6.6简单几何体的再认识(专题：空间几何体的外接球与内切球问题)课件(北师大版)
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平面 ，PC=2 ，则该三棱锥的外接球表面积为
解： =
2 + 2 − 2
2⋅
2 6
∴ =
5
=
15+15−36
2×15
=
1
−
5
6
15
∴△ 外接圆直径2 =
=
=
2 6
6
5
如图所示：设三棱锥外接球球心为O，球半径为R，三角形ABC外接圆圆
外接球半径为R，
2
2
2
则2 + 2 + 1 = 2
4
故球的体积是：3 3
2 ，解得
4
3
= ××
=
3
，
2
3 3
( )
2
=
9
.
2
5．已知正四棱锥 − 中， = 6，
= 2 3，则该棱锥外接球的体积为
正方形的对角线长 6 + 6 = 2 3，
正四棱锥的高为
2 3
北师大（2019）必修2
§ 6.6简单几何体的再认识
（专题：空间几何体的外接球与内切球问题）
前言
1.与球有关的切接问题，一般出现在与球
有关的简单组合体中，通过空间问题平
面化思想，利用技术手段得到截面，结
合球的截面的相关性质，求出相关量
2.特殊的几何体，球心的位置也比较特殊，
计算方法也比较特殊，学习时，一般方
于平面ABC的垂线，设O为三棱锥D-ABC的外接球球心。
2
6
2
2
=ℎ +
2
=
3−ℎ
2
+
2
6
2
2
∴ℎ=
3
2
∴=
3
。
2
简单快速做法：
由题意得： = 3,棱锥高线的垂足是底面
的一个顶点，即 ⊥ 平面，故 = ，
2
=
2
2
+
2
=
3
2
2
+
6
2
2
=
9
。
4
环节三
内切球
三棱锥的内切球半径
2
−
2 3
2
设外接球的半径为R，则 3 −
4π
所以外接球的体积为 3 ×
故选：B
3
2 =
2
2
= 3，
+
32π
.
3
2 3
2
2
= 2 ⇒ = 2，
6．在三棱锥 − 中，△ 为正三角
形， = 4， = ，E为AB的中点，F
为PC的中点， = 13， = 2，则三棱
设正方体棱长为 a，
则面对角线为 a，体对角线为 a。
①正方体外接球直径为体对角线，即
2R= a 。
②正方体内切球直径为棱长，即2R= a 。
③长方体相邻三棱长为 a,b,c，体对
角线长为 + + ，其中2R为
长方体外接球直径。
拓展：若有三边两两垂直的，则用补形法
构造一个长方体，该长方体的体对角线为
正四棱锥
P
G
O
A
D
E
H
B
F
C
图15
四棱锥 − 上正四棱锥，求其外接球的
半径
第一步：先现出内切球的截面图，, , 三
点共线；
1
第二步：求 = ， = − ，是
2
侧面的高；
第三步：由相似于，建立等式：
= ，解出
三棱锥的内切球半径
心为O1，圆半径为r，OO1=h。则：
2
=
2 = ℎ2 + 2
即：
2
2
2
= 2−ℎ +
2 = 2 −
ℎ=1
83
2
83
∴ 2 =
∴ 球 = 4 =
。
2
8
225
+
24
225
2
ℎ +
24
ℎ2
球心常出现在直角三角形公共斜边的中点上
例3、如图，球O的面上四点A、B、C、D，DA⊥
正三棱锥
P
E
O
A
C
H
D
B
图14
三棱锥 − 上正三棱锥，求其外接球的
半径。
第一步：先现出内切球的截面图，, 分别
是两个三角形的外心；
1
第二步：求 = ， = − ，是
3
侧面的高；
第三步：由相似于，建立等式：
= ，解出
三棱锥的内切球半径
=
2 3
3
2
=
4 = 2，
所以 = 2，过′ 做垂直于底面的直线交中截面与点，则为外接球的球
心，由题意得：2
42 = 43，
=
2
+
1 2
2
=4
27
+
4
=
43
，所以外接球的表面积
4
=
4．三棱锥 − 的四个顶点都在球的球面
上，已知、、两两垂直， = 1，
该几何体的外接球直径。
2 =
2 + 2 + 2
二、直三棱柱外接球
规律：直三棱柱外接球的球心位于上下底面
三角形外接圆圆心连线的中点上。
