1.多元函数一(极限、偏导数及全微分)(重修2012)解析
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
y y0 x x0
(3) 二元函数的极限运算法则与一元函数类似． (4) 二元以上的函数的极限可类似地定义。
2．二元函数极限问题举例2
例1 求极限
sin( x y ) lim 2 . 2 x0 x y y0
解
sin( x 2 y ) x2 y sin( x 2 y ) lim 2 , lim 2 2 2 2 x0 x0 x y x y x y y0 y0
类似地可定义三元及三元以上函数．
n 元函数统称为多元函数. 当n 2 时，
多元函数中同样有定义域、值域、自变量、 因变量等概念.
2. 二元函数z=f(x,y) 的图形
二元函数的图形通常是一张曲面.
7.1.3 多元函数的极限
设 函 数 z f ( x, y) 的 定 义 域 为 如果对于任意给定的正 D, P0 ( x0 , y0 )是其聚点， 数 ，总存在正数 ，使得对于适合不等式 0 | PP0 | ( x x 0 ) 2 ( y y 0 ) 2 的 一 切 点，都有| f ( x , y ) A | 成立，则称 A 为函数 z f ( x , y ) 当 x x 0 ， y y0 时的极限， 记为 lim f ( x , y ) A （或 f ( x , y ) A ( 0) 这里 | PP0 |）.
P P0
则称 n元函数 f ( P ) 在点 P0 处连续.
设 P0 是函数 f ( P ) 的定义域的聚点，如果 f ( P ) 在点 P0 处不连续，则称 P0 是函数 f ( P ) 的间断点.
注: (1) 间断点的判别与一元函数类似。 (2)多元函数不仅有间断点而且有间断线。 (3)多元连续函数具有一元连续函数相同的性质。
lim
x0 y0
其中
2 u x y sin( x y )
2
x2 y
sinu 1, lim u 0 u
x2 y 1 x 0 0 2 x 0, 2 2 x y
sin( x 2 y ) lim 2 0. 2 x0 x y y0
xy 不存在 例2 证明 lim 2 2 x 0 x y y 0 分析：要证明二重极限不存在，可使P选择不同
0 0
x x0 或 y y0
f x ( x 0 , y0 ) .
例如，极限(1)可以表示为
f ( x 0 x , y 0 ) f ( x 0 ,y 0 ) f x ( x 0 , y 0 ) lim x 0 x
同理可定义函数 z f ( x , y )在点( x0 , y0 )处 对 y 的偏导数， 为
取
在(0,0)的连续性． 解
y kx 2 xy kx k lim 2 lim 2 x0 x y 2 2 2 2 x0 x k x y0 1 k y kx
其值随k的不同而变化， 极限不存在． 故函数在(0,0)处不连续．
2. 闭区域上连续函数的性质
（1）最大值和最小值定理
lim
x 0 y0
1 . xy 1 1 2
1
7.2
偏导数与全微分
7.2.1 偏导数的概念 7.2.2 高阶偏导数 7.2.3 全微分
7.2.1 偏导数的概念 1. 偏导数的定义 (1) f (x,y)在点P0(x0,y0)处的偏导数
定义 7.2.1 设函数 z f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的 某一邻域内有定义，当 y 固定在 y0 而 x 在 x0 处有增 量 x 时，相应地函数有增量 f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )，
x3 y3 , ( x , y ) (0,0) 2 2 例4 讨论函数 f ( x , y ) x y 0, ( x , y ) (0,0) 在(0,0)处的连续性．
解
x cos , y sin x3 y3 lim f ( x , y ) lim 2 x0 x0 x y 2 y0 y0
注：(1) n维空间的记号为
Rn ;
(2) n维空间中两点间距离公式
设两点为 P( x1 , x 2 ,, x n ), Q( y1 , y 2 ,, y n ),
| PQ | ( y1 x1 ) 2 ( y 2 x 2 ) 2 ( y n x n ) 2 .
