山东省青岛市2023-2024学年高一下学期4月月考数学模拟试题(含答案)

山东省青岛市2023-2024学年高一下学期4月月考数学模拟试题考试时长：120分钟 注意事项：
1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在规定的位置上．
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，请将对应题目的答案写在答题纸相应位置上．
第Ⅰ卷（共60分）
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．若
，，则等于（ ）()1,2OA =- ()1,1OB =- AB A ．B ．()2,3-()
0,1C ．D ．()1,2-(
)2,3-2．在中，，，若点满足，以作为基底，则等于ABC AB c = AC b = D 2BD DC = {}
,b c AD （ ）
A ．
B ．2133b c + 5233b c -
C ．
D ．
2133b c - 1233b c + 3．已知向量，满足，则向量的夹角为（ ）
,a b 223,1,2a b a b +=== ,a b A ．B ．C ．D ．π
6π32π35π64．已知
，则 等于（ ）πcos()633x -=πcos cos()3x x +-A ．－B ．± C ．－1D ．1
23
32335．将曲线C 1：
上的点向右平移个单位长度，再将各点横坐标缩短为原来2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭6π的，纵坐标不变，得到曲线C 2，则C 2的方程为（ ）
1
2A ．B ．
2sin 4y x =2sin 43y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭
C ．
D ．2sin y x
=2sin 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭6．已知，且，则（ ）
()0,πα∈3cos 210cos 1αα-=sin 2α=A ．B ．C ．D ．45
945
9-429429-
7．已知点是的重心，过点的直线与边分别交于两点，为边的
O ABC O ,AB AC ,M N D BC 中点．若，则（ ）
(,R)AD x AM y AN x y =+∈u u u r u u u r u u u r
x y +=A ．B ．C ．2D ．3
22
3
128．若O 是所在平面内的一点，且满足
，则的形状为ABC 2OB OC OB OC OA -=+- ABC （ ）
A ．等边三角形
B ．等腰三角形
C ．等腰直角三角形
D ．直角三角形
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．下列化简正确的是（ ）
A ．tan 25tan 353tan 25tan 353
︒+︒+︒⋅︒=B ．22ππ1cos sin 12122
-=C ．2tan22.51tan45tan 22.52
︒=︒-︒D ．
132sin10cos10-= 10．已知向量，，，则下列结论正确的是（ ）()1,3a = ()1,2b =-r ()
2,4c =- A ．B ．b c
∥ 50a c += C ．D ．
()a b b +⊥ ,4a b π= 11．已知函数（其中，，）的部分图像，则下列结论
()()sin f x A x ωϕ=+0A >0ω>2π
ϕ<正确的是（ ）
A ．函数的图像关于直线()f x
B ．函数的图像关于点()f x
C ．将函数图像上所有的点向右平移()f x
PQ l
）求劣弧的弧长(单位：
M
）设游客丙从最低点处进舱，开始转动
H t
的过程中，关于时间的函数解析式；
）若游客在距离地面至少85m
如图，因，则2BD DC = AD 解得.
2133AD b c =+ 故选：A.
3．B
故选：D
5．A
【分析】根据三角函数的变换规则计算可得.
【详解】解：将
向右平移个单位长度得到2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭6π，再将各点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变得2sin 22sin 263y x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2sin 2y x =12到；
2sin 4y x =故选：A
6．D
【分析】使用二倍角公式得到关于一元二次方程，求解，再根据同角三角函数的cos αcos α基本关系求出，最后根据二倍角正弦公式计算可得；
sin α【详解】由得，
3cos 210cos 1αα-=()232cos 110cos 1αα--=即，解得或（舍）.
23cos 5cos 20αα--=1
cos 3α=-cos 2α=又，()
0,πα∈所以，
22sin 3α=所以.42
sin 22sin cos 9ααα==-
故选：D.
7．A
【分析】由三角形重心的性质，结合向量的线性运算得到，再由
2233AO x AM y AN =+u u u r u u u r u u u r 三点共线，即可求解.
,,M O N 【详解】如图所示，由三角形重心的性质，可得，所以，23AO AD =32AD AO = 所以，即，
32AO x AM y AN =+u u u r u u u r u u u r 2233AO x AM y AN =+u u u r u u u r u u u r 因为三点共线，可得，所以
.,,M O N 22133x y +=32x y +=故选：A ．
8．D
【分析】根据平面向量的线性运算可以得出
可判断出的形状.
