第3章大气边界层支配方程之3汇总

3.4 湍流方差的预报方程
推导步骤：
从湍流脉动量方程出发,乘以 2ui '或2q'或2 '或2C'
再利用乘积的微分规则，进行一些改写，如 2 ' ' '2
等，再求雷诺平均，即可得到湍流方差的预报方程。
3.4.1 动量方差的预报方程
ui t
'
u
j
'
ui ' x j
uj
ui ' x j
uj
'
ui x j
连续:
ui 0 xi
动量:
ui t
uj
ui x j
1
0
Pd xi
Td T0
gi3
fij3u j
2ui x jx j
热量:
t
uj
x j
k
2
x jx j
1
c p 0
Qj* x j
LpE
0cp
水汽:
q t u j
q x j
vq
2q x jx j
Sq
标量:
C C
2C
t u j x j vc x jx j Sc
（3） w 0 ；
（4）忽略数量级小的分子粘性力项。
u
u' w'
f (vg v)
t
z
v f (ug u) v' w'
t
z
t
1
cp
Q* (
z
Lp
E
)
(w'
z
'
)
q Sq E (w'q')
t z
(v g v) (u g u)是某一高度风速和地转风速的差值，称为地转风偏差。
3.3 湍流脉动量方程
推导步骤： 将出发方程展开为平均量和脉动量相
加的形式,与平均量方程相减，即可得到 湍流脉动量控制方程。
例如：动量方程
A A A'
ui t
uj
ui x j
1
0
Pd xi
Td T0
gi3
fij3u j
2ui x jx j
ui t
ui ' t
uj
ui x j
uj
ui ' x j
u
j
'
ui x j
u
j
'
1
0
Pd xi
1
0
P' xi
Td
T0
T
'
g
i3
fij3u j
fij3u j '
2 ui x jx j
2ui ' x jx j
ui
t
uj
ui x j
1
0
Pd xi
Td T0
gi3
fij3u j
2 ui x j x j
ui 'u j ' x j
湍流中平均变量方程概要（略去分子扩散和粘性）
状态: 动量: 热量: 水汽: 标量:
p Rd ρ Tv
连续:
ui 0 xi
ui
t
uj
ui x j
1
0
Pd xi
Td T0
gi3
fij3u j
ui 'u j ' x j
t
uj
x j
1
c p 0
Q*j
x j
LpE u j ' ' cp 0 x j
【个例分析】
t
uj
x j
1
c p 0
Q*j
x j
LpE u j ' ' cp 0 x j
简化方程： (w' ')
t
z
w' q'
w' '
混合层：
温度升高 湿度不变
q t
uj
q x j
Sq
u j 'q' x j
简化方程： q (w' q')
t
z
w' q'
w' '
混合层：
温度升高 湿度减小
湍流脉动量方程作为寻求湍流方差预报方程、湍能方程 以及协方差预报方程的中间步骤
3.4 湍流方差的预报方程
湍流脉动量方程，很难直接应用来预报湍流脉动量。 从湍流脉动量方程出发，导出方差和协方差方程。
方差
湍流能量 湍流强度
e 1 u'2 v'2 w'2 2
I A U
A A2 A'2
协方差
第三章 大气边界层支配方程
➢ 3.1 基本控制方程（Boussinesq 近似） ➢ 3.2 平均量方程 ➢ 3.3 湍流脉动量方程 ➢ 3.4 湍流方差预报方程 ➢ 3.5 湍流通量预报方程 ➢ 3.6 闭合理论
Boussinesq近似下的基本方程组为：
状态:
p RdTv 或
d Td
0
T0
运动的湍流通量
ui 'u j ' ui ' ' ui 'q'
方差和协方差，对于研究边界层的湍流结构是必不可少的，同 时也是解决边界层控制方程的闭合问题的一种途径。
3.4 湍流方差的预报方程
➢ 3.4.1 动量方差的预报方程 ➢ 3.4.2 湿度方差的预报方程 ➢ 3.4.3 热量（位温方差）的预报方程 ➢ 3.4.4 标量（示踪物浓度方差）预报方程
q' x j
u
j
'
q x j
vq
2q' x jx j
u j 'q' x j
C' t
uj
C' x j
u
j
'
C' x j
u
j
'
C x j
vC
2C' x jx j
u j 'C' x j
理论上，用这些脉动量的预报方程可以求解湍流的运动 ，但是脉动量运动的时间尺度在30分钟以下，并且空间 尺度相对精细，这种尺度的求解在实际的气象应用中持 续时间太短，难以直接应用～～～～
1
0
p' xi
2ui '
x
2 j
ui 'u j ' T ' x j T0
g 3i
fij3u j '
动量的脉动量方程，乘以 2ui′，利用乘积的微分规则，有
ui '2 t
u
j
'
ui x
'2
j
uj
ui '2 x j
2ui
'
u
j
'
ui x j
(1)
2ui '
0
p' xi
2ui
'
2ui ' x jx
j
2ui
'
ui 'u x j
j
'
2ui
'
T' T0
g 3i
2 f u ij3 i 'u j '
雷诺平均规则对整个方程求平均，有
ui '2 t
u
j
'
ui x
'2
j
uj
ui '2 x j
2ui
'
u
j
'
ui x j
( 2)
2ui '
0
p' xi
2ui
'
2ui ' x jx
j
2ui
'
ui 'u x j
j
'
T' 2ui ' T0
c p 0
Q*j x j
t
uj
x j
k
2
x jx j
1
c p 0
Q*j x j
u j ' '
x j
热量脉动方程：
'
t
uj
'
x j
u j ' x j
'
u j ' x j
k
2 '
x jx j
u j ' '
x j
类似的推导出：水汽 q 和标量 C 脉动方程
q' t
u
j
q' x j
u
j
'
q t
uj
q x j
Sq
u j 'q' x j
C t
uj
C x j
Sc
u j 'C' x j
边界层时常用到的简化的雷诺平均方程组：
方程组常用的简化形式：x、y 和 z 三个方向展开，速度分量写成u、
v和w；并假设：
（1）流场水平均一，对x和y方向的导数为零；
（2）用地转风定义替代水平气压梯度项；
（2）
用（1）－（2） 可得：
ui ' t
uj
ui ' x j
uj
'
ui x j
uj
'
ui ' x j
(3)
1
0
p' xi
2ui ' x jx j
(ui 'u j ') x j
T' T0
g 3i
fij3u j '
—— 湍流脉动运动预报方程
作业：热量脉动方程的推导
t
uj
x j
k
2
x jx j
1