例1.在三棱柱ABC- 中，侧棱垂直于底面，
∠ACB=90°, ∠CAB=30°,BC=1且三棱柱 的体积为3，
则三棱柱 的外接球的表面积为（ ）
3
3
2
=
6
。
3
2
6
⇒ = 。
4
底面外接圆半径 2 。
正四面体内切球半径： = − =
6
3
−
6
4
=
6
，:
12
= 3: 1。
规律：若底面为正多边形，则过正多边形
的中心作底面的垂线，则垂线上任一点到
正多边形各顶点的距离都相等，则外接球
的球心位于这条垂线上，可利用勾股定理
求出外接球半径。
平面ABC,AB⊥BC,DA=AB=BC= ，则球O的体
积为
分析：取CD中点O，则在Rt△CBD中OB=OC=OD，
在Rt△CAD中，OA=OC=OD，OA=OB=OC=OD，
则O为球心，则2R=3，故V球= 。本题也可用构
造两个勾股定理求出外接球半径。
因AB⊥BC，则取AC的中点O_1，过O1作垂直
+ = 4，当三棱锥的体积最大时，球的
体积为
1
3
由题意，− = − = ⋅
≤
1
(
24
2
+ ) =
1
2
⋅ ⋅ ⋅
2
，
3
当且仅当PB=PC时，三棱锥的体积最大，
如图所示，将 − 视为长方体的一部分
则长方体的体对角线即为外接球的直径，设
宽、高的长方体的外接球，
∴球的外接球半径 =
1
2
2 + 2 + 2 =
2，
∴球的表面积 = 42 = 16.
故选：B.
3．设三棱柱 − 1 1 1 的侧棱垂直于
∘
底面， = = 2, ∠ = 120 , 1 =
3 3，且三棱柱的所有顶点都在同一球面
锥 − 外接球的表面积为
如图，在△ 中，设∠ = ， =
2
− = − =
13 +12 − 2
2 13
=−
2
13 +12 − 2 3
如正三棱锥、正四面体、正四棱锥。
性质 （1）各侧棱相等，各侧面均为全等的等腰三角形，各
等腰三角形底边上的高相等（正棱锥的斜高相等）。
（2）过底面正多边形的中心作底面的垂线，则垂线上
任一点到正多边形各顶点的距离都相等，垂线上点（正
多边形的中心除外）与底面正多边形均构成正棱锥。
环节二
外接球
一、正方体、长方体外接球与内切球研究
。
规律：其实，第一个类型是第二个类型的一种特殊情况，
即底面外心到棱锥高线距离 = 的情况，此时，ℎ = −
，则2 = − 2 + 2 。
注意：可正、可负、可0。
ℎ > 0：球心在棱锥内部
ℎ = 0：球心在棱锥表面
ℎ < 0：球心在棱锥外部
例3、三棱锥 P-ABC中，AB=BC= ,AC=6,PC⊥
依然有外接圆圆心（外心），底面多边形的外
心到底面各顶点的距离都相等，故过底面多边
形的外心作底面的垂线即可。
推广：过底面多边形的外心作底面的垂线，
则垂线上任一点到多边形各顶点的距离都
相等，则外接球的球心位于这条垂线上，
可利用勾股定理求出外接球半径。
三、棱锥的外接球
两个类型：
①若顶点位于过底面多边形的外心所作的垂线上，
2
则利用一个勾股定理可求出外接球半径； =
( − )2 + 底面外接圆半径 2
三、棱锥的外接球
两个类型：
②若顶点不在过底面多边形的外心所作的垂线上，
则可利用两个勾股定理求出外接球半径。
三、棱锥的外接球
一般地，设棱锥的高为，底面外接圆圆心
为 ，底面外接圆半径为，外接球球心为，
外接球半径为， = ， 到棱锥高线的
因为 ⊥平面， ⊂平面，所以 ⊥ ，因此//，
因此四边形是平行四边形，故 = =
1
2
= 1，由余弦
定理，得
=
2 + 2 − 2 ⋅ ⋅ 1 20° =
4+4−2×2×2×
1
(− )
2
= 2 3，由正弦定理，得2 =
例2、已知正四棱锥的底面边长为，侧棱长为 2，
求它的外接球的体积。
解：高 =
2
=
2
2
6
−
2
−
2
+
6
=
3
=
4
3
3
=
4
3
×
2
2
6
3
2
2
3
=
2
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
=
6
2
⇒
8 6
3 。
