2025届湖北省黄冈市晋梅中学高三下学期联合考试数学试题含解析

2025届湖北省黄冈市晋梅中学高三下学期联合考试数学试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1． “完全数”是一些特殊的自然数，它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和恰好等于它本身.古希腊数学家毕达哥拉斯公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6和28，进一步研究发现后续三个完全数”分别为496，8128，33550336，现将这五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则6和28不在同一组的概率为（ ） A ．
15
B ．
25
C ．
35
D ．
45
2．下列函数中，在定义域上单调递增，且值域为[)0,+∞的是（ ） A ．()lg 1y x =+
B ．1
2y x =
C ．2x y =
D ．ln y x =
3．已知双曲线C 的一个焦点为()0,5，且与双曲线2
214
x y -=的渐近线相同，则双曲线C 的标准方程为( )
A ．2
214
y x -=
B ．22
1520y x -=
C ．22
1205
x y -=
D ．2
2
14
x y -=
4．中，如果
，则
的形状是（ ）
A ．等边三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．等腰直角三角形
5．已知实数x ，y 满足2212
x y +≤，则2222
267x y x y x +-++-+的最小值等于（ ）
A ．625
B ．627
C 63-
D ．962-6．设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i ，y i ）（i=1，
2，…，n ），用最小二乘法建立的回归方程为ˆy
=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是 A ．y 与x 具有正的线性相关关系 B ．回归直线过样本点的中心（x ，y ）
C ．若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kg
D ．若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重比为58.79kg
7．已知函数()f x 满足当0x ≤时，2(2)()f x f x -=，且当(2,0]x ∈-时，()|1|1f x x =+-；当0x >时，
()log (0a f x x a =>且1a ≠).若函数()f x 的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则a 的取值范围是（ ）
A ．(625,)+∞
B ．(4,64)
C ．(9,625)
D ．(9,64)
8．已知m ，n 是两条不重合的直线，α是一个平面，则下列命题中正确的是（ ） A ．若//m α，//n α，则//m n B ．若//m α，n ⊂α，则//m n C ．若m n ⊥，m α⊥，则//n α D ．若m α⊥，//n α，则m n ⊥
9．函数()1
ln 1y x x
=
-+的图象大致为( ) A ． B ．
C ．
D ．
10．已知集合{
}{}
2
|1,|31x A x x B x ==<，则(
)R
A
B =（ ）
A ．{|0}x x <
B ．{|01}x x
C ．{|10}x x -<
D ．{|1}x x -
11．已知函数31,0
()(),0
x x f x g x x ⎧+>=⎨<⎩是奇函数，则((1))g f -的值为（ ）
A ．－10
B ．－9
C ．－7
D ．1
12．已知
是球
的球面上两点,
,
为该球面上的动点.若三棱锥
体积的最大值为36,则球
的表面积为（ ） A ．36π
B ．64π
C ．144π
D ．256π
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知函数()2
2
212,204821,2,0
x x x f x x x
x x x x ⎧++-<<⎪=+⎨⎪+-≤-≥⎩，若函数()()1g x a f x =+有6个零点，则实数a 的取值范围是_________.
14．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若369S S S +=，则数列{}n a 的公比q 是 ．
15．甲、乙、丙、丁4名大学生参加两个企业的实习，每个企业两人，则“甲、乙两人恰好在同一企业”的概率为_________. 16．已知函数()2sin()(0)f x x ωϕω=+>，曲线()y f x =与直线1y =相交，若存在相邻两个交点间的距离为
3
π
，
则ω可取到的最大值为__________.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知数列{}n a 满足132
a =
，且()1112,22n n n a a n n *
--=+≥∈N .
（1）求证：数列{}
2n
n a 是等差数列，并求出数列{}n a 的通项公式；
（2）求数列{}n a 的前n 项和n S .
