第一模块 三角函数和解三角形(1)
高考数学专题07 三角形中的组合图形问题(第一篇)(解析版)
备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品第一篇三角函数与解三角形专题07 三角形中的组合图形问题【典例1】【2020届安徽省池州市高三上学期期末考试】如图所示，在ABC V 中，,A ∠,B ∠C ∠的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin cos sin 0,b A B a B +=1a =，2c =.（1）求b 和sin C ；（2）如图，设D 为AC 边上一点，BD CD =ABD △的面积. 【思路引导】（1）通过正弦定理边化角，整理化简得到cos B 的值，再利用余弦定理，求出b ，根据正弦定理，求出sin C ；（2）根据正弦定理得到sin 1CBD ∠=，即2CBD π∠=，根据勾股定理得到2BD =，根据三角形面积公式，求出ABD △的面积.解：（1）因为2sin cos sin 0b A B a B +=， 所以在ABC V 中，由正弦定理sin sin sin a b cA B C==， 得2sin sin cos sin sin 0B A B A B +=，因为sin sin 0A B ≠，所以2cos 10B +=， 所以1cos 2B =-，又0B π<<，所以23B π=， 由余弦定理得，2222cos b a c ac B =+-1142122⎛⎫=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭7=，所以b =ABC V 中，由正弦定理sin sin c bC B=， 所以sin sin c B C b=22sin π=7=； （2）在ABD △中，由正弦定理得，sin sin BD CCD CBD=∠，因为BD CD =sin sin C CBD =∠，因为sin 7C =，所以sin 1CBD ∠=，而()0,CBD π∠∈ 所以2CBD π∠=，由BD CD =,BD=CD =，所以222)1)+=，所以12t =，所以BD =， 因为ABD ABC DBC ∠=∠-∠232ππ=-6π=， 所以1sin 2ABD S AB BD ABD =⨯⨯∠V 11222=⨯=. 【典例2】【山东省日照市2019-2020学年高三下学期1月校际联考】 在①ABC ∆面积2ABC S ∆=，②6ADC π∠=这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，求AC .如图，在平面四边形ABCD 中，34ABC π∠=，BAC DAC ∠=∠，______，24CD AB ==，求AC .【思路引导】选择①：利用三角形面积公式和余弦定理可以求接求出AC 的长；选择②：在ABC ∆，ACD ∆中，分别运用正弦定理，可以求接求出AC 的长； 解：选择①：113sin 2sin 2224ABC S AB BC ABC BC π∆=⋅⋅⋅∠=⋅⋅⋅=所以BC =2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠482220⎛=+-⨯⨯= ⎝⎭所以AC ==选择②设BAC CAD θ∠=∠=，则04πθ<<，4BCA πθ∠=-，在ABC ∆中sin sin AC ABABC BCA =∠∠，即23sin sin 44AC ππθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭所以sin 4AC πθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭在ACD ∆中，sin sin AC CD ADC CAD=∠∠，即4sin sin 6AC πθ=所以2sin AC θ=.所以2sin sin 4πθθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得2sin cos θθ=， 又04πθ<<，所以sin θ=，所以2sin AC θ==【典例3】【河北省唐山市2019届高三上学期期末考试】如图，在梯形ABCD 中，90A D ∠=∠=o ，M 为AD 上一点，22AM MD ==，60BMC =o ∠.（1）若60AMB ∠=o ，求BC ；（2）设DCM θ∠=，若4MB MC =，求tan θ. 【思路引导】(1)先由题中条件求出MC MB ，，再由余弦定理即可求解；(2)先由DCM θ∠=，表示出ABM ∠，进而可用θ表示出MC ，MB ，再由4MB MC =，即可求解. 解：（1）由60BMC ∠=o ，60AMB ∠=o ，得60CMD ∠=o . 在Rt ABM V 中，24MB AM ==； 在Rt CDM V 中，22MC MD ==．在MBC V 中，由余弦定理得，2222cos 12BC BM MC BM MC BMC =+-⋅⋅∠=，BC =（2）因为DCM θ∠=，所以60ABM θ∠=-o ，060θ<<o o ． 在Rt MCD V 中，1sin MC θ=； 在Rt MAB V 中，()2sin 60MB θ=-o ，由4MB MC =得，()260sin sin oθθ-=，θsin θsin θ-=，即2sin θθ=，整理可得tan θ=【典例4】【广东省2019届高三上学期期末联考】如图，在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()sin cos a c B B =+.(1)求ACB ∠的大小；（2）若∠=∠ACB ABC ，点A 、D 在BC 的异侧，2DB =，1DC =，求平面四边形ABDC 面积的最大值.【思路引导】(1)由正弦定理将()sin cos a c B B =+化为()sin sin sin cos A C B B =+，再由两角和的正弦公式化简，即可求出结果；(2)先由余弦定理求出BC 的长，将平面四边形ABDC 的面积转化为两三角形ABC ∆与BCD ∆面积之和，即可求解.解：（1）因为()sin cos a c B B =+，且sin sin a c A C=， 所以()sin sin sin cos A C B B =+在ABC ∆中，()sin sin A B C =+所以()()sin sin sin cos B C C B B +=+所以sin cos cos sin sin sin sin cos B C B C C B C B +=+ 所以sin cos sin sin B C C B =因为在ABC ∆中，sin 0B ≠ 所以cos sin C C =因为C 是ABC ∆的内角所以4C π=.（2）在BCD ∆中，2222cos BC BD CD BD CD D =+-⋅⋅54cos D =- 因为ABC ∆是等腰直角三角形， 所以22115cos 244ABC S AB BC D ∆===- 1sin sin 2BCD S BD CD D D ∆=⋅⋅= 所以平面四边形ABDC 的面积S =ABC S ∆+BCD S ∆5cos sin 4D D =-+ 544D π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 因为0D π<<，所以3444D πππ-<-<所以当34D π=时，sin 14D π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，此时平面四边形ABDC 的面积有最大值54+ 【典例5】【2020届重庆市高三11月调研测试卷】如图，半圆O 的直径2AB =，点C ，P 均在半圆周上运动，点P 位于C ，B 两点之间，且6CAP π∠=.（1）当12PAB π∠=时，求APC △的面积.（2）求四边形ABPC 的面积的最大值. 【思路引导】（1）根据已知条件求出,AC AP ，再利用面积公式即可；（2）将四边形拆成三个三角形，将面积转化为三角函数求再求最值.解：（1）由题知4CAB π∠=，cos AC AB CAB ∴=∠=cos2cos 2cos cos 2sin sin 123434342AP AB πππππππ⎛⎫==-=+=⎪⎝⎭，1sin 26APC S AC AP π∴=⋅⋅=V ； （2）由题知6CAP π∠=，根据同弧所对的圆心角是圆周角的二倍，可得3COP π∠=，设半径1r =，AOC θ∠=，则23POB πθ∠=-， 212sin sin sin 233ABPC AOC POB POC S S S S r ππθθ⎡⎤⎛⎫=++=+-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦V V V ，11sin sin 22224264πθθθθ⎛⎛⎫=+++=++≤ ⎪ ⎝⎭⎝⎭当3AOC πθ∠==时等号成立.【典例6】【2019届河北省衡水中学高三上学期三调考】如图所示，正三角形ABC 的边长为2，,,D E F 分别在三边,AB BC 和CA 上，D 为AB 的中点，()90,090EDF BDE θθ∠=︒∠=︒<<︒．（Ⅰ）当tan 2DEF ∠=θ的大小； （Ⅱ）求DEF ∆的面积S 的最小值及使得S 取最小值时θ的值．【思路引导】第一问，在EDF ∆中，tan DF DEF DE ∠==DBE ∆中，利用正弦定理，用θ表示DE ，在ADF ∆中，利用正弦定理，用θ表示DF ，代入到①式中，再利用两角和的正弦公式展开，解出tan θ，利用特殊角的三角函数值求角θ；第二问，将第一问得到的DF 和DE 代入到三角形面积公式中，利用两角和的正弦公式和倍角公式化简表达式，利用正弦函数的有界性确定S 的最小值．解：在BDE V 中，由正弦定理得000sin 60sin(120)2sin(60)BD DE θθ==-+，在ADF V 中，由正弦定理得0sin 60sin(30)AD DF θ==+tan DEF ∠=，得00sin(60)sin(30)θθ+=+tan θ=，所以60θ=︒． （2）1·2S DE DF =＝0038sin(60)sin(30)θθ=++==．当45θ=︒时，S 62-=．【典例7】【陕西省2019届高三第二次教学质量检测数学】某市规划一个平面示意图为如下图五边形ABCDE 的一条自行车赛道，ED ，DC ，CB ，BA ，AE 为赛道（不考虑宽度），BE为赛道内的一条服务通道，23BCD CDE BAEπ∠=∠=∠=，DE=4km，BC CD==.（1）求服务通道BE的长度；（2）当4AEBπ∠=时，赛道BA的长度？【思路引导】（1）连接BD，在BCD∆中，由余弦定理可得3BD=，由等腰三角形的性质结合23BCD CDEπ∠=∠=可得2BDEπ∠=，再由勾股定理可得结果；（2）在BAE∆中，23BAEπ∠=，5BE=，4AEBπ∠=，直接利用正弦定理定理可得结果.解：（1）连接BD，在BCD∆中，由余弦定理得：2222BD BC CD BC=+-cos9CD BCD⋅∠=，3BD∴=.BC CD=Q，6CBD CDBπ∴∠=∠=，又23CDEπ∠=，2BDEπ∴∠=，在Rt BDE∆中，5BE==.（2）在BAE∆中，23BAEπ∠=，5BE=.4AEBπ∠=由正弦定理得2sin sin34BE ABππ=，=得3BA=，当4AEBπ∠=时，赛道BA的长度为3.1.【2020年陕西省高三教学质量检测卷（一)】如图，在ABC ∆中，sin BAD ∠=，1cos 7ADC ∠=，7AD =，8AC =，D 在BC 边上，连接AD .（1）求角B 的大小； （2）求ACD ∆的面积.【思路引导】（1）由ABD ADC BAD ∠=∠-∠及两角差的正弦公式，结合正余弦值求得ABD ∠的正弦值，即可得角B 的大小；（2）先在ACD ∆中，由余弦定理求出CD 的长度，再利用三角形的面积公式即可求解. 解：（1）在ABC ∆中，1cos 7ADC ∠=， 所以0,2ADC π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以0,2BAD π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭∵sin 14BAD ∠=，1cos 7ADC ∠=，∴13cos 14BAD ∠==，sin 7ADC ∠==∴sin sin()ABD ADC BAD ∠=∠-∠ sin cos cos sin ADC BAD ADC BAD =∠⨯∠-∠⨯∠1317147142=⨯-⨯=. 因为0,2ADC π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴3B π=.（2）在ACD ∆中，由余弦定理得2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-⨯⨯∠，∴216449277CD CD =+-⨯⨯⨯，解得5CD =，∴1sin 2ACD S AD CD ADC ∆=⨯⨯⨯∠1752=⨯⨯⨯=2.【天一大联考皖豫联盟2019-2020学年高中毕业班第二次考试】 如图所示，在平面四边形ABCD 中，4tan 3BCD ∠=-.（1）若ACB ACD ∠=∠，22AB BC ==，求AC 的长； （2）若45CBD ︒∠=，2BC =，求BCD V 的面积. 【思路引导】（1）由tan BCD ∠，可求出cos BCD ∠，结合ACB ACD ∠=∠，可求得cos ACB ∠，在ABC V 中，由余弦定理可求出AC 的长；（2）先求得sin cos BCD BCD ∠∠，，则()sin sin 45CDB BCD ︒∠=∠+，然后利用正弦定理sin sin BC CDCDB CBD=∠∠，可求出CD ，进而可求出BCD V 的面积.解：（1）4tan 3BCD ∠=-,则BCD ∠是钝角，cos 0BCD ∠<，可求得3cos 5BCD ∠=-. 因为ACB ACD ∠=∠，所以23cos 2cos 15BCD ACB ∠=-=∠-.因为cos 0ACB ∠>，所以cos ACB ∠=.在ABC V 中，由余弦定理得2222cos AB BC AC BC AC ACB =+-⋅⋅∠，即2305AC AC --=.解得AC =AC =（舍去）.所以AC =（2）由（1）可知，4sin 5BCD ∠==. 在BCD V 中，因为45CBD ∠=︒，所以()()sin sin 18045sin 45cos )CDB BCD BCD BCD BCD ∠=︒-∠-︒=∠+︒=∠+∠=由正弦定理得sin sin BC CDCDB CBD =∠∠，所以sin 10sin BC CBDCD CDB⋅∠==∠. 故BCD V 的面积14210825S =⨯⨯⨯=.3.【2020届江西省南昌市第十中学高三上学期期末】在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且满足3sin 2sin 3sin 3sin a A a C b B c C -=-.（1）求cos B 的值.（2）如图，点D 在线段AC 上，且2AD DC =，若2AC =，求DBC △面积的最大值. 【思路引导】（1）利用正弦定理角化边，再利用余弦定理即可求解. （2）由（1）以及余弦定理、基本不等式可得22224233a c ac ac ac =+-≥-，由1S S 3BDC ABC ∆∆=即可求解.解：（1）3sin 2sin 3sin 3sin a A a C b B c C ∴-=-， 由正弦定理，可得2223233a ac b c -=-，则2221cos 23a cb B ac +-== （2）由（1）知1cos 3B =, 可得：22224233a c ac ac ac =+-≥-4,3ac = 3ac ∴≤，（当且仅当a c =时取等号）， 由2AD DC =，可得：1S S 3BDC ABC ∆∆=1111sin 33232ac B =⨯⨯≤⨯=，DBC ∴△的面积最大值为3. 4.【福建省德化一中、永安一中、漳平一中2020届高三上学期三校联考】如图，在四边形ABCD 中，AD BD ⊥,AC 平分BAD ∠,BC =3BD =BCD ∆的面积为S =，ABC ∠为锐角.（Ⅰ）求CD ； （Ⅱ）求ABC ∠ .试题分析: (I)在BCD ∆中,由三角形的面积公式可求得CBD ∠,再利用余弦定理求出CD ；（Ⅱ）在BCD ∆中，由正弦定理求出sin BDC ∠和cos BDC ∠,根据题意AC 平分BAD ∠，CAD BAC ∠=∠,在ACD ∆和ABC ∆中分别写出正弦定理,得出比例关系,求出ABC ∠.解:(I)在ABC ∆中，31sin 22S BD BC BCD ==⋅⋅∠.因为3BC BD ==+1sin 2CBD ∠=. 因为ABC ∠为锐角，所以30CBD ∠=︒.在BCD ∆中，由余弦定理得2222cos CD BC BD BC BD CBD =+-⋅⋅∠((22323=+-⋅+9= 所以CD 的长为3.