27
2.普通棱锥的外接球：
对于普通棱锥来说，底面不是正多边形，也没
有底面正多边形的中心的概念，但底面多边形
距离为，则构造两个勾股定理为：
2
2
2
=ℎ +
2
2
2
= −ℎ +
规律：
①关键是求出三个量：, , 。即求出棱锥的高、底面
外接圆半径、棱锥底面的外心到棱锥高线的距离。
= 是设出的量，不用单独求。可用正弦定理求出。
②特殊情况：当棱锥高线的垂足是底面的一个顶点时，
= ，则此时 = 2ℎ，可以直接用公式2 = ℎ2 + 2 求出
A．
B．
C．
D．
解：∵ ∠ = 900 ，∠ = 300 ， =
1
∴ = 3, = 2
又 ∵ 三棱柱的体积为3 ∴ 棱柱的高为2 3
因三棱柱上下底面三角形的外心在斜边的
中点上∴
三棱柱外接球的球心位于, 1 1
中点连线的中点上，如图：
∴ = 1 =
2
3
2
∴ 球 = 4 = 16.
任意三棱锥
−
= − + − + − + −
1
1
1
= △ ⋅ + △ ⋅ + △ ⋅
3
3
3
1
+ △ ⋅
3
1
3
= 表 ⋅
∴=
3
表
环节四
学以致用
1．已知三棱锥 − ，其中 ⊥ 平面 ，
法与特殊方法作对比分析
环节一
预备知识
三角形的四心
重心
定义
三条中线的交点
重心
定理
三角形的重心到顶点的距离等于它到对边中
点距离的2倍。
三角形的四心
垂心
定义
三条高线的交点
三角形的四心
外心
定义
外接圆圆心，三条中垂线
（垂直平分线）的交点
注意：直角三角形的外心
为斜边的中点
=
=
= 2
sin sin sin
= 2，所以该外接球的半径R满足2 =
= 42 = 20，
2
+
2
2 3
3
2
⇒
=5⇒
2．四面体的每个顶点都在球的球面上，
, , 两两垂直，且 = 3 = 3，
= 2， = 3，则球的表面积为（
）
四面体 的外接球 即为以 , , 为长、
三角形的四心
内心
定义
定理
三条角平分线的交点，内切圆圆心。
1
△ = + + ,
2
（ 为内切圆半径）
△ = △ + △ + △
1
1
1
1
= + + = + +
2
2
2
2
2△
∴=
周长
特别地，对直角三角形，内切圆半
上，则该球的表面积是
由题意知底面△ 外接圆的圆心为点′ ，设外接圆的半径为，
三棱柱 − 1 1 1 的外接球的半径为R，
= = 2，∠ = 120∘ ，由余弦定理得 =
2 + 2 − 2 × ∠ = 2
3，由正弦定理得 ∠
∠ = 120°， = = = 2，则该三
棱锥外接球的表面积为（
A．12
）
B．16 C．20 D．24
根据题意设底面△ 的外心为 ，O为球心，所以 ⊥平面 ，
因为 ⊥平面，
所以//，设是中点，因为OP=OA，所以 ⊥ ，
+ 12 = 2
注意：本题也可以用补形法构造一个
长方体。2 = 1 + 3 + 12 = 4。
三、棱锥的外接球
1．正四面体的外接球与内切球研究：
当正三棱锥的侧棱与底边相等时，构成正四面体。
设正四面体的棱长为。
正四面体高 =
2
−
3
3
正四面体外接球半径为R：
2
6
3
2
=
− +
即2 = ( − )2 +
+−
径：r=
,其中a,b，是直角边长，
c是斜边长
正角形的重要结论
设等边三角形边长为 a
定理
1、高为
；
；
2、面积
3、O为正三角形中心（正三角形四心合一），
外接圆半径
，内切圆半径
正棱锥
设等边三角形边长为 a
定义
底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是
解： =
2 + 2 − 2
2⋅
2 6
∴ =
5
=
15+15−36
2×15
=
1
−
5
6
15
∴△ 外接圆直径2 =
=
=
2 6
6
5
如图所示：设三棱锥外接球球心为O，球半径为R，三角形ABC外接圆圆
外接球半径为R，
2
2
2
则2 + 2 + 1 = 2
4
故球的体积是：3 3
2 ，解得
4
3
= ××
=
3
，
2
3 3
( )
2
=
9
.
