江苏省高一下学期第一次学情检测数学试题(解析版)

一、单选题
1．的值为（ ） 8lg 2log 10⋅A ． B ．
C ．
D ．
33log 101
3
lg 3【答案】C
【分析】使用换底公式及对数运算性质求解. 【详解】 83lg10111
lg 2log 10lg 2lg 2lg 2lg8lg 23lg 23
⋅=⨯=⨯=⨯=故选：C
2．已知角的终边过点，则的值为（ ） α()1tan15,1tan15+︒-︒tan αA
B ．
C ．
D
【答案】D
【分析】结合三角函数的定义、两角差的正切公式求得正确答案. 【详解】. ()1tan15tan 45tan15tan tan 4515tan 301tan151tan 45tan15α-︒︒-︒===︒-︒=︒=
+︒+︒⋅︒故选：D
3．平面向量与相互垂直，已知，，且与向量(1，0)的夹角是钝角，则=a b (6,8)a =- 5b = b b （ ） A ． B ． C ． D ．
(3,4)--(4,3)(4,3)-(4,3)--【答案】D
【分析】先设出向量的坐标，利用平面向量垂直的坐标表示及模的运算，向量夹角的定义求解即
b
可．
【详解】设
(,)b x y =
①， ,0,680,
a b a b x y ⊥∴⋅=∴-=
，②，
5=与向量(1，0)夹角为钝角，，③，
b
0x ∴<由①②③解得，，
4
3
x y =-⎧⎨=-⎩(4,3)b ∴=-- 故选：D ． 4．化简
=（ ）
21
sin 352sin 20︒︒
-
A ．
B ．
C ．
D ．
1
212
-1-1【答案】B
【分析】利用降次公式和诱导公式化简所求表达式，由此求得正确结论.
【详解】依题意，原式，故选B. 1cos 701
1cos 701sin 20122sin 202sin 202sin 202--
==-⨯=-⨯=-
【点睛】本小题主要考查三角函数降次公式，考查三角函数诱导公式，属于基础题.
5．已知中，，，AD 与BE 交于点P ，且，，则
ABC A 13
BD BC = 12AE AC = AP AD λ= BP BE μ=
（ ）
λμ+=A ．
B ．
C ．
D ．
5
4
74
43
34
【答案】A
【分析】根据平面向量基本定理，用基底向量表示,然后利用向量相等即可求解.
,AB AC AP
【详解】，，AD 与BE 交于点P ，且，，
13
BD BC = 12AE AC = AP AD λ= BP BE μ=
∴， ()()
213
3133AP AB BD AB BC AB AC AB AB AC λλλλλ⎛⎫⎡⎤=
+⎢⎥⎣=+=+=+- ⎝⎭⎦⎪
又
， ()
()12
1AP AB BP AB BE AB AE AB AB AC μμμμ+=+=+=+=-- ∴，解得，，
213123μλμλ
⎧
-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩34λ=12μ=∴. 5
4
λμ+=故选：A.
6．如图，已知点是边长为2的正三角形的边上的动点，则（ ）
P ABC BC ()
AP AB AC ⋅+=
A ．最大值为8
B ．为定值6
C ．最小值为2
D ．与的位置有关
P 【答案】B
【分析】因为共线,所以设,再代入求解即可.
,,B C P ()1AP AB AC λλ=-+
()
AP AB AC ⋅+ 【详解】因为共线,故
,. ,,B C P ()1AP AB AC λλ=-+
R λ∈所以
()()()
1AP AB AC AB AC AB AC λλ⎡⎤⋅+=-+⋅+⎣⎦
. ()()()22211216AB AC AB AC AB AC AB AC λλλλλλ=-++⋅+-⋅=-++⋅=
故选：B
【点睛】本题主要考查了共线向量的运用以及数量积的转换计算,属于中档题. 7．已知，，一条对称轴为，若关于x 的方程，在
()2sin(2)f x x ϕ=+(π,0)ϕ∈-π8
x =()2m
f x =有两个不同的实数根，则的取值范围为（ ） π0,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
m
A ．
B ． (4,--[4,--
C ．
D ．
4)4]【答案】A 【分析】由是的对称轴及，可求出，得到，换元π8x =
()f x (π,0)ϕ∈-3π4
ϕ=-3π
()2sin(2)4f x x =-后利用正弦函数的图象和性质求解即可． 【详解】因为是函数的一条对称轴， π
8
x =
()2sin(2)f x x ϕ=+所以，解得， π
π2π,Z 8
2
k k ϕ⨯+=+∈ππ,Z 4
k k ϕ=+∈又因为，所以，所以.
