外部绕流的Navier—Stokes方程的边界层方程和维数分裂法
navier stokes 方程
navier stokes 方程Navier-Stokes方程是描述流体运动的基本方程之一，它在物理学和工程学领域都有广泛的应用。
它最初是由法国科学家Clairaut和d'Alembert所提出，后由Navier和Stokes完善而得名。
这个方程体现了动量守恒的基本原理，可以用来描述流体的流动规律。
Navier-Stokes方程由两个部分组成：连续性方程和动量守恒方程。
其中连续性方程描述了流体的质量守恒，即任何时刻，流入单位体积的质量等于流出单位体积的质量。
动量守恒方程描述了流体中的粘性效应和惯性效应，它是Navier-Stokes方程的重要组成部分。
连续性方程表述了质量守恒原理，它的一般形式为：∂ρ/∂t + div(ρv) = 0其中，ρ是流体的密度，v是流体的速度矢量，t是时间，div符号代表散度运算。
动量守恒方程表述了Newton第二定律，描述了流体中的惯性和粘性效应，它的一般形式为：ρ(∂v/∂t + v·grad(v)) = -grad(p) + div(τ) + f其中，p是压力，τ是与表面接触的剪应力张量，f是外力源。
方程左边代表质量流动对时间的变化率，右边代表各种力的和，其中包括压力梯度力、粘性力和外力。
Navier-Stokes方程的求解非常困难，主要原因是由于它的非线性和相互耦合性。
在数值模拟中，通常采用有限元、有限差分等方法，通过离散化求解这个方程。
这些方法具有较高的计算效率和计算精度。
Navier-Stokes方程在水力学、气动学、天气预报、燃烧等领域都具有重要的应用。
在水动力学领域中，它可以用来模拟河流、湖泊、海洋等水体的流动规律；在气体动力学领域中，它可以用于研究风道系统、喷气发动机等问题；在燃烧领域中，它可以用于预测火焰、气流和热辐射等相关参数。
总之，Navier-Stokes方程是理解流体行为的重要工具，它在物理学、工程学等领域都具有广泛的应用。
navier stokes方程
navier stokes方程Navier-Stokes方程是运动学领域中最重要的基本方程。
它描述了任意流体在任意流动状况下动量储存及其变化。
这个方程式于1800年代中期由法国几何家和物理学家纳认·斯特拉自斯申请，所以又称为Navier-Stokes方程。
该方程常用于模拟动量输运、平流及复杂流动等流体力学现象。
Navier-Stokes方程表示流体动量的储存和变化，生成的方程的核心方程如下，其中，$\rho$为密度，u是流体速度；ρσ是粘滞力；DU/Dt表示动量微分修正系数：$$\rho \frac{D\mathbf{u}}{D t}=-\nabla p+\nabla \cdot \tau +\rho\mathbf{g}$$其中，g表示重力加速度向量，p为压强，τ为粘性应力矩阵。
Navier-Stokes方程可以简化为一些特殊的情形，如非流动的流体，它的方程可以表示为：$$\frac{\partial \bm{u}}{\partial t}=-\frac{1}{\rho}\nabla p$$对于不同的流动条件，Navier-Stokes方程需要得到补充的约束条件，故其可以描述的流体动量的储存和变化的范围更加广泛。
Navier-Stokes方程很多具体应用，可以用来预报一些气象现象以及海陆河流模拟，如上述例子中所提到的地表水流情况。
由这一方程，可以研究一系列流体动力学现象，决定气体、液体环路流动的样式、特征以及变化趋势，以及流体介质内不同细节的演变特性。
Navier-Stokes方程是一个很重要的物理力学方程，它解释了流体中所有运动学现象的基础，其应用在现代工程中极为重要，尤其是在涉及气象、海洋流体力学以及机械控制等方面，对学术界、实际应用有着深远的影响。
一维不可压缩navier_stokes方程_理论说明
一维不可压缩navier stokes方程理论说明1. 引言1.1 概述本文将讨论一维不可压缩Navier-Stokes方程的理论说明。
Navier-Stokes方程是描述流体运动的基本方程之一，其在各个领域都具有重要应用价值。
本文将从介绍Navier-Stokes方程的基本概念开始，逐步展开对一维流动特征和不可压缩流体模型假设的理论说明。
1.2 文章结构文章分为五个主要部分：引言、一维不可压缩Navier-Stokes方程理论说明、理论推导和分析、数值方法和模拟研究以及结论与展望。
其中，引言部分将概述文章的目标和结构，提供读者对整篇文章内容的预览。
1.3 目的本文旨在深入探讨一维不可压缩Navier-Stokes方程，并通过理论推导和数值模拟研究解析该方程对流体运动行为的描述能力。
通过阐明不同数值方法在求解此类方程时的差异和优劣，我们可以更好地了解该方程在实践中的应用，并为进一步研究提供展望。
以上是关于引言部分的详细内容，请根据需要进行修改或补充。
2. 一维不可压缩Navier Stokes方程理论说明2.1 Navier Stokes方程简介Navier Stokes方程是描述流体运动的基本方程之一，它由质量守恒和动量守恒两个方程组成。