2
5．已知正四棱锥 − 中， = 6，
= 2 3，则该棱锥外接球的体积为
正方形的对角线长 6 + 6 = 2 3，
正四棱锥的高为
2 3
北师大（2019）必修2
§ 6.6简单几何体的再认识
（专题：空间几何体的外接球与内切球问题）
前言
1.与球有关的切接问题，一般出现在与球
有关的简单组合体中，通过空间问题平
面化思想，利用技术手段得到截面，结
合球的截面的相关性质，求出相关量
2.特殊的几何体，球心的位置也比较特殊，
计算方法也比较特殊，学习时，一般方
于平面ABC的垂线，设O为三棱锥D-ABC的外接球球心。
2
6
2
2
=ℎ +
2
=
3−ℎ
2
+
2
6
2
2
∴ℎ=
3
2
∴=
3
。
2
简单快速做法：
由题意得： = 3,棱锥高线的垂足是底面
的一个顶点，即 ⊥ 平面，故 = ，
2
=
2
2
+
2
=
3
2
2
+
6
2
2
=
9
。
4
环节三
内切球
三棱锥的内切球半径
2
−
2 3
2
设外接球的半径为R，则 3 −
4π
所以外接球的体积为 3 ×
故选：B
3
2 =
2
2
= 3，
+
32π
.
3
2 3
2
2
= 2 ⇒ = 2，
6．在三棱锥 − 中，△ 为正三角
形， = 4， = ，E为AB的中点，F
为PC的中点， = 13， = 2，则三棱
设正方体棱长为 a，
则面对角线为 a，体对角线为 a。
①正方体外接球直径为体对角线，即
2R= a 。
②正方体内切球直径为棱长，即2R= a 。
③长方体相邻三棱长为 a,b,c，体对
角线长为 + + ，其中2R为
长方体外接球直径。
拓展：若有三边两两垂直的，则用补形法
构造一个长方体，该长方体的体对角线为
正四棱锥
P
G
O
A
D
E
H
B
F
C
图15
四棱锥 − 上正四棱锥，求其外接球的
半径
第一步：先现出内切球的截面图，, , 三
点共线；
1
第二步：求 = ， = − ，是
2
侧面的高；
第三步：由相似于，建立等式：
= ，解出
三棱锥的内切球半径
心为O1，圆半径为r，OO1=h。则：
2
=
2 = ℎ2 + 2
即：
2
2
2
= 2−ℎ +
2 = 2 −
ℎ=1
83
2
83
∴ 2 =
∴ 球 = 4 =
。
2
8
225
+
24
225
2
ℎ +
24
ℎ2
球心常出现在直角三角形公共斜边的中点上
例3、如图，球O的面上四点A、B、C、D，DA⊥
正三棱锥
P
E
O
A
C
H
D
B
图14
三棱锥 − 上正三棱锥，求其外接球的
半径。
第一步：先现出内切球的截面图，, 分别
是两个三角形的外心；
1
第二步：求 = ， = − ，是
3
侧面的高；
第三步：由相似于，建立等式：
= ，解出
三棱锥的内切球半径
=
2 3
3
2
=
4 = 2，
所以 = 2，过′ 做垂直于底面的直线交中截面与点，则为外接球的球
心，由题意得：2
42 = 43，
=
2
+
1 2
2
=4
27
+
4
=
43
，所以外接球的表面积
4
=
4．三棱锥 − 的四个顶点都在球的球面
上，已知、、两两垂直， = 1，
该几何体的外接球直径。
2 =
2 + 2 + 2
二、直三棱柱外接球
规律：直三棱柱外接球的球心位于上下底面
三角形外接圆圆心连线的中点上。
例1.在三棱柱ABC- 中，侧棱垂直于底面，
∠ACB=90°, ∠CAB=30°,BC=1且三棱柱 的体积为3，
则三棱柱 的外接球的表面积为（ ）
3
3
2
=
6
。
3
2
6
⇒ = 。
4
底面外接圆半径 2 。
正四面体内切球半径： = − =
6
3
−
6
4