18．（12分）某工厂的机器上有一种易损元件A ，这种元件在使用过程中发生损坏时，需要送维修处维修．工厂规定当日损坏的元件A 在次日早上 8：30 之前送到维修处，并要求维修人员当日必须完成所有损坏元件A 的维修工作．每个工人独立维修A 元件需要时间相同．维修处记录了某月从1日到20日每天维修元件A 的个数，具体数据如下表： 日期
1 日
2 日
3 日
4 日
5 日
6 日
7 日
8 日
9 日
10 日
元件A 个数 9 15 12 18 12 18 9 9 24 12
日期 11 日 12 日 13 日 14 日 15 日 16 日 17 日 18 日 19 日 20 日
元件A 个数 12 24 15 15 15 12 15 15 15 24
从这20天中随机选取一天，随机变量X 表示在维修处该天元件A 的维修个数． （Ⅰ）求X 的分布列与数学期望； （Ⅱ）若a ，b *N ∈，且b-a =6，求()P a X b ≤
≤最大值；
（Ⅲ）目前维修处有两名工人从事维修工作，为使每个维修工人每天维修元件A 的个数的数学期望不超过4个，至少需要增加几名维修工人？（只需写出结论）
19．（12分）某客户准备在家中安装一套净水系统，该系统为二级过滤，使用寿命为十年如图所示两个二级过滤器采用并联安装，再与一级过滤器串联安装.
其中每一级过滤都由核心部件滤芯来实现在使用过程中，一级滤芯和二级滤芯都需要不定期更换（每个滤芯是否需要更换相互独立）.若客户在安装净水系统的同时购买滤芯，则一级滤芯每个160元，二级滤芯每个80元.若客户在使用
过程中单独购买滤芯则一级滤芯每个400元，二级滤芯每个200元.现需决策安装净水系统的同时购买滤芯的数量，为此参考了根据100套该款净水系统在十年使用期内更换滤芯的相关数据制成的图表，其中表1是根据100个一级过滤器更换的滤芯个数制成的频数分布表，图2是根据200个二级过滤器更换的滤芯个数制成的条形图. 表1：一级滤芯更换频数分布表 一级滤芯更换的个数 8 9 频数
60
40
图2：二级滤芯更换频数条形图
以100个一级过滤器更换滤芯的频率代替1个一级过滤器更换滤芯发生的概率，以200个二级过滤器更换滤芯的频率代替1个二级过滤器更换滤芯发生的概率.
（1）求一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为16的概率；
（2）记X 表示该客户的净水系统在使用期内需要更换的二级滤芯总数，求X 的分布列及数学期望；
（3）记,m n 分别表示该客户在安装净水系统的同时购买的一级滤芯和二级滤芯的个数.若19m n +=，且{}8,9m ∈，以该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为决策依据，试确定,m n 的值.
20．（12分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为93,
x t y t
⎧=+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半
轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2
216
13sin ρθ
=+．
（1）求C 和l 的直角坐标方程；
（2）已知P 为曲线C 上的一个动点，求线段OP 的中点M 到直线l 的最大距离．
21．（12分）已知直线l 的参数方程为1322(12x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
为参数）
，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标
系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=.
（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；
（2）设点1
(,0)2
P ，直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求PA PB +的值. 22．（10分）已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =
，n a =*n N ∈，且2n ≥）
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）证明：当2n ≥时，
123
11113232
n a a a na ++++
< 参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C 【解析】
先求出五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个的基本事件总数为2
510C =，再求出6和28恰好在同一组
包含的基本事件个数，根据即可求出6和28不在同一组的概率. 【详解】
解：根据题意，将五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，
则基本事件总数为2
510C =，
则6和28恰好在同一组包含的基本事件个数21
234C C +=， ∴6和28不在同一组的概率1043
105
P -==. 故选：C. 【点睛】
本题考查古典概型的概率的求法，涉及实际问题中组合数的应用. 2、B 【解析】
分别作出各个选项中的函数的图象，根据图象观察可得结果.
【详解】
对于A ，()lg 1y x =+图象如下图所示：
则函数()lg 1y x =+在定义域上不单调，A 错误； 对于B ，1
2y x x ==
的图象如下图所示：
则y x =
在定义域上单调递增，且值域为[)0,+∞，B 正确；
对于C ，2x
y =的图象如下图所示：
则函数2x
y =单调递增，但值域为()0,∞+，C 错误；
对于D ，ln y x =的图象如下图所示：
则函数ln y x =在定义域上不单调，D 错误. 故选：B . 【点睛】
本题考查函数单调性和值域的判断问题，属于基础题. 3、B 【解析】
根据焦点所在坐标轴和渐近线方程设出双曲线的标准方程，结合焦点坐标求解. 【详解】
∵双曲线C 与2
214
x y -=的渐近线相同，且焦点在y 轴上，
∴可设双曲线C 的方程为22
14y x k k
-=，一个焦点为0,5，
∴425k k +=，∴5k =，故C 的标准方程为22
1520
y x -=.