同时考虑流体的黏性和压力力作用，Navier Stokes方程能够准确描述流体在各种复杂情况下的运动。
2.2 一维流动特征描述在一维流动中，流体只在一个空间方向上（通常为x轴）有速度分量变化，而在其余两个空间方向上（通常为y轴和z轴）没有速度分量变化。
这样简化后的一维问题可以更容易地推导出Navier Stokes方程的解析解，并且提供了更直观的物理图像。
2.3 不可压缩流体模型假设不可压缩流体是指在任何情况下密度保持不变，即密度是常数。
这个假设适用于许多情况下，例如液体的非常小压缩性以及稳态条件下气体的高马赫数等。
通过这个假设，我们可以将Navier Stokes方程进一步简化为不含密度项的形式，并且使问题更具可行性。
6 Navier-Stokes方程的解
h 2 dp B 2U dx
④
⑤
du |y 0 0 ， dy
B 1
du |y 0 0 ， B dy
u y y y y2 1 ， u0 h h [1 h ] h2 ，流速曲线 dP 2u 在y=0处与y轴相切， 2 0 为不产生回流时的极限 dx h
6 Navier-Stokes方程的解
Navier-Stokes 方程的精确解仅限于层流 问题，湍流问题不可能有精确解。
6.1 平行流动
（一）、定常流动 1、平行直线流动 两平行平板间流动 （1）Couette流动，运动平板通过粘性拖曳 （2）Poiseuille流动，压力梯度推动 充分发展的管道流动 （1）圆管（Hagen-Poiseuille流） （2）椭圆管、矩形管、同心环空、偏心环空 2、平行圆周流动 两同轴旋转圆柱体间流动
y h 2 dp y y u U 1 h 2 dx h h
u y y y B 1 U h h h
u 1 dp h h 2 dx
无量纲速度
2 h dp 式中：B 2U dx
无量纲压力梯度
6.1.1 Couette (库埃特)剪切流
高等流体力学
6 Navier-Stokes 方程的解
6 Navier-Stokes方程的解
由于 Navier-Stokes 方程含有非线性项， 而数学上至今尚未找到求解非线性偏微分方 程的普遍方法，所以 Navier-Stokes 方程无一 般的精确解法。但是，对一些物理现象简单 的流体流动问题，能够获得 Navier-Stokes 方 程的精确解。
u x 0 x
即：运动速度u与坐标轴x无关，
u x u u( y, z, t )
流体力学第六章 边界层理论 (附面层理论)
x
dx
(
4
)
u y
0.
AB上 摩 擦 力 dx
2021/8/5
流体力学第六章
卡门-波尔豪森动量积分关系式的物理意义： 在定常情形下，流出所论区域边界的动量流率等于 作用在区域内流体上一切力的合力。
2021/8/5
流体力学第六章
在方程（6-2-3）中，令k=1，得到列宾森积分方程：
k
U2 U
L
2
2021/8/5
流体力学第六章
比较
p x
U2 L
p y
U2 L2
得
p x
p y
把以上数量级的分析加以整理，得普朗特边界层微分方程式
u
u x
v
u y
p x
2u y 2
p
y
0
u
x
v y
0
证明如下
(6 1 2)
2021/8/5
流体力学第六章
u
第二节 微分方程式的积分—卡门和列宾森方法 6.2.1哥路别夫积分方程
流体力学第六章
u
u x
v
u y
p x
2u y 2
已知普朗特方程组
p y
0
u
x
v y
0
uk 1
udy
ukv
udy
p
uk dy
uk
2u dy
0
x 0
y
x 0
0 y2
积分一
积分二
积分三
其中 (x)
(6 2 1)
x
0
udy
p x
0
uk
dy
k
0
uk1
navier stokes方程的介绍
navier stokes方程的介绍Navier-Stokes方程是描述流体运动的基本方程之一。
它由法国数学家Claude-Louis Navier和法国物理学家George Gabriel Stokes在19世纪中叶独立提出。
Navier-Stokes方程集合了质量守恒、动量守恒和能量守恒的原理，可以用来描述流体在空间中的运动和相互作用。
Navier-Stokes方程的基本形式是一个偏微分方程组，其中包含了速度场和压力场这两个主要变量。
这个方程组可以分为两个方程：质量守恒方程（连续方程）和动量守恒方程。
质量守恒方程描述了流体的密度变化率与速度散度的关系，而动量守恒方程则描述了流体的加速度与压力梯度、摩擦力和体积力之间的关系。
Navier-Stokes方程的解析解目前只有在一些特殊情况下才能求得，如简单的几何形状和边界条件。
对于一般情况下的复杂流体运动问题，通常需要借助数值计算方法来求解。
这是由于Navier-Stokes 方程的非线性和复杂性导致的。
尽管Navier-Stokes方程在数学和物理学领域中有着重要的理论和实际应用价值，但它仍然存在一些未解决的问题。
其中最著名的是所谓的Navier-Stokes方程解的存在性和光滑性问题。
目前尚未找到一般情况下Navier-Stokes方程解的存在性和光滑性的证明，这也是数学领域的一个重要研究方向。
除了在数学和物理学领域中的应用，Navier-Stokes方程在工程领域也有着广泛的应用。