(II)在BCD ∆中，由正弦定理得sin sin BC CDBDC CBD=∠∠3sin30=︒，解得sin BDC ∠= BC BD <Q ,BDC ∴∠也为锐角.cos 3BDC ∴∠=. 在ACD ∆中，由正弦定理得sin sin AC CDADC CAD=∠∠ 即3cos sin AC BDC CAD=∠∠①在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin AC BCABC BAC=∠∠即sin AC ABC =∠② Q AC 平分BAD ∠，∴CAD BAC ∠=∠由①②得sincos ABC BDC ∠=∠sin 2ABC ∠= 因为ABC ∠为锐角，所以45ABC ∠=︒ .5.【2020届山东省潍坊市高三上学期期末考试】在①34asinC ccosA =;②22B Cbsin +=这两个条件中任选-一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题.在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知，a =. (1)求sinA ;(2)如图，M 为边AC 上一点，,2MC MB ABM π=∠=，求ABC V 的面积【思路引导】（1）结合正弦定理，条件选择①3sin 4cos a C c A =，则34sinAsinC sinCcosA =，再利用公式22sin cos 1A A +=求sin A ；若选择条件②，由正弦定理和诱导公式可得22AsinBcos=，再根据二倍角公式求得2A sin=，再根据sin 2sin cos 22A A A =求解.（2）解法1:设BM MC m ==，在BMC △中由余弦定理，解得m =再由（1）4sin 5A =，解得AB 边长，最后求得到ABC ∆的面积；解法2：由MB MC =可知，3225sin C sin A cosA π⎛⎫⎭=⎪⎝=-=，，再根据正弦定理和面积公式ABC S ∆=4545sin cos sin 244C C C ==. 解：解:若选择条件①，则答案为:(1)在ABC V 中，由正弦定理得34sinAsinC sinCcosA =， 因为sin 0C ≠，所以2234,916sinA cosA sin A cos A ==， 所以22516sin A =，因为0sinA >，所以4=5sinA . (2)解法1:设BM MC m ==，易知45cos BMC cos BMA sinA ∠=-∠=-=-在BMC △中由余弦定理得:22418225m m ⎛⎫=-⋅- ⎪⎝⎭，解得m =所以2113352252BMC S m sin BMC =∠=⨯⨯=V 在Rt ABM V 中，4,52sinA BM ABM π==∠=所以AB =158ABM S =V ，所以31527288ABC S =+=V 解法2:因为MB MC =，所以MBC C ∠=∠， 因为,2ABM π∠=所以2,222A C C A ππ∠+∠=∠=-∠，所以22sin C sin A cosA π⎛⎫⎪⎝⎭=-= 因为A 为锐角，所以325sin C cosA ==又sin sin sin 4b c a B C A ===所以sin ,4b B =,4c C =所以11445sin sin sin sin 2244542ABC S bc A B C C C π⎛⎫==⨯⨯⨯=+ ⎪⎝⎭V 454527sin cos sin 2448C C C ===若选择条件②，则答案为:(1)因为22B C bsin +=，所以22Absin π-=，由正弦定理得22AsinBcos =，因为0sinB ≠，所以2,2A cos =222A A Acos cos =，因为02Acos≠，所以2A sin =，则2A cos=，所以4sin 2sin cos 225A A A ==. (2)同选择①6.【2020届广东省韶关市高三上学期期末调研】如图，在平面四边形ABCD 中，1,2,AD AB BC CD DB ====，设DAB θ∠=.（1）若23πθ=，求sin ADB ∠的值； （2）用θ表示四边形ABCD 的面积()S θ，并求()S θ的最大值. 【思路引导】（1）由余弦定理得BD ，再由正弦定理求得结论；（2）同（1）由余弦定理表示出BD ，求出两个三角形ABD ∆和BCD ∆的面积，可得()S θ，再由三角函数的公式变为一个角的一个三角函数形式，然后可得最大值．解：（1）在ABC ∆中，由余弦定理知2222cos BD AD AB AD AB BAD =+-⋅∠ 由已知21,2,3AD AB DAB π==∠=，代入上式得：211421272BD ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，即BD =又由正弦定理得：sin sin AB BDADB DAB=∠∠即：22sin sin 3ADB π=∠，解得：sin 7ADB ∠=（2）在ABC ∆中，由余弦定理知214212cos 54cos BD θθ=+-⨯⨯⨯=-故())112sin 54cos sin 2S θθθθθ=⨯⨯⨯-=-+2sin )34πθθπ⎛⎫=-+<< ⎪⎝⎭所以2333πππθ-<-<故max S 526S π⎛⎫==⎪⎝⎭． 7.【湖北省宜昌市2019-2020学年高三期末数学】已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，且2222cos cos b c a ac C c A +-=+.（1）求A ；（2）在ABC ∆中，BC =D 为边AC 的中点，E 为AB 边上一点，且DE AC ⊥，DE =，求ABC ∆的面积. 【思路引导】（1）由余弦定理得2cos cos cos b A a C c A =+，再由正弦定理得2sin cos sin()B A A C ⋅=+，进而得1cos 2A =，即可求解（2）在Rt AED ∆中，求得AD =，AC =ABC ∆中由正弦定理得4B π=，结合三角形的面积公式，即可求解.解：（1）由余弦定理有22cos cos cos bc A ac C c A =+， 化简得2cos cos cos b A a C c A =+，由正弦定理得2sin cos sin cos cos sin sin()B A A C C A A C ⋅=⋅+=+ ∵A B C π++=，∴2sin cos sin B A B ⋅=，∵0B π<<，∴sin 0B ≠，∴1cos 2A =，又由0A π<<，∴3A π=. （2）在AEC ∆中，D 为边AC 的中点，且DE AC ⊥， 在Rt AED ∆中，2DE =，3A π=，所以2AD =，AC =ABC ∆中由正弦定理得sin sin AC BC B A =，得sin B ，4B π=，512C π=，所以1sin 2ABC S AC BC C ∆=⋅=8.【内蒙古呼和浩特市2019-2020学年高三上学期质量普查调研】 （1）当()k k z απ≠∈时，求证：1cos tan2sin ααα-=；（2）如图，圆内接四边形ABCD 的四个内角分别为A 、B 、C 、D .若6AB =，3BC =，4CD =，5AD =.求tantan tan tan 2222A B C D+++的值.【思路引导】（1）根据正余弦的二倍角公式从左边向右边即可化简证明（2）ABCD 为圆的内接四边形可知sin sin A C =，sin sin B D =，cos cos A C =-，cos cos B D =-，由（1）结论原式可化为22sin sin A B+，连接AC 、BD ，设AC x =，BD y =由余弦定理即可求解. 解：（1）证明21cos 22sin 1cos 22sin sin 22sin cos 222ααααααα-⋅-==⋅⋅tan 2α=.（2）因为ABCD 为圆的内接四边形，所以sin sin A C =，sin sin B D =，cos cos A C =-，cos cos B D =-，由此可知：tantan tan tan 2222A B C D+++1cos 1cos 1cos 1cos sin sin sin sin A B C DA B C D ----=+++22sin sin A B=+连接AC 、BD ，设AC x =，BD y =由余弦定理可得： 22536cos 256y A +-=⨯⨯，2916cos 234y C +-=⨯⨯，2369cos 263x B +-=⨯⨯，22516cos 254x D +-=⨯⨯，解得281919x =，22477y =，那么3cos 7A =，1cos 19B =，sin A =sin B =所以原式3=. 9.【山西省晋城市2019届高三第三次模拟考试】如图所示，锐角ABC ∆中，AC =D 在线段BC 上，且CD =，ACD ∆的面积为，延长BA 至E ，使得EC BC ⊥.（Ⅰ）求AD 的值； （Ⅱ）若2sin 3BEC ∠=，求AE 的值. 【思路引导】（Ⅰ）在ACD ∆中，由面积公式得sin 5ACD ∠=，进而得1cos 5ACD ∠=，再由余弦定理求解即可；（Ⅱ）由EC BC ⊥，得()1sin sin 90cos 5ACE ACD ACD ∠=︒-∠=∠=，在AEC ∆中，再由正弦定理求解即可 解：（Ⅰ）在ACD ∆中，1sin 2ACD S AC CD ACD ∆=⋅∠1sin 2ACD =⨯∠=所以sin 5ACD ∠=. 因为090ACD ︒<∠<︒，所以1cos 5ACD ∠==. 由余弦定理得2222cos 56AD CD CA CD CA ACD =+-⋅⋅⋅∠=，得AD =（Ⅱ）因为EC BC ⊥，所以()1sin sin 90cos 5ACE ACD ACD ∠=︒-∠=∠=. 在AEC ∆中，由正弦定理得sin sin AE ACACE AEC=∠∠，即1253AE =，所以AE =. 10.【北京市房山区2019-2020学年高三上学期期末】如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AB =3CD =，sin 14DBC ∠=，3C π∠=.（1）求sin BDC ∠的值； （2）求BD ，AD 的值. 【思路引导】（1）由同角三角函数基本关系得13cos 14DBC ∠=，利用两角和的正弦及内角和定理展开求解即可 （2）利用正弦定理得7BD =，再利用余弦定理求解 解：（1）∵sin DBC ∠=，22sin cos 1,02DBC DBC DBC π∠+∠=<∠<，∴13cos 14DBC ∠=在△BDC 中，,3=C DBC C BDC ππ∠∠+∠+∠=，∴sin sin()BDC DBC C ∠=∠+∠sin cos cos sin DBC C DBC C =∠⋅+∠⋅113214=+=（2）在△BDC 中，由正弦定理得sin sin CD BD DBC C =∠= 解得7BD =，∵2ABD DBC π∠+∠=，sin 14DBC ∠=，∴cos ABD∠14=， 在△ABD中，AB =2222cos AD AB BD AB BD ABD=+-⋅∠2272749=+-⋅= 解得7AD = 11.【2020届福建省龙岩市高三上学期期末教学质量检查】如图，在平面四边形ABCD 中，2BC =，4CD =，且AB BD DA ==.（1）若6CDB π∠=，求tan ABC ∠的值； （2）求四边形ABCD 面积的最大值. 【思路引导】（1）根据条件由正弦定理，求出sin 1CBD ∠=，从而求出2CBD π∠=，即可求出结果；（2）设,0BCD θθπ∠=<<，根据余弦定理求出2BD ，将,BCD ABC ∆∆的面积和表示为θ的函数，由辅助角公式化简面积表达式，再结合正弦函数的最值，即可求解.解：（1）在BCD ∆中，由正弦定理得sin sin CD BC CBD BDC=∠∠， ∴4sin6sin 12CBD π⨯∠==，∵0CBD π<∠<，∴2CBD π∠=，∴()tan tan tan 32ABC ABD CBD ππ⎛⎫∠=∠+∠=+ ⎪⎝⎭5tan tan 66ππ==-=. （2）设BCD θ∠=，在BCD ∆中，由余弦定理得2222cos BD BC CD BC CD θ=+-⋅2224224cos θ=+-⨯⨯2016cos θ=-.∴21sin 2ABCD BC CD S BD θ=⋅+四边形4sin θθ=-+8sin 3πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭当56πθ=时，四边形ABCD 面积的最大值8+. 12.【2020届广东省东莞市高三期末调研测试】如图，在ABC V 中，内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，且2cos 2a C c b -=．（1）求角A 的大小；（2）若6ABC π∠=，AC 边上的中线BD 的长为7，求ABC V 的面积． 【思路引导】（1）利用正弦定理化边为角可得2sin cos sin 2sin A C C B -=,则()2sin cos sin 2sin A C C A C -=+,进而求得角A 即可；（2）由（1）可得6C π=,则AC AB =,设AD x =,则2AB x =,在ABD △中,根据余弦定理得2222cos BD AB AD AB AD A =+-⋅,可得x =进而求得ABC V 的面积即可解：（1）因为2cos 2a C c b -=,根据正弦定理,得2sin cos sin 2sin A C C B -=,即()2sin cos sin 2sin A C C A C -=+,所以2sin cos sin 2sin cos 2sin cos A C C A C C A -=+,整理得sin 2sin cos C C A -=,因为sin 0C ≠,所以1cos 2A =-, 又因为()0,A π∈,则23A π= （2）由（1）知23A π=,又因为6ABC π∠=,所以6C π=,所以AC AB =, 因为D 是AC 中点, 设AD x =,则2AB x =, 在ABD △中,根据余弦定理,得2222cos BD AB AD AB AD A =+-⋅, 即()22227222cos 3x x x x π=+-⋅⋅⋅即2749x =,解得x =故ABC V 的面积2112sin 4sin 223S AB AC A x π=⋅⋅=⋅⋅=。
三角函数与解三角形
三角函数与解三角形
教案主题：三角函数与解三角形
引言：
三角函数是数学中非常重要的一个分支，它研究角度和边长之间的关系。
解三角形是应用三角函数的一个重要技巧，可以帮助我们求解各种复杂的角度和边长问题。
本教案将介绍三角函数的定义和性质，以及如何应用三角函数解三角形。
第一部分：三角函数的定义和性质
1. 三角函数的定义：正弦函数、余弦函数、正切函数等。
2. 三角函数的周期性和对称性。
3. 三角函数图像的性质：振幅、周期、相位等。
第二部分：应用三角函数解三角形
1. 解直角三角形：根据已知边长或角度，求解缺失的边长或角度。
2. 解一般三角形的法则：正弦定理、余弦定理、正切定理。
3. 实际问题应用：如几何问题中的高度计算、航空导航中的角度计算等。
第三部分：解答一些典型问题
1. 三角函数的简化与化简。
2. 解三角形的实例分析。
3. 三角函数的应用拓展：如简谐运动等。
结语：
三角函数是数学的重要分支，它在几何、物理、工程等领域都有广泛应用。
通过学习三角函数和解三角形，我们可以更好地理解角度和边长之间的关系，解决各种实际问题。
希望本教案能帮助学生掌握三角函数的定义和性质，并能运用三角函数解决实际问题。
高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)：专题14三角函数与解三角形第一缉(解析版)
专题 14 三角函数与解三角形第一缉
1．【2021 年江西预赛】△ 퐴�
72° ,则∠� =
.
中,AB= �, � = �, 퐴 = � ,且�4 + �4 + �4 = 2�2 �2 + �2 ,若∠퐴 =
【答案】63
【解析】cos2
3
−
52 4
.
7．【2021 年浙江预赛】已知△ 퐴� 三个顶点的坐标为퐴(0,0), �(7,0), (3,4) ,过点(6 − 2 2, 3 − 2) 的
直线分别与线段 AC,BC 交于 P,Q。若�훥��
=
14 3
,则|
�| + |
�| =
.
【答案】4
+
42 3
【解析】如下图所示,
设
(6 − 2 2, 3 −
,
sin(�
+
�)
=−
3 5
, sin
�−�
4
=
12 13
.则 cos
�
+
� 4
的值为
.
【答案】−
56 65
【解析】因为�, � ∈
3� 4
,
�
.所以� + � ∈
3� 2
,
2�
,
�
−
� 4
∈
� 2
,
3� 4
.