(π,0)ϕ∈-3π4
ϕ=-3π()2sin(2)4f x x =-， ，即，， ()2m f x =
π0,2x ⎡⎤∈⎢⎣⎦3πsin(2)44m x -=π0,2x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦设，则， 3π24t x =-
3ππ
,44
t ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
在上有两个零点， sin 4m t =
3ππ
,44
t ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
即与在上有两个交点，如图,
sin y t =4m y =3ππ,44t ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
当时， 3π4t =-
sin t =
所以， 14m -<
≤4m -<≤-故选：A ．
8．克罗狄斯·托勒密（Ptolemy ）所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，完成下题：如图，半圆的直径为2，为直径延长线上的一点，，为半O A 2OA =B 圆上一点，以为一边作等边三角形，则当线段的长取最大值时，（ ）
AB ABC OC AOC ∠=
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
【答案】C
【解析】根据已知条件先分析出的最大值并得到之间的关系，由此借助余弦定理OC ,OBC OAC ∠∠求解出的长度，再利用余弦定理即可求解出的大小.
AB AOC ∠【详解】因为，且为等边三角形，， OB AC OA BC OC AB ⋅+⋅≥⋅ABC A 1,2OB OA ==所以，所以，所以的最大值为，取等号时， OB OA OC +≥3OC ≤OC 3180OBC OAC ∠+∠=︒所以，不妨设，
cos cos 0OBC OAC ∠+∠=AB x =
所以，所以解得
221949
024x x x x
+-+-+=x =所以，所以， 9471
cos 2232AOC +-∠=
=⨯⨯60AOC ∠=︒故选：C.
【点睛】关键点点睛：解答问题的关键是理解题中所给的定理，由此分析得到角的关系，并借助余
弦定理即可求解出结果.
二、多选题
9．已知，是方程的两个实数根，则下列关系式中一定成立的是（ ）
tan αtan β23570x x +-=A ．
B ．
1
tan()2αβ+=-sin()5
cos()4
αβαβ+=-C ． D ． 4sin 2()5
αβ+=2
4cos ()5
αβ+=
【答案】ABD
【分析】由题意根据韦达定理可知，，再利用三角函数间的关系
5
tan tan 3αβ+=-7tan tan 3αβ⋅=-即可求解.
【详解】解：，是方程的两个实数根，
tan α tan β23570x x +-=由韦达定理可知，，
5
tan tan 3αβ+=-7tan tan 3αβ⋅=-对于A ，，A 选项正确； 51
3
tan()712tan tan tan a 13t n αααβ
ββ+⋅-
+=
=
=--⎛⎫-- ⎪⎝⎭
对于B ，
，B 选项正确； sin()sin cos cos sin tan tan 5
cos()cos cos sin sin tan tan 4
5
37113
αβαβαβαβαβαβαβαβ+++==--
==+-+⋅对于C ，
222sin()cos()
sin 2()2sin()cos()sin ()cos ()
αβαβαβαβαβαβαβ+++=++=
+++，C 选项错误； 22122tan()42tan ()15
112αβαβ⎛⎫⨯- ⎪
+⎝⎭===-++⎛⎫-+ ⎪⎝⎭对于D ，
，D 选项正确；
()()()()
()
22
222cos 114
cos 1cos sin 1tan 514
αβαβαβαβαβ++=
=
=
=
++++++故选：ABD.