特殊地当n=1，2，3 时，便为数轴、平面、 空间两点间的距离． 注：n维空间中邻域概念
的路径而趋于P0，如有不同的极限，则二重极限
不存在。
xy kx 2 k lim 2 lim 2 2 2 2 2 x 0 x 0 x k x x y 1 k y kx 0
xy lim 2 不存在 2 x 0 x y y 0
证明：令P沿直线y=kx而趋于点P0(0,0),则有
P0 ( x 0 , y0 ) 处极限不存在．
(3) 特殊趋向： y x, y x , x y , y x 等.
2 2 3
7.1.4 多元函数的连续性 1. 多元函数连续性的定义 定义7.1.3 设 n 元 函 数 f ( P ) 的 定 义 域 为 点 集
D, P0 是其聚点且 P0 D ，如果 lim f ( P ) f ( P0 )
第7章 多元函数微分学及其应用
7.1 7.2 7.3 7.4 多元函数的概念 偏导数与全微分 多元复合函数求导法 隐函数求导法
7.5 多元函数微分学的几何应用 7.6 方向导数与梯度
7.7 多元函数的极值及其求法
7.1 多元函数的概念
7.1.1 平面点集的有关概念
1. 邻域
设 P0 ( x 0 , y0 )是 xoy平面上的一个点， 是某 一正数，与点 P0 ( x 0 , y0 )距离小于 的点 P ( x , y ) 的全体，称为点 P0 的 邻域，记为U ( P0 , ) ，
71多元函数的概念72偏导数与全微分73多元复合函数求导法74隐函数求导法75多元函数微分学的几何应用76方向导数与梯度77多元函数的极值及其求法第7章多元函数微分学及其应用711平面点集的有关概念71多元函数的概念n维空间设n为取定的一个自然数我们称n元数组的全体为n维空间而每个称为n维空间中的一个特殊地当n123时便为数轴平面空间两点间的距离
注： f x ( x 0 , y 0 ) f x ( x , y )
x x0 y y0
f y ( x 0 , y0 ) f y ( x, y )
x x0 y y0
(3) 偏导数概念可推广到二元以上的函数
如u f ( x, y, z )在( x, y, z )处 f ( x x , y , z ) f ( x , y , z ) f x ( x , y , z ) lim , x 0 x f ( x , y y, z ) f ( x , y, z ) f y ( x , y, z ) lim , y 0 y f ( x , y , z z ) f ( x , y , z ) f z ( x , y , z ) lim . z 0 z
x x0 y y0
1. 定义 定义7.1.2
注：
(1) 定义中 PP0 的方式是任意的； (2) 二元函数的极限也叫二重极限
x x0 y y0
x x0 y y0
lim f ( x , y );
与二次极限lim lim f ( x, y )及 lim lim f ( x, y )不同。
邻域： U ( P0 , ) P | PP0 | , P R n
7.1.2 多元函数的概念 1. 二元函数的定义 定义 7.1.1 设D是平面上的一个点集，则称映射 f:DR为定义在D上的二元函数，
记为z f ( x, y),( x, y) D, 或z f ( P ), P D
一 般 地 ， 求lim f ( P ) 时 ， 如 果 f ( P ) 是 初 等 函
P P0
数 ， 且 P0 是 f ( P ) 的 定 义 域 的 内 点 ， 则 f (P) 在 点 P0 处 连 续 ， 于 是 lim f ( P ) f ( P0 ).
P P0
xy 1 1 例6 求 lim . x 0 xy y 0 解 原 式 lim xy 1 1 x 0 y 0 xy( xy 1 1)
U ( P0 , ) P | PP0 |
( x, y) | ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 .
P0
2. n维空间
设 n为取定的一个自然数，我们称 n元数组 ( x1 , x2 ,, xn ) 的全体为 n 维空间，而每个 n 元数组 ( x1 , x 2 ,, x n ) 称为 n 维空间中的一个 点，数 x i 称为该点的第 i 个坐标.
f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 ) 如果 lim (1)存在， x 0 x
则称此极限为函数 z f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处对 x 的偏导数，记为
z f ， ，z x x0 x x0 x x x y y y y
（2）偏导函数
z f 记作 ， ， z x 或 f x ( x , y ). x x 同理可以定义函数 z f ( x , y )对自变量 y z f 的偏导数，记作 ， ， z y 或 f y ( x , y ). y y
如果函数 z f ( x , y )在区域 D 内任一点 ( x , y )处对 x的偏导数都存在，那么这个偏导数 就是 x、 y 的函数，它就称为函数 z f ( x , y )对 自变量 x的偏导数，
在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上 至少取得它的最大值和最小值各一次．
（2）介值定理
在有界闭区域D上的多元连续函数，如果 在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取 得介于这两值之间的任何值至少一次．
3.