因为
sin(�
+
�)
=−
3 5
,
sin
�−�
4
=
12 13
,
所以
三角函数与解三角形
三角函数与解三角形三角函数是解决三角形相关问题的一种重要工具。
在解三角形的过程中，我们可以运用三角函数的定义和性质，从而得出角度和边长的关系，进而求解未知的角度或边长。
本文将介绍三角函数的定义和性质，并结合实例来解释如何利用三角函数解三角形的问题。
一、三角函数的定义与基本性质在直角三角形ABC中，角A的对边为a，邻边为b，斜边为c。
根据三角函数的定义，我们可以得到以下三个基本的三角函数：1. 正弦函数（sine）：sin(A) = a/c2. 余弦函数（cosine）：cos(A) = b/c3. 正切函数（tangent）：tan(A) = a/b这些定义是解决三角形问题的基础，通过它们我们可以求解未知的角度或边长。
此外，三角函数还具有以下一些基本性质：1. sin(A) = cos(90° - A)cos(A) = sin(90° - A)tan(A) = 1/tan(90° - A)2. sin^2(A) + cos^2(A) = 1tan(A) = sin(A) / cos(A)3. sin(A ± B) = sin(A)cos(B) ± cos(A)sin(B)cos(A ± B) = cos(A)cos(B) ∓ sin(A)sin(B)tan(A ± B) = (tan(A) ± tan(B)) / (1 ∓ tan(A)tan(B))这些基本性质在解三角形问题时经常被使用，可以帮助我们得出更多的关系式，从而进一步求解未知的角度或边长。
二、根据三角函数解三角形在解三角形的过程中，我们通常会遇到以下几种情况：1. 已知两边和夹角：如果我们已知两边和它们夹角的大小，我们可以使用余弦定理和正弦定理来求解第三边的长度和其他角度的大小。
2. 已知两边和一个角的正弦：如果我们已知两边和一个角的正弦值，我们可以使用正弦函数的逆函数来求解这个角度的大小，然后再根据已知的角度和两边长度使用正弦定理或余弦定理来求解其他未知的角度或边长。
2022年高考数学二轮复习第一部分专题攻略 专题二 三角函数、解三角形 第1讲三角函数的图象与性质
第1讲三角函数的图象与性质——小题备考微专题1三角函数图象的平移伸缩『常考常用结论』1．“五点法”作图设z＝ωx＋φ，令z＝0，π2，π，3π2，2π，求出x的值与相应的y的值，描点、连线可得．2．图象变换y＝sin x向左(φ>0)或向右(φ<0),平移|φ|个单位y＝sin (x＋φ)横坐标变为原来的1ω(ω>0)倍,纵坐标不变y＝sin (ωx＋φ)纵坐标变为原来的A(A>0)倍,横坐标不变y＝A sin (ωx＋φ)．『保分题组训练』1．将函数y＝sin x的图象向左平移π4个单位，得到的图象的函数解析式是()A．y＝sin(x−π4)B．y＝sin x－π4C．y＝sin(x+π4)D．y＝sin x＋π42．要得到函数y ＝cos (3x −π6)的图象，只需将y ＝cos 3x 的图象( ) A ．向右平移π6B ．向左平移π6C ．向右平移π18D ．向左平移π183．[2021·河北保定一模]已知函数f(x)＝2sin x ，为了得到函数g(x)＝2sin (2x −π3)的图象，只需( )A ．先将函数f(x)图象上点的横坐标变为原来的2倍，再向右平移π6个单位 B ．先将函数f(x)图象上点的横坐标变为原来的12，再向右平移π6个单位C ．先将函数f(x)图象向右平移π6个单位，再将点的横坐标变为原来的12 D ．先将函数f(x)图象向右平移π3个单位，再将点的横坐标变为原来的2倍4．(多选题)要得到函数y ＝sin (2x ＋π3)的图象，只要将函数y ＝sin x 的图象( )A ．每一点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移π3个单位长度B ．每一点的横坐标缩短到原来的12 (纵坐标不变)，再将所得图象向左平移π6个单位长度 C ．向左平移π3个单位长度，再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的12 (纵坐标不变)D ．向左平移π6个单位长度，再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的12 (纵坐标不变)『提分题组训练』1．[2021·河北张家口三模]为了得到函数f (x )＝sin 13x ＋cos 13x 的图象，可以将函数g (x )＝√2cos 13x 的图象( )A ．向右平移3π4个单位长度 B ．向右平移π4个单位长度C ．向左平移3π4个单位长度D ．向左平移π4个单位长度2．[2021·山东潍坊学情调研]将函数f(x)＝sin (2x +π3)的图象向右平移a(a>0)个单位得到函数g(x)＝cos (2x +π4)的图象，则a 的值可以为( )A．5π12B．7π12C．19π24D．41π243．函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象向左平移2π3的单位，所得到的图象与原函数图象的对称轴重合，则ω的最小值是()A．34B．1 C．2 D．324．[2021·山东青岛期末检测](多选题)要得到y＝cos2x的图象C1，只要将y＝sin(2x+π3)的图象C2怎样变化得到()A．将y＝sin(2x+π3)的图象C2沿x轴方向向左平移π12个单位B．将y＝sin(2x+π3)的图象C2沿x轴方向向右平移11π12个单位C．先作C2关于x轴对称图象C3，再将图象C3沿x轴方向向右平移5π12个单位D．先作C2关于x轴对称图象C3，再将图象C3沿x轴方向向左平移π12个单位微专题2三角函数的性质『常考常用结论』1．三角函数的单调区间y＝sin x的单调递增区间是[2kπ−π2，2kπ+π2](k∈Z)，单调递减区间是[2kπ+π2，2kπ+3π2](k∈Z)；y＝cos x的单调递增区间是[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，单调递减区间是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)；y＝tan x的递增区间是(kπ−π2，kπ+π2)(k∈Z)．2．三角函数的奇偶性与对称性y＝A sin (ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ＋π2(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)求得．y＝A cos (ωx＋φ)，当φ＝kπ＋π2(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得．y＝A tan (ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数．3．三角函数的周期(1)y＝A sin (ωx＋φ)和y＝A cos (ωx＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y＝A tan (ωx＋φ)的最小正周期为π|ω|.(2)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是12个最小正周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个最小正周期；正切曲线相邻两对称中心之间的距离是12个最小正周期．『保分题组训练』1．下列函数中，周期为π，且在区间(π2，π)单调递增的是()A．y＝|sin x|B．y＝sin |x|C．y＝cos 2x D．y＝sin 2x2．已知函数f(x)＝cos (2x+π3)，则下列说法错误的是()A．f(x)的最小正周期是πB．f(x)的图象关于点(−5π12，0)对称C．f(x)在[−π6，π3]上为减函数D．f(x)的一条对称轴是x＝π123．[2021·山东济宁质量检测](多选题)将函数f(x)＝sin 2x的图象向右平移π4个单位后得到函数g(x)的图象，则函数g(x)具有性质()A．在(0，π4)上单调递增，为偶函数B．最大值为1，图象关于直线x＝－3π2对称C．在(−3π8，π8)上单调递增，为奇函数D．周期为π，图象关于点(3π4，0)对称4．[2021·辽宁朝阳二模] (多选题)已知函数f (x )＝|sin x ||cos x |，则下列说法正确的是( ) A. f (x )的图象关于直线x ＝π2对称 B. f (x )的周期为π2C ．(π，0)是f (x )的一个对称中心 D. f (x )在区间[π4，π2]上单调递增『提分题组训练』1．[2021·淄博一模]已知f (x )＝cos x (cos x ＋√3sin x )在区间[－π3，m ]上的最大值是32，则实数m 的最小值是( )A ．π12 B ．π3 C ．－π12 D ．π62．将函数y ＝sin 2x ＋√3cos 2x 的图象沿x 轴向左平移φ个单位后，得到一个偶函数的图象，则|φ|的最小值为( )A ．π12 B ．π6 C ．5π12D ．－5π123．[2021·湖南六校联考](多选题)已知函数f (x )＝2cos (ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的图象上，对称中心与对称轴x ＝π12的最小距离为π4，则下列结论正确的是( )A.函数f (x )的一个对称点为(5π12，0)B ．当x ∈[π6，π2]时，函数f (x )的最小值为－√3C ．若sin 4α－cos 4α＝－45(α∈(0，π2))，则f (α＋π4)的值为4−3√35D ．要得到函数f (x )的图象，只需要将g (x )＝2cos2x 的图象向右平移π6个单位 4．[2021·山东烟台一模](多选题)已知函数f (x )＝2|sin x |＋|cos x |－1，则( ) A ．f (x )在[0，π2]上单调递增B ．直线x ＝π2是f (x )图象的一条对称轴C．方程f(x)＝1在[0，π]上有三个实根D．f(x)的最小值为－11．三角函数单调区间的求法：微专题3由图象求三角函数的解析式『保分题组训练』1．函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象的一部分如图所示，则函数表达式可写成()A．y＝2sin (2x+π3)B．y＝sin (x+π12)C．y＝√2sin (2x−5π6)D．y＝2sin (2x+π6)2．函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(其中A>0，ω>0，|φ|<π2)的图象如图所示，为了得到f(x)的图象，只需将g (x )＝A sin ωx 图象( )A ．向左平移π4个单位长度 B ．向右平移π4个单位长度 C ．向左平移π12个单位长度 D ．向右平移π12个单位长度3．设函数f (x )＝sin (ωx −π4)(ω>0)的部分图象如图所示，且满足f (2)＝0.则f (x )的最小正周期为( )A ．169 B ．16C ．18D ．984．[2021·全国乙卷]把函数y ＝f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝sin (x −π4)的图象，则f (x )＝( )A ．sin (x2−7π12) B. sin (x 2+π12) C. sin (2x −7π12) D. sin (2x +π12)『提分题组训练』1．智能主动降噪耳机工作的原理如图1所示，是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪音，然后通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波抵消噪音．已知某噪音的声波曲线y ＝A sin (ωx +π6)(A >0，ω>0)在[−π2，π2]上大致如图2所示，则通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波曲线可以为( )A ．y ＝2sin (πx +π6) B ．y ＝2√33sin (2π5x −π3) C ．y ＝2√33sin (4π5x −2π3)D ．y ＝2sin (πx −5π6)2．[2021·山东德州一模](多选题)已知函数f (x )＝A sin (ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，将函数f (x )的图象上所有点的横坐标变为原来的23，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，则下列关于函数g (x )的说法正确的是( )A ．g (x )的最小正周期为2π3 B ．g (x )在区间[π9，π3]上单调递增 C ．g (x )的图象关于直线x ＝4π9对称D ．g (x )的图象关于点(π9，0)成中心对称3．[2021·石家庄一模](多选题)函数f (x )＝2sin (ωx ＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π)的图象如图，把函数f (x )的图象上所有的点向右平移π6个单位长度，可得到函数y ＝g (x )的图象，下列结论正确的是( )A ．φ＝π3B ．函数g (x )的最小正周期为πC ．函数g (x )在区间[−π3，π12]上单调递增 D ．函数g (x )关于点(−π3，0)中心对称确定y ＝A sin (ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0)的解析式的方法详解答案 二轮专题复习战略·数学(新高考)专题二 三角函数、解三角形 第1讲 三角函数的图象与性质微专题1 三角函数图象的平移伸缩保分题组训练1．解析：函数y ＝sin x 的图象向左平移π4个单位，得到y ＝sin (x ＋π4)的图象． 故选C . 答案：C2．解析：将y ＝cos 3x 的图象向右平移π18个长度单位，可得函数y ＝cos [3(x −π18)]＝cos (3x −π6)的图象．故选C . 答案：C3．解析：对于A ：先将函数f(x)图象上点的横坐标变为原来的2倍，得到y ＝2sin 12x ，故A 错误；对于B ：先将函数f(x)图象上点的横坐标变为原来的12，得到y ＝2sin 2x ，再右移π6个单位，得到y ＝2sin 2(x −π6)，即为y ＝2sin (2x −π3)，故B 正确；对于C: 先将函数f(x)图象向右平移π6个单位，得到y ＝2sin (x −π6)，再将点的横坐标变为原来的12，得到y ＝2sin (2x −π6)，故C 错误；对于D: 先将函数f(x)图象向右平移π3个单位，得到y ＝2sin (x −π3)，再将点的横坐标变为原来的2倍，得到y ＝2sin (12x −π3)，故D 错误．故选B . 答案：B4．解析：(1)先伸缩后平移时：每一点的横坐标缩短到原来的12 (纵坐标不变)，再将所得图象向左平移π6个单位长度，所以A 选项错误，B 选项正确．(2)先平移后伸缩时：向左平移π3个单位长度，再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的12 (纵坐标不变)，所以C 选项正确，D 选项错误．故选BC .答案：BC提分题组训练1．解析：f (x )＝sin 13x ＋cos 13x ＝√2cos (13x −π4)＝√2cos [13(x −3π4)].故选A . 答案：A2．解析：由题意知，g(x)＝cos (2x +π4)＝sin (2x +3π4)，其图象向左平移a 个单位得到函数f(x)＝sin (2x +2a +3π4)，而函数f(x)＝sin (2x +π3)，所以有2a ＋3π4＝π3＋2k π，a ＝－524π＋k π，取k ＝1得a ＝1924π. 故选C . 答案：C3．解析：∵函数y ＝sin (ωx ＋φ)(ω>0)的图象向左平移2π3个单位，所得到的图象与原函数图象的对称轴重合，∴2π3＝k·T2＝kπω，即ω＝32k ，k ∈Z ， 令k ＝1，可得ω的最小值为32，故选D. 答案：D4．解析：对于A ，将y ＝sin (2x +π3)的图象C 2沿x 轴方向向左平移π12个单位，可得y ＝sin [2(x +π12)+π3]＝sin (2x +π2)＝cos 2x 的图象C 1，故选项A 正确；对于B ，将y ＝sin (2x +π3)的图象C 2沿x 轴方向向右平移11π12个单位也可得到，y ＝sin [2(x −11π12)+π3]＝sin (2x −3π2)＝cos 2x 的图象C 1，故选项B 正确；对于C ，先作C 2关于x 轴对称，得到y ＝－sin (2x +π3)的图象C 3，再将图象C 3沿x轴方向向右平移5π12个单位，得到y ＝－sin [2(x −5π12)+π3]＝－sin (2x −π2)＝cos 2x 的图象C 1，故选项C 正确；对于D ，先作C 2关于x 轴对称，得到y ＝－sin (2x +π3)的图象C 3，再将图象C 3沿x轴方向向左平移π12个单位，得到的y ＝－sin [2(x +π12)+π3]＝－sin (2x +π2)＝－cos 2x 图象，故选项D 不正确．故选ABC.