10．在三角形ABC 中，下列命题正确的有（ ） A ．若，，，则三角形ABC 有两解 30A ︒=4b =5a =B ．若，则一定是钝角三角形
0tan tan 1A B <⋅<ABC A C ．若，则一定是等边三角形 cos()cos()cos()1A B B C C A ---=ABC A D ．若，则的形状是等腰或直角三角形
cos cos a b c B c A -=⋅-⋅ABC A
【答案】BCD
【分析】利用正弦定理，对A 进行判断，得到A ，B 都是锐角，再利用同角三角函数的基本关系，及两角和与差的三角函数公式得，对B 进行判断，利用余弦函数的性质对C 进行判cos()0A B +>断，利用正弦定理及两角和与差的三角函数公式，对D 进行判断，从而得出结论. 【详解】对于A ，因为，，，所以由正弦定理得, 30A ︒=4b =5a =sin 2
sin 5
b A B a ==b a <所以角只有一个解，A 选项错误； B 对于B ，由，即，
0tan tan 1A B <⋅<sin sin 01cos cos A B
A B
<
<所以，即， cos cos sin sin 0A B A B ->cos()0A B +>所以，所以，
π2
A B +<
()ππ2C A B =-+>故一定是钝角三角形，B 选项正确； ABC A 对于C ，因为 cos()cos()cos()1A B B C C A ---=所以 cos()cos()cos()1A B B C C A -=-=-=所以，C 选项正确； 60A B C ︒===对于D ，因为，
cos cos a b c B c A -=⋅-⋅由正弦定理可得， sin sin sin cos sin cos A B C B C A -=-所以
sin sin cos sin sin cos A C B B C A -=-因为，， sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+sin sin()sin cos cos sin B A C A C +A C =+=所以，解得或，即或， sin cos sin cos B C A C =cos 0C =sin sin A B =π
2
C =A B =所以的形状是等腰或直角三角形，
D 选项正确. ABC A 故选：BCD.
11．在中，D 为AB 上一点满足，若P 为线段CD 上一点，且，
ABC A 3AD DB =
AP AB AC λμ=+ （为正实数），则下列结论正确的是（ ）
,λμA ．
B ． 1344CD CA CB =+
432λμ+=C ．的最大值为 D ．
λμ112
3
(,1)4
λμ+∈【答案】AD
【分析】由题设结合三点共线可得，再应用基本不等式及的关43
AP AD AC λμ=+
433λμ+=λμ，系求的最值和的取值范围，利用向量加减、数乘的几何意义求的线性关系．
λμλμ+,,CD CA CB
【详解】由题设，可得，又三点共线，所以， 43
AP AD AC λμ=
+ ,,D P C 413λ
μ+=对于A 选项，，又，
14
CD CB BD CB BA =+=+ BA BC CA =+ ∴，故A 正确；
131()444CD CB BC CA CB CA =++=+
对于B 选项，由
，即知，B 错误； 413
λ
μ+=433λμ+=
对于C 选项，由，为正实数，， λμ433λμ+=≥316
λμ≤
当且仅当时等号成立，故C 错误；
31
,82λμ==对于D 选项，由
知，，则， 413λμ+=4103λ
μ=->304
λ<<而，
41
1133
λμλλλ+=+-=-所以，由得，即，故D 正确，
304λ<<3
14
λμ<+<3(,1)4λμ+∈故选：AD ．
12．已知定义在上的偶函数，满足，则下列结论正确的是（ ） R ()f x ()()22f x f x +-=A ．的图象关于对称 ()f x 1x =B ．
()()4f x f x +=C ．若函数在区间上单调递增，则在区间上单调递增
()f x []0,1()f x []2021,2022D ．若函数在区间上的解析式为，则在区间上的解析式为
()f x ()0,1()ln 1f x x =+()f x ()2,3 ()()ln 11f x x =-+【答案】BC
【分析】利用函数的对称性可判断A 选项；利用已知条件结合偶函数的性质可判断B 选项；利用函数周期性可判断C 选项；设，利用
()2,3x ∈()()22f x f x =--【详解】对于A 选项，因为，则函数的图象关于点对称，A 错；
()()22f x f x +-=()f x ()1,1
对于B 选项，因为且函数为偶函数，
()()22f x f x +-=()f x 所以，可得，所以，， ()()22f x f x +-=()()22f x f x ++=()()22f x f x +=-所以，对任意的，，B 对； x ∈R ()()4f x f x +=对于C 选项，因为，
()()4f x f x +=若函数在区间上单调递增，则在区间上单调递增，C 对； ()f x []0,1()f x []2021,2022对于D 选项，当时，，，
()2,3x ∈()21,0x -∈-()20,1x -∈所以，，D 错. ()()()()()22222ln 211ln 2f x f x f x x x =--=--=--+=--⎡⎤⎣⎦故选：BC.