例如，在航空航天工程中，Navier-Stokes 方程可以用来模拟飞机的气动性能，预测气流的分布和阻力的大小；在汽车工程中，Navier-Stokes方程可以用来模拟车辆在行驶过程中的空气动力学特性，优化车辆的外形和空气动力学性能。
Navier-Stokes方程作为描述流体运动的基本方程之一，具有重要的理论和实际应用价值。
尽管它仍然存在一些未解决的问题，但随着数值计算和计算机技术的不断发展，相信将来会有更多的研究成果和应用突破出现。
带外力的具有一般粘性系数和压力的球面对称navier-stokes方程组弱解的唯一性
带外力的具有一般粘性系数和压力的球面对称navier-stokes方程组弱解的唯一性
带外力的球面对称Navier-Stokes 方程组是描述流体在球面上的流动的重要模型。
具有一般粘性系数和压力的情况下，这个方程组的解的唯一性是一个开放的问题。
在无限维空间上，具有足够的正则性质和边界条件的情况下，Navier-Stokes 方程组是有唯一解的。
然而，在有限维空间中，由于经典的Ladyzhenskaya-Prodi-Serrin 定理，在两维和三维情况下，Navier-Stokes 方程组不存在全局唯一解。
在球面上，解Navier-Stokes 方程组的唯一性是一个开放问题。
虽然球面上的流体力学问题的研究不如在平面或空间上的那么发达，但是有一些研究表明，在特定的条件下，带外力的球面对称
Navier-Stokes 方程组存在唯一解。
例如，当外力是满足某些特殊性质的商品函数时，球面上的Navier-Stokes 方程组存在唯一解。
然而还有很多其它研究工作需要继续探讨这个问题，确定球面上带有一般粘性系数和压力的Navier-Stokes 方程组的唯一解存在性和不存在性的充分条件。
navierstokes方程的三种迭代法
navierstokes方程的三种迭代法
Navier-Stokes方程是描述流体运动的基本方程，其解法通常涉及到数值计算。
以下是三种常见的迭代法：
有限差分法（Finite Difference Method）：
有限差分法是一种直接求解Navier-Stokes方程的方法。
它通过将连续的时间和空间离散化，将偏微分方程转化为差分方程，然后通过迭代求解这些差分方程来逼近原方程的解。
这种方法简单直观，但可能对初值敏感，且在处理复杂边界条件时可能遇到困难。
有限元法（Finite Element Method）：
有限元法是一种基于变分原理的数值方法。
它将连续的流体域离散为有限个小的子域（或称为“元”），然后在这些子域上定义近似函数。
通过最小化近似函数与真实解之间的误差，可以得到原方程的近似解。
这种方法能够处理复杂的边界条件，且对初值不敏感，但计算量较大。
有限体积法（Finite Volume Method）：
有限体积法是一种介于有限差分法和有限元法之间的方法。
它将流体域划分为一系列控制体积，并在每个控制体积上定义离散的数值格式。
通过求解这些离散方程，可以
得到原方程的近似解。
这种方法在处理复杂边界条件和流场变化时具有较好的适应性，且计算效率较高。
以上三种迭代法各有优缺点，可以根据具体问题选择适合的方法进行求解。
Navier-Stokes-Navier-Stokes耦合方程的数值解法
Navier-Stokes-Navier-Stokes耦合方程的数值解法Navier-Stokes/Navier-Stokes耦合方程的数值解法导言在流体力学领域中，Navier-Stokes方程是研究流体运动的基本方程。
然而，在某些特定的情况下，这一方程组的数值求解可能会变得相当困难。
针对这一问题，研究人员提出了一种耦合求解Navier-Stokes方程的方法，即Navier-Stokes/Navier-Stokes耦合方程。
本文将介绍该方程的数值解法。
一、方程模型的建立Navier-Stokes方程是一组描述流体连续性、动量守恒和能量守恒的偏微分方程。
在求解流体运动问题时，一般需要将流体领域划分为无限小的控制体，并对每个控制体应用质量、动量和能量守恒方程。
而Navier-Stokes/Navier-Stokes耦合方程则是在不同物理领域的控制体之间建立耦合关系，以实现多物理场的数值求解。
二、数值求解方法针对Navier-Stokes/Navier-Stokes耦合方程的数值求解，常用的方法包括有限元法、有限差分法和有限体积法等。
这些方法各自具有自身的特点和适用范围。
1. 有限元法有限元法是一种广泛应用于流体力学问题的数值求解方法。
在求解Navier-Stokes/Navier-Stokes耦合方程时，有限元法将流体领域离散成有限数量的单元，通过对每个单元内的方程进行近似求解，并通过单元之间的耦合关系得到整个流场的解。
有限元法的优势在于适用于复杂的几何形状和边界条件，并且能够处理非结构化网格。
然而，有限元法的计算量较大，对计算资源的需求较高。
2. 有限差分法有限差分法是一种利用离散化点上的函数值和函数导数之间的关系来近似求解微分方程的方法。
在求解Navier-Stokes/Navier-Stokes耦合方程时，有限差分法将流体领域离散成网格点，并通过有限差分近似来求解偏微分方程。