故选：B 【点睛】
此题考查根据双曲线的渐近线和焦点求解双曲线的标准方程，易错点在于漏掉考虑焦点所在坐标轴导致方程形式出错. 4、B 【解析】 化简得lg cos A ＝lg ＝﹣lg 2，即
，结合
， 可求
，得
代入sinC ＝sinB ，从而可求
C ，B ，进而可判断. 【详解】 由，可得lg cos A ＝＝﹣lg 2，∴
，
∵，∴
，
，∴sin C ＝sin B ＝
＝
，∴tanC ＝，C ＝，B ＝.
故选：B 【点睛】
本题主要考查了对数的运算性质的应用，两角差的正弦公式的应用，解题的关键是灵活利用基本公式，属于基础题． 5、D 【解析】 设2x θ=
，sin y θ=，去绝对值，根据余弦函数的性质即可求出．
【详解】
因为实数x ，y 满足2212
x
y +，
设2cos x θ=
，sin y θ=，
222222222|2||67||2cos sin 2||2cos sin 62cos 7||sin |x y x y x θθθθθθ∴+-++-+=+-++-+=-+2|cos 62cos 8|θθ-+，
22cos 62cos 8(cos 32)100θθθ-+=-->恒成立，
222222|2||67|sin cos 62cos 8962cos 962x y x y x θθθθ∴+-++-+=+-+=--，
故则2222|2||67|x y x y x +-++-+的最小值等于962-. 故选：D ． 【点睛】
本题考查了椭圆的参数方程、三角函数的图象和性质，考查了运算能力和转化能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平． 6、D 【解析】
根据y 与x 的线性回归方程为 y=0.85x ﹣85.71，则 =0.85＞0，y 与 x 具有正的线性相关关系，A 正确； 回归直线过样本点的中心（,x y ），B 正确；
该大学某女生身高增加 1cm ，预测其体重约增加 0.85kg ，C 正确；
该大学某女生身高为 170cm ，预测其体重约为0.85×170﹣85.71=58.79kg ，D 错误． 故选D ． 7、C 【解析】
先作出函数()f x 在(,0]-∞上的部分图象，再作出()log a f x x =关于原点对称的图象，分类利用图像列出有3个交点时满足的条件，解之即可. 【详解】
先作出函数()f x 在(,0]-∞上的部分图象，再作出()log a f x x =关于原点对称的图象， 如图所示，当01a <<时，对称后的图象不可能与()f x 在(,0]-∞的图象有3个交点； 当1a >时，要使函数()f x 关于原点对称后的图象与所作的图象有3个交点，
则11log 321log 54a a a ⎧⎪>⎪
⎪
->-⎨⎪
⎪
-<-⎪⎩
，解得9625a <<.
故选：C. 【点睛】
本题考查利用函数图象解决函数的交点个数问题，考查学生数形结合的思想、转化与化归的思想，是一道中档题. 8、D 【解析】
利用空间位置关系的判断及性质定理进行判断. 【详解】
解：选项A 中直线m ，n 还可能相交或异面， 选项B 中m ，n 还可能异面， 选项C ，由条件可得//n α或n ⊂α． 故选：D. 【点睛】
本题主要考查直线与平面平行、垂直的性质与判定等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力，属于基础题. 9、A 【解析】
确定函数在定义域内的单调性，计算1x =时的函数值可排除三个选项． 【详解】
0x >时，函数为减函数，排除B ，10x -<<时，函数也是减函数，排除D ，又1x =时，1ln 20y =->，排除C ，
只有A 可满足． 故选：A.
【点睛】
本题考查由函数解析式选择函数图象，可通过解析式研究函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性等等排除，可通过特殊的函数值，函数值的正负，函数值的变化趋势排除，最后剩下的一个即为正确选项． 10、D 【解析】
先求出集合A ，B ，再求集合B 的补集，然后求(
)R
A B
【详解】
{|11},{|0}A x x B x x =-=<，所以 (
){|1}R
A
B x x =-.
故选：D 【点睛】
此题考查的是集合的并集、补集运算，属于基础题. 11、B 【解析】
根据分段函数表达式，先求得()1f -的值，然后结合()f x 的奇偶性，求得((1))g f -的值. 【详解】
因为函数3,0
()(),0
x x x f x g x x ⎧+≥=⎨<⎩是奇函数，所以(1)(1)2f f -=-=-，
((1))(2)(2)(2)10g f g f f -=-=-=-=-.