答案：ABC微专题2 三角函数的性质保分题组训练1．解析：对于A ，y ＝|sin x |的图象是将y ＝sin x 的图象中y 轴下方的图象翻折到上方得到的，故最小正周期为π；当x ∈(π2，π)时，y ＝sin x >0，∴y ＝|sin x |＝sin x 在(π2，π)上单调递减，故A 不正确；对于B ，当x ＝－3π2时，y ＝sin |x |＝－1，当x ＝－π2时，y ＝sin |x |＝1≠－1，所以周期不是π，故B 不正确；对于C ，y ＝cos 2x 的最小正周期为2π2＝π，当x ∈(π2，π)时，2x ∈(π，2π)，y ＝cos 2x 单调递增，故C 正确；对于D ，y ＝sin 2x 的最小正周期为2π2＝π，当x ∈(π2，π)时，2x ∈(π，2π)，y ＝sin 2x 不是单调递增的，故D 不正确．故选C. 答案：C2．解析：对于函数f (x )＝cos (2x +π3)，它的最小正周期为2π2＝π，故A 正确；令x ＝－5π12，可得f (x )＝0，所以f (x )的图象关于点(−5π12，0)对称，故B 正确；当x ∈[−π6，π3]时，2x ＋π3∈[0，π]，故f (x )在[−π6，π3]上为减函数，故C 正确；令x ＝π12，可得f (x )＝0，故x ＝π12不是f (x )的一条对称轴，故D 错误．故选D. 答案：D3．解析：g (x )＝sin 2(x −π4)＝sin (2x −π2)＝－cos 2x ，x ∈(0，π4)，则2x ∈(0，π2)，g (x )＝－cos 2x 单调递增，为偶函数，A 正确，C 错误；最大值为1，当x ＝－3π2时2x ＝－3π，为对称轴，B 正确；T ＝2π2＝π，取2x ＝π2＋k π，∴x ＝π4+kπ2，k ∈Z ，当k ＝1时满足，图象关于点(3π4，0)对称，D 正确．故选ABD. 答案：ABD4．解析：因为函数f (x )＝|sin x ||cos x |＝|sin x cos x |＝12|sin 2x |，画出函数图象，如图所示；由图可知，f (x )的对称轴是x ＝kπ4，k ∈Z ；所以x ＝π2是f (x )图象的一条对称轴， A 正确； f (x )的最小正周期是π2，所以B 正确；f (x )是偶函数，没有对称中心，C 错误；由图可知，f (x )＝12|sin 2x |在区间[π4，π2]上是单调减函数，D 错误．故选AB. 答案：AB提分题组训练1．解析：f (x )＝cos x (cos x ＋√3sin x )＝√3sin x cos x ＋cos 2x ＝1+cos 2x2+√32sin 2x ＝sin (2x ＋π6)＋12，由x ∈[－π3，m ]得2x ＋π6∈[－π2，2m ＋π6]， 当2x ＋π6＝2k π＋π2，k ∈Z 时取得最大值， 故2m ＋π6≥π2，即m ≥π6.则实数m 的最小值是π6. 故选D. 答案：D2．解析：∵函数y ＝sin 2x ＋√3cos 2x ＝2sin (2x +π3)，将函数y ＝sin 2x ＋√3cos 2x 的图象沿x 轴向左平移φ个单位后， 得到函数y ＝2sin (2x +2φ+π3)，函数关于y 轴对称， ∴2φ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝kπ2+π12(k ∈Z )，当k ＝0时，|φ|min ＝π12. 故选A. 答案：A3．解析：函数f (x )＝2cos (ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的图象上， 对称中心与对称轴x ＝π12的最小距离为14×2πω＝π4，∴ω＝2.再根据2×π12＋φ＝k π，k ∈Z ，可得φ＝－π6，故 f (x )＝2cos (2x −π6). 令x ＝5π12，可得f (x )＝－1≠0，故A 错误；当x ∈[π6，π2]时，2x －π6∈[π6，5π6]，故当2x －π6＝5π6时，函数f (x )的最小值为－√3，故B正确；若sin 4α－cos 4α＝sin 2α－cos 2α＝－cos 2α＝－45(α∈(0，π2))，∴cos 2α＝45，sin 2α＝√1−cos 22α＝35，则f (α+π4)＝2cos (2α+π2−π6)＝－2sin (2α−π6)＝－2sin 2αcos π6＋2cos 2αsin π6＝4−3√35，故C 正确；将g (x )＝2cos 2x 的图象向右平移π6个单位，可得y ＝2cos (2x −π3)的图象，故D 错误．故选BC. 答案：BC4．解析：A 选项，当x ∈[0，π2]，f (x )＝2sin x ＋cos x －1，f (x )不单调，A 错误， B 选项，f (π－x )＝2|sin (π－x )|＋|cos (π－x )|－1＝2|sin x |＋|cos x |－1＝f (x )， ∴x ＝π2是它的一条对称轴，B 正确．C 选项，f (x )＝1，即2|sin x |＋|cos x |＝2，当x ∈[0，π2]，即2sin x ＋cos x ＝2，sin x ＝1或sin x ＝35，有两个零点；当x ∈[π2，π]，2sin x －cos x ＝2，sin x ＝35，有1个零点，共3个零点；D 选项，若f (x )min ＝－1，即2|sin x |＋|cos x |＝0，需要|sin x |＝0，且|cos x |＝0矛盾，D 错误．故选BC. 答案：BC微专题3 由图象求三角函数的解析式保分题组训练1．解析：由图可知A ＝2，因为图象过点(0，1)，所以2sin φ＝1，所以取φ＝π6， 因为图象过点(11π12，0)，所以2sin (11π12ω+π6)＝0，所以11π12ω＋π6＝2k π，k ∈Z ，即ω＝2411k －211，k ∈Z ，当k ＝1时，ω＝2，所以y ＝2sin (2x +π6).故选D.答案：D2．解析：根据函数f (x )＝A sin (ωx ＋φ)(其中A >0，ω>0，|φ|<π2)的图象，可得A ＝1，14T ＝5π12−π4＝π6，即T ＝23π，∴ω＝2π23π＝3.将(π4，0)代入，可得f (π4)＝sin (3×π4＋φ)＝0，则3×π4＋φ＝k π，k ∈Z ，∴φ＝k π－3π4，k ∈Z ，又|φ|<π2，∴φ＝π4，故f (x )＝sin (3x ＋π4)．故把g (x )＝sin 3x 的图象向左平移π12个单位长度，即可得到f (x )＝sin (3x ＋π4)的图象．故选C. 答案：C3．解析：因为f (2)＝0，所以sin (2ω−π4)＝0⇒2ω－π4＝k π(k ∈Z )⇒ω＝12k π＋π8(k ∈Z )，设函数f (x )＝sin (ωx −π4)(ω>0)的最小正周期为T ，由图可知{54T >2T <2，因为ω>0，所以有{54·2πω>22πω<2，⇒π<ω<5π4，因为ω＝12k π＋π8(k ∈Z )，所以74<k <94∵k ∈Z ∴k ＝2， 所以ω＝98π，因此T ＝2π98π＝169，故选A.答案：A4．解析：依题意，将y ＝sin (x −π4)的图象向左平移π3个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得到f (x )的图象，所以y ＝sin (x −π4) 将其图象向左平移π3个单位长度 → y ＝sin (x +π12)的图象 所有点的横坐标扩大到原来的2倍→ f (x )＝sin (x2+π12)的图象．答案：B提分题组训练1．解析：由题图2可知：y ＝f (x )＝A sin (ωx +π6)过(0，1)，(56，0)两点，所以有y ＝f (0)＝A sin π6＝1⇒12A ＝1⇒A ＝2，f (56)＝2sin (56ω+π6)＝0⇒56ω＋π6＝k π(k ∈Z )⇒ω＝(65k －15)π(k ∈Z )，当k ＝1时，y ＝f (x )＝2sin (πx +π6)，显然A 不符合题意，此时函数的周期为2ππ＝2，要想抵消噪音，只需函数y ＝f (x )＝2sin (πx +π6)向左或向右平移一个单位长度即可，即得到y ＝f (x ＋1)＝2sin (πx +π+π6)＝－2sin (πx +π6)， 或y ＝f (x －1)＝2sin (πx −π+π6)＝2sin (πx −5π6)，故选项D 符合，显然选项B ，C 的振幅不是2，不符合题意， 故选D. 答案：D2．解析：根据函数的图象：周期12T ＝5π12−(−π12)＝π2，解得T ＝π，故ω＝2. 进一步求得A ＝2.当x ＝5π12时，f (5π12)＝2sin (5π6+φ)＝－1，由于|φ|＜π， 所以φ＝2π3.所以f (x )＝2sin (2x +2π3)，函数f (x )的图象上所有点的横坐标变为原来的23，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )＝2sin (3x +π6)的图象，故对于A ：函数的最小正周期为T ＝2π3，故A 正确；对于B ：由于x ∈[π9，π3]，所以3x ＋π6∈[π2，76π]，故函数g (x )在区间[π9，π3]上单调递减，故B 错误；对于C ：当x ＝4π9时，g (4π9)＝2sin (4π3+π6)＝－2，故函数g (x )的图象关于直线x ＝4π9对称，故C 正确；对于D ：当x ＝π9时，g (π9)＝2，故D 错误． 故选AC. 答案：AC3．解析：根据函数f (x )＝2sin (ωx ＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π)的图象， 可得T ＝2πω＞11π12，且34T ＜11π12，∴ω∈(1811，2411).把(0，√3)代入，可得2sin φ＝√3，∴φ＝π3，或 φ＝2π3.再把根据图象经过最高点(11π12，2)，可得ω·11π12＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z . 当φ＝π3时，ω·11π12+π3＝2k π＋π2，k ∈Z ，求得ω＝211+24k11，不满足条件ω∈(1811，2411)， 故φ＝2π3，故A 错误． 此时，由ω·11π12+2π3＝2k π＋π2，k ∈Z ，求得ω＝－211+24k 11，令k ＝1，可得ω＝2，满足条件ω∈(1811，2411)，故f (x )＝2sin (2x +2π3).把函数f (x )的图象上所有的点向右平移π6个单位长度，可得到函数y ＝g (x )＝2sin (2x +π3)的图象，故g (x )的最小正周期为2π2＝π，故B 正确．当x ∈[−π3，π12]，2x ＋π3∈[−π3，π2]，故g (x )单调递增，故C 正确．令x ＝－π3，求得g (x )＝－√3≠0，故g (x )的图象不关于点(−π3，0)中心对称，故D 错误． 故选BC.答案：BC。
九年级数学中考复习第一轮复习基础训练三角函数(一)三角函数与解直角三角形 课时作业同步练习含答案解析
微专题8 三角函数(一）三角函数与解直角三角形考点1锐角三角函数的定义1.如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,AB =10,AC =8,则 sin A 等于( ) A.35 B.45 C.34 D.432.如图,边长为1的小正方形网格中, ⊙O 的圆心在格点上,cos ∠AED = .3.如图,在△ABC 中,CA=CB =4, cos C =14,则sinB 的值为 . 考点2 特殊角的三角函数值4.(1) sin 30°= ; cos 60°= ;tan 45"= ;(2)3sin 60"—2cos 30°—tan 60°= .5.在△ABC 中,∠A ,∠B 为锐角,若|sinA 一22|+(32-cosB )2=0,则∠C = 度. 考点3 解直角三角形及其实际应用6.如图,在△ABC 中,∠B =30°,AC=2,cosC =35.则AB 边的长为 .7.如图,某地修建高速公路,要从B 地向C 地修一座隧道(B,C 在同一水平面上),为了测量B ，C 两地之间的距离,某工程队员乘坐热气球从C 地出发垂直上升100m 到达A 处,在A 处观察B 地的俯角为30°,则B,C 两地间的距离为 m .8.如图，一艘船由A 港沿北偏东65°方向航行302km 至B 港,然后再沿北偏西40°方向航行至C 港,C 港在A 港北偏东20°方向,则A,C 两港之间的距离为 km.DOB AECAC ABCB第1题图第2题图第3题图30°30°B CC A CAB AB 第6题图 第7题图 第8题图9.如图,小明在一块平地上测山高,先在B处测得山顶A的仰角为30°,然后向山脚直行100米到达C处,再测得山顶A的仰角为45°,求山高AD.10.某地的一座人行天桥如图所示,天桥高为6米,坡面BC的坡度为1：1,为了方便行人推车过天桥,有关部门决定降低坡度,使新坡面的坡度为1.(1)求新坡面的坡角α的度数;(2)原天桥底部正前方8米处(PB的长)的文化墙PM是否需要拆除?请说明理由. :C BC微专题8 三角函数(一）三角函数与解直角三角形考点精练精练1锐角三角函数的定义1.如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,AB =10,AC =8,则 sin A 等于( A ) A.35 B.45 C.34 D.432.如图,边长为1的小正方形网格中, ⊙O 的圆心在格点上,cos ∠AED =255. 3.如图,在△ABC 中,CA=CB =4, cos C =14,则sinB 的值为104.精练2 特殊角的三角函数值4.(1) sin 30°=12; cos 60°=12;tan 45"= 1 ;(2)3sin 60"—2cos 30°—tan 60°= 32 .5.在△ABC 中,∠A ,∠B 为锐角,若|sinA 一22|+(32-cosB )2=0,则∠C =105度. 精练3 解直角三角形及其实际应用6.如图,在△ABC 中,∠B =30°,AC=2,cosC =35.则AB 边的长为165.DOB AECAC ABCB第1题图第2题图第3题图30°30°BC CACABAB第6题图第7题图第8题图7.如图,某地修建高速公路,要从B地向C地修一座隧道(B,C在同一水平面上),为了测量B，C两地之间的距离,某工程队员乘坐热气球从C地出发垂直上升100m到达A处,在A处观察B地的俯角为30°,则B,C两地间的距离为.8.如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行至B港,然后再沿北偏西40°方向航行至C港,C港在A港北偏东20°方向,则A,C两港之间的距离为(30+km.9.如图,小明在一块平地上测山高,先在B处测得山顶A的仰角为30°,然后向山脚直行100米到达C处,再测得山顶A的仰角为45°,求山高AD.解:设AD=x米,则BDx米.CD=AD=xx-x=100.解得：x=50.答:山高为（50）米.10.某地的一座人行天桥如图所示,天桥高为6米,坡面BC的坡度为1：1,为了方便行人推车过天桥,有关部门决定降低坡度,使新坡面的坡度为1.(1)求新坡面的坡角α的度数;(2)原天桥底部正前方8米处(PB的长)的文化墙PM是否需要拆除?请说明理由. 解:(1)30°:(2)过点C作CD⊥AB于点D.则BD=CD=6.AD∴AB=AD-BD一6<8∴文化培PM不需要拆除．C B。
2023年高考数学二轮复习第二篇经典专题突破专题一三角函数和解三角形第1讲三角函数的图象和性质
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专题一 三角函数和解三角形
高考二轮总复习 • 数学
所以 ω＝－16＋23k，k∈Z， 所以 ω＝52，f(x)＝sin 52x＋π4＋2， 所以 fπ2＝sin 54π＋π4＋2＝1. 故选 A.
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专题一 三角函数和解三角形
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2．(2022·全国甲卷)设函数 f(x)＝sin ωx＋π3在区间(0，π)恰有三个极
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【解析】 f′(x)＝－sin x＋sin x＋(x＋1)cos x＝(x＋1)cos x，所以 f(x) 在区间0，π2和32π，2π上 f′(x)>0，即 f(x)单调递增；在区间π2，32π上 f′(x)<0， 即 f(x)单调递减，又 f(0)＝f(2π)＝2，fπ2＝π2＋2，f32π＝－32π＋1＋1＝－ 32π，所以 f(x)在区间[0，2π]上的最小值为－32π，最大值为π2＋2.故选 D.
值点、两个零点，则 ω 的取值范围是
( C)
A．53，163
B．53，169
C．163，83
D．163，169
专题一 三角函数和解三角形
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【解析】 依题意可得 ω>0，因为 x∈(0，π)，所以 ωx＋π3∈π3，ωπ＋π3，
要使函数在区间(0，π)恰有三个极值点、两个零点，
又 y＝sin x，x∈π3，3π的图象如下所示：
则52π<ωπ＋π3≤3π，解得163<ω≤83，即 ω∈163，83.故选 C.
