天会下雨
D．经过城市中某一有交通信号灯的路口，恰好遇到红灯
2．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=1．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是（）
A．25B．35C．5 D．6
3．下列计算正确的是（）
A．3x﹣2x＝1 B．x2+x5＝x7
C．x2•x4＝x6D．1
2
（xy）4＝xy4
4．已知：m＝2+1，n＝2﹣1，则223
m n mn
++＝（）
A．±3 B．﹣3 C．3 D．5
5．如图，四边形ABCD是O的内接四边形，AD与BC的延长线交于点E，BA与CD的延长线交于点F，0
85
DCE
∠=，0
28
F
∠=，则E
∠的度数为（）
A．38°B．48°C．58°D．68°
6．如图，圆锥底面半径为rcm，母线长为5cm，其侧面展开图是圆心角为216°的扇形，则r的值为（）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．下列选项的图形是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
8．下列命题中，①直径是圆中最长的弦；②长度相等的两条弧是等弧；③半径相等的两个圆是等圆；④半径不是弧，半圆包括它所对的直径，其中正确的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
9．27的立方根是（）
A．±3 B．±33C．3 D．33
10．已知反比例函数
1
y
x
=-，下列结论；①图象必经过点(1,1)
-；②图象分布在第二，四象限；③在每一个象限内，
y随x的增大而增大.其中正确的结论有（）个.
A．3 B．2 C．1 D．0 二、填空题(每小题3分,共24分)
11．计算：
1
(27)3
3
-⨯= ．
12．一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，则这个圆锥侧面展开图的圆心角为__________︒．
13．如图，从一块矩形铁片中间截去一个小矩形，使剩下部分四周的宽度都等于x，且小矩形的面积是原来矩形面积的一半，则x的值为_________．
14．已知正方形ABCD2B、D为圆心，以正方形的边长为半径在正方形内画弧，得到如图所示
的阴影部分，若随机向正方形ABCD 内投掷一颗石子，则石子落在阴影部分的概率为_____．（结果保留π）
15．已知直线y=kx （k≠0）经过点（12，﹣5），将直线向上平移m （m ＞0）个单位，若平移后得到的直线与半径为6的⊙O 相交（点O 为坐标原点），则m 的取值范围为_____．
16．如图所示，写出一个能判定ABC DAC △∽△的条件________．
17．若方程2410x x -+=的两根12,x x ，则122(1)x x x 的值为__________．
18．分母有理化：132
-＝_____． 三、解答题(共66分)
19．（10分）探究题：如图1，ABC ∆和ADE ∆均为等边三角形，点D 在边BC 上，连接CE ．
（1）请你解答以下问题：
①求ACE ∠的度数；
②写出线段AC ，CD ，CE 之间数量关系，并说明理由．
（2）拓展探究：如图2，ABC ∆和ADE ∆均为等腰直角三角形，
90BAC DAE ∠=∠=︒，点D 在边BC 上，连接CE ．请判断ACE ∠的度数及线段AC ，CD ，CE 之间的数量关系，并说明理由．
（3）解决问题：如图3，在四边形ABCD 中，90BAD BCD ∠=∠=︒，2AB AD ==，1CD =，AC 与BD 交于点E ．若AC 恰好平分BCD ∠，请直接写出线段AC 的长度．
20．（6分）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6cm ，BC ＝8m ，点P 从点A 出发沿边AC 向点C 以1cm /s 的速度移动，点Q 从点C 出发沿CB 边向点B 以2cm /s 的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动． （1）如果点P ，Q 同时出发，经过几秒钟时△PCQ 的面积为8cm 2？
（2）如果点P ，Q 同时出发，经过几秒钟时以P 、C 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似？
21．（6分）如图，一次函数1y k x b =+与反比例函数22k y x
=
的图象相交于A （2，2），B （n ，4）两点，连接OA 、OB ．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求△AOB 的面积；
（3）在直角坐标系中，是否存在一点P ，使以P 、A 、O 、B 为顶点的四边形是平行四边形?若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
22．（8分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是单位1，△ABC的三个顶点都在格点（即这些小正方形的顶点）上，且它们的坐标分别是A（2，﹣3），B（5，﹣1），C（1，3），结合所给的平面直角坐标系，解答下列问题：
（1）请在如图坐标系中画出△ABC；
（2）画出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'，并写出△A'B'C'各顶点坐标。

23．（8分）在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，﹣3），点B（﹣1，﹣3），点C（﹣1，﹣1）．
（1）画出△ABC；
（2）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出A1点的坐标：；
（3）以O为位似中心，在第一象限内把△ABC扩大到原来的两倍，得到△A2B2C2，并写出A2点的坐标：．
24．（8分）某学校为了美化校园环境，向园林公司购买一批树苗.公司规定：若购买树苗不超过60棵，则每棵树售价120元；若购买树苗超过60棵，则每增加1棵，每棵树售价均降低0.5元，且每棵树苗的售价降到100元后，不管购买多少棵树苗，每棵售价均为100元.
