数学分析3(80学时)试题及

数学剖析3(80学时)试题及
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考试形式： [ 闭卷 ] _____班
姓名 ________
考试题组： [ A ]
考务编号
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯○⋯⋯装⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯○⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
题号 一 二
三 四 五 六 七
八 总分 折合分
满分 24
36
10
10
10
10
100
70
得分
一、 计算题：（4 分× 6=24 分）
1 、求函数 f (x, y)
2 1
2 的定义域；
2x
3 y
2、求函数 u
uuur
xyz 在点 A(5,1,2) 处沿到点 B(9, 4,14) 的方向 AB 上的方导游数
3 、设F( )
cos e x
dx,
求 F ( ) ；
sin
4、设 u
x sin( x y), 求
2
u 2 ；
x
5、计算二重积分
a a
e y 2
dy,( a
0)
dx
x ；
6、求曲线 x
a, y
at , z 1 at 2 (0 t
1,a
0) 的质量。

设其线密度为
2z ；
2
a
二、（6 分× 6=36 分）
第 1
共 1
1、求曲线 x
asin 2 t, y b sin t cost, z ccos 2 t 在点 t
处的切线方程与法平面方程；
4
2、、证明：无量积分
e x sin xdx 在 [ a 0 ,
)(a 0
0) 上一致收敛；
3、证明：
f (x y)dxdy
1
R : x
y
1
f (u)du. R
1
4、已知某一函数 u( x, y) 的全微分 du ( axy 3 y 2 cos x)dx (1 by sin x
3x 2 y 2 ) dy ，求 a 和 b 的值；
5、求极限 lim
2
x 2
cosaxdx
a 0
6、设 F (t)
f ( x 2 y 2
2
，此中 f 是可微函数，求 F (t) 。

此中
V : x
2 y 2
z 2
2。

z )dxdydz
t
V
三、（ 10 分）考证方程组 x y z 0 在点 P( 1 , 1 ,0) 邻域知足定理 3 的条件，在点 z 0
0 的邻域内存在独一一组
x 2 y 2 z 2 1 2 2
有连续导数的隐函数组 x
f 1( z), y
f 2 (z) ，并求
dx ,
dy。

四、（ 10 分）求体积必定而表面积最小的长方体； dz dz
五、（ 10 分）求曲线积分 ( x sin 8 ) ( x cos
7 )
，此中 c 为上半圆周：
2
2
由点
I
c
e
y
y dx
e
y
x dy
x
y
ax(a 0, y 0)0(0,0)
到点 A(a,0) 。

六、（ 10 分）计算曲面积分
yzdydz ( x 2
z 2 ) ydzdx xydxdy ，此中 S : y
4 (x 2
z 2 )( y 0) ，在 x0 z 面右边部格外侧。

S
数学剖析3(80学时)试题及
命教：教研室主任核：
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数学剖析3(80学时)试题及
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2008/2009 学年第一学期《数学剖析
3》课试卷 A 答案
一、（ 24 分）
1、解： D
( x, y) (x, y) (0,0)
R 2
(0,0) ；
2、解：
u
(5,1,2)
yz
(5,1,2)
2, u (5,1,2)
xz
(5,1,2)
10, u
(5,1,2)
xy
(5,1,2)
5
x
y
z
uuur
(4,3,12) 的方向余弦为 cos
4 ,
cos 3 , cos 12 AB
13
13 13
因此在 A(5,1,2)
uuur u
u
u
u
98 处沿 AB 上的方导游数为
l (5,1,2)
x
(5,1,2)
cos
y (5,1,2)
cos z (5,1,2) cos
13
cos
xe x
dx
sin
e
cos
cos e sin ；
3、解：
sin
4 、解： 2cos( x y) xsin( x
y)
5、解：
a dx a
y 2 dy
a y
e
y 2
a y 2
1 a 2
1)
e
dy
dx
0 ye dy
2 (e
x
a
(2 2
6、解： ds
a 2
a 2t 2 dt a 1 t 2 dt ，曲线的质量为 M
ds
2z ds a t 1
t 2 dt
1)
1
L
L
a
3
二、（ 36 分）
1 、解：当 t
4 时, x a
, y
b
, z
c
， 由于 x
a sin 2t ,
y
b cos 2t, z
c sin 2t ， 因此曲线在 t
处的切向量为
2
2
2
4
r
x a y
b z
c
x
z 1
2
2 2
a
c
T
(a,0, c) ， 故切线方程是
即
a
c
b
y
2
法平面方程是： a(x
a ) c( z c ) 0 即
ax cz 1 (a 2 c 2 )
2 2
2
2 、对随意
: a
(a 0), e
x
sin x e ax
，由于无量积分
e ax
dx
1
收敛，因此无量积分
0 e ax sin xdx 当
a
a
(a
0) 时一致收敛。