故选：B 【点睛】
本题主要考查分段函数的解析式、分段函数求函数值，考查数形结合思想.意在考查学生的运算能力，分析问题、解决问题的能力. 12、C 【解析】
如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ABC -的体积最大，设球O 的半径为R ，此时
23111
36326
O ABC C AOB V V R R R --==⨯⨯==，故6R =，则球O 的表面积为24144S R ππ==，故选C ．
考点：外接球表面积和椎体的体积．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、41,5⎡⎫--⎪⎢⎣⎭
【解析】
由题意首先研究函数()y f x =的性质，然后结合函数的性质数形结合得到关于a 的不等式，求解不等式即可确定实数a 的取值范围. 【详解】
当10x -<<时，函数()2
2t x x x =+在区间()1,0-上单调递增，
很明显()()1,0t x ∈-，且存在唯一的实数1x 满足()112
t x =-， 当10t -≤<时，由对勾函数的性质可知函数14y t t =+
在区间11,2⎛
⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，在区间1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭
上单调递增，
结合复合函数的单调性可知函数2
21
248y x x x x
=++
+在区间()11,x -上单调递减，在区间()1,0x 上单调递增，且当
1x x =时，22
1
2148y x x x x
=++
=+， 考查函数2
21y x x =+-在区间()0,∞+上的性质，
由二次函数的性质可知函数2
21y x x =+-在区间()
21上单调递减，在区间)
21,+∞上单调递增，
函数()()1g x a f x =+有6个零点，即方程()10a f x +=有6个根，
也就是1|()|f x a =-
有6个根，即|()|y f x =与1
=-y a
有6个不同交点， 注意到函数2
2y x x =+关于直线1x =-对称，则函数|()|y f x =关于直线1x =-对称，
绘制函数|()|y f x =的图像如图所示，
观察可得：1514a ≤-
<，即415
a -≤<-. 综上可得，实数a 的取值范围是41,5⎡
⎫--
⎪⎢⎣
⎭
. 故答案为41,5⎡⎫--⎪⎢⎣⎭
． 【点睛】
本题主要考查分段函数的应用，复合函数的单调性，数形结合的数学思想，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 14、1±. 【解析】
当q=1时，361119369S S a a a S +=+==.
当1q ≠时，
369369323111369(1)(1)(1)
,,21,(1)(1)0
111a q a q a q S S S q q q q q q q q ---+=∴+=∴--=-∴-+=--- 1q ∴=-，所以1q =±.
15、
1
3
【解析】
求出所有可能，找出符合可能的情况，代入概率计算公式． 【详解】
解：甲、乙、丙、丁4名大学生参加两个企业的实习，每个企业两人，共有24
6=种，甲乙在同一个公司有两种可能，
故概率为21
63
P ==， 故答案为
13
． 【点睛】
本题考查古典概型及其概率计算公式，属于基础题 16、4 【解析】
由于曲线()y f x =与直线1y =相交，存在相邻两个交点间的距离为3π
，所以函数的周期23
T ππω=
>，可得到ω的取值范围，再由1
sin()2
x ωϕ+=解出x 的两类不同的值，然后列方程求出()2162k k ω=-+，再结合ω的取值范围可得ω的最大值. 【详解】
23T ππ
ω=
>
，可得06ω<<，由1sin()2x ωϕ+=
，则126x k πωϕπ+=+或21252(,)6
x k k k Z π
ωϕπ+=+
∈，即126k x ππϕω+-=或2526k x ππϕω
+-=，由题意得12522663
k k πππϕπϕπωω+-+--=，所以()2162k k ω=-+，则2ω=或4ω=，所以ω可取到的最大值为4. 故答案为：4 【点睛】
此题考查正弦函数的图像和性质的应用及三角方程的求解，熟练应用三角函数的图像和性质是解题的关键，考查了推理能力和计算能力，属于中档题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）证明见解析，21
2n n n a +=；（2）2552n
n
n S +=-. 【解析】 （1）将等式111
22
n n n a a --=
+变形为11222n n n n a a --=+，进而可证明出{}2n n a 是等差数列，确定数列{}2n n a 的首项和公差，可求得2n
n a 的表达式，进而可得出数列{}n a 的通项公式；