三、填空题
13．已知_______．
π1sin cos()36αα+=πcos(4)3α-=【答案】
7
9
-【分析】根据已知条件利用三角函数和差倍角公式，辅助角公式化简计算后可得，
π1sin 233α⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭最后利用诱导公式化简求值即可.
【详解】解： πππ1sin cos(sin cos cos sin sin sin cos 3332αααααααα⎛⎫⎛
⎫+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
)2111sin cos sin 21cos 2sin 22244ααααααα==-=
1π1sin 2236α⎛⎫=+= ⎪⎝⎭， 1π1π1sin 2sin 223633αα⎛⎫⎛
⎫∴+=⇒+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭则
2ππππcos(4cos 22πcos 2212sin 23333αααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛
⎫-=+-=-+=--+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦.
171299⎛
⎫=--⨯=- ⎪⎝⎭故答案为：
7
9
-
14．在中，，，若对任意的实数，
ABC A AB = (cos ,sin ),R AC ααα=∈ t
恒成立，则的面积等于__________．
C A AC B AB t A ≥--
ABC A
【分析】由不等式对任意的实数恒成立，通过向量的数量积运算转化为关于
C A AC B AB t A ≥--
t 的二次不等式恒成立，即可求出，的值，从而可求的面积．
t cos A sin A ABC A 【详解】因为，所以，
C A AC B AB t A ≥-- 22AB t A B AC C A ≥-- 即，
()(
)
2
2
AB t A A C
AC B -≥-
所以 2222
222AB AB AB t AC t C A A AC B C A -⋅+≥-⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
又因为， AB = (cos ,sin ),R AC ααα=∈
1AC =
所以，
28cos 81A t A -+≥-+
即对任意的实数恒成立， 2cos 10t A A -+-≥t
所以，即，
()
()2
410A A ∆=--≤()
2
10A -≤
所以所以
cos A =0π,A <<sin A =
所以的面积为 ABC A 11sin 122AB AC A =⨯=
． 15．已知三角形ABC 中，是的重心，P 是内部（不含边界）的4,5,6,AB AC BC I ===ABC A IBC A 动点，若（），则的取值范围________.
AP AB AC λμ=+
,R λμ∈λμ+【答案】
2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭
【分析】以点为原点建立平面直角坐标系，先求出两点的坐标，设，利用A ,C I (),P x y ，将用表示，再根据线性规划即可得出答案.
AP AB AC λμ=+
λμ+,x y 【详解】如图，以点为原点建立平面直角坐标系， A
，则，
1625361cos 2458A +-=
=⨯⨯sin A =
则，
()()50,0,4,0,8A B C ⎛ ⎝因为是的重心，
I ABC A
所以，即，
50483I ⎛++
⎝
⎭
3724I ⎛ ⎝直线的方程为
，
BC )4y x =-0x y +=
设，P 在内部（不含边界），
(),P x y IBC A ，
()()5,,4,0,8AP x y AB AC ⎛=== ⎝
因为，即
AP AB AC λμ=+
()()5,4,0
8x y λμ⎛=+ ⎝所以，所以，
548
x y λμ⎧
=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩14
x y y λμ⎧=⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩
则，
14x y λμ+=令，则，
14z x y λμ=+=
+
y z =由图可知当直线过点时，，
y x z =
+()4,0B max 1z =当直线过点时，
， y
x z =+3724I ⎛ ⎝min 23z =所以的取值范围是.
λμ+2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭
故答案为：
2,13⎛⎫
⎪⎝⎭
【点睛】关键点点睛：本题考查了向量中的最值问题，建立平面直角坐标系进行坐标运算和把点的位置用不等式组体现是解题的关键.