有限差分法的特点在于简单易懂、计算效率高，特别适用于规则网格和稠密网格的情况。
纳维-斯托克斯方程(Navier-Stokes equations)
纳维-斯托克斯方程(Navier-Stokes equations)名称由来Navier-Stokes equations描述粘性不可压缩流体动量守恒的运动方程。
简称N-S方程。
因1821年由C.-L.-M.-H.纳维和1845年由G.G.斯托克斯分别导出而得名。
该方程是可压缩流体的N-S方程。
其中，Δ是拉普拉斯算子；ρ是流体密度；pN-S方程意义后人在此基础上又导出适用于可压缩流体的N-S方程。
N-S方程反映了粘性流体（又称真实流体）流动的基本力学规律，在流体力学中有十分重要的意义。
它是一个非线性偏微分方程，求解非常困难和复杂，目前只有在某些十分简单的流动问题上能求得精确解；但在有些情况下，可以简化方程而得到近似解。
例如当雷诺数Re1时，绕流物体边界层外，粘性力远小于惯性力，方程中粘性项可以忽略，N-S方程简化为理想流动中的欧拉方程（=－Ñp+ρF）；而在边界层内，N-S方程又可简化为边界层方程，等等。
在计算机问世和迅速发展以后，N-S方程的数值求解才有了很大的发展。
基本假设在解释纳维-斯托克斯方程的细节之前，首先，必须对流体作几个假设。
第一个是流体是连续的。
这强调它不包含形成内部的空隙，例如，溶解的气体的气泡，而且它不包含雾状粒子的聚合。
另一个必要的假设是所有涉及到的场，全部是可微的，例如压强P，速度v，密度，温度Q，等等。
该方程从质量，动量，和能量的守恒的基本原理导出。
对此，有时必须考虑一个有限的任意体积，称为控制体积，在其上这些原理很容易应用。
该有限体积记为\Omega，而其表面记为\partial\Omega。
该控制体积可以在空间中固定，也可能随着流体运动。
纳维-斯托克斯方程（Navier-Stokes equations），以克劳德-路易·纳维(Claude-Louis Navier)和乔治·盖伯利尔·斯托克斯命名，是一组描述象液体和空气这样的流体物质的方程。
7.3_Navier-Stokes方程的解
(15) (16) (17)
A B f 2 (r ) = − 3 + + C + 2 Dr 2 2r 2r B f 3 (r ) = 2 + 10 Dr r
A、B、C、D为任意常数，可以由边界条件来确定。
7.6.1 Stokes流动 流动
7.6.1 Stokes流动 流动
由于 所以
2
∇⋅u = 0
∂f x ∂f y ∂f z ∇ p = ρ ∂x + ∂y + ∂z
当忽略质量力的作用或者质量力可视作常数(如重力 ( 场中，fx＝fy＝0，fz＝-g)时，有
∇2 p = 0
因此，缓慢流动中的压强p(x,y,z)是调和函数。 在给定边界条件时，由上述方程，可以求得流 动的压强场，进而由Stokes近似方程求出速度场。
∂u r = f1′(r ) cosθ ∂r
∂ 2ur = f1′′ (r ) cos θ 2 ∂r
∂u θ = − f 2′(r )sin θ ∂r
∂ 2 uθ = − f 2′′(r )sin θ 2 ∂r
∂p = µ f 3′(r ) cos θ ∂r
∂u r = − f1 (r )sin θ ∂θ
(1)
(2)
(3)
7.6.1 Stokes流动 流动
方程组的边界条件为 球面上(即r＝r0)：ur＝0，uθ＝0 无穷远处(即r→∞)：即ur＝U0cosθ， uθ＝-U0sinθ，p＝p0 采用分离变量法 分离变量法求解上述方程组。 分离变量法
7.6.1 Stokes流动 流动
由于流动的轴对称性，ur(r,θ)，uθ(r,θ)，所以假 设方程组的解具有如下形式，以便于分离变量。
纳维-斯托克斯方程
纳维-斯托克斯方程
纳维-斯托克斯方程：
纳维-斯托克斯方程（英文名：Navier-Stokes equations），描述粘性不可压缩流体动量守恒的运动方程。
简称N-S方程。
粘性流体的运动方程首先由纳维在1827年提出，只考虑了不可压缩流体的流动。
泊松在1831年提出可压缩流体的运动方程。
圣维南与斯托克斯在1845年独立提出粘性系数为一常数的形式，都称为Navier-Stokes方程，简称N-S方程。
三维空间中的N-S方程组光滑解的存在性问题被美国克雷数学研究所设定为七个千禧年大奖难题之一。
注意：
纳维-斯托克斯方程是流体流动建模的核心。
在特定的边界条件（如入口、出口和壁）下求解这些方程，可以预测给定几何体中的流体速度和压力。
由于这些方程本身的复杂性，我们只能得到非常有限的解析解。
例如，对于两个平行板之间的流动或圆管内的流动，方程的求解会相对容易一些；但对于更为复杂的几何结构，求解方程会非常困难。
纳维-斯托克斯方程
牛顿流体： zx
v x z
yx
v x y
xx
v x x
2.3 黏性流体动量平衡方程纳维-斯托克 斯方程（Navier-Stokes equations）
⑶ 作用力的总和
z
x方向：PA x方向合压力为 x方向的总压力为
PB
PA
P x
dx
PA
P
A
PA PB x dx
y
P dx dy dz x
ax
2vx x 2
2vx y2
2vx z 2
P x
gx
ay
2vy x 2