专题一 三角函数和解三角形
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3．(2022·全国甲卷)将函数 f(x)＝sin ωx＋π3(ω>0)的图象向左平移π2个 单位长度后得到曲线 C，若 C 关于 y 轴对称，则 ω 的最小值是 ( C )
三角函数的应用解三角形
三角函数的应用解三角形三角函数是数学中的一个重要概念，广泛应用于解决各种与三角形相关的问题。
通过运用三角函数的知识，我们可以准确地计算并解决各类三角形相关的数学题。
本文将介绍三角函数的应用，并举例说明如何利用三角函数来解决三角形问题。
1. 正弦函数的应用正弦函数是三角函数中最常用的函数之一，它在解决三角形问题中具有重要作用。
我们知道，在一个任意三角形ABC中，正弦函数的定义为：sinA = 边BC/边AC，sinB = 边AC/边BC，sinC = 边AB/边AC。
根据这个定义，我们可以通过已知的边长和角度来求解未知的边长或角度。
举个例子，假设我们已知三角形ABC中的角A和边BC的长度，我们需要求解边AC和角B的值。
根据正弦函数的定义，我们可以列出以下方程：sinA = 边BC/边AC通过移项和替换公式，我们可以得到：边AC = 边BC/sinA角B = 180° - 角A - 角C通过以上公式，我们可以根据已知条件计算出边AC和角B的值，从而解决三角形问题。
2. 余弦函数的应用余弦函数也是三角函数中常用的函数之一，它在解决三角形问题中同样具有重要作用。
在一个任意三角形ABC中，余弦函数的定义为：cosA = 边BC/边AC，cosB = 边AC/边BC，cosC = 边AB/边AC。
同样地，我们可以通过已知的边长和角度来求解未知的边长或角度。
举个例子，假设我们已知三角形ABC中的角A和边AC的长度，我们需要求解边BC和角C的值。
根据余弦函数的定义，我们可以列出以下方程：cosA = 边BC/边AC通过移项和替换公式，我们可以得到：边BC = 边AC * cosA角C = 180° - 角A - 角B通过以上公式，我们可以根据已知条件计算出边BC和角C的值，从而解决三角形问题。
3. 正切函数的应用正切函数是三角函数中另一个常用的函数，它同样可以应用于解决三角形问题。
在一个任意三角形ABC中，正切函数的定义为：tanA = 边BC/边AC，tanB = 边AC/边BC，tanC = 边AB/边AC。
【2020高考数学】三角形中的最值问题解题指导(一) (含答案)
1 / 26【2020年高考数学】三角形中的最值问题解题指导（一）第一篇 三角函数与解三角形专题06 三角形中的最值问题【典例1】【湖南省益阳市、湘潭市2020届高三9月调研考试】已知锐角三角形ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos cos a b Bc C-= （1）求角C 的大小．（2）求函数sin sin y A B =+的值域． 【思路引导】 （1）由2cos cos a b Bc C-=利用正弦定理得2sin cos sin cos sin cos A C B C C B -=，根据两角和的正弦公式及诱导公式可得1cos 2C =，可求出C 的值；（2）对函数的关系式进行恒等变换，利用两角和与差的正弦公式及辅助角公式把函数的关系式变形成同一个角正弦型函数，进一步利用定义域求出函数的值域.2 / 26【典例2】【2020届海南省高三第二次联合考试】在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且22cos a c b C -=. (1)求sin 2A C B +⎛⎫+⎪⎝⎭的值； (2)若b =c a -的取值范围.【思路引导】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和差正弦公式可整理求得cos B ，进而求得B 和A C +，代入求得结果；（2）利用正弦定理可将c a -表示为2sin 2sin C A -，利用两角和差正弦公式、辅助角公式将其整理为2sin 3C π⎛⎫- ⎪⎝⎭，根据正弦型函数值域的求解方法，结合C 的范围可求得结果.3 / 26【典例3】【山西省平遥中学2020届高三上学期11月质检】 已知△ABC 的内角A ，B ，C 满足sin sin sin sin sin sin sin sin A B C BC A B C-+=+-．（1）求角A ；（2）若△ABC 的外接圆半径为1，求△ABC 的面积S 的最大值． 【思路引导】（1）利用正弦定理将角化为边可得222a b c bc =+-，再由余弦定理即可得A ； （2）由正弦定理2aR sinA=，可得a ，由基本不等式利用余弦定理可得222b c bc bc bc bc +-≥-=，从而由12S bscinA =可得解.4 / 26【典例4】【2020届河北省保定市高三上学期期末】已知ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，设(sin ,1cos )m B B =-，(2,0)n =. （1）若23B π=，求m 与n 的夹角θ； （2）若||1,m b ==，求ABC ∆周长的最大值.【思路引导】 （1）将23B π=代入可求得m .根据平面向量数量积的坐标运算求得m n ⋅,由数量积的定义即可求得cos θ,进而得夹角θ.（2）根据||1m =及向量模的坐标表示,可求得B .再由余弦定理可得22()4a cb +=.结合基本不等式即可求得a c +的最大值,即可求得周长的最大值;或由正弦定理,用角表示出a c +,结合辅助角公式及角的取值范围,即可求得a c +的取值范围,进而求得周长的最大值.5 / 26【典例5】【2020届吉林省长春市东北师大附中等六校高三联合模拟】 如图，在矩形ABCD 中，1AB =，BC =，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，3FAE π∠=，06EAB πθθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭..（1）求AE ，AF （用θ表示）； （2）求EAF ∆的面积S 的最小值. 【思路引导】（1）根据1AB =，BC =，分别在Rt ABE ∆和Rt ADF ∆中，利用锐角三角函数的定义求出AE 和AF即可；（2）由条件知13sin 232sin 23S AE AF ππθ=⋅⋅=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，然后根据θ的范围，利用正弦函数的图象和性质求出S 的最小值.6 / 26【典例6】【2020届重庆市康德卷高考模拟调研卷理科数学（一)】已知ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()sin ()(sin sin )a c C a b A B -=+-. （1）求B ； （2）设b =ABC 的面积为S ，求2sin 2S C -的最大值.【思路引导】（1）用正弦定理化角为边后，再用余弦定理可求得角B ；（2）用正弦定理把边用角表示，即2sin a A =，2sin c C =，这样2sin 2sin sin 2S C ac B C-=-2sin 2sin sin 2A C C =⋅，又sin sin()sin()3A B C C π=+=+，2sin 2S C -就表示为C 的三角函数，由三角函数恒等变换化为一个角的一个三角函数形式，结合正弦函数性质可得最大值．7 / 26【典例7】【福建省宁德市2019-2020学年高三上学期第一次质量检查（期末)】ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，ccos c C -=⋅，c =（1）求A ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，D 为BC 中点，求AD 的取值范围． 【思路引导】（1cos c C -⋅中的边化成角得到cos A =A 的值； （2）由（1）知4A π=，可得C 的范围，再将b 表示成关于tan C 的函数，从而求得b 的取值范围.8 / 261. 【陕西省2019年高三第三次教学质量检测】在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且()()3a b c a b c ab +++-=. （1）求角C 的值；（2）若2c =，且ABC ∆为锐角三角形，求+a b 的取值范围.2. 【辽宁省葫芦岛市六校协作体2019-2020学年高三上学期11月月考】,,a b c 分别为ABC 的内角,,A B C 的对边.已知()sin 4sin 8sin a A B A +=.（1）若1,6b A π==，求sin B ； （2）已知3C π=，当ABC 的面积取得最大值时，求ABC 的周长.3. 【2019年云南省师范大学附属中学高三上学期第一次月考】在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （1）求角B 的大小；（2）若D 为AC 的中点，且1BD =，求ABC S ∆的最大值. 4. 【2020届湖南省常德市高三上学期期末】ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos cos 2cos +=ac B b C A.（1）求A ； （2）若a =b c +的最大值.5. 【2020届江西省吉安市高三上学期期末】在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知向量(2cos ,)m C b =-，(1,cos cos )n a C c A =+，且//m n .（1）求角C 的大小；9 / 26（2）若c =ABC ∆的周长的取值范围.6. 【2020届重庆市康德卷高考模拟调研卷理科数学（二)】如图，在四边形ABCD 中，A为锐角，2cos sin()6A A C C π⎛⎫+=-⎪⎝⎭.（1）求A C +；（2）设ABD △、CBD 的外接圆半径分别为1,r 2r ，若1211m r r DB+≤恒成立，求实数m 的最小值. 7. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知2(tan A ＋tan B)＝tan tan cos cos A BB A+. (1)证明：a ＋b ＝2c ； (2)求cos C 的最小值．8. 【重庆市西南大学附属中学校2019届高三上学期第三次月考】 在ABC △中，内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知1cos 2b a Cc =+． (1)求角A ；(2)若·3AB AC =，求a 的最小值．9. 【吉林省吉林市普通中学2019-2020学年度高三第二次调研测】 已知ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2A π≠，且满足()sin 220cos 0bc A B C ++=.（1）求ABC ∆的面积S ； （2）若24a S =，求c bb c+的最大值. 10. 【湖南省长沙市浏阳市第一中学2019-2020学年高三上学期第六次月考】 已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且tan (sin 2cos )cos 2222A C A C a b a +=． （1）求角B 的值； （2）若△ABC的面积为D 为边AC 的中点，求线段BD 长的最小值．10 / 2611. ABC ∆中，60,2,B AB ABC ==∆的面积为 （1）求AC ；（2）若D 为BC 的中点，,E F 分别为边,AB AC 上的点（不包括端点），且120EDF ∠=，求DEF ∆面积的最小值.备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品【参考答案部分】【典例1】【湖南省益阳市、湘潭市2020届高三9月调研考试】已知锐角三角形ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos cos a b Bc C-=（1）求角C 的大小．（2）求函数sin sin y A B =+的值域． 【思路引导】 （1）由2cos cos a b Bc C-=利用正弦定理得2sin cos sin cos sin cos A C B C C B -=，根据两角和的正弦公式及诱导公式可得1cos 2C =，可求出C 的值；（2）对函数的关系式进行恒等变换，利用两角和与差的正弦公式及辅助角公式把函数的关系式变形成同一个角正弦型函数，进一步利用定义域求出函数的值域. 解：（1）由2cos cos a b Bc C-=， 利用正弦定理可得2sin cos sin cos sin cos A C B C C B -=， 可化为()2sin cos sin A C sin C B A =+=，1sin 0,cos 2A C ≠∴=0,,23C C ππ⎛⎫∈∴= ⎪⎝⎭.（2）sin sin 3y A sinB A sin A ππ⎛⎫=+=+-- ⎪⎝⎭1sin sin 226A A A A π⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭，11 / 262,032A B A ππ+=<<，62A ππ∴<<，2,3636A sin A ππππ⎤⎛⎫∴<+<∴+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦，32y ⎛∴∈⎝. 【典例2】【2020届海南省高三第二次联合考试】在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且22cos a c b C -=. (1)求sin 2A C B +⎛⎫+⎪⎝⎭的值； (2)若b =c a -的取值范围.【思路引导】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和差正弦公式可整理求得cos B ，进而求得B 和A C +，代入求得结果；（2）利用正弦定理可将c a -表示为2sin 2sin C A -，利用两角和差正弦公式、辅助角公式将其整理为2sin 3C π⎛⎫- ⎪⎝⎭，根据正弦型函数值域的求解方法，结合C 的范围可求得结果.解：（1）由正弦定理可得：2sin sin 2sin cos A C B C -=A B C π++= ()sin sin A B C ∴=+()2sin sin 2sin cos 2cos sin sin 2sin cos B C C B C B C C B C ∴+-=+-=即2cos sin sin B C C =()0,C π∈ sin 0C ∴≠ 1cos 2B ∴=()0,B π∈ 3B π∴= 23AC π∴+=2sin sin 232A C B π+⎛⎫∴+==⎪⎝⎭（2）由（1）知：sin sin 3B π==2sin sin sin a c bA CB ∴==== 2sin cC ∴=，2sin a A =()2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin cos 2cos sin c a C A C B C C B C B C∴-=-=-+=--12 / 262sin sin sin 2sin 3C C C C C C π⎛⎫=-==- ⎪⎝⎭23A C π+=203C π∴<< ,333C πππ⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭(2sin 3C π⎛⎫∴-∈ ⎪⎝⎭，即c a -的取值范围为(【典例3】【山西省平遥中学2020届高三上学期11月质检】 已知△ABC 的内角A ，B ，C 满足sin sin sin sin sin sin sin sin A B C BC A B C-+=+-．（1）求角A ；（2）若△ABC 的外接圆半径为1，求△ABC 的面积S 的最大值． 【思路引导】（1）利用正弦定理将角化为边可得222a b c bc =+-，再由余弦定理即可得A ； （2）由正弦定理2aR sinA=，可得a ，由基本不等式利用余弦定理可得222b c bc bc bc bc +-≥-=，从而由12S bscinA =可得解. 解：（1）设内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ． 根据sin sin sin sin sin sin sin sin A B C BC A B C-+=+-，可得222a b c ba b c bc c a b c-+=⇒=+-+-， 所以2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，又因为0A π<<，所以3A π=．（2）22sin 2sin sin 3a R a R A A π=⇒=== 所以2232b c bc bc bc bc =+-≥-=，所以11sin 322S bc A =≤⨯=（b c =时取等号）． 【典例4】【2020届河北省保定市高三上学期期末】已知ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，设(sin ,1cos )m B B =-，(2,0)n =.13 / 26（1）若23B π=，求m 与n 的夹角θ； （2）若||1,m b ==，求ABC ∆周长的最大值.【思路引导】 （1）将23B π=代入可求得m .根据平面向量数量积的坐标运算求得m n ⋅,由数量积的定义即可求得cos θ,进而得夹角θ.（2）根据||1m =及向量模的坐标表示,可求得B .再由余弦定理可得22()4a cb +=.结合基本不等式即可求得a c +的最大值,即可求得周长的最大值;或由正弦定理,用角表示出a c +,结合辅助角公式及角的取值范围,即可求得a c +的取值范围,进而求得周长的最大值.解：（1）23B π=,所以33,22m ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭,因为(2,0)n =, 202m n ⋅=⨯+=∴ ,又||22m ⎛== ⎝⎭⎭||2n =,31cos 2||||23m n m n θ⋅==⋅∴,3πθ∴=,（2）因为||1m =,即2||sin 1m B ===,所以3B π=,方法1.由余弦定理,得2222cos b a c ac B =+-.2222()()3()324a ca c a c ac a c ++⎛⎫=+-≥+-⋅=⎪⎝⎭,即2()34a c +≥,即a c +≤（当且仅当a c =时取等号） 所以ABC ∆周长的最大值为方法2.由正弦定理可知,2sin sin sin a c bA C B===,14 / 262sin ,2sin a A c C ==∴,23A C π+=,所以22sin 2sin 3sin 36a c A A A A A ππ⎛⎫⎛⎫+=+-==+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,又203A π<<,5666A πππ<+<,1sin ,162A π⎛⎫⎛⎤∴+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦,a c +∈∴,所以当3A π=时,a c +取最大值所以ABC ∆周长的最大值为【典例5】【2020届吉林省长春市东北师大附中等六校高三联合模拟】 如图，在矩形ABCD 中，1AB =，BC =，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，3FAE π∠=，06EAB πθθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭..（1）求AE ，AF （用θ表示）； （2）求EAF ∆的面积S 的最小值. 【思路引导】（1）根据1AB =，BC =，分别在Rt ABE ∆和Rt ADF ∆中，利用锐角三角函数的定义求出AE 和AF即可；（2）由条件知13sin 232sin 23S AE AF ππθ=⋅⋅=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，然后根据θ的范围，利用正弦函数的图象和性质求出S 的最小值.解：（1）在Rt ABE ∆中，1AB =，所以1cos cos AB AE EAB θ==∠，在Rt ADF ∆中，AD =236DAF EAB πππθ∠=--∠=-，15 / 260cos 6cos 6ADAF DAFπθθ⎫∴==<<⎪∠⎝⎭- ⎪⎝⎭； （2）13sin 234cos cos 6S AE AF ππθθ=⋅==⎛⎫- ⎪⎝⎭⎝⎭32sin 23πθ===⎛⎫++ ⎪⎝⎭，因为06πθ<<，所以22333πππθ<+<2sin 223πθ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，当232ππθ+=时，即当12πθ=时，S取最小值(32.【典例6】【2020届重庆市康德卷高考模拟调研卷理科数学（一)】已知ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()sin ()(sin sin )a c C a b A B -=+-. （1）求B ； （2）设b =ABC 的面积为S ，求2sin 2S C -的最大值.【思路引导】（1）用正弦定理化角为边后，再用余弦定理可求得角B ；（2）用正弦定理把边用角表示，即2sin a A =，2sin c C =，这样2sin 2sin sin 2S C ac B C-=-2sin 2sin sin 2A C C=⋅，又sin sin()sin()3A B C C π=+=+，2sin 2S C -就表示为C 的三角函数，由三角函数恒等变换化为一个角的一个三角函数形式，结合正弦函数性质可得最大值． 