3 u
x y
，则函数队列式为 J
1
1
， R
R : u
1, v
1 、令
x y 1 1
v
2
1
1
f ( x y)dxdy
1
du
1
J f (u)dv
1 1 f (u)du
1
dv
1 f (u) du
1 1
2 1
1
R
1
4 、解：由于 du
( axy
3
y 2
cos x)dx
(1 by sin x 3x 2 y 2
)dy
u
dx
u
dy ，因此
x
y
u
axy 3 y 2 cos x,
u 1 bysin x 3x 2 y 2 , x
y
u( x, y)
1 ax
2 y
3 y 2 sin x ( y),
u 3 ax 2 y 2 2y sin x ( y) 3x 2 y 2 bysin x 1
2
y
2
于是解得： a 2, b 2 和。

5 、解：对
0, f ( x, a) x 2
cosax 在矩形域 [0,2] [
, ] 上连续，因此 F (a)
2
, ] 上连续，因此
x 2
cosaxdx 在 [
lim
2
2
lim( x 2
cos ax)dx
2
8
x 2
cos axdx
x 2
dx
a 0
a 0
3
6、利用球面坐标，得
2
t
t
2 ) r 2
dr
t
2 )r 2
dr
F (t ) 0
d
d
f (r 2
)r 2
sin dr
2 ( cos )
f (r 4
f (r
数学剖析3(80学时)试题及
00
因此， F (t )4t 2 f (t 2 )
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三、（ 10 分）
证明：设 F 1 x y z, F 2 x 2 y 2 z 2 1，则
（1）
F 1
F 1 F 1 1,
F 2
2x,
F 2 2 y,
F 2 2z 在点 P( 1
,
1 ,0) 邻域内连续；
x
y
z
x
y
z
2
2
（2） F 1( P) F 2( P) 0 ；
（3）
(F 1
, F 2 )
1
1
4
p
2 x 2 y p
( x, y)
2
由定理 3 知，在点 z 0
0 的邻域内存在独一一组有连续导数的隐函数组
x f 1 ( z), y
f 2 (z) ，将方程两边对 z 求导：
dx dy
1
dz
dz
dx
z y dy
x z
，
解得：
x dx
y dy
,
z
dz y x
dz
y x
dz
dz
四、（ 10 分）解：设长方体的长、宽、高分别是
x, y, z ， 体积 V ，则表面积 S 2( xy xz
yz) 知足条件 V
xyz ， 设
L 2( xy xz yz) ( xyz V )
L x 2( y z) yz 0
L y 2(x z)
xz 0 解得 x
y z
3
V
令
2(x
y) xy 0 L z
L
xyz V
因此体积必定而表面积最小的长方体是正方体。

S
min
63V 2
五、（ 10 分）
P
e x cos y 8,
Q e x cos y 7
y
x
补上有向线段 A0: y
x : a
0 ，由格林公式
(e x sin y 8 y)dx (e x cos y 7 x) dy
( 1)dxdy
a 2
c A0
D
8
而
(e x sin y 8 y)dx (e x cos y 7 x) dy 0 ，因此
( e x sin y 8y) dx (e x cos y 7x)dy
a 2
A0
c
8
六、（ 10 分）补上曲面 S 1 : y 0 ，取左边，则 S
S 1 形成闭合曲面，取外侧，由奥 - 高公式得
yzdydz
( x 2 z 2
) ydzdx xydxdy
( x
2
z 2
)dxdydz
2 2 4 r 2
2
2 3 (4 r 2
)dr
32 d
dr
r 3
dy r
S S 1
V
3
而
yzdydz ( x 2
z 2 ) ydzdx xydxdy
0 ，因此
yzdydz ( x 2
z 2 ) ydzdx xydxdy
32 。

S 1
S
3。