2vy y2
2vy z 2
P y
gy
az
2vz x 2
2vz y2
2vz z 2
P z
gz
惯
压重
性 力
黏性力
力力
流体在运动中以作用力及动量形式表现能量平衡 关系是统一的
2.3 黏性流体动量平衡方程纳维-斯托克 斯方程（Navier-Stokes equations）
2.3 黏性流体动量平衡方程纳维-斯托克 斯方程（Navier-Stokes equations）
1.动量平衡的定义
流体在流动过程中遵守能量守恒定律，称为能量平衡
作用力形式 动量形式
根据牛顿第二定律：
F ma mdv d
F 0，静止，静力平衡 F 0，运动，动力平衡
作用力的合力 = 单位时间内动量的变化量
⒋ 动量平衡方程的推导
建立方法 元体分析法
建立依据 牛顿第二定律分析法
2.3 黏性流体动量平衡方程纳维-斯托克 斯方程（Navier-Stokes equations）
Y
73NavierStokes方程的解
U
0
sin
(27)
7.6.1 Stokes流动
在球面上的应力
rr
r r0
p0
3 2
1 r0
U0
cos
(28)
rθ
r r0
0
(8)
7.6.1 Stokes流动
由连续方程(5)，得
f
2
r
1 2
r
f1r
f1 r
(9)
f
2r
1 2
r
f r 1
3 2
f1r
(10)
f r 1 r f r 2 f r
(11)
2
21
1
将式(9)、(10)及(11)代入式(7)，得
7.6.1 Stokes流动
可以认为，由于惯性力与速度平方成比 例，而粘性力与速度的一次方成比例，当流 速很小时，粘性力在合外力中占主导地位， 而且粘性力比惯性力大得多(即Re<<1)，近似 处理时可将惯性力全部略去。这种Re<<1的流 动在流体力学中通常称为缓慢流动或蠕动。
7.6.1 Stokes流动
由于对任意的r，r k1 ≠ 0，所以
kk 2k 1k 3 8k 1 8 0
kk 2k 2 4k 3 0
kk 2k 1k 3 0
解得
k 3
k 1
k 0
k 2
7.6.1 Stokes流动
函数f1(r)的特解可取如下形式
ur r
p0
3
2
r03 r4
U0
cos
【doc】动静圆柱坐标系下Navier-Stokes方程的分区算法
动静圆柱坐标系下Navier-Stokes方程的分区算法第24卷第4期工程数学V o1.24No.42007年08月CHINESEJOURNALOFENGINEERINGMA THEMA TICSAug.2007文章编~-:1005—3085(2007)04—0645—05动静圆柱坐标系下Navier—Stokes方程的分区算法术刘波,姜健,千掩刚,南向谊f1一两北T业人学翼型,叶栅空气动力学困防科技重点实验室,两安7100722一中国飞行试验研究院发动机所,西安710089)摘要:通过耦合相对和绝对圆柱坐标系下的三维Navier-Stokes方程,本文采用高精度高分辨牢的三阶ENN格式及LU--SGS隐式解法进行了域求解;提出了动静予域干涉面的重合处理重叠处理,并最终发展了一种新的分区算法.通过对某带进u导叶的三级轴流压气机的数值实验,验证该分区算法的有效性,计算结果与实验数据吻合较好.关键词:分区算法;Navier-Stokes方程;圆柱坐标系分类号:AMS(2000)65Y10中图分类号:V211.3文献标识码:A1引言对于相对和绝对圆柱坐标系共存计算模型,Navier-Stokes方程的求解还局限在如下的方法上【】,即在已有的.子域计算方法的基础上采用统一的网格,并且对动子域和静子域采用不同的坐标系,对不同的子域采用不同的方程,然后统一求解.显然这类方法要求大内存的大型计算机,正冈如此使这种方法的发展受到了限制,从而对动静圆柱坐标系下Navier—Stokes的分区算法的需求就日益迫切[2-3J.本文根据上述需求,提出了一种既准确又高效的动静圆柱坐标系下三维Navier—Stokes方程分区数值求解方法.该分区算法具有以下的优点:在每一子域内,容易生成高质量的网格:对于同的子域采用形式上统一的控制方程,方便计算过程的调用:对于串行计算过程,在任何时刻计算机内只需存放一个子域的计算数据,放宽了对计算机内存的要求.2控制方程及子域求解方法本文将待求解速度最统一为绝对速度分量,从而统一了绝对和相对坐标系下的控制方程.通过张量形式的严格推导,并将相对圆柱坐标系(,r,Z)下的Navier—Stokes方程转换到计算坐标系(,叩,()下,其形式为Ot+蓑+筹+簧=警+等+箐+,.a.a卵.a(a.a叩.a(.一''(1)收稿日期:2005-07-13.作者简介:刘波(1960年12)1生),男,教授,博导.研究方向:叶轮机械气动热力学及内流场数值计算方法.基金项目:国家自然科学基金(50476071).程数学第24卷=EvFvGv:1√,E,F,G:1√rpOKrpUOK+PK.rpVOKJrrPKrpwOK+rPKzr(pejrP)OKjrrPK.T9币Kp+pKr+下zpKzT9rK+TrrKr+TzrKzT9zK+TrzKr+TzzKz89K'p+8rK+8zKz一1,K了--pvu+rJD钆2+P一其中OK=—r~)/r++K:W,K=,叩,(时分别对应E,G.