多元初等函数的连续性
多元初等函数：由常数及不同自变量的一元 基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步 骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫 多元初等函数 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的． 定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．
显然，此极限值随k的变化而变化,所以二重极限
例3.
解：当P沿直线y=kx而趋于(0，0)点时， x2 y kx 3 kx lim 4 2 lim lim 2 0 x 0 2 x 0 x 4 k 2 x 2 x y x 0 x k y kx 0 当P沿曲线y=kx2而趋于(0，0)时,
确定极限不存在的方法： （1） 令 P ( x , y ) 沿 y y0 k ( x x0 ) 趋向于
P0 ( x0 , y0 ) ，若极限值与 k 有关，则可断
言极限不存在；
（2） 找两种不同趋近方式，使 lim f ( x , y ) 存在，
x x0 y y0
但两者不相等，此时也可断言 f ( x , y ) 在点
4 x2 y k kx lim 4 2 lim x 0 2 x y x 0 x 4 k 2 x 4 2 1 k y kx 0
x2 y lim 4 是否存在？ 2 x 0 x y y 0
它是与k的取值有关的，所以二重极限
x2 y lim 4 不存在 2 x 0 x y y 0
f ( x 0 , y0 y ) f ( x 0 , y 0 ) lim y 0 y z f 记为 ， ， z y x x0 或 f y ( x 0 , y0 ) . x x0 x0 y y0 y y x y y y y
0 0
f ( x 0 , y 0 y ) f ( x 0 ,y 0 ) 即f y ( x 0 , y 0 ) lim x 0 y
取
lim (sin3 cos3 ) 0
0
( x , y ) ( 0 , 0 )
lim
f 0)处连续.
例5 讨论函数
xy 2 2 , x y 0 2 2 f ( x, y) x y 2 2 0, x y 0
(3) 二元函数的极限运算法则与一元函数类似． (4) 二元以上的函数的极限可类似地定义。
2．二元函数极限问题举例2
例1 求极限
sin( x y ) lim 2 . 2 x0 x y y0
解
sin( x 2 y ) x2 y sin( x 2 y ) lim 2 , lim 2 2 2 2 x0 x0 x y x y x y y0 y0
类似地可定义三元及三元以上函数．
n 元函数统称为多元函数. 当n 2 时，
多元函数中同样有定义域、值域、自变量、 因变量等概念.
2. 二元函数z=f(x,y) 的图形
二元函数的图形通常是一张曲面.
7.1.3 多元函数的极限
设 函 数 z f ( x, y) 的 定 义 域 为 如果对于任意给定的正 D, P0 ( x0 , y0 )是其聚点， 数 ，总存在正数 ，使得对于适合不等式 0 | PP0 | ( x x 0 ) 2 ( y y 0 ) 2 的 一 切 点，都有| f ( x , y ) A | 成立，则称 A 为函数 z f ( x , y ) 当 x x 0 ， y y0 时的极限， 记为 lim f ( x , y ) A （或 f ( x , y ) A ( 0) 这里 | PP0 |）.
P P0
则称 n元函数 f ( P ) 在点 P0 处连续.
设 P0 是函数 f ( P ) 的定义域的聚点，如果 f ( P ) 在点 P0 处不连续，则称 P0 是函数 f ( P ) 的间断点.
注: (1) 间断点的判别与一元函数类似。 (2)多元函数不仅有间断点而且有间断线。 (3)多元连续函数具有一元连续函数相同的性质。
lim
x0 y0
其中
2 u x y sin( x y )
2
x2 y
sinu 1, lim u 0 u
x2 y 1 x 0 0 2 x 0, 2 2 x y
sin( x 2 y ) lim 2 0. 2 x0 x y y0
xy 不存在 例2 证明 lim 2 2 x 0 x y y 0 分析：要证明二重极限不存在，可使P选择不同
0 0
x x0 或 y y0
f x ( x 0 , y0 ) .