（1）若该学校购买50棵树苗，求这所学校需向园林公司支付的树苗款；
（2）若该学校向园林公司支付树苗款8800元，求这所学校购买了多少棵树苗.
25．（10分）已知：△ABC在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．
(1)画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是__________；
(2)以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1；四边形AA2C2C的面积是__________平方单位．
26．（10分）附加题,已知：矩形ABCD ，2,5AB BC ==，动点P 从点B 开始向点C 运动，动点P 速度为每秒1个单位，以AP 为对称轴，把ABP ∆折叠，所得AB P '∆与矩形ABCD 重叠部分面积为y ，运动时间为t 秒.
（1）当运动到第几秒时点B '恰好落在AD 上；
（2）求y 关于t 的关系式，以及t 的取值范围；
（3）在第几秒时重叠部分面积是矩形ABCD 面积的14
； （4）连接PD ，以PD 为对称轴，将PCD ∆作轴对称变换，得到PC D '∆，当t 为何值时，点P B C ''、、在同一直线上？
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、A
【解析】解：A ．通常加热到100℃，水沸腾，是必然事件，故A 选项符合题意；
B ．抛一枚硬币，正面朝上，是随机事件，故B 选项不符合题意；
C ．明天会下雨，是随机事件，故C 选项不符合题意；
D ．经过城市中某一有交通信号灯的路口，恰好遇到红灯，是随机事件，故D 选项不符合题意．
故选A ．
【点睛】
解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
2、C
【解析】试题分析：连接EF 交AC 于点M ，由四边形EGFH 为菱形可得FM=EM ，EF ⊥AC ；利用”AAS 或ASA”易证△FMC ≌△EMA ，根据全等三角形的性质可得AM=MC ；在Rt △ABC 中，由勾股定理求得AC=45，且tan ∠BAC=12
BC AB =；在Rt △AME 中，AM=12AC=25 ，tan ∠BAC=12EM AM =可得EM=5；在Rt △AME 中，由勾股定理求得AE=2．故答案选C ．
考点：菱形的性质；矩形的性质；勾股定理；锐角三角函数．
3、C
【分析】分别根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方与积的乘方逐一判断即可．
【详解】解：3x ﹣2x ＝x ，故选项A 不合题意；
x 2与x 5不是同类项，故不能合并，故选项B 不合题意；
x 2•x 4＝x 6，正确，故选项C 符合题意；
44411()22
xy x y =，故选项D 不合题意． 故选：C ．
【点睛】
本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 4、C
【分析】先根据题意得出m n -和mn 的值，再把式子化成含m n -与mn 的形式，最后代入求值即可.
【详解】由题得：2m n -=、1mn =
22223()525193m n mn m n mn ++=-+=
+⨯==
故选：C.
【点睛】
本题考查代数式求值和完全平方公式，运用整体思想是关键.
5、A
【分析】根据三角形的外角性质求出B ，然后根据圆内接四边形的性质和三角形内角和定理计算即可.
【详解】解：B =57DCE F ∠-∠=︒
057EDC B ∠=∠=
18038E EDC ECD ∠=︒-∠-∠=︒
故选A
【点睛】
本题考查了圆周角定理及其推论.