解：（1）由正弦定理()()()a c c a b a b -=+-，222a c b ac +-=，由余弦定理2221cos 22a c b B ac +-==，3B π=；（2）由正弦定理2sin sin sin a c bA C B====，2sin a A =，2sin c C =， 2sin 2sin sin 2S C ac B C -=-16 / 262sin 2sin sin 2sin sin 2A C C A C C =⋅=-2)sin sin 23sin cos sin 2C B C C C C C C =+-=+-31cos 2sin 2sin 22sin 2222222C C C C C =-+-=-+sin 213C π⎛⎫=-≤ ⎪⎝⎭当且仅当512C π=时等号成立，故最大值为1. 【典例7】【福建省宁德市2019-2020学年高三上学期第一次质量检查（期末)】ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，ccos c C -=⋅，c =（1）求A ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，D 为BC 中点，求AD 的取值范围． 【思路引导】（1cos c C -⋅中的边化成角得到cos A =A 的值； （2）由（1）知4A π=，可得C 的范围，再将b 表示成关于tan C 的函数，从而求得b 的取值范围.解：（1cos c C -=⋅sin cos B C A C -=，又sin sin[()]sin()B A C A C =π-+=+，cos cos sin )sin cos A C A C C A C +-=sin sin 0A C C -=， 因为0C π<<，所以sin 0C ≠，所以cos A =0A π<<，所以4A π=. （2）由（1）知4A π=，根据题意得0242C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩，，解得42C ππ<<. 在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin c b C B=，所以)2sin 2cos 242sin sin tan C C C b CC Cπ++===+，因为()42C ππ∈，，所以tan (1,)C ∈+∞，所以(24)b ∈，.17 / 26因为D 为BC 中点，所以1()2AD AC AB =+， 所以221()4AD AC AB =+21(48)4b b =++21(2)14b =++，因为(24)b ∈，，所以AD的取值范围为.1. 【陕西省2019年高三第三次教学质量检测】在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且()()3a b c a b c ab +++-=. （1）求角C 的值；（2）若2c =，且ABC ∆为锐角三角形，求+a b 的取值范围. 【思路引导】（1）根据题意，由余弦定理求得1cos 2C =，即可求解C 角的值； （2）由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到4sin 6a b A π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，再根据ABC ∆为锐角三角形，求得62A ππ<<，利用三角函数的图象与性质，即可求解.解：（1）由题意知()()3a b c a b c ab +++-=，∴222a b c ab +-=，由余弦定理可知，222cos 122a b c C ab +-==，又∵(0,)C π∈，∴3C π=.（2）由正弦定理可知，2sin sin sin 3ab A Bπ===,a Ab B == ∴sin )a b A B +=+2sin sin 3A A π⎤⎛⎫=+-⎪⎥⎝⎭⎦ 2cos A A =+4sin 6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，18 / 26又∵ABC ∆为锐角三角形，∴022032A B A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩，即，则2363A πππ<+<，所以4sin 46A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，综上+a b的取值范围为.2. 【辽宁省葫芦岛市六校协作体2019-2020学年高三上学期11月月考】,,a b c 分别为ABC 的内角,,A B C 的对边.已知()sin 4sin 8sin a A B A +=.（1）若1,6b A π==，求sin B ； （2）已知3C π=，当ABC 的面积取得最大值时，求ABC 的周长.【思路引导】（1）根据正弦定理，将()sin 4sin 8sin a A B A +=，化角为边，即可求出a ，再利用正弦定理即可求出sin B ；（2）根据3C π=，选择in 12s S ab C =，所以当ABC 的面积取得最大值时，ab 最大，结合（1）中条件48a b +=，即可求出ab 最大时，对应的,a b 的值，再根据余弦定理求出边c ，进而得到ABC 的周长．解：（1）由()sin 4sin 8sin a A B A +=，得()48a a b a +=， 即48a b +=.因为1b =，所以4a =.由41sin sin6B=π，得1sin 8B =. （2）因为48a b +=≥=， 所以4ab ≤，当且仅当44a b ==时，等号成立. 因为ABC的面积11sin 4sin 223S ab C π=≤⨯⨯= 所以当44a b ==时，ABC 的面积取得最大值， 此时22241241cos 133c π=+-⨯⨯⨯=，则c =， 所以ABC的周长为519 / 263. 【2019年云南省师范大学附属中学高三上学期第一次月考】在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （1）求角B 的大小；（2）若D 为AC 的中点，且1BD =，求ABC S ∆的最大值. 【思路引导】（1）利用正弦定理边角互化思想得出sin cos 6B B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再利用两角差的余弦公式可得出tan B 的值，结合角B 的范围可得出角B 的大小；（2）由中线向量得出2BD BA BC =+，将等式两边平方，利用平面向量数量积的运算律和定义，并结合基本不等式得出ac 的最大值，再利用三角形的面积公式可得出ABC ∆面积的最大值. 解：（1）由正弦定理及sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭得sin sin sin cos 6B A A B π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 由()0,A π∈知sin 0A >，则1sin cos sin 62B B B B π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，化简得sin B B =，tan B ∴=. 又()0,B π∈，因此，3B π=；（2）如下图，由1sin 2ABC S ac B ∆==，又D 为AC 的中点，则2BD BA BC =+， 等式两边平方得22242BD BC BC BA BA =+⋅+， 所以2222423a c BA BC a c ac ac =++⋅=++≥，20 / 26则43ac ≤，当且仅当a c =时取等号，因此，ABC ∆43=4. 【2020届湖南省常德市高三上学期期末】ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos cos 2cos +=ac B b C A.（1）求A ； （2）若a =b c +的最大值.【思路引导】（1）根据正弦定理即正弦的和角公式,将表达式化为角的表达式.即可求得A .（2）利用正弦定理,表示出b c +,结合三角函数的辅助角公式及角的取值范围,即可求得b c +的最大值. 解：（1）∵cos cos 2cos +=ac B b C A,由正弦定理得sin sin cos sin cos 2cos +=AC B B C A从而有()sin sin sin sin 2cos 2cos +=⇒=A AB C A A A , ∵sin 0A ≠,∴1cos 2A =,∵0A π<<,∴3A π=；（2）由正弦定理得：2sin sin sin a b cA B C===, ∴2sin ,2sin b B c C ==,则()22sin sin 2sin 2sin 3⎛⎫+=+=+-⎪⎝⎭b c B C B B π3sin 6B B B π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭,∵203B π<<,∴5666B πππ<+<, ∴当3B π=时,b c +取得最大值5. 【2020届江西省吉安市高三上学期期末】在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知向量(2cos ,)m C b =-，(1,cos cos )n a C c A =+，且//m n .（1）求角C 的大小； （2）若c =ABC ∆的周长的取值范围.21 / 26【思路引导】（1）根据向量平行列出方程，再利用正弦定理进行边角转化，然后求出角C 的大小； （2）根据余弦定理求出+a b 的取值范围，再根据三角形边的几何性质求出周长的取值范围. 解：（1）由//m n 得22cos 2cos cos a C c A C b +=-， 由正弦定理sin sin sin a b cA B C==， 得2cos (sin cos sin cos )sin C A C C A B +=-， 即2cos sin()sin C A C B +=-，因为在三角形中sin()sin 0A C B +=≠，则1cos 2C =-，又(0,)C π∠∈，故23C π∠=； （2）在ABC ∆中，因c =23C π∠=，由余弦定理得2223c a b ab =++=， 即22()332a b a b ab +⎛⎫+=+≤+ ⎪⎝⎭，当且仅当a b =时取等号，解得2a b +≤，又由三角形性质得a b c +>=2a b +≤，则2a b c <++≤，即ABC ∆的周长的取值范围为(+. 6. 【2020届重庆市康德卷高考模拟调研卷理科数学（二)】如图，在四边形ABCD 中，A为锐角，2cos sin()6A A C C π⎛⎫+=-⎪⎝⎭.（1）求A C +；（2）设ABD △、CBD 的外接圆半径分别为1,r 2r ，若1211mr r DB+≤恒成立，求实数m 的最小值. 【思路引导】(1)根据三角函数的和差角公式与三角函数值求解即可. (2)根据正弦定理参变分离,再利用A 的取值范围求解 解：（1）由题, 2cos sin()A A C +=22 / 263sin[()]sin[()]sin(2)sin sin 2A A C A A C A C C C C ++--+=++=-,即1sin(2)sin 22A C C C +=-sin(2)sin 3A C C π⎛⎫⇒+=- ⎪⎝⎭,因为23A C C π+>-.故23A C C π+≠-.所以2233A C C A C πππ++-=⇒+=. （2）122sin 2sin BD BD m A C r r ≥+=+22sin 2sin 3A A π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭12sin 2cos 2sin 22A A A ⎛⎫=+⨯-⨯- ⎪⎝⎭3sin A A =6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,因为0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,故当62A ππ+=时6A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭有最大值所以m ≥即实数m的最小值为7. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知2(tan A ＋tan B)＝tan tan cos cos A BB A+. (1)证明：a ＋b ＝2c ； (2)求cos C 的最小值． 【思路引导】（1）根据三角函数的基本关系式，可化简得2(sin cos sin cos )sin sin A B B A A B +=+，再根据A B C π++=，即可得到sin sin 2sin A B C +=，利用正弦定理，可作出证明；（2）由（1）2a bc +=，利用余弦定理列出方程，再利用基本不等式，可得cos C 的最小值. 解：（1）由题意知，sin sin sin sin 2()cos cos cos cos cos cos A B A BA B A B A B+=+， 化简得：2(sin cos sin cos )sin sin A B B A A B +=+ 即2sin()sin sin A B A B +=+，因为A B C π++=， 所以sin()sin()sin A B C C π+=-=，从而sin sin 2sin A B C +=，由正弦定理得2a b c +=. （2）由（1）知，2a bc +=，23 / 26所以222222()3112cos ()22842a b a b a b c b a C ab ab a b ++-+-===+-≥， 当且仅当a b =时，等号成立，故cos C 的最小值为12.8. 【重庆市西南大学附属中学校2019届高三上学期第三次月考】 在ABC △中，内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知1cos 2b a Cc =+． (1)求角A ；(2)若·3AB AC =，求a 的最小值． 【思路引导】（Ⅰ）利用正弦定理、诱导公式、两角和差的三角公式求出cosA 的值，可得A 的值．解：(1) ∵ABC 中，cos 2cb a C -=， ∴由正弦定理知，1sin sin cos sin 2B AC C -=，∵πA B C ++=，∴()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+， ∴1sin cos cos sin sin cos sin 2A C A C A C C +-=， ∴1cos sin sin 2A C C =， ∴1cos 2A =，∴π3A =．(2) 由 (1)及·3AB AC =得6bc =，所以222222cos 6266a b c bc A b c bc =+-=+--= 当且仅当b c =时取等号，所以a9. 【吉林省吉林市普通中学2019-2020学年度高三第二次调研测】 已知ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2A π≠，且满足()sin 220cos 0bc A B C ++=.（1）求ABC ∆的面积S ； （2）若24a S =，求c bb c+的最大值. 【思路引导】24 / 26（1）由诱导公式和二倍角公式可得sin bc A ，从而得三角形面积；（2）由余弦定理得2222cos 2sin b c bc A a bc A +-==，从而可把22c b b c b c bc++=用角A 表示出来，由三角函数性质求得最大值．解：（1）在ABC ∆中，A B C π++=，∴B C A +=π-∵()sin 220cos 0bc A B C ++=∴2sin cos 20cos 0bc A A A ⋅-= ∵2A π≠，∴cos 0A ≠∴1sin 52S bc A == （2）∵24a S =∴222cos 2sin b c bc A bc A +-= ∴222sin 2cos b c bc A bc A +=+∴222sin 2cos 4c b b c A A A b c bc π+⎛⎫+==+=+ ⎪⎝⎭ ∴当4A π=时，c bb c+取最大值 10. 【湖南省长沙市浏阳市第一中学2019-2020学年高三上学期第六次月考】 已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且tan (sin 2cos )cos 2222A C A Ca b a +=． （1）求角B 的值； （2）若△ABC的面积为D 为边AC 的中点，求线段BD 长的最小值．【思路引导】 （1）根据tan(sin 2cos )cos 2222A C A C a b a +=，化简可得cos sin 2A C a b A +=，进一步得到1cos 22B =，然后求出B 的值；（2）由（1）的角B 及三角形面积公式可得ac 的值，因为D 为边AC 的中点，所以1()2BD BA BC =+，利用向量的模和基本不等式可求BD 的取值范围，即可得到BD 的最小值. 解：（1）由tan(sin 2cos )cos 2222A C A C a b a +=，得sin (sin 2cos )cos cos 22222A C A A Ca b a +=，25 / 26即(coscos sin sin )2sin cos 222222A C A C A A a b -=，即cos sin 2A Ca b A +=. 由正弦定理得sin cossin sin 2A C AB A +=，因0,sin 0,sin 02BA A π<<≠≠， 所以cossin 2A C A +=，则sin sin 2sin cos 222B B BB ==， 所以1cos (0)2222B B π=<<， 所以23B π=，即23B π=. （2）由△ABC的面积为1sin 2ac B =12ac =.因为D 为边AC 的中点，所以1()2BD BA BC =+，所以2221(2)4BD BA BC BA BC =++，即222111(2cos )(2)3444BD c a ac B ac ac ac =++≥-==，当且仅当a c ==“=”，所以3BD ≥，即线段BD. 11. ABC ∆中，60,2,B AB ABC ==∆的面积为 （1）求AC（2）若D 为BC 的中点，,E F 分别为边,AB AC 上的点（不包括端点），且120EDF ∠=，求DEF ∆面积的最小值. 【思路引导】 （1）利用1sin 2ABCAB B SBC =⋅⋅⋅求出BC ，再利用余弦定理求AC 即可； （2）设(),0,60BDE θθ︒︒∠=∈，在BDE 中，利用正弦定理表示出DE ，在CDF 中，利用正弦定理表示出DF ，再将DEF的面积表示出来，利用三角函数的性质求其最小值. 解：（1）因为60,2,B AB ==所以11sin 222ABCAB BC B BC B S C =⋅⋅⋅=⨯=， 又ABCS=4BC =，由余弦定理得：2222212cos 24224122ACAB BC AB BC B =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=， 所以AC =26 / 26（2）设(),0,60BDE θθ︒︒∠=∈，则60CDF θ︒∠=-，在BDE 中，由正弦定理得：sin sin BD DEBED B=∠，即()2sin 60θ︒=+，所以()sin 60DE θ︒=+， 在CDF 中，由正弦定理得：sin sin CD DFCFD C=∠，由（1）可得22260,,30B BC AC AB C ︒=∴=+=，则()21sin 902DFθ︒+=，所以1cos DF θ=，所以()13sin 24sin 60cos DEFSDE DF EDF θθ︒=⋅⋅⋅∠=+⋅==，当15θ︒=时，()()min sin 2601,6DEP S θ︒+===-故DEF 的面积的最小值为6-.。
新高考新教材数学二轮复习六大核心专题1三角函数与解三角形解答题专项1三角函数与解三角形pptx课件
π
φ=-6.
考点二
利用正弦、余弦定理解三角形
考向1 求三角形中的边或角
例 2(2023 北京海淀一模)在△ABC 中,bsin2A= 3asinB.
(1)求 A;
(2)若△ABC 的面积为 3 3,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择
一个作为已知,使△ABC 存在且唯一确定,求 a 的值.
1
∵0<B<π,∴sinB≠0,则 cosA=-2.
2π
∵0<A<π,∴A= . ........................................................................................ 10
3
1
1
2π
1
3
3
由(1)知 bc=1,故 S△ABC=2bcsinA=2×1×sin 3 = 2×1× 2 = 4 . ................... 12
4
2
3
4
π
3
π
π
π
2π
整理得 sin(2x+3)= 2 ,即 2x+3=2kπ+3或 2x+3=2kπ+ 3 (k∈Z),
π
π
2π
π
当 k=0 时,2x+ = 或 ,即 x=0 或 ;
3
3
3
6
7π
当 k=1 时,x=π 或 6 .
π
7π
7π
故所有零点之和为 0+ +π+ = .
6
6
3
增分技巧1.三角恒等变换在三角函数图象与性质中应用的基本思路:通过
2024届高考数学二轮复习专题1三角函数与解三角形课件
即 cos A＝－12，
由 A 为三角形内角得 A＝23π，
△ABC
面积
S＝12bcsin
A＝12×1×
23＝
3 4.