=
6
，:
12
= 3: 1。
规律：若底面为正多边形，则过正多边形
的中心作底面的垂线，则垂线上任一点到
正多边形各顶点的距离都相等，则外接球
的球心位于这条垂线上，可利用勾股定理
求出外接球半径。
平面ABC,AB⊥BC,DA=AB=BC= ，则球O的体
积为
分析：取CD中点O，则在Rt△CBD中OB=OC=OD，
在Rt△CAD中，OA=OC=OD，OA=OB=OC=OD，
则O为球心，则2R=3，故V球= 。本题也可用构
造两个勾股定理求出外接球半径。
因AB⊥BC，则取AC的中点O_1，过O1作垂直
+ = 4，当三棱锥的体积最大时，球的
体积为
1
3
由题意，− = − = ⋅
≤
1
(
24
2
+ ) =
1
2
⋅ ⋅ ⋅
2
，
3
当且仅当PB=PC时，三棱锥的体积最大，
如图所示，将 − 视为长方体的一部分
则长方体的体对角线即为外接球的直径，设
宽、高的长方体的外接球，
∴球的外接球半径 =
1
2
2 + 2 + 2 =
2，
∴球的表面积 = 42 = 16.
故选：B.
3．设三棱柱 − 1 1 1 的侧棱垂直于
∘
底面， = = 2, ∠ = 120 , 1 =
3 3，且三棱柱的所有顶点都在同一球面
锥 − 外接球的表面积为
如图，在△ 中，设∠ = ， =
2
− = − =
13 +12 − 2
2 13
=−
2
13 +12 − 2 3
如正三棱锥、正四面体、正四棱锥。
性质 （1）各侧棱相等，各侧面均为全等的等腰三角形，各
等腰三角形底边上的高相等（正棱锥的斜高相等）。
（2）过底面正多边形的中心作底面的垂线，则垂线上
任一点到正多边形各顶点的距离都相等，垂线上点（正
多边形的中心除外）与底面正多边形均构成正棱锥。
环节二
外接球
一、正方体、长方体外接球与内切球研究
。
规律：其实，第一个类型是第二个类型的一种特殊情况，
即底面外心到棱锥高线距离 = 的情况，此时，ℎ = −
，则2 = − 2 + 2 。
注意：可正、可负、可0。
ℎ > 0：球心在棱锥内部
ℎ = 0：球心在棱锥表面
ℎ < 0：球心在棱锥外部
例3、三棱锥 P-ABC中，AB=BC= ,AC=6,PC⊥
依然有外接圆圆心（外心），底面多边形的外
心到底面各顶点的距离都相等，故过底面多边
形的外心作底面的垂线即可。
推广：过底面多边形的外心作底面的垂线，
则垂线上任一点到多边形各顶点的距离都
相等，则外接球的球心位于这条垂线上，
可利用勾股定理求出外接球半径。
三、棱锥的外接球
两个类型：
①若顶点位于过底面多边形的外心所作的垂线上，
2
则利用一个勾股定理可求出外接球半径； =
( − )2 + 底面外接圆半径 2
三、棱锥的外接球
两个类型：
②若顶点不在过底面多边形的外心所作的垂线上，
则可利用两个勾股定理求出外接球半径。
三、棱锥的外接球
一般地，设棱锥的高为，底面外接圆圆心
为 ，底面外接圆半径为，外接球球心为，
外接球半径为， = ， 到棱锥高线的
因为 ⊥平面， ⊂平面，所以 ⊥ ，因此//，
因此四边形是平行四边形，故 = =
1
2
= 1，由余弦
定理，得
=
2 + 2 − 2 ⋅ ⋅ 1 20° =
4+4−2×2×2×
1
(− )
2
= 2 3，由正弦定理，得2 =
例2、已知正四棱锥的底面边长为，侧棱长为 2，
求它的外接球的体积。
解：高 =
2
=
2
2
6
−
2
−
2
+
6
=
3
=
4
3
3
=
4
3
×
2
2
6
3
2
2
3
=
2
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