6、A
【分析】直接根据弧长公式即可得出结论．
【详解】∵圆锥底面半径为rcm ，母线长为5cm ，其侧面展开图是圆心角为216°的扇形，
∴2πr=216360
×2π×5，解得r=1． 故选A ．
【点睛】
本题考查的是圆锥的相关计算，熟记弧长公式是解答此题的关键．
7、B
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【详解】解：A 、不是中心对称图形，故此选项错误；
B 、是中心对称图形，故此选项正确；
C 、不是中心对称图形，故此选项错误；
D 、不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：B ．
【点睛】
本题主要考查的是中心对称图形，理解中心对称图形的定义是判断这四个图形哪一个是中心对称图形的关键. 8、C
【分析】根据弦、弧、等弧的定义即可求解．
【详解】解：①直径是圆中最长的弦，真命题；
②在等圆或同圆中，长度相等的两条弧是等弧，假命题；
③半径相等的两个圆是等圆，真命题；
④半径是圆心与圆上一点之间的线段，不是弧，半圆包括它所对的直径，真命题．
【点睛】
本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．
9、C
【分析】由题意根据如果一个数x的立方等于a，那么x是a的立方根，据此定义进行分析求解即可．
【详解】解：∵1的立方等于27，
∴27的立方根等于1．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查求一个数的立方根，解题时先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．
10、A
【分析】根据反比例函数的图像与性质解答即可.
【详解】①∵-1×1=-1，∴图象必经过点(1,1)
-，故①正确；②∵-1<0，图象分布在第二，四象限，故②正确；③∵-1<0，∴在每一个象限内，y随x的增大而增大，故③正确.
故选A.
【点睛】
本题考查了反比例函数的图像与性质，反比例函数
k
y
x
=(k是常数，k≠0)的图像是双曲线，当k＞0，反比例函数图象
的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当k＜0，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大.
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、1．
【解析】试题分析：原式﹣1=1，故答案为1．
考点：二次根式的混合运算．
12、120
【分析】设底面圆的半径为r，侧面展开扇形的半径为R，扇形的圆心角为n度．根据面积关系可得.
【详解】设底面圆的半径为r，侧面展开扇形的半径为R，扇形的圆心角为n度．
由题意得S底面面积=πr2，
S 扇形=3S 底面面积=3πr 2，
l 扇形弧长=l 底面周长=2πr ．
由S 扇形=12l 扇形弧长×R =3πr 2=12
×2πr×R ， 故R=3r ．
由l 扇形弧长=
180
n R π得： 2πr=3180n r π⨯ 解得n=120°．
故答案为：120°．
【点睛】
考核知识点：圆锥侧面积问题.熟记弧长和扇形面积公式是关键.
13、1
【分析】本题中小长方形的长为（80−2x ）cm ，宽为（60−2x ）cm ，根据“小长方形的面积是原来长方形面积的一半”可列出方程（80−2x ）（60−2x ）＝12
×80×60，解方程从而求解． 【详解】因为小长方形的长为（80−2x ）cm ，宽为（60−2x ）cm ，则其面积为（80−2x ）（60−2x ）cm 2 根据题意得：（80−2x ）（60−2x ）＝
12×80×60 整理得：x 2−70x ＋600＝0
解之得：x 1＝1，x 2＝60
因x ＝60不合题意，应舍去
所以x ＝1．
故答案为：1.
【点睛】
此题解答时应结合图形，分析出小长方形的长与宽，利用一元二次方程求解，另外应判断解出的解是否符合题意，进而确定取舍．
14、2
2π-
【分析】先求出空白部分面积，进而得出阴影部分面积，再利用石子落在阴影部分的概率＝阴影部分面积÷正方形面积，进而得出答案．
【详解】∵扇形ABC 中空白面积=229023602ππ⨯-=-，
∴正方形中空白面积=2×（2﹣2π）＝4﹣π， ∴阴影部分面积=2﹣（4﹣π）＝π﹣2，
∴随机向正方形ABCD 内投掷一颗石子，石子落在阴影部分的概率=
22π- ． 故答案为：
22π-． 【点睛】
本题主要考查扇形的面积公式和概率公式，通过割补法，求出阴影部分面积，是解题的关键.