式(1)rf1,钆,V,W分别为,r1Z三个方向的绝对速度,P足密度,P为压力,为热传导系数,",是旋转角速度,r足,7-足粘性力项,足偏力以及热传导组合项,e则代表位质帚流体所具有的总能景,为几何Jacobian.在计算过程中,只需要通过对",的设定来确定是动子域还足静子域.对丁子域的求解,将Navier-Stokes方程离散时,对流项采用由张涵信发展的三阶ENN格式【4-5],其满足"抑制波动原则","稳定性原则"以及在激波处的"熵增条件",具有高的精度和分辨葺≮.求解方法为LU—SGS隐式解法[6-7】,其对于任何维数空问问题都是稳定的,同时避免了矩阵的求逆运算和复杂的久通晕分裂,提高了求解速度.3子域干涉面处理研究目前,研究者们对于干涉面上参数的处理大都引进周向均匀假设,这样就避免了格对应点对应关系随时问变化所产生的一系列囚难.本文研究并采用了以下两种动静子域网格的交接方法以及相应的动静子域干涉面处理,对比了两种方法的优缺点.MrMr卜lRoDIArq:a,\StarerArea\Ow:rlapped图1:动静干涉面重合示意图图2:动静干涉面重叠示意图1)动静子域干涉面重合处理如图1所永,动静子域干涉面上格点按照轴向坐标来进行重合,此时并不需要添加人为e第4JiJ]刘波等:动静网:杯系FNavier—Stokes_方程的分区算法647的轴向计算站.动静子域干涉皿重合州',在动子域(RotorArea)巾,求解控制方程,其动静子域干涉血的参数取为上一迭代步的值:在静子域(StatorArea)巾,同样得到静子域的参数分布,其动静子域干涉血的参数取为上一迭代步的值:然后将动子域出口前一站(1站)和静子域进u第.站(2站)进行周向均,从而动静子域干涉血(Mr站)上参数的新值由下式确定【】.PP2'Ppl'UUl'uVl'WWl-L最后,用式pe=p/h一1)q-[p(u+q-W)/2】米求得符个网格_的能景项.2)动静子域干涉面重叠处理如图2所_,J,此种情况足在干涉上人为加一个轴向计算站,从而保证前后子域的数据能够近似守恒的传递【9】.动静子域干涉重叠处理州',向,均P,pu,pv,,pe项.在计算动子域时将静子域Mr+1站的参数进行向jf均作为动子域最后一站的参数,进行动子域的计算;计算静子域时,将动子域的Mr站参数向jr均作为静子域第一-站的参数,进行静子域的时『HJ推进.动静子域干涉重合处理的方法巾各柏邻子域共用同一边界,交接处网格的生成较为易,典上下游的相互影响足依靠参数的选取米实现的.动静子域干涉血重叠处理时,需要人为添加讣算站,交接处格的生成较为复杂,其上下游的相互影响足靠网格的交错米实现的.重叠处理向所I均的参数能保证质最,动最的守恒,总能黾=与熵t咯有变化.通过实际计算过程的比较,动静子域干涉面的重替处理略优丁重合处理,质最,动录的守恒可抑制计算发散,有利丁流动参数以及流录的收敛.4分区算法在时『HJ推进过程巾,通过对子域求解模犁和动静子域干涉皿处理模的循环调用,以及对整个计算流稃的重新设计,本文实现了一种新的串行分『又=算法,该分『又=算法计算流稃的核心部分如图3所.漉硒铷始侥图3:本文所发展的串行分区算法流程核心部分示意图该串行分『又=算法与传统算法相比,在任何时刻计算机内只需存放一个子域的计算数据,放宽了对计算机内存的要求.通过实际计算过程验证,该算法同时也提高了讣算速度.5数值实验及分析本文计算了某带进u导叶的三级轴流压气机,其设计转速为45000r/m,进气条件均为标准大气.计算格采用代数法逐级生成局部加密的H型格,向格取37,径向入格数,,7]648工程数学第24卷为37,轴向网格点均为80.边界条件为:进口给定总温,总压,周向以及径向气流角:出口给中径背压,并由径向平衡方程计算出口各点压力;壁面给定绝热相对无滑移;周期性条件按照流动周期性给定.数值实验所得设计转速时的总特性,如图4,图5所示.图4:设计转速计算与实验流量一压比特性图5:设计转速计算与实验压比一效率特性设计转速时总特性的计算结果(图4,5)与实验数据基本吻合,具有较好的_T程精度,验证了本文算法的有效性.6结论通过对求解变量的统一,将绝对和相对圆柱坐标下的三维NavieroStokes方程在形式上进行了统一.在子域计算模型和子域干涉面处理模型的基础上,实现了一种新的动静圆柱坐标系下NavieroStokes方程的串行分区算法,在计算流程中,每一时刻只需存放一个子域的计算数据,极其显着地降低了对内存使用的要求,同时也提高了计算速度.对某带进口导叶的三级轴流压气机在设计转速下的数值实验,验证了本文算法的有效性.参考文献:【1】王保国,黄虹宾.叶轮机械跨声速及亚声速流场的计算方法【M】.北京:国防工业出版社,2000:208-211【2】ShengC,TaylorL,WhitfieldD.Multiblockmultigridsolutionofthree-dimensionalincompr essibleturbulentflowsaboutappendedsubmarineconfigurations[C].AIAAPaper,1995—0203【3】ShyyW,LiuJ,WrightJ.Pressure-basedviscousflowcomputationusingmultiblockoverlapp edcurvilineargrids[J].NumericalHeatTransfer,PartB,1994,25:39-59【4】张涵信,沈盖育.