=
6
2
⇒
8 6
3 。
27
2.普通棱锥的外接球：
对于普通棱锥来说，底面不是正多边形，也没
有底面正多边形的中心的概念，但底面多边形
距离为，则构造两个勾股定理为：
2
2
2
=ℎ +
2
2
2
= −ℎ +
规律：
①关键是求出三个量：, , 。即求出棱锥的高、底面
外接圆半径、棱锥底面的外心到棱锥高线的距离。
= 是设出的量，不用单独求。可用正弦定理求出。
②特殊情况：当棱锥高线的垂足是底面的一个顶点时，
= ，则此时 = 2ℎ，可以直接用公式2 = ℎ2 + 2 求出
A．
B．
C．
D．
解：∵ ∠ = 900 ，∠ = 300 ， =
1
∴ = 3, = 2
又 ∵ 三棱柱的体积为3 ∴ 棱柱的高为2 3
因三棱柱上下底面三角形的外心在斜边的
中点上∴
三棱柱外接球的球心位于, 1 1
中点连线的中点上，如图：
∴ = 1 =
2
3
2
∴ 球 = 4 = 16.
任意三棱锥
−
= − + − + − + −
1
1
1
= △ ⋅ + △ ⋅ + △ ⋅
3
3
3
1
+ △ ⋅
3
1
3
= 表 ⋅
∴=
3
表
环节四
学以致用
1．已知三棱锥 − ，其中 ⊥ 平面 ，
法与特殊方法作对比分析
环节一
预备知识
三角形的四心
重心
定义
三条中线的交点
重心
定理
三角形的重心到顶点的距离等于它到对边中
点距离的2倍。
三角形的四心
垂心
定义
三条高线的交点
三角形的四心
外心
定义
外接圆圆心，三条中垂线
（垂直平分线）的交点
注意：直角三角形的外心
为斜边的中点
=
=
= 2
sin sin sin
= 2，所以该外接球的半径R满足2 =
= 42 = 20，
2
+
2
2 3
3
2
⇒
=5⇒
2．四面体的每个顶点都在球的球面上，
, , 两两垂直，且 = 3 = 3，
= 2， = 3，则球的表面积为（
）
四面体 的外接球 即为以 , , 为长、
三角形的四心
内心
定义
定理
三条角平分线的交点，内切圆圆心。
1
△ = + + ,
2
（ 为内切圆半径）
△ = △ + △ + △
1
1
1
1
= + + = + +
2
2
2
2
2△
∴=
周长
特别地，对直角三角形，内切圆半
上，则该球的表面积是
由题意知底面△ 外接圆的圆心为点′ ，设外接圆的半径为，
三棱柱 − 1 1 1 的外接球的半径为R，
= = 2，∠ = 120∘ ，由余弦定理得 =
2 + 2 − 2 × ∠ = 2
3，由正弦定理得 ∠
∠ = 120°， = = = 2，则该三
棱锥外接球的表面积为（
A．12
）
B．16 C．20 D．24
根据题意设底面△ 的外心为 ，O为球心，所以 ⊥平面 ，
因为 ⊥平面，
所以//，设是中点，因为OP=OA，所以 ⊥ ，
+ 12 = 2
注意：本题也可以用补形法构造一个
长方体。2 = 1 + 3 + 12 = 4。
三、棱锥的外接球
1．正四面体的外接球与内切球研究：
当正三棱锥的侧棱与底边相等时，构成正四面体。
设正四面体的棱长为。
正四面体高 =
2
−
3
3
正四面体外接球半径为R：
2
6
3
2
=
− +
即2 = ( − )2 +
+−
径：r=
,其中a,b，是直角边长，
c是斜边长
正角形的重要结论
设等边三角形边长为 a
定理
1、高为
；
；
2、面积
3、O为正三角形中心（正三角形四心合一），
外接圆半径
，内切圆半径
正棱锥
设等边三角形边长为 a
定义
底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是