对于C ：计算出，即可判断；对于D ：直接计算出即可判断.()
0a b b +⋅= 3,4a b π= 【详解】对于A ：因为，，所以，所以.故A 正确；()1,2b =-r ()2,4c =- 2b c =r r b c ∥ 对于B ：因为
，，所以，所以.故B
()1,3a = ()2,4c =- ()1,7a c =-+ ()221750a c +=-+= 错误；对于C ：因为，，所以，所以，所()1,3a = ()1,2b =-r ()2,1a b += ()()12210a b b +⋅=⨯+-⨯= 以.故C 正确；()
a b b +⊥ 对于D ：因为
，，所以，
()1,3a = ()1,2b =-r 162cos ,21914a b a b a b ⋅-===-+⨯+⨯ 因为，所以.故D 错误.[],0,a b π∈ 3,4a b π= 故选：AC.
11．ACD
根据函数图象求得解析式，再根据三角函数图象性质及伸缩平移变换分别判断各个选项.
()f x 【详解】由图象得函数最小值为，故，
2-2A =，故，，
741234T πππ=-=T π=22T πω==故函数，
()2sin(2)f x x ϕ=+又函数过点，7,212
π⎛⎫- ⎪⎝⎭故
，解得，72sin(2)212πϕ⨯+=-2,3k k Z πϕπ=+∈又，即，
2π
ϕ<3π
ϕ=故
，()2sin(2)3f x x π=+对称轴：，解得，当时，
，故A 选()f x 2,32π
π
π+=+∈x k k Z ,122k x k Z ππ=+∈0k =12x π=项正确；
对称中心：，解得
，对称中心为()f x 2,3x k k Z ππ+=∈,62k x k Z ππ=-+∈，故B 选项错误；(,0),62k k Z ππ-+∈
故选：BCD
13．45
【分析】利用共线向量基本定理可求出，由平面向量基本定理可建立OA =
()1λ-OB + λOC 的等量关系，求解即可求出的取值.
sin ,cos ααα【详解】因为直线l 上有不同的三点A ，B ，C,
所以存在实数，使得，所以，λBA = λBC OA - OB = λ()
OC OB - 即，所以，所以，
OA = ()1λ-OB + λOC 11cos sin λαλα-=-⎧⎨=⎩sin cos αα=因为是锐角，所以．
α45α= 故45
14．13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭
【分析】在方向上的投影向量是:，先求出，代入即可.a b cos ,a a b b b
cos ,a b 【详解】因为,
52cos ,===2510a b a b a b ⋅⋅ 则在方向上的投影向量是:
a b ||cos ,13,22||a a b b b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 故答案为.13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭
15．且5
14λ<0
λ≠【分析】根据题意得，且与不同向共线，再利用平面向量数量积的坐()0a a b λ⋅+> a a b λ+ 标公式以及向量共线列式即可得解.
【详解】因为，，
()1,2a =-r ()2,6b =- 所以，
()()()1,22,612,26a b λλλλ+=-+-=--+ 因为与的夹角为锐角，所以，且与不同向共线，a a b λ+ ()
0a a b λ⋅+> a a b λ+ 由，得，则；
()0a a b λ⋅+> ()()012226λλ-+-⨯+>-5
14λ<
所以，当时，取得最小值.
2x =DM DN ⋅ 132故；.
1613
2本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查计算能力，属于中等题.
17．(1)；
2(2)；
27(3) ．
27
7【分析】（1）（2）根据平面向量的数量积的定义即可求解；
（3）根据平面向量的夹角公式即可求解．
【详解】（1）∵ ,, .
2a =r 2b = ,60a b 〈〉=︒ ∴ ；a b ⋅ 1222=⨯⨯2=（2）∵,()
222244168428a b a a b b +=+⋅+=++= ∴ ；2a b + 27=（3）∵,()
222448a b b a b b +⋅=⋅+=+= ∴cos cos 2,a b b θ=+ ()
282772722a b b a b b +⋅===⨯+ 18．(1)
，1233AD a b =+ 5163BE a b =-+ (2)518-【分析】（1）利用向量加法减法的三角形法则及数乘运算即可求解；
（2）根据（1）的结论，利用向量的数量积运算法则即可求解.