计算流体力学.差分方法的原理和应用【M】'北京:国防T业}HJ 钣礼,2003:184-191【5】张涵信,贺围宏,张雷.高精度筹分求解气动方程的几个问题[J].守气动力,1993,l1(4):34~356【6】Y oons,JamesonA.Lower-uppersymmetric—gauss—seidelmethodfortheeulerandnaiver—stokesequa-tions[J].AIAAjournal,1988,26(9):1025-1026【7】JeongY,ChoiSO.MemoryoptimizationofLU?SGScodefortheaccelerationonlatestmicro processors[CI.AIAAPaper,2003-0443【8】WangLX,CaugheyDA.Multiblock/Multigrideulermethodtosimulate2Dand3Dcompress ibleflow[C].AIAAPaper,1993—0332【9】ChenMZ,WuXH.V ortexsimulationofRotor/Statorinteractioninturbomachinery[J].ASM EJourn~~rbomachinery,1999,121(2):358-364第4期刘波等:动静圆柱标系下Navier-Stokes方程的分区算法649 PartitioningAlgorithmforNavier-StokesEquationsinRelative/AbsoluteCylindrical-coordinateSystemsLIUBo,JIANGJian.,W ANGY an.gang,NANXiang-yif1一NationalDefenceKeyLaboratoryofAirfoilandCascadeAero-Dynamics,Northwestern PolytechnicalUniversity,Xi'an710072;2一AeroengineDepartmentofChineseFlightTest Establishment,Xi'an710089)Abstract:Anewpartitioningalgorithmfor—Navier-Stokesequationsinrelative/absolutecylindrical—coordinatesystemsispresented.Navier—Stokesequationsinrelativeandabsolutecylindrical—coordinate systemsarecombined,thenuniformequationsforrotorareasandstatorareascanbeused.Fort hecalculationofsubareas,athird—orderENNschemeandanimplicitLU—SGSmethodareapplied.Our investigationisfocusedontreatmentforrotorandstatorinteractionalsurfaces.Thepartitioni ng algorithmpresentedinthepaperisdemonstratedbynumericalexpermentofathreestagesaxia lflowcompressorwithaninletguidevaneatadesignrotatingspeed.Keywords:partitioningalgorithm;Navier—Stokesequations;cylindrical—coordinatesystem。
浅谈纳维-斯托克斯方程
材料工程基础系别：专业：姓名：学号：班级：浅谈纳维-斯托克斯方程在我们所学习的《材料工程基础》的书中流体力学基础中提到动量平衡是流体运动的遵循的另一普遍规律，其含义是：对一给定的流体系统，其动量的累积速率等于作用于其上的外力总和。
其数学表达式即为运动方程。
=我们所学习的《材料工程基础》中的推导来看一下n-s 方程的具体细节： 设τ时刻控制体内的动量为ρu dxdydz ，则在ττ∆+时刻控制体内的动量为τρρ∂∂+）（u d x d y d z u d x d y d z τ∆。
于是，控制体内的动量变化率为τρ∂∂dxdydz u ）（。
至于动量通量的净变化率，是经过六个控制面微元迁移动量的总和。
在ABCD 面上，τ∆时间内流入的动量为u u x ρdydz τ∆。
在EFGH 面上，τ∆时间内流出的动量为u d y d z u x ρτ∆+(x ∂∂udydz u x ρτ∆）dx 。
于是，τ∆时间内经此两相对面微元的动量净流出量为dydzdx u xx ρ(∂∂τ∆）。
同理，经AEHD 、BFGC 两相对面微元的动量净流出量为dydzdx u x x ρ(∂∂τ∆），经AEFB 、DHGC 两相对面微元的动量净流出量为dxdydz u u zz )ρ∂∂τ∆。