四、双空题
16．如图，在平面凸四边形中，为对角线的中点.若
ABCD 24,AB AD CD BC P ====AC
.则_______，_______.
PD =PD =ABC ∠=
【答案】 3
23
π
【分析】设，则，由，利用余弦定理建立PB x =PD ==APB CPB π∠+∠=，解方程即可得到答案；在中，由余弦定理即可算得.
cos cos 0APB CPB ∠+∠=ABC A ABC ∠
【详解】设，则，因为，P 为AC 的中点，所以，
PB x =PD ==DA DC =DP AC ⊥，，又，
PA PC =2222163AP AD DP x =-=-APB CPB π∠+∠=所以，即，代入数
cos cos 0APB CPB ∠+∠=222222
022AP PB AB PB PC BC AP PB PB PC +-+-+=⋅⋅
，解得；
0=x =3PD ==在中，由余弦定理得，，
ABC A 2221644(169)1
cos 22422
BA BC AC ABC BA BC +-+-⨯-∠===-⋅⨯⨯所以.
ABC ∠=2
3π故答案为：3；.
2
3π【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.
五、解答题
17．已知，为锐角，，αβ35=cos α()cos αβ+=(1)求的值； sin2α(2)求的值. cos β【答案】(1) 24sin225
α=
【分析】（1）根据同角的三角函数关系式，结合正弦二倍角公式进行求解即可； （2）根据同角的三角函数关系式，结合两角差的余弦公式进行求解即可.
【详解】（1）因为为锐角，，所以，
α35=cos α4sin 5
α===则；
3424
sin22sin cos 25525==⨯⨯=ααα（2）由于，为锐角，则， αβ0αβ<+<π
又 ()()cos sin αβαβ+=+==
()cos cos βαβα⎡⎤=+-⎣⎦()()cos cos sin sin αβααβα=+++3455==18．在中，，点D 在边上，.
ABC A 9AB =BC 7AD =
(1)若，求的值， 2
cos 3
B =
BD (2)若，且点D 是边的中点，求的值.
2
cos 3BAC ∠=-BC AC 【答案】(1)或 8BD =4BD =
(2)6AC =+
【分析】（1）由余弦定理列出方程，求出的值； BD
（2）作出辅助线，得到，由余弦定理求出. 2cos 3AED ∠=
3EA =+【详解】（1）在中，由余弦定理得：， ABD △2222cos AD AB BD AB BD B =+-⋅⋅所以，解得或，
2
24981293
BD BD =+-⨯⨯8BD =4BD =经检验均符合要求；
（2）在中，过D 作的平行线交于E ， ABD △AB AC 因为点D 是边的中点，所以点E 为AC 的中点，
BC
在中，， AED △1922
ED AB =
=又，所以. πBAC AED ∠+∠=2
cos 3
AED ∠=
由余弦定理得：，
2222
cos 23
AE ED AD AED AE ED +-∠==⋅⋅
所以，所以或（舍去）， 2
115604EA EA --=30EA =>30EA =<
故26AC EA ==19．如图，在中，已知，，，点D 是上一点，满足ABC A 1CA =2CB =60ACB ∠=︒AB AD AB
λ=u u u r u u u r
，点E 是边上一点，满足
CB BE BC λ=
(1)当时，求 1
2
λ=
AE CD ⋅ (2)是否存在非零实数，使得？若存在，求出的值：若不存在，请说明理由
λAE CD ⊥
λ【答案】(1)
14
(2)存在非零实数，使得 2
3
λ=AE CD ⊥
【分析】（1）当时，、分别是，的中点，则、，
1
2
λ=D E BC AB 12
AE AC CB =+
1()2
CD CA CB =+
然后根据已知条件即可求解；
AE CD ⋅
（2）假设存在非零实数，使得，利用、为基底分别表示出和，
λAE CD ⊥ CB CA CD AE
由求出值即可． 0AE CD ⋅=u u u r u u u r
λ【详解】（1）解：当时，，， 1
2
λ=12AD AB =
12
BE BC = 、分别是，的中点，
D ∴
E BC AB
，，
∴12AE AC CE AC CB =+=+ 1()2
CD CA CB =+
∴11()()22AE CD AC CB CA CB ⋅=+⋅+ 211112244
AC CA AC CB CB CA CB =⋅+⋅+⋅+
； 221111112cos12021cos6022244=-⨯+⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒+⨯1
4
=（2）解：假设存在非零实数，使得，
λAE CD ⊥ 由，得，
AD AB λ=u u u r u u u r
()AD CB CA λ=- ；
∴()(1)CD CA AD CA CB CA CB CA λλλ=+=+-=+- 又，
BE BC λ= ；
∴()()(1)AE AB BE CB CA CB CB CA λλ=+=-+-=-- ∴222(1)(1)(1)AE CD CB CB CA CB CA CA λλλλλ⋅=--⋅+-⋅-- ，解得或（不合题意，舍去）， 24(1)(1)(1)λλλλλ=--+---2320λλ=-+=2
3
λ=0λ=所以存在非零实数，使得． 2
3
λ=
AE CD ⊥ 20．已知函数在一个周期内的图象如图所示.