15、0<m ＜
【解析】利用待定系数法得出直线解析式，再得出平移后得到的直线，求与坐标轴交点的坐标，转化为直角三角形中的问题，再由直线与圆的位置关系的判定解答．
【详解】把点（12，﹣5）代入直线y=kx 得，
﹣5=12k ，
∴k=﹣；
由y=﹣x 平移m （m ＞0）个单位后得到的直线l 所对应的函数关系式为y=﹣x+m （m ＞0），
设直线l 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，（如图所示）
当x=0时，y=m ；当y=0时，x=m ，
∴A （m ，0），B （0，m ），
即OA=m ，OB=m ，
在Rt △OAB 中，AB=
， 过点O 作OD ⊥AB 于D ，
∵S △ABO =OD•AB=OA•OB ，
∴OD•=×m×m ， ∵m ＞0，解得OD=m ，
由直线与圆的位置关系可知m ＜6，解得m ＜，
故答案为0<m ＜.
【点睛】本题考查了直线的平移、直线与圆的位置关系等，能用含m 的式子表示出原点到平移后的直线的距离是解题的关键.本题有一定的难度，利用数形结合思想进行解答比较直观明了.
16、2AC DC BC =⋅（答案不唯一）
【分析】已知有公共角∠C ，由相似三角形的判定方法可得出答案．
【详解】已知△ABC 和△DCA 中，∠ACD=∠BAC ；
如果△ABC ∽△DAC ，需满足的条件有：
①∠DAC=∠B 或∠ADC=∠BAC ；
②AC 2=DC•BC ；
故答案为：AC 2=DC•BC （答案不唯一）．
【点睛】
此题主要考查了相似三角形的判定方法；熟记三角形相似的判定方法是解决问题的关键．
17、1
【分析】根据根与系数的关系求出12x x +，12x x ⋅代入即可求解．
【详解】∵12,x x 是方程2410x x -+=的两根
∴12x x +=-b a =4，12x x ⋅=c a
=1 ∴122(1)x x x =1122x x x x ++=1212x x x x ++=4+1=1，
故答案为：1．
【点睛】
此题主要考查根与系数的关系，解题的关键是熟知12x x +=-
b a ，12x x ⋅=
c a
的运用． 1832 ．
【解析】一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．据此作答． 【详解】解32-3+232)(32)
-+（32 ． 32 ．
【点睛】
本题考查二次根式的有理化．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．
三、解答题(共66分)
19、（1）①60︒；②线段AC 、CD 、CE 之间的数量关系为：AC CD CE =+，理由见解析；
（2）45ACE ∠=︒CD CE =+，理由见解析．
（3）AC =理由见解析． 【分析】（1）①证明△BAD ≌△CAE （SAS ），可得结论：∠ACE=∠B=60°； ②由△BAD ≌△CAE ，得BD=CE ，利用等边三角形的AC=BC=BD+DC 等量代换可得结论；
（2）如图2，先证明△ABD ≌△ACE ，得BD=CE ，∠ACE=∠B=45°，同理可得结论；
（3）如图3，作辅助线，构建如图2的两个等腰直角三角形，已经有一个△ABD ，再证明△ACF 也是等腰直角三角形，则利用（2）的结论求AC 的长．
【详解】（1）①∵ABC ∆和ADE ∆均为等边三角形，
∴AB AC =，AD AE =，60BAC DAE B ∠=∠=∠=︒，
∴BAC DAC DAE DAC ∠-∠=∠-∠，
即BAD CAE ∠=∠，
∴()BAD CAE SAS ∆∆≌，
∴60ACE B ∠=∠=︒，
②线段AC 、CD 、CE 之间的数量关系为：AC CD CE =+；
理由是：由①得：BAD CAE ∆∆≌，
∴BD CE =，
∵AC BC BD CD ==+，
∴AC CD CE =+；
（2）45ACE ∠=︒CD CE =+，理由是：
如图2，∵ABC ∆和ADE ∆均为等腰直角三角形，且90BAC DAE ∠=∠=︒，
∴AB AC =，AD AE =，BAC DAC DAE DAC ∠-∠=∠-∠，
即BAD CAE ∠=∠，
∴ABD ACE ∆∆≌，
∴BD CE =，45ACE B ∠=∠=︒，
∵BC CD BD =+，
∴BC CD CE =+，
∵在等腰直角三角形ABC 中，2BC AC =
，
∴2AC CD CE =+；
（3）如图3，过A 作AC 的垂线，交CB 的延长线于点F ，