于是，经全部控制面的恒定流动通量的净变化率：dxdydz zu u y u u x u u z u u y u u x u u dxdydz u u z u u y u u x z y x z y x z y x ])()(()()()([)])()∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂ρρρρρρρρρ将微元体中的动量增量速率和动量流出的净通量结合起来得到的方程右端的数学形式为dxdydz u u u ])([∇+∂∂τρ 下面计算作用的微元六面体上的力。
作用于微元六面体上的力包含质量力和表面力。
设A 点单位质量上的质量力为F ，则微元体上的质量力为Fdxdydz ρ最后计算表面力， 面元ABCD 左侧流体作用于微元体内流体的力为dydz k P j P i P x xz xy xx |)(++-面元AEHD 左侧流体作用于微元体内流体的力为dzdx k P j P i P y yz yy yx |)(++-面元AEFB 左侧流体作用于微元体内流体的力为dxdy k P j P i P z zz zy zx |)(++-面元EFGH 、BFGC 、DHGC 外侧流体对微元体内流体施加的力分别为dydz dx k P j P i P xk P j P i P xz xy xx x xz XY X ])(|)[(++∂∂+++ dzdx dy k P j P i P y k P j P i P yz yy yz y xz yy yx ])(|)[(++∂∂+++ dxdy dz k P j P i P z k P j P i P zz zy zx z zz zy zx ])(|)[(++∂∂+++ 以上三项恰是矢量（dxdydz zP y P x P z y x ∂∂+∂∂+∂∂）dxdydzx 在x 、y 、z 轴上的三个投影。
边界层方程和非匀质navier-stokes方程解的若干问题
边界层方程和非匀质navier stokes方程解的若干问题一、边界层方程简介边界层方程是用来描述流体在壁面附近流动时的物理规律的方程组。
它主要包括动量方程和连续性方程。
边界层方程的求解可以帮助我们了解流体在边界层内的速度分布、剪切应力以及摩擦阻力等重要参数。
1.边界层方程的形式-动量方程：边界层内的速度变化满足动量守恒定律，通过对动量方程进行推导和简化，得到边界层内的速度分布关系。
-连续性方程：边界层内的质量守恒定律，通过连续性方程可以确定流体的密度分布。
2.边界层的特点-边界层的存在使得流体靠近壁面处的速度较低，而离开壁面后速度逐渐恢复到远离壁面的自由流速度。
-边界层内剪切应力较大，表现为壁面处的摩擦阻力。
-边界层内速度梯度较大，流体分子之间的相互作用明显。
二、非均匀Navier Stokes方程简介非均匀Navier Stokes方程是描述流体在空间内三维流动时的基本方程。
它包括质量守恒方程、动量守恒方程和能量守恒方程。
非均匀Navier Stokes方程是流体力学领域的核心方程之一，求解该方程可以帮助我们深入理解复杂的流体流动现象。
1.非均匀Navier Stokes方程的形式-质量守恒方程：描述了流体的密度变化和流体流动速度的关系。
-动量守恒方程：描述了流体流动中动量的变化与外力、压力以及黏性力的关系。
-能量守恒方程：描述了流体的热力学性质，考虑了压力和黏性力对能量的贡献。
2.非均匀Navier Stokes方程的挑战-方程的非线性：非均匀Navier Stokes方程是一组非线性偏微分方程，求解过程相对复杂。
-边界条件的确定：在实际问题中，需要根据具体情况确定边界条件，这对求解方程构成了挑战。
-网格和数值方法的选择：求解非均匀Navier Stokes方程需要选择合适的网格和数值方法，以保证计算结果的准确性和稳定性。
三、边界层方程和非均匀Navier Stokes方程解的问题1.边界层方程的求解-如何确定边界层内的速度分布？可以采用类似于插值法的数值方法，将边界层方程转化为离散形式进行求解。
纳维斯托克方程
纳维-斯托克斯方程（Navier-Stokes equations），简称N-S 方程，是一组描述流体运动的方程。
它们由克劳德-路易·纳维和乔治·斯托克斯提出，可以看作是流体运动的牛顿第二定律。
这些方程建立了流体的粒子动量的改变率（力）和作用在液体内部的压力的变化和耗散粘滞力（类似于摩擦力）以及引力之间的关系。
这些粘滞力产生于分子的相互作用，能告诉我们液体有多粘。
这样，纳维-斯托克斯方程描述作用于液体任意给定区域的力的动态平衡。
纳维-斯托克斯方程总是要与连续性方程同时进行求解：纳维-斯托克斯方程表示动量守恒，而连续性方程则表示质量守恒。
由于这些方程本身的复杂性，我们只能得到非常有限的解析解。
不过，在特定的边界条件（如入口、出口和壁）下，可以求解这些方程来预测给定几何体中的流体速度和压力。
它们被广泛应用于模拟天气、洋流、管道中的水流、星系中恒星的运动、翼型周围的气流等领域，也被用于飞行器和车辆的设计、血液循环的研究、电站的设计、污染效应的分析等。