（2）利用错位相减法可求得数列{}n a 的前n 项和n S . 【详解】
（1）因为()
111
2,22
n n n a a n n *--=
+≥∈N ，所以11222n n n n a a --=+，即11222n n n n a a ---=， 所以数列{}
2n
n a 是等差数列，且公差2d =，其首项123a =
所以23(1)221n
n a n n =+-⨯=+，解得21
2
n n
n a +=； （2）2313572121
22222
n n n n n S --+=
+++⋅⋅⋅++，① 42313572121
222222
n n n S n n +-+=+++⋅⋅⋅++，② ①-②，得23111112131112132142212222222212
n n n n n S n n -++⎛⎫
⨯⨯- ⎪
++⎛⎫⎝⎭=+⨯++⋅⋅⋅+-=+- ⎪⎝⎭-1
52522n n ++=-， 所以25
52
n n
n S +=-. 【点睛】
本题考查利用递推公式证明等差数列，同时也考查了错位相减法求和，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 18、（Ⅰ）分布列见解析，()15E X =；(Ⅱ)3
4
；(Ⅲ)至少增加2人. 【解析】
（Ⅰ）求出X 的所有可能取值为9，12，15，18，24，求出概率，得到X 的分布列，然后求解期望即可． （Ⅱ）当P （a ≤X ≤b ）取到最大值时，求出a ，b 的可能值，然后求解P （a ≤X ≤b ）的最大值即可． （Ⅲ）利用前两问的结果，判断至少增加2人． 【详解】
(Ⅰ)X 的取值为：9，12，15，18，24；
()3920P X ==
,()51220P X ==,()71520P X ==, ()21820P X ==,()3
2420P X ==，
X 的分布列为：
故X 的数学期望()35723912151824152020202020
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯=； (Ⅱ)当P (a ≤X ≤b )取到最大值时, a ,b 的值可能为：915a b =⎧⎨
=⎩,或1218a b =⎧⎨=⎩,或1824
a b =⎧⎨=⎩.
经计算159150(2)P X ≤≤=,14121()820P X ≤≤=,5182()420P X ≤≤=， 所以P (a ≤X ≤b )的最大值为
153204
=. (Ⅲ)至少增加2人. 【点睛】
本题考查离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差，属于中等题. 19、（1）0.024；（2）分布列见解析，52
5
EX =；（3）8,11m n == 【解析】
（1）由题意可知，若一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为16，则该套净水系统中一个一级过滤器需要更换8个滤芯，两个二级过滤器均需要更换4个滤芯，而由一级滤芯更换频数分布表和二级滤芯更换频数条形图可知，一级过滤器需要更换8个滤芯的概率为0.6，二级过滤器需要更换4个滤芯的概率为0.2，再由乘法原理可求出概率；
（2）由二级滤芯更换频数条形图可知，一个二级过滤器需要更换滤芯的个数为4，5，6的概率分别为0.2，0.4，0.4，而X 的可能取值为8，9，10，11，12，然后求出概率，可得到X 的分布列及数学期望；
（3）由19m n +=，且{}8,9m ∈，可知若8m =，则11n =，或若9m =，则10n =，再分别计算两种情况下的所需总费用的期望值比较大小即可. 【详解】
（1）由题意知，若一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为16，则该套净水系统中一个一级过滤器需要更换8个滤芯，两个二级过滤器均需要更换4个滤芯，设“一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为16”为事件A ，
因为一个一级过滤器需要更换8个滤芯的概率为0.6，二级过滤器需要更换4个滤芯的概率为0.2，所以
()0.60.20.20.024P A =⨯⨯=.
（2）由柱状图知，一个二级过滤器需要更换滤芯的个数为4，5，6的概率分别为0.2，0.4，0.4，由题意X 的可能取值为8，9，10，11，12，
从而(8)0.20.20.04,(9)20.20.40.16P X P X ==⨯===⨯⨯=，
(10)20.20.40.40.40.32,(11)20.40.40.32P X P X ==⨯⨯+⨯===⨯⨯=， (12)0.40.40.16P X ==⨯=.
所以X 的分布列为
80.0490.16100.32110.32120.1610.4EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（个）.