例如，极限(1)可以表示为
f ( x 0 x , y 0 ) f ( x 0 ,y 0 ) f x ( x 0 , y 0 ) lim x 0 x
同理可定义函数 z f ( x , y )在点( x0 , y0 )处 对 y 的偏导数， 为
取
在(0,0)的连续性． 解
y kx 2 xy kx k lim 2 lim 2 x0 x y 2 2 2 2 x0 x k x y0 1 k y kx
其值随k的不同而变化， 极限不存在． 故函数在(0,0)处不连续．
2. 闭区域上连续函数的性质
（1）最大值和最小值定理
lim
x 0 y0
1 . xy 1 1 2
1
7.2
偏导数与全微分
7.2.1 偏导数的概念 7.2.2 高阶偏导数 7.2.3 全微分
7.2.1 偏导数的概念 1. 偏导数的定义 (1) f (x,y)在点P0(x0,y0)处的偏导数
定义 7.2.1 设函数 z f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的 某一邻域内有定义，当 y 固定在 y0 而 x 在 x0 处有增 量 x 时，相应地函数有增量 f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )，
x3 y3 , ( x , y ) (0,0) 2 2 例4 讨论函数 f ( x , y ) x y 0, ( x , y ) (0,0) 在(0,0)处的连续性．
解
x cos , y sin x3 y3 lim f ( x , y ) lim 2 x0 x0 x y 2 y0 y0
注：(1) n维空间的记号为
Rn ;
(2) n维空间中两点间距离公式
设两点为 P( x1 , x 2 ,, x n ), Q( y1 , y 2 ,, y n ),
| PQ | ( y1 x1 ) 2 ( y 2 x 2 ) 2 ( y n x n ) 2 .
特殊地当n=1，2，3 时，便为数轴、平面、 空间两点间的距离． 注：n维空间中邻域概念
的路径而趋于P0，如有不同的极限，则二重极限
不存在。
xy kx 2 k lim 2 lim 2 2 2 2 2 x 0 x 0 x k x x y 1 k y kx 0
xy lim 2 不存在 2 x 0 x y y 0
证明：令P沿直线y=kx而趋于点P0(0,0),则有
P0 ( x 0 , y0 ) 处极限不存在．
(3) 特殊趋向： y x, y x , x y , y x 等.
2 2 3
7.1.4 多元函数的连续性 1. 多元函数连续性的定义 定义7.1.3 设 n 元 函 数 f ( P ) 的 定 义 域 为 点 集
D, P0 是其聚点且 P0 D ，如果 lim f ( P ) f ( P0 )
第7章 多元函数微分学及其应用
7.1 7.2 7.3 7.4 多元函数的概念 偏导数与全微分 多元复合函数求导法 隐函数求导法
7.5 多元函数微分学的几何应用 7.6 方向导数与梯度
7.7 多元函数的极值及其求法
7.1 多元函数的概念
7.1.1 平面点集的有关概念
1. 邻域
设 P0 ( x 0 , y0 )是 xoy平面上的一个点， 是某 一正数，与点 P0 ( x 0 , y0 )距离小于 的点 P ( x , y ) 的全体，称为点 P0 的 邻域，记为U ( P0 , ) ，
71多元函数的概念72偏导数与全微分73多元复合函数求导法74隐函数求导法75多元函数微分学的几何应用76方向导数与梯度77多元函数的极值及其求法第7章多元函数微分学及其应用711平面点集的有关概念71多元函数的概念n维空间设n为取定的一个自然数我们称n元数组的全体为n维空间而每个称为n维空间中的一个特殊地当n123时便为数轴平面空间两点间的距离
注： f x ( x 0 , y 0 ) f x ( x , y )
x x0 y y0
f y ( x 0 , y0 ) f y ( x, y )
x x0 y y0
(3) 偏导数概念可推广到二元以上的函数
如u f ( x, y, z )在( x, y, z )处 f ( x x , y , z ) f ( x , y , z ) f x ( x , y , z ) lim , x 0 x f ( x , y y, z ) f ( x , y, z ) f y ( x , y, z ) lim , y 0 y f ( x , y , z z ) f ( x , y , z ) f z ( x , y , z ) lim . z 0 z
x x0 y y0
1. 定义 定义7.1.2
注：
(1) 定义中 PP0 的方式是任意的； (2) 二元函数的极限也叫二重极限
x x0 y y0
x x0 y y0
lim f ( x , y );
与二次极限lim lim f ( x, y )及 lim lim f ( x, y )不同。
邻域： U ( P0 , ) P | PP0 | , P R n
7.1.2 多元函数的概念 1. 二元函数的定义 定义 7.1.1 设D是平面上的一个点集，则称映射 f:DR为定义在D上的二元函数，
记为z f ( x, y),( x, y) D, 或z f ( P ), P D
一 般 地 ， 求lim f ( P ) 时 ， 如 果 f ( P ) 是 初 等 函
P P0
数 ， 且 P0 是 f ( P ) 的 定 义 域 的 内 点 ， 则 f (P) 在 点 P0 处 连 续 ， 于 是 lim f ( P ) f ( P0 ).