∵90BAD BCD ∠=∠=︒，2AB AD ==，1CD =， ∴22BD =，7BC =
∵90BAD BCD ∠=∠=︒，
∴以BD 的中点为圆心，12
BD 为半径作圆，则A ，C 在此圆上， ∴A 、B 、C 、D 四点共圆，
∵AC 恰好平分BCD ∠
∴45ADB ACB ∠=∠=︒，
∴ACF ∆是等腰直角三角形，
由（22BC CD =+，
∴7142222
AC ===． 【点睛】
本题是四边形的综合题，考查了等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、三角形全等的性质和判定、四点共圆的判定，圆周角定理，本题还运用了类比的思想，从问题发现到解决问题，第三问有难度，作辅助线，构建等腰直角三角形ACF 是关键．
20、（1）1s 或2s ；（1）当t ＝125或t ＝1811
时，以P 、C 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似．
【分析】（1）设P 、Q 同时出发，x 秒钟后，AP ＝xcm ，PC ＝（6﹣x ）cm ，CQ ＝1xcm ，依据△PCQ 的面积为8，由此等量关系列出方程求出符合题意的值．
（1）分两种情况讨论，依据相似三角形对应边成比例列方程求解即可．
【详解】（1）设xs 后，可使△PCQ 的面积为8cm 1．
由题意得，AP ＝xcm ，PC ＝（6﹣x ）cm ，CQ ＝1xcm ， 则12
（6﹣x ）•1x ＝8， 整理得x 1﹣6x +8＝0，
解得x 1＝1，x 1＝2．
所以P 、Q 同时出发，1s 或2s 后可使△PCQ 的面积为8cm 1．
（1）设t 秒后以P 、C 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似，则PC ＝6﹣t ，QC ＝1t ．
当△PCQ ∽△ACB 时，PC AC ＝QC BC ，即66t -＝28
t ， 解得：t ＝125
． 当△PCQ ∽△BCA 时，PC BC ＝QC AC ，即68t -＝26
t ， 解得：t ＝1811
． 综上所述，当t ＝
125或t ＝1811时，以P 、C 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似． 【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，三角形的面积公式的求法和一元二次方程的解的情况．关键在于读懂题意，找出之间的等量关系，列出方程求解．
21、（1）一次函数的解析式为122y x =-，反比例函数的解析式为24y x
=
；（2）AOB ∆的面积为3；（3）存在，点P 的坐标为（-3，-6），（1，-2）（3，6）．
【分析】（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征可求出k 2和n 的值，可得反比例函数解析式，再利用待定系数法即可求出一次函数的解析式；
（2）设一次函数122y x =-与y 轴交于点C ，过点A 、B 分别向y 轴作垂线，垂足为点E 、F ，令x=0，可求出点C 的坐标，根据AOB AOC BOC S S S ∆∆∆=+即可得答案；
（3）分OA 、OB 、AB 为对角线三种情况，根据A 、B 坐标可得直线OA 、OB 的解析式，根据互相平行的两条直线斜率相同可知直线OP 、AP 、BP 的斜率，利用待定系数法可求出其解析式，进而联立解析式求出交点坐标即可得答案．
【详解】（1）∵点()22A ，
，()4B n -，在反比例函数22k y x =上， ∴222k =，24k n
-=， ∴24k =，1n =-，
∴24y x
=，()14B --，， ∵点()22A ，
，()14B --，在一次函数11k y x b =+上， ∴122k b =+，14k b -=-+，
∴1k 2=，b 2=-，
∴122y x =-，
∴一次函数的解析式为122y x =-，反比例函数的解析式为24y x
=． （2）如图，设一次函数122y x =-与y 轴交于点C ，过点A 、B 分别向y 轴作垂线，垂足为点E 、F ， ∵当0x =时，1222022y x =-=⨯-=-，
∴点C 的坐标为()02-，
， ∵()22A ，
，()14B --，， ∴1122222AOC S OC AE ∆=⨯⨯=⨯⨯=，1121122
BOC S OC BF ∆=⨯⨯=⨯⨯=， ∴213AOB AOC BOC S S S ∆∆∆=+=+=，
即AOB ∆的面积为3．