专题一 三角函数与平面向量
类型四 平面向量及其应用
1．(2023·新课标Ⅰ卷)已知向量 a＝(1，1)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a＋μb)，
则( )
A．λ＋μ＝1
B．λ＋μ＝－1
A．79 解析：因为
sin
B．19 (α－β)＝sin
αcos
C．－19 β－sin βcos
α＝13，
cos αsin β＝16，
所以 sin αcos β＝12，
所以 sin(α＋β)＝sin αcos β＋sin βcos α＝12＋16＝23，
则 cos(2α＋2β)＝1－2sin2(α＋β)＝1－2×49＝19.
答案：－
3 2
专题一 三角函数与平面向量
3．(2023·全国甲卷)函数 y＝f(x)的图象由函数 y＝cos (2x＋π6)的图象向左平移π6个
单位长度得到，则 y＝f(x)的图象与直线 y＝12x－12的交点个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：把函数 y＝cos(2x＋π6)向左平移π6个单位可得 函数 f(x)＝cos(2x＋π2)＝－sin 2x 的图象， 而直线 y＝12x－12＝12(x－1)经过点(1，0)，且斜率为12，
Bcos Bcos
AA－ssiinn
CB＝1，所以ssiinn
（（AA－＋BB））－
sin sin
CB＝sin
（A－sinBC）－sinB＝1，
专题一 三角函数与平面向量
2020年高考数学(理)大题分解专题01 三角函数与解三角形(含答案)
已知向量(sin cos ,2cos )x x x =+m ，sin co,s )s in (x x x =-n ，()1f x =⋅+m n ． （1）求()f x 的解析式，并求函数()f x 的单调增区间； （2）求()f x 在[0,]2π上的值域．【肢解1】在已知条件下求出，函数()f x 的解析式.【肢解2】在“肢解1”的基础上，完成问题：函数()f x 的单调增区间. 【肢解3】在已知条件下，求()f x 在[0,]2π上的值域.【解析】（1）22()sin cos 2sin cos 1sin 2cos21)14f x x x x x x x x π=-++=-+=-+．（3分）令222242k x k ππππ-≤-≤π+，k ∈Z ，得88k x k π3ππ-≤≤π+，k ∈Z ． 故函数()f x 的单调增区间为[,]88k k π3ππ-π+，k ∈Z ．（6分）（2）因为02x π≤≤，所以2444x ππ3π-≤-≤，从而sin(2)14x π≤-≤，（8分）大题肢解一三角函数的图象及其性质所以0)114x π-+≤，所以()f x 在[0,]2π上的值域为1]．（12分）此类问题通常先通过三角恒等变换化简函数解析式为si (n )y A x B ωϕ++=的形式，再结合正弦函数sin y x =的性质研究其相关性质．（1）已知三角函数解析式求单调区间：①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”； ②求形如sin()y A x ωϕ=+或cos()y A x ωϕ=+（其中ω>0）的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错． （2）函数图象的平移变换解题策略：①对函数sin y x =，sin()y A x ωϕ=+或cos()y A x ωϕ=+的图象，无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，只要平移|φ|个单位，都是相应的解析式中的x 变为x ±|φ|，而不是ωx 变为x ωϕ±.②注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移.【拓展1】已知向量()sin ,cos x x =a ，()cos ,cos x x =b ，x ∈R ，已知函数()()f x =⋅+a a b . 求()f x 的最值与最小正周期；【解析】由向量()sin ,cos x x =a ，()cos ,cos x x =b ，所以()sin cos ,2cos x x x +=+a b ， 所以()()()2sin sin cos 2cos f x x x x x =⋅+=++a a b ()111sin 2cos 2122x x =+++32224x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，又[]sin 2-1,14x π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，即()f x的最大值是322+，最小值是322-，()f x 的最小正周期是22T π==π. 【拓展2】已知函数23()cos cos 2f x x x x =++，当[,]63x ππ∈-时，求函数()y f x =的值域.【解析】由题得1cos 23()2sin(2)22226x f x x x +π=++=++， ∵[,]63x ππ∈-， ∴2[,]666x ππ5π+∈-， ∴1sin(2)126x π-≤+≤， ∴函数()y f x =的值域为3[,3]2.（2019年河北省存瑞中学高三上一质检）已知向量)1cos ,,,cos2,2x x x x ⎛⎫=-=∈ ⎪⎝⎭R a b ,设函数()f x =⋅a b .（1）求()f x 的最小正周期； （2）求函数()f x 的单调递减区间；（3）求()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．【解析】由已知可得：变式训练一()11·cos cos2cos2sin 22226f x x x x x x x π⎛⎫==-=-=- ⎪⎝⎭a b ,（3分）（1）()f x 的最小正周期2π2T π==；（5分） （2）由3222,262k x k k ππππ+≤-≤π+∈Z ,可得5,36k x k k πππ+≤≤π+∈Z , ()f x ∴的单调递减区间为()5,36k k k ππ⎡⎤π+π+∈⎢⎥⎣⎦Z ．（7分）（3）0,2x π⎡⎤∈=⎢⎥⎣⎦,52,666x πππ⎡⎤∴-∈-⎢⎥⎣⎦,1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤∴-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,（10分）()f x ∴的最大值为1,最小值为12-．（12分）在锐角ABC △中，角,,AB C 的对边分别为,,a b c ，已知ππsin 2)cos()44B B B =+-. （1）求角B 的大小；（2）若1b =，ABC △的面积为2，求ABC △的周长．【肢解1】在已知条件下化解二倍角公式和余弦和差公式. 【肢解2】根据正、余弦定理求解即可.大题肢解二解三角形【解析】（1）因为在锐角ABC △中，ππsin 2)cos()44B B B =+-，所以ππsin 2cos()sin()44B B B =++，所以sin 22B B =，（3分） 因为cos20B ≠，所以tan 2B =因为π02B <<， 所以π6B =.（6分） （2）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得2212cos a c ac B =+-，所以221a c =+，（8分）因为ABC △的面积为2，所以1πsin 26ac =，即ac = 所以227a c +=，（10分）所以22()7(2a c +=+=+，所以2a c +=+所以3a b c ++=+ABC △的周长为3（12分）（1）利用正、余弦定理求边和角的方法：①根据题目给出的条件(即边和角)作出相应的图形，并在图形中标出相关的位置．②选择正弦定理或余弦定理或二者结合求出待解问题．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.③在运算求解过程中注意三角恒等变换与三角形内角和定理的应用． （2）求三角形面积的方法：①若三角形中已知一个角(角的大小，或该角的正、余弦值)，结合题意求夹这个角的两边或该两边之积，套公式求解．②若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，套公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．【拓展1】已知在ABC ∆中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且ca bA B A C +=--sin sin sin sin , （1）求角C 的大小; （2）若3=c ,求b a +的取值范围. 【答案】（1）由c a b A B A C +=--sin sin sin sin ,则ca ba b a c +=--.⇒ab c b a =-+222,所以2122cos 222==-+=ab ab ab c b a C 而),0(π∈C 故3π=C , （2）由ab c b a =-+222 且3=c ,⇒ab ab b a =--+92)(2, ⇒22)2(339)(b a ab b a +≤=-+, ⇒36)(2≤+b a 所以6≤+b a ,又3=>+c b a ,所以b a +的取值范围是]6,3(.【拓展2】在ABC ∆中，设边,,a b c 所对的角分别为,,A B C ，cos cos 2A aC b c=-+. （1）求角A 的大小；（2）若2,bc =ABC ∆的周长为3，求a 的值.【答案】（1）23A π=（2）a =【解析】（1）因为cos cos 2A aC b c=-+ 由正弦定理得cos sin cos 2sin sin A A C B C=-+ sin cos cos sin 2cos sin 0A C A C A B ++=sin()2cos sin 0A C A B ++=sin 2cos sin 0B A B +=,(0,)B π∈, 1cos 2A =-,(0,)A π∈,23A π=（2）由余弦定理得2222222cos 2a b c bc Aa b c =+-⇒=++因为周长3a b c ++=，又222a b c =+-（），所以2232a a =+-（），所以a =【点睛】本题考查正、余弦定理的综合运用，考查了逻辑推理能力，考查了方程思想，属于中档题．（百校联盟2019-2020学年高三上学期10月尖子生联考数学理科试题）已知ABC △的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .且cos 2sin cos 6B C A π⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭. （1）求角A ；（2）若ABC △的面积为ABC ∆周长的最小值.【解析】（1）cos 2sin cos 6B C A π⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，且A B C ++=π，()1cos 2cos cos 2A C C C A ⎫∴-+=-⋅⎪⎪⎝⎭，（2分）sin sin cos A C C A ∴⋅=，0C <<π，且0A <<π，sin 0,sin C A A ∴>∴=，3A π∴=.（6分） 变式训练二（2）由1sin 2S bc A ==，得8bc =.（8分） 又222a b c bc =+-，28a bc ∴≥=，（当且仅当b c =时取等号），（10分） ()2224b c a ∴+=+，l a b c a a ∴=++=+≥，l ∴≥=ABC∴△周长的最小值为.（12分）已知函数πππ()cos(2)2sin()cos()()344f x x x x x =-+--∈R .（1）求函数的最小正周期及在区间π2π[,]123上的值域；（2）在ABC△中，ABC △的面积.【肢解1】在已知条件下化解二倍角公式和余弦和差公式. 【肢解2】根据正、余弦定理及三角形的面积公式求解即可.()f x ()f x 5AB =大题肢解三三角函数与解三角形的综合问题【解析】（1）∵πππ()cos(2)2sin()cos()344f x x x x =-+--1πcos 22sin(2)222x x x =++-12cos 2cos 2x x x =+-12cos 22x x =- πsin(2)6x =-.（3分）的最小正周期为2ππ2T ==；∵π2π[,]123x ∈， ∴π7π2[0,]66x -∈，（4分） ∴max ππππ()()sin(2)sin 13362f x f ==⨯-==，min 2π2ππ7π1()()sin(2)sin 33662f x f ==⨯-==-, ∴在区间π2π[,]123（6分）（2π1sin(2)62A -=，即π6A =，（7分） 由余弦定理得2725(0b b b =+-⇒--=，∴b =b =（10分）)(x f ∴()f x∴ABC △（12分）此类问题是将三角函数的图象与性质、解三角形综合命题进行考查，解题时，只需从条件出发，其间只需熟练掌握三角函数的图象与性质的求解方法以及解三角形的相关知识即可顺利解决.【拓展1】已知函数()22sin 24f x x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. （1）求()f x 的最小正周期；（2）设ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且12C c f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，若sin 2sin B A =，求,a b 的值.【解析】（1）1cos 22()221sin 2212sin 223x f x x x x x π⎛⎫-+ ⎪π⎛⎫⎝⎭=-=+=+- ⎪⎝⎭，所以22T π==π.（4分） （2）因为12sin 1sin 0233C f C C ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=⇒-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为0C <<π，所以3C π=.（5分） 因为222222cos 3c a b ab C a b ab =+-⇒=+-①，因为sin sin a b A B=，sin 2sin B A =，所以2b a =②，联立方程①②得：1,2a b ==.（12分）[广东省珠海市2019-2020学年高三上学期期末数学（理)]已知A 、B 、C 是ABC ∆的内角，a 、b 、c 分别是其对边长，向量(),m a b c =+，()sin sin ,sin sin n B A C B =--，且m n ⊥. （1）求角A 的大小；（2）若2a =，求ABC ∆面积的最大值. 【答案】（1）3A π=；（2【解析】（1）(),m a b c =+，()sin sin ,sin sin n B A C B =--，m n ⊥，()()()sin sin sin sin 0a b B A c C B ∴+-+-=，由正弦定理得()()()0b a b a c c b +-+-=，整理得222b c a bc +-=，2221cos 22b c a A bc +-∴==，0A π<<，3A π∴=；（2）在ABC ∆中，3A π=，2a =，由余弦定理知2222242cos a b c bc A b c bc ==+-=+-，由基本不等式得2242bc b c bc +=+≥，当且仅当b c =时等号成立，4bc ∴≤，11sin 422ABC S bc A ∆∴=≤⨯=ABC ∆.【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，同时也考查了三角形面积最值的计算，涉及基本不等式以及正变式训练三弦定理边角互化思想的应用，考查计算能力，属于中等题.1．（2019年10月广东省广州市天河区高考数学一模试题）在ABC △中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b、c ，且22sin 30C C -++=．（1）求角C 的大小；（2）若b =，ABC △sin A B ，求sin A 及c 的值．【解析】（1）22sin 30C C -++=，可得：22(1cos )30C C --++=，22cos 10C C ∴++=， cos C ∴=0C π<<，34C π∴=． （2）2222222cos 325c a b ab C a a a =+-=+=，c ∴，sin C A ∴=，sinA C ∴=，1sin sin 2ABC S ab C A B ∆=，∴1sin sin 2ab C A B =，∴2sin ()sin sin sin sin a b c C C A B C=1c ∴=．2．（2019·沙雅县第二中学押题卷）已知点)P，(cos ,sin )Q x x ，O 为坐标原点，函数()f x OP QP =⋅.（1）求函数()f x 的解析式及最小正周期;（2）若A 为ABC △的内角，()4f A =，3BC =，ABC ∆ABC △的周长. 【解析】（1）.()3,1OP =，()3cos ,1sin QP x x =-.∴()f x OP QP =⋅)3cos 1sin x x =-+-42sin 3x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，()f x 的最小正周期为2π.（2）.因为()4f A =，所以sin 03A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为0A <<π，所以23A π=，因为1sin 2ABC S bc A ∆=12sin 234bc π==，所以3bc =，根据余弦定理22222cos3a b c b π=+-2()29b c bc bc =+-+=，所以b c +=即三角形的周长为3+3．（四川省遂宁市射洪县射洪中学2020届高三上学期10月月考数学试题）锐角ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c cos sin C c B +=. （1）求角B 的大小；（2）若b =ABC △的周长的取值范围．【解析】（1cos sin C c B +=，cos sin sin B C C B A +=， 又由sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，代入整理得sin sin sin C B B C =，又由(0,)C ∈π，则sin 0C >，所以sin B B =，即tan B =又因为(0,)B ∈π，所以3B π=. （2）因为3b B π==,且由正弦定理，可得2sin sin sin a b cA B C====， 即2sin ,2sin a A c C ==，所以周长22(sin sin )2(sin sin())3L a b c a c A C A A π=++=+=+=+-32(sin ))26A A A π=+=+，即)6L A π=+又因ABC △为锐角三角形，且23A C π+=， 所以203202A A ππ⎧<-<⎪⎪⎨π⎪<<⎪⎩，解得62A ππ<<，所以2(,)633A πππ+∈，则有sin()6A π+∈ 即(3L ∈， 即ABC △的周长取值范围为(3+.4．