P P0
xy 1 1 例6 求 lim . x 0 xy y 0 解 原 式 lim xy 1 1 x 0 y 0 xy( xy 1 1)
U ( P0 , ) P | PP0 |
( x, y) | ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 .
P0
2. n维空间
设 n为取定的一个自然数，我们称 n元数组 ( x1 , x2 ,, xn ) 的全体为 n 维空间，而每个 n 元数组 ( x1 , x 2 ,, x n ) 称为 n 维空间中的一个 点，数 x i 称为该点的第 i 个坐标.
f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 ) 如果 lim (1)存在， x 0 x
则称此极限为函数 z f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处对 x 的偏导数，记为
z f ， ，z x x0 x x0 x x x y y y y
（2）偏导函数
z f 记作 ， ， z x 或 f x ( x , y ). x x 同理可以定义函数 z f ( x , y )对自变量 y z f 的偏导数，记作 ， ， z y 或 f y ( x , y ). y y
如果函数 z f ( x , y )在区域 D 内任一点 ( x , y )处对 x的偏导数都存在，那么这个偏导数 就是 x、 y 的函数，它就称为函数 z f ( x , y )对 自变量 x的偏导数，
在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上 至少取得它的最大值和最小值各一次．
（2）介值定理
在有界闭区域D上的多元连续函数，如果 在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取 得介于这两值之间的任何值至少一次．
3.
多元初等函数的连续性
多元初等函数：由常数及不同自变量的一元 基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步 骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫 多元初等函数 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的． 定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．
显然，此极限值随k的变化而变化,所以二重极限
例3.
解：当P沿直线y=kx而趋于(0，0)点时， x2 y kx 3 kx lim 4 2 lim lim 2 0 x 0 2 x 0 x 4 k 2 x 2 x y x 0 x k y kx 0 当P沿曲线y=kx2而趋于(0，0)时,
确定极限不存在的方法： （1） 令 P ( x , y ) 沿 y y0 k ( x x0 ) 趋向于
P0 ( x0 , y0 ) ，若极限值与 k 有关，则可断
言极限不存在；
（2） 找两种不同趋近方式，使 lim f ( x , y ) 存在，
x x0 y y0
但两者不相等，此时也可断言 f ( x , y ) 在点
4 x2 y k kx lim 4 2 lim x 0 2 x y x 0 x 4 k 2 x 4 2 1 k y kx 0
x2 y lim 4 是否存在？ 2 x 0 x y y 0
它是与k的取值有关的，所以二重极限
x2 y lim 4 不存在 2 x 0 x y y 0
f ( x 0 , y0 y ) f ( x 0 , y 0 ) lim y 0 y z f 记为 ， ， z y x x0 或 f y ( x 0 , y0 ) . x x0 x0 y y0 y y x y y y y
0 0
f ( x 0 , y 0 y ) f ( x 0 ,y 0 ) 即f y ( x 0 , y 0 ) lim x 0 y
取
lim (sin3 cos3 ) 0
0
( x , y ) ( 0 , 0 )
lim
f 0)处连续.
例5 讨论函数
xy 2 2 , x y 0 2 2 f ( x, y) x y 2 2 0, x y 0