（3）∵点A （2，2），B （-1，-4），
∴直线OA 的解析式为y=x ，直线OB 的解析式为y=4x ，直线AB 的解析式为y=2x-2，
①如图，当OA//PB ，OP//AB 时，
∴直线OP 的解析式为y=2x+b 1，
设直线PB 的解析式为y=x+b 1，
∵点B（-1，-4）在直线上，∴-4=-1+b1，
解得：b1=-3，
∴直线PB的解析式为y=x-3，
联立直线OP、BP解析式得：
2
3 y x
y x
=
⎧
⎨
=-
⎩
，
解得：
3
6 x
y
=-
⎧
⎨
=-
⎩
，
∴点P坐标为（-3，-6），
②如图，当OB//AP，OA//BP时，同①可得BP解析式为y=x-3，设AP的解析式为y=4x+b2，
∵点A（2，2）在直线AP上，
∴2=2×4+b2，
解得：b2=-6，
∴直线AP的解析式为y=4x-6，
联立PB和AP解析式得：
3
46 y x
y x
=-
⎧
⎨
=-
⎩
，
解得：
1
2 x
y
=
⎧
⎨
=-
⎩
，
∴点P坐标为（1，-2），
③如图，当OP//AB，OB//AP时，
同①②可得：直线OP的解析式为y=2x，直线AP的解析式为y=4x-6，
联立直线OP和AP解析式得：
2
46 y x
y x
=
⎧
⎨
=-
⎩
，
解得：
3
6 x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，
∴点P坐标为（3，6），
综上所述：存在点P，使以P、A、O、B为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标为（-3，-6），（1，-2）（3，6）．【点睛】
此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，一次函数与x轴的交点，坐标与图形性质，以及三角形的面积求法，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
22、（1）图见解析；（2）图见解析；A′(-2，-3)，B′(-5，-1)，C′(-1，3)
【分析】（1）在坐标系内描出各点，顺次连接各点即可；
（2）分别作出各点关于y轴的对称点，再顺次连接，并写出各点坐标即可；
【详解】（1）如图，△ABC为所求；
（2）如图，△A'B'C'为所求；A′(-2，-3)，B′(-5，-1)，C′(-1，3)
【点睛】
本题考查的是作图−轴对称变换，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．
23、（1）详见解析；（2）详见解析，A 1（﹣3，3）；（3）详见解析，A 2（6，6）．
【解析】（1）根据A 、B 、C 三点坐标画出图形即可；
（2）作出A 、B 、C 关于轴的对称点A 1、B 1、C 1即可；
（3）延长OC 到C 2，使得OC 2=2OC ，同法作出A 2，B 2即可；
【详解】（1）△ABC 如图所示；
（2）△A 1B 1C 1如图所示；A 1（﹣3，3），
（3）△A 2B 2C 2如图所示；A 2（6，6）．
故答案为（﹣3，3），（6，6）．
【点睛】
本题考查作图﹣位似变换，轴对称变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
24、（1）这所学校需向园林公司支付的树苗款为6000元；（2）这所中学购买了80棵树苗.
【分析】（1）由题意按照每棵120元进行计算；（2）设设购买了()60100x x <≤棵树苗，根据单价×数量=总价列方程，求解.
【详解】解：（1）∵50<60，
∴120506000⨯=（元），
∴答：这所学校需向园林公司支付的树苗款为6000元.
（2）∵购买60棵树苗时所需支付的树苗款为120607200⨯=元8800<元，
∴该中学购买的树苗超过60棵. 又∵120100601000.5
-+=， ∴购买100棵树苗时每棵树苗的售价恰好降至100元.
∵购买树苗超过100棵后，每棵树苗的售价仍为100元，
此时所需支付的树苗款超过10000元，而100008800>，
∴该中学购买的树苗不超过100棵.
设购买了()60100x x <≤棵树苗，
依题意，得()1200.5608800x x --=⎡⎤⎣⎦，
化简，得2300176000x x -+=，
解得1220100x =>（舍去），280x =.
答：这所中学购买了80棵树苗.
【点睛】
本题考查一元二次方程的实际应用，理解题意弄清题目中的等量关系是本题的解题关键.