【详解】（1）因为，所以，2BD DC = 23BD BC = 所以
.221)212(333333AB AC AB AB AC a b AD AB BD AB BC +-=+=+=+=+= 因为E 是AD 的中点，
所以()
11211()22323BE BA BD AB BC AB AC AB ⎛⎫=+=-+=-+- ⎪⎝⎭ .51516363AB AC a b =-+=-+ （2）因为，与的夹角为，
1a b == a b 60︒所以，11cos ,1122a b a b a b ⋅==⨯⨯= 由（1）知，
，，1233AD a b =+ 5163BE a b =-+ 所以
22125154233631899AD BE a b a b a a b b ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+=--⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ .
541251892918=--⨯+=-19．(1)；
7
9-(2).
462
15+【分析】（1）根据诱导公式可得
，再由二倍角的余弦公式即可求解；πsin 2cos 24αα⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）根据同角三角函数的基本关系分别求出，，由()cos αβ+πsin 4α⎛⎫- ⎪⎝
⎭及两角差的正弦公式即可求解.()ππsin sin 44βαβα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣
⎦【详解】（1）.2
2ππ17sin 2cos 22cos 1214439ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）因为是钝角，是锐角，
，
αβ()4sin 5αβ+=所以，，，πππ,02
2αβ<<<<π3π22αβ<+<ππ3π444α<-<所以，()()23cos 1sin 5αβαβ+=--+=-.2ππsin 1co 4432s 2αα⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
所以()ππsin sin 44βαβα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦()()ππsin cos cos sin 44αβααβα⎛⎫⎛⎫=+--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭,
41322462535315+⎛⎫=⨯--⨯= ⎪⎝⎭20．(1)；
2k =±(2)存在或满足题意，理由见解析.
()2,1M 2211,55M ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）利用向量共线定理即得；
（2）设，，然后利用向量共线的坐标表示及向量垂直的坐标
(),M x y ()01OM OC λλ=≤≤ 表示可得，即得.
24548110λλ-+=【详解】（1）由于和共线，
ka b + 2a kb + 设，，
()2ka b a kb λ+=+ R λ∈由于，是不共线的两个向量，
a b 所以，
21k k λλ=⎧⎨
=⎩解之得．
2k =±（2）设
，，(),M x y ()01OM OC λλ=≤≤ 则，从而，
()6,3OM λλ= ()6,3M λλ，，
(26,53)MA OA OM λλ=-=-- (36,13)MB OB OM λλ=-=-- ∵，∴，MA MB ⊥ 0M
A M
B ⋅= 从而，
(26)(36)(53)(13)0λλλλ--+--=即，
24548110λλ-+=解之得：或，
13λ=1115λ=
所以存在或满足题意．
()2,1M 2211,55M ⎛⎫ ⎪⎝⎭21．(1)，（开闭均可）
πππ(π,π)(Z)36k k k -+∈(2)11
8
【分析】(1) 利用二倍角以及辅助角公式基本公式将函数化为的形式, 结合sin()y A x ωφ=+三角 函数的图象和性质, 求出周期及单调区间；
（2）利用，再由角的变换, 诱导公式及二倍角的余弦公式求值即可.
324f θ⎛⎫=
⎪⎝⎭【详解】（1）
()23113sin cos cos sin 2cos 2222f x a b x x x x x =⋅=+=++ ，
π1sin(2)62x =++所以周期
，
2ππ2T ==令，
πππ2π22π,Z 262k x k k -≤+≤+∈解得，ππππ,Z 36k x k k -≤≤+∈所以函数的单调递增区间为.（开闭均可）
ππ(π,π)(Z)36k k k -+∈（2）
，324f θ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，即，π13sin 624θ⎛⎫∴++= ⎪⎝
⎭π1sin 64θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭π5π1sin 2362f θθ⎛⎫⎛⎫∴+=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2ππ1π1π1sin 2cos 212sin 3223262θθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=++=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.
2
111112428⎛⎫=-⨯+= ⎪⎝⎭22．（1）；（2），其中；（3）.
()252m π50sin()6062H x ππ=-+012t ≤≤5min 2【分析】（1）根据弧长的计算公式可求的长度. PQ。