高三数学上学期期中试题含解析 试题_1

2021届高三数学上学期期中试题〔含解析〕
制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日
一、填空题〔本大题一一共14小题，每一小题5分，一共计70分.〕
()
f x 的定义域是
【答案】[1,)+∞
【解析】
试题分析：要使函数有意义，需满足101x x -≥∴≥，因此定义域为[1,)+∞
考点：函数定义域
()2,3a =-与向量(),6b x =-一共线，那么x =______.
【答案】4
【解析】
【分析】
由向量一共线的条件求解.
【详解】∵,a b 一共线，∴2(6)(3)0x ⨯---=，4x =.
故答案为4.
【点睛】此题考察向量一共线的条件，属于根底题.
α的终边过点()1,2-，那么tan α=______.
【答案】-2
【解析】
【分析】
由正切函数定义计算.
【详解】根据正切函数定义：2tan 21
α=
=--. 故答案为－2.
【点睛】此题考察三角函数的定义，掌握三角函数定义是解题根底. {}n a 中，11a =-，427a =，那么5a
=______.
【答案】-81
【解析】
【分析】
先求公比q ，再求5a . 【详解】由题意341a a q =，3271q =-⨯，3q =-，∴5427(3)81a a q ==⨯