25、 (1)画图见解析，（2，–2）； (2)画图见解析，7.1．
【解析】（1）将△ABC 向下平移4个单位长度得到的△A 1B 1C 1，如图所示，找出所求点坐标即可；
（2）以点B 为位似中心，在网格内画出△A 2B 2C 2，使△A 2B 2C 2与△ABC 位似，且位似比为2：1，如图所示，找出所求点坐标即可；根据四边形的面积等于两个三角形面积之和解答即可．
【详解】（1）如图所示，画出△ABC 向下平移4个单位长度得到的△A 1B 1C 1，点C 1的坐标是（2，﹣2）；
（2）如图所示，以B 为位似中心，画出△A 2B 2C 2，使△A 2B 2C 2与△ABC 位似，且位似比为2：1，四边形AA 2C 2C 的面积是=．
故答案为：（1）（2，﹣2）；（2）7.1．
【点睛】
本题考查了作图﹣位似变换与平移变换，熟练掌握位似变换与平移变换的性质是解答本题的关键．
26、（1）第2秒时；（2）()()2024252t t y t t t
⎧<≤⎪=⎨+<≤⎪⎩；（3）第4秒时；（4）t =1或4 【分析】（1）先画出符合题意的图形如图1，根据题意和轴对称的性质可判定四边形ABPB '为正方形，可得BP 的长，进而可得答案；
（2）分两种情况：①当02t <≤时，如图2，根据折叠的性质可得：AB P ABP S S '∆∆=，进而可得y 与t 的关系式；②当25t <≤时，如图3，由折叠的性质和矩形的性质可推出AE PE =，设AE x =，然后在直角△AB E '中利用勾股定
理即可求得x 与t 的关系，进一步利用三角形的面积公式即可求出y 与t 的关系式；
（3）在（2）题的基础上，分两种情况列出方程，解方程即得结果；
（4）如图4，当点,,P B C ''在同一直线上，根据折叠的性质可得90APB CPD ∠+∠=︒，进一步可得PAB CPD ∠=∠，进而可推出ABP PCD ∆∆，然后利用相似三角形的性质可得关于t 的方程，解方程即可求出结果.
【详解】解：（1）当点B '恰好落在AD 上时，如图1，由折叠的性质可得：90,2AB P B AB AB ''∠=∠=︒==， ∵四边形ABCD 为矩形，∴90BAB '∠=︒，
∴四边形ABPB '为正方形，∴2BP AB ==，
∵动点P 速度为每秒1个单位，∴2t =，
即当运动到第2秒时点B '恰好落在AD 上；
（2）分两种情况：
①当02t <≤时，如图2，PB t =，由折叠得：AB P ABP S S '∆∆=， ∴11222
ABP y S AB PB t t ∆===⨯⨯=；
②当25t <≤时，如图3，由折叠得：,APB APE PB PB t '∠=∠==，
∵//AD BC ，∴DAP APB ∠=∠，∴DAP APE ∠=∠，∴AE PE =，
设AE x =，则,PE x B E t x '==-，
在直角△AB E '中，由勾股定理得：()2222t x x +-=，解得：242t x t +=， ∴22114422222AEP t t y S AE AB t t
∆++===⨯⨯=，
综上所述：()()2024252t t y t t t
⎧<≤⎪=⎨+<≤⎪⎩；
（3）①当02t <≤时，1254
y t ==⨯⨯，则52t =（舍去）， ②当25t <≤时，2412524t y t +==⨯⨯，解得：11t =（舍去），24t =，
综上所述：在第4秒时，重叠部分面积是矩形ABCD 面积的
14； （4）如图4，点,,P B C ''在同一直线上，由折叠得：,APB APB C PD CPD ''∠=∠∠=∠，
∴1180902
APB CPD ∠+∠=⨯︒=︒， ∵90PAB APB ∠+∠=︒，∴PAB CPD ∠=∠，
∵90B C ∠=∠=︒，∴ABP
PCD ∆∆， ∴AB BP PC CD
=，∴252t t =-，解得：121,4t t ==， ∴当t =1或4时，点,,P B C ''在同一直线上.
【点睛】
本题是矩形综合题，主要考查了矩形与折叠问题、正方形的判定与性质、等腰三角形的判定、相似三角形的判定和性质、勾股定理、一元二次方程的求解和三角形的面积等知识，考查的知识点多、综合性强，属于试卷的压轴题，正确画出图形、灵活应用数形结合和分类思想、熟练掌握上述知识是解答的关键.。