()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛
⎫=+>>< ⎪⎝
⎭
（1）求的解析式；
()f x （2）将函数的图象向右平移
个单位长度后，得到函数的图象，求在
()y f x =6
π
()y g x =()g x 上的单调递增区间.
[]0,π【答案】（1）；（2）、.
()2sin 26f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦5,6
ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）由图象可得出函数的最小正周期的值，可求出，再将点代入函数解
()f x T ω5,012π⎛⎫
⎪⎝⎭析式，结合的取值范围可求得的值，由可求得的值，综合可得出函数的解析
ϕϕ()01f =A ()f x
式；
（2）利用函数图象变换求得，求出函数在上的单调递增区间，再与定()2sin 26g x x π⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
()g x R 义域取交集可得结果.
【详解】（1）由图可得函数的最小正周期为， ()f x 11521212T πππ⎛⎫
=⨯-= ⎪⎝⎭
所以，， 22T
π
ω==，则，
552sin 0126f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 5sin 06πϕ⎛
⎫+= ⎪⎝⎭
，则，，则，所以，， 22ππϕ-<< 54363πππϕ<+<56πϕπ∴+
=6πϕ=()sin 26f x A x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭因为，所以，，所以，；
()10sin
16
2f A A π
==
=2A =()2sin 26f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭（2）由题意可得，
()2sin 22sin 2666g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦令，，得，，
2222
6
2
k x k π
π
π
ππ-
+≤-
≤
+Z k ∈6
3
k x k π
π
ππ-
+≤≤
+Z k ∈记，则.
(),63Z A k k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦
=+∈[]50,0,,36A ππππ⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 因此，函数在上的增区间是、.
()g x []0,π0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦5,6
ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦【点睛】方法点睛：根据三角函数或的部分图象求函数解析式的方法： ()()sin f x A x b ωϕ=++（1）求、，；
A ()()max min
:2
f x f x b A -=
()()max min
2f x f x b +=
（2）求出函数的最小正周期，进而得出； T 2T
πω=（3）取特殊点代入函数可求得的值.
ϕ21．如图，正方形ABCD 边长为5，其中AEF 是一个半径为4的扇形，在弧EF 上有一个动点Q ，过Q 作正方形边长BC ，CD 的垂线分别交BC ，CD 于G ，H ，设，长方形QGCH 的面积EAQ θ∠=为S .
（1）求关于的函数解析式； S θ（2）求的最大值.
S
【答案】（1），；（2）5.