或用分数表示也可以为
8910111225252525255
EX =⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯=（个）. （3）解法一：记Y 表示该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需总费用（单位：元） 因为19m n +=，且{}8,9m ∈， 1°若8m =，则11n =，
116084000.480112000.162352EY =⨯+⨯+⨯+⨯=（元）；
2°若9m =，则10n =，
2160980102000.324000.162368EY =⨯+⨯+⨯+⨯=（元）.
因为12EY EY <，故选择方案：8,11m n ==.
解法二：记,ηξ分别表示该客户的净水系统在使用期内购买一级滤芯和二级滤芯所需费用（单位：元） 1°若8m =，则11n =，
,ηξ的分布列为
该客户的净水系统在使用期内购买的各级滤芯所需总费用为
1112800.616800.48800.8410800.162352E E ηξ+=⨯+⨯+⨯+⨯=（元）；
2°若9m =，则10n =，
2ξ的分布列为
2216098000.5210000.3212000.162368E E ηξ+=⨯+⨯+⨯+⨯=（元）.
因为1122E E E E ηξηξ+<+ 所以选择方案：8,11m n ==. 【点睛】
此题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，考查古典概型，考查运算求解能力，属于中档题.
20、（1）221164
x y +=．90x --=．
（2 【解析】
（1）直接利用极坐标方程和参数方程的公式计算得到答案. （2）曲线C 的参数方程为4cos ,
2sin x y αα
=⎧⎨=⎩，设()4cos ,2sin P αα，计算点到直线的距离公式得到答案.
【详解】 （1）由2
2
1613sin ρθ
=
+，得222
3sin 16ρρθ+=， 则曲线C 的直角坐标方程为2
2
416+=x y ，即22
1164
x y +=．
直线l 的直角坐标方程为90x --=．
（2）可知曲线C 的参数方程为4cos ,
2sin x y αα
=⎧⎨
=⎩（α为参数），
设()4cos ,2sin P αα，[)0,2απ∈，
则()2cos ,sin M αα到直线:90l x --=的距离为
92
d +=
=
≤
所以线段OP 的中点M 到直线l 【点睛】
本题考查了极坐标方程，参数方程，距离的最值问题，意在考查学生的计算能力.
21、（1）直线l 普通方程：210x --=，曲线C 直角坐标方程：()2
211x y -+=；（2）2
. 【解析】
（1）消去直线l 参数方程中的参数t 即可得到其普通方程；将曲线C 极坐标方程化为2
2cos ρρθ=，根据极坐标和直角坐标互化原则可得其直角坐标方程；（2）将直线l 参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，根据参数t 的几何意义可知
12PA PB t t +=-，利用韦达定理求得结果.
【详解】
（1）由直线l 参数方程消去t 可得普通方程为：210x --= 曲线C 极坐标方程可化为：2
2cos ρρθ=
则曲线C 的直角坐标方程为：2
2
2x y x +=，即()2
211x y -+=
（2）将直线l 参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，整理可得：2304
t -=
设,A B 两点对应的参数分别为：12,t t ，则12t t +=
，1234t t =-
122
PA PB t t ∴+=-=
=
=
【点睛】
本题考查极坐标与直角坐标的互化、参数方程与普通方程的互化、直线参数方程中参数的几何意义的应用；求解距离之和的关键是能够明确直线参数方程中参数t 的几何意义，利用韦达定理来进行求解. 22、 (1) 21n a n =- (2)见证明 【解析】
(1)由题意将递推关系式整理为关于n S 与1n S -的关系式，求得前n 项和然后确定通项公式即可； (2)由题意结合通项公式的特征放缩之后裂项求和即可证得题中的不等式. 【详解】 （1
）由n a =
1n n S S --=
1(2)n =≥，
所以数列
1==为首项，以1为公差的等差数列，
1(1)1n n =+-⨯=，即2
n S n =，
当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=-，
当1n =时，111a S ==，也满足上式，所以21n a n =-；
（2）当2n ≥时，
111(21)(22)n na n n n n =<--111112(1)21n n n n ⎛⎫==- ⎪--⎝⎭
， 所以
123111123n a a a na +++⋅⋅⋅+111111112223
1n n ⎛⎫<+-+-++
- ⎪-⎝⎭313
222
n =-< 【点睛】
给出n S 与n a 的递推关系，求a n ，常用思路是：一是利用1n n n a S S -=-转化为a n 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为S n 的递推关系，先求出S n 与n 之间的关系，再求a n .。