（2019年河北省唐山市高三上学期摸底考试数学试题）ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知ABC △的面积21tan 6S b A =. （1）证明：3cos b c A =；（2）若a c ==，求tanA .【解析】（1）由211sin tan 26S bc A b A ==得3sin tan c A b A = ． 因为sin tan cos A A A =，所以sin 3sin cos b A c A A=， 又因为0A π＜＜，所以0sinA ≠ ， 因此3b ccosA =．（2）由（1）得3cos b c A A ==，所以2230bccosA cos A =由余弦定理得2222a b c bccosA =+-，所以22845530cos A cos A -=+，解得21cos 5A =因此24sin 5A =，即2tan 4A = 由（1）得cos 0A ＞，所以tan 0A ＞ ， 故tan 2A =．5．（黑龙江省大庆市2019-2020学年高三上学期第一次教学质量检测数学试题）在ABC △中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin sin sin sin b B c C a A c B +=+.（1）求角A 的大小；（2）若cos 7B =，a =ABC △的面积S 的值. 【解析】（1）∵由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===， ∴有sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2c C R=， 则sin sin sin sin b B c C a A c B +=+可化为2222b c a bb c a c R R R R⋅+⋅=⋅+⋅， 即222b c a bc +=+，即222a b c bc =+-， 又∵余弦定理2222cos a b c bc A =+-，∴1cos 2A =， 由()0,A ∈π，得3A π=； （2）由（1）知，3A π=，则sin 2A =，1cos 2A =，∵cos B =，()0,B ∈π，∴1sin 7B ==， ∴()1113sin sin 272714C A B =+=+⨯=，由正弦定理得，13sin 13sin a C c A===，∴111sin 132272S ac B ==⨯⨯=. 6．（河南省郑州市第一中学2019届高三高考适应性考试数学试题）在ABC △中，三边a ，b ，c 的对角分别为A ，B ，C ，已知3a =，cos cos cos sin cos B A C B C b+=.（1）若c =，求sin A ；（2）若AB 边上的中线长为2，求ABC △的面积.【解析】（1）因为cos cos cos sin cos B A C B C b+=，由正弦定理，得cos cos cos sin cos B A C B C +=，所以cos()cos cos sin cos A C A C B C -++=.所以sin sin cos A C A C =.又因为sin 0A ≠，所以tan C =因为(0,)C ∈π，所以3C π=.又因为sin sin a c A C =，所以3sin A =，所以3sin 4A =. （2）设AB 边上的中线为CD ，则2CD CA CB =+，所以22224()2cos CD CA CB b a ab C =+=++，即23793b b =++，23280b b +-=. 解得4b =或7b =-（舍去）.所以11sin 4322ABC S ab C ∆==⨯⨯=.7．（河南、河北两省重点高中2019届高三考前预测试卷数学试题）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，30B =︒，且()()2sin 2sin 2sin a A b c B c b C -+=+.（1）求()sin A C -的大小；（2）若ABC △的面积为ABC ∆的周长.【解析】（1）因为()()2sin 2sin 2sin a A b c B c b C -+=+，由正弦定理可得：()()2222a b b c c c b -+=+，整理得222b c a bc +-=-，∴2221cos 22b c a A bc +-==-，解得120A =︒.又30B =︒，所以1801203030C =︒-︒-︒=︒，即30C B ==︒， ∴()()sin sin 120301A C -=︒-︒=. （2）由（1）知b c =，120A =︒，∴21sin1202b ︒=bc ==. 由余弦定理，得22212cos 1212212362a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯-= ⎪⎝⎭，即6a =.∴ABC 的周长为6.8．（重庆市2019届高三高考全真模拟考试数学试题）已知锐角ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a，b ，c ，sin cos (sin )0A C B B -+=．（1）求角C ；（2）若b =c =AB 边上的高长．【解析】（1）()sin cos sin 0A C B B -=，()()sin cos sin 0B C C B B ∴+-=， ()cos sin 0B C C ∴=，tan C ∴=3C π∴=．（2）由余弦定理可得：2222cos c a b ab C =+-，可得：210a -=，可得：a =，由等面积可得：11sin 22S ab C ch ==，可得：h =． 9．[惠州市2020届高三第三次调研考试数学（理）]【答案】（1）在ABC ∆中，因为2BC =，π3ABC ∠=，1sin 22ABC S AB BC ABC ∆=⋅∠=，所以22AB =，解得3AB =． 在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos 7AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠=，因为0AC >，所以AC =（2）设ACD α∠=，则ππ33ACB ACD α∠=∠+=+． 在Rt ACD ∆中，因为AD =sin AD AC α==． 在ABC ∆中，ππ3BAC ACB ABC α∠=-∠-∠=-， 由正弦定理得sin sin BC AC BAC ABC =∠∠，即2πsin()3α=-， 所以2sin()sin 3παα-=，所以12(cos sin )sin 22ααα-=，2sin αα=，所以tan α=，即tan ACD ∠=。
深入初二数学教材中的三角函数与解三角形
深入初二数学教材中的三角函数与解三角形在初二数学教材中，三角函数和解三角形是我们学习的重要内容之一。
通过深入学习这些知识点，我们可以更好地理解数学的运用和解决实际问题的能力。
本文将深入探讨初二数学教材中的三角函数和解三角形，并探索其应用。
1. 三角函数的基本概念三角函数是数学中研究角和角度的函数关系。
在初二数学教材中，我们主要学习了正弦函数、余弦函数和正切函数。
这些函数可以用来描述角的特性，比如角度和边长之间的关系。
正弦函数（sin）表示一个角的对边与斜边的比值，即sinθ = 对边/斜边。
余弦函数（cos）表示一个角的邻边与斜边的比值，即cosθ = 邻边/斜边。
正切函数（tan）表示一个角的对边与邻边的比值，即tanθ = 对边/邻边。
2. 三角函数的性质和应用在学习了三角函数的基本概念后，我们需要了解它们的性质和应用。
三角函数具有周期性、奇偶性和单调性等特点，这些性质可以帮助我们解决各种问题。
周期性：正弦函数和余弦函数的周期为2π，正切函数的周期为π。
奇偶性：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，正切函数是奇函数。
单调性：在定义域内，正弦函数和余弦函数都是周期性递增递减的。
三角函数的应用非常广泛，包括测量和角度的计算、物体的运动状态分析、电路中的交流电分析等。
它们在物理学、天文学、工程学等领域具有重要的作用。
3. 解三角形的方法解三角形是指已知三角形的一些边长或角度，求解其余的未知边长或角度。
在初二数学教材中，我们学习了两种常见的解三角形的方法：正弦定理和余弦定理。
正弦定理可以帮助我们求解三角形中的任意边长或角度。
它的表达式为a/sinA = b/sinB = c/sinC，其中a、b、c为三角形的边长，A、B、C为对应的角度。
余弦定理可以帮助我们求解三角形中的边长。
它的表达式为c² = a²+ b² - 2ab*cosC，其中c为三角形的边长，a、b为与之相邻的两边，C为对应的夹角。
微专题三角函数与解三角形中最值问题
【分析】 在对称轴处取得最值有 ，结合 ，可得 ，易得曲线 的解析式为 ，结合其对称中心为 可得 即可得到 的最小值.
【解析】∵直线 是曲线 的一条对称轴. ，又 . .∴平移后曲线 为 .曲线 的一个对称中心为 . .
，注意到 ，故 的最小值为 .故选：C.
例题9：某同学用“五点法”画函数 在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
1．（2020·黑龙江高三）若函数 的图像向左平移 个单位得到函数 的图像.则 在区间 上的最小值为（）
A． B． C． D．
【分析】注意平移是针对自变量x，所以 ，再利用整体换元法求值域（最值）即可.
【解析】由已知 ，
，又 ，故 ，
，所以 的最小值为 .
2．（2020·河北正定中学高三）已知函数 （ ）的部分图象如图所示，且 ，则 的最小值为（）
0
0
5
0
(Ⅰ)请将上表数据补充完整，并直接写出函数 的解析式；
(Ⅱ)将 图象上所有点向左平行移动 个单位长度，得到 的图象．若 图象的一个对称中心为 ，求 的最小值．
【解析】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得 .数据补全如下表：
0
0
5
0
0
且函数表达式为 ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，得 ．
因为 的对称中心为 ， ．令 ，解得 ， ．
5．（2020北京高三）将函数 图像上的点 向左平移 ( )个单位长度得到点 ．若 位于函数 的图像上，则
A． ， 的最小值为 B． ， 的最小值为
C． ， 的最小值为 D． ， 的最小值为
【解析】因为点 在函数 的图象上，所以 ，
又 在函数 的图象上，所以 ，则 或 ， ，得 或 ， ．又 ，故 的最小值为 ，故选A．
小学数学中的三角函数与解三角形
小学数学中的三角函数与解三角形三角函数是数学中一个重要的概念，也是解决三角形相关问题的基础知识。
在小学数学中，介绍三角函数和解三角形的原理和方法可以帮助学生更深入地理解和应用数学知识。
本文将从基本概念开始，逐步介绍三角函数和解三角形的相关内容。
1. 三角函数的基本概念三角函数是以角为自变量、以某一边的比值为函数值的函数。
在小学数学中，我们主要学习正弦、余弦和正切三种基本的三角函数。
其中，正弦函数的定义为：在一个任意角的单位圆上，该角的终边上某一点的纵坐标与半径之比；余弦函数的定义为：该角的终边上某一点的横坐标与半径之比；正切函数的定义为：正弦函数值与余弦函数值的比值。
2. 三角函数的性质三角函数有许多重要的性质，其中最基本的性质是正弦函数和余弦函数在单位圆上的坐标关系。
根据单位圆的定义和三角函数的定义，可以得出正弦函数和余弦函数的周期性、奇偶性和范围等性质。
此外，正切函数的性质也是我们需要关注的内容，例如正切函数的周期为180度（或π弧度）。
3. 解三角形的基本原理解三角形是根据已知条件求解三角形的各个角度和边长的过程。
在小学数学中，常见的解三角形方法有正弦定理和余弦定理。
正弦定理适用于已知一个角度和与之对应的两条边长，可以求解其他边长和角度；余弦定理适用于已知三条边长，可以求解三个角度。
这两个定理是解决三角形相关问题的重要工具。
4. 解三角形的实例分析通过分析一个具体的解三角形实例，可以更好地理解三角函数和解三角形的应用。
假设已知三角形的两边长分别为5厘米和7厘米，夹角为60度。
我们可以通过正弦定理和余弦定理求解这个三角形的其他角度和边长。
首先，根据正弦定理可以求解夹角对应的边长：sin 60° = x / 5，解得 x = 4.33 厘米。
接下来，通过余弦定理可以求解剩余边长：c² = a² + b² - 2ab cos 60°，代入已知条件，解得 c = 8.66 厘米。
2024届高三数学一轮复习-三角函数与解三角形 第1练 任意角和弧度制及三角函数的概念(解析版)
第1练任意角和弧度制及三角函数的概念一、单选题B．A．8π33．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）为解决皮尺长度不够的问题，实验小组利用自行车来测量A，B上与点A接触的地方标记为点直），直到前轮与点B接触.经观测，当前轮与点B接触时，标记点度为0.45m.已知前轮的半径为A．20.10m B．19.94m4．（2023秋·甘肃天水·高二天水市第一中学校考开学考试）种结构样式，多见于亭阁式建筑、园林建筑.如图所示的带有攒尖的建筑屋顶可近似看作一个圆锥，其底面积为9π，侧面展开图是圆心角为A．122π5．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）A．32-6．（2023·全国·高一专题练习）已知角重合．若角α终边上一点A．32-7．（2023春·广东深圳·高二深圳外国语学校校考期末）在平面直角坐标系中，已知点为角α终边上一点，若二、多选题9．（2023春·江西九江·高一校考期中）如图，在平面直角坐标系中，以原点O 为圆心的圆与x 轴正半轴交于点()1,0A ．已知点()11,B x y 在圆O 上，点T 的坐标是()00,sin x x ，则下列说法中正确的是（）A．若AOB α∠=，则 ACB α=B．若C．10sin y x =，则 0ACB x =D．若10．（2023春·湖北恩施·高一校联考期中）如图所示，以x 轴非负半轴为始边作锐角α，β，αβ-，它们的终边分别与单位圆相交于点P ，则下列说法正确的是（）A． AP的长度为αβ-B．扇形11OA P 的面积为αβ-C．当1A 与P 重合时，12sin AP β=D．当3πα=时，四边形11OAA P 面积的最大值为11．（2023·全国·高三专题练习）如图，A ，B 是在单位圆上运动的两个质点.初始时刻，质点A 在（1，0）处，质点B 在第一象限，且AOB ∠=向运动，质点B 同时以rad /s 12π的角速度按逆时针方向运动，则（A．经过1s 后，扇形AOB B．经过2s 后，劣弧 AB 的长为C．经过6s 后，质点B 的坐标为D．经过22s 3后，质点A ，12．（2023秋·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）已知点点P 为圆C ：2268x y x y +--+A．PAB 面积的最小值为C．∠PAB 的最大值为5π1213．（2023春·浙江衢州·高一校考阶段练习）0＜φ＜π）的图像与x 轴相邻两个交点之间的最小距离为与x 轴的所有交点的横坐标之和为A．123f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B．f (x )在区间,66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内单调递增C．f (x )的图像关于点512π⎛- ⎝D．f (x )的图像关于直线x =14．（2023·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系中，角与x 轴的非负半轴重合，终边经过点A．2±B．±1三、填空题16．（2023春·河南濮阳·高一濮阳一高校考阶段练习）已知圆锥侧面展开图的圆心角为底面周长为2π，则这个圆锥的体积为17．（2023·全国·高三专题练习）已知单位长度，再向下平移两个单位长度，得到为．18．（2023·安徽安庆·安庆市第二中学校考模拟预测）已知函数四、解答题(1)求扇形AOB的周长；(2)当点C在什么位置时，矩形参考答案：则有113l l r l R -==，所以1l =所以圆台的侧面积为(πR r +故选：C.3．D【分析】由题意，前轮转动了【详解】解：由题意，前轮转动了所以A ，B 两点之间的距离约为故选：D.4．D【分析】根据底面圆面积可求底面圆半径，从而可求底面圆周长，即可求扇形半径，再根据3如图所示：则圆锥的高h =则圆锥的体积2133V π=⨯⨯故选：D 5．C【分析】利用诱导公式，逆用正弦和角公式计算出答案.【详解】cos198cos132︒︒+cos18sin 42cos 42sin18=︒︒+︒故选：C 6．A【分析】计算得到1,2P ⎛- ⎝【详解】2π2πcos ,sin 33P ⎛对于A，PAB 面积的最小值为点12PAB M S AB y =⋅⋅= 对于B，连接,A C 交圆于22(31)42-=++-AC RC 对于C，当AP 运动到与圆Q ,2sin 4∠==QC CAQ AC ∠∠∠∴=+PAB CAQ CAN。
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第一模块 三角函数和解三角形（1）
1、若,31sin =α则____________)2
(cos =+απ。
（卷1） 2、设()(),2
12tan ,135sin 0==+∈αβαπβα，，，则βcos 的值是_________。
（卷8） 3、已知函数，⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=32sin 2πx y 则该函数的最小正周期为_______，最小值为_______，单调递增区间为______________________________________。
（卷1）
4、函数())0(6sin >⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=ωπωx A x f 的图像与x 轴正半轴交点的横坐标构成一个公差为
2
π的等差数列，要得到函数()x A x g ωsin =的图像，要将()x f 的图像（ ） A 、向左平移6π B 、向右平移6π C 、向左平移12π D 、向右平移12π（卷3） 5、将函数⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=62sin πx y 向右平移m(m>0)个单位，得到函数()x f y =的图像，若()x f y =在⎥⎦
⎤⎢⎣⎡36-ππ，上单调递增，则m 的最小值为 （卷4） （ ） A 、3π B 、4π C 、6π D 、12
π 6、在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a,b,c.已知A A cos 2232cos =+
. （1）求角A 的大小；
（2）若a=1,求ABC ∆的周长l 的取值范围。
（卷1）
7、在ABC ∆中，已知a-b=2,c=4,sinA=2sinB.
(1)求ABC ∆的面积；
（2）求sin(2A-B)。
（卷2）
8、已知函数()1sin 4cos sin 342+-=x x x x f ，（1）求函数()x f 的单调区间；
（2）在ABC ∆中，a=2，若对任意的R x ∈不等式()()A f x f ≤恒成立，求ABC ∆面积的最大值。
（卷16）
9、在ABC ∆中，.2,01cos 32cos 22++=+=-+b ac c a B B
(1)求边b 的边长；
(2)求ABC ∆周长的最大值。
（卷6）。