2520(cos sin )16sin cos S θθθθ=-++0,2π⎡⎤
θ∈⎢⎥⎣⎦
【分析】（1）先根据题意计算在竖直方向上和水平方向上的投影的长度，即可计算的AQ ,HQ QG 长度，计算长方形QGCH 的面积再化简即得结果；
（2）先换元，确定新元的范围和函数，再根据二次函数求最值即得结果. sin cos t θθ+=【详解】解：⑴，则在竖直方向上的投影的长度为，在水平方向上的投影长EAQ θ∠=AQ 4cos θ度为，
4sin θ
故，，
54cos ,54sin HQ QG θθ=-=-θ0,2π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，
(54cos )(54sin )S θθ=--θ0,2π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
整理得：，；
2520(cos sin )16sin cos S θθθθ=-++θ0,2π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦（2），，
2520(cos sin )16sin cos S θθθθ=-++θ0,2π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
令，平方可得，
sin cos t θθ+=)4
t π
θ+=22sin cos 1t θθ=-
当时，可求得. θ0,2π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
t ⎡∈⎣
，，
2
2
2
525208(1)820178492
S t t t t t ⎛⎫∴=-+-=-+=-⎪⎭+ ⎝t ⎡∈⎣根据二次函数对称性可知，当时，. 1t =max 820175S =-+=【点睛】方法点睛：
求含有正余弦函数的和（或差）及乘积的函数求最值（范围）时，常进行三角换元，令和（或差）为新变量，形成二次函数，求二次函数最值（范围）即可. 22．已知函数（且）. ()1
log 1
a
x f x x +=-0a >1a ≠(1)判断并证明函数的奇偶性；
()f x (2)若，求函数的值域；
2a =()2x
y f =(3)是否存在实数a ，b ，使得函数在区间上的值域为，若存在，求a ，b 的值；若
()f x 3,2b a ⎛⎫
⎪⎝⎭
()1,2
不存在，请说明理由.
【答案】(1)函数是奇函数，证明见解析. ()f x (2). ()0,∞+(3)存在，，. 2a =5
3
b =
【分析】（1）求得函数的定义域，由函数的奇偶性的定义可得证； （2）根据指数函数和对数函数的单调性可得答案；
（3）由的定义域得，分，，讨论函数的单调性，建立不等式组
()f x ()3,1,2b a ⎛⎫
⊆+∞ ⎪⎝⎭01a <<1a >求解即可.
【详解】（1）解：函数是奇函数. 证明如下： ()f x 由
，解得的定义域为. 1
01
x x +>-()f x ()(),11,-∞-⋃+∞因为对任意的，都有，
()(),11,x ∈-∞-⋃+∞()(),11,x -∈-∞-⋃+∞且， ()()1
1111log log log log 1111a a a a x x x x x x x f x x f x --+-++⎛⎫
====-=- ⎪
-⎝⎭---+-所以，是奇函数.
()f x （2）解：当时，，. 2a =()21log 1x f x x +=-()222122log log 12121x x
x
x y f +⎛⎫===+ ⎪--⎝⎭因为的定义域是，所以，
()f x ()(),11,-∞-⋃+∞21x >所以
，， ()2
0,21x ∈+∞-()211,21
x +∈+∞-所以，
()22log 10,21x ⎛
⎫+∈+∞ ⎪-⎝⎭所以，的值域是.
()2x
y f =()0,∞+（3）解：因为函数在上的值域为，又，且，
()f x 3,2b a ⎛⎫
⎪⎝⎭
()1,20a >1a ≠由的定义域得，所以.
()f x ()3,1,2b a ⎛⎫
⊆+∞ ⎪⎝⎭312a b >>①当时，因为在上单调递减，所以函数在01a <<211y x =+-()1,+∞()2log 11a x f x ⎛
⎫=+ ⎪-⎝⎭3,2b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递增，
所以，即， ()1322f b f a ⎧=⎪⎨
⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎩
2211213
12a b a a ⎧+=⎪-⎪⎨+=⎪-⎪
⎩
因为，所以，所以无解. 1b >2111
b +
>-2
11a b +
=-（或者因为，所以，所以无解）， 312
a >2
11
312a +>-221312a a +=-故此时不存在实数a ，b 满足题意. ②当时，因为在上单调递减，所以函数在上单1a >211y x =+-()1,+∞()2log 11a x f x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭3,2b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
调递减，
所以，即，
()31,22,f a f b ⎧⎛⎫
=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩221312211
a a a
b ⎧+=⎪-⎪
⎨⎪+
=⎪-⎩解得或（舍），.综上，存在实数，.
2a =1
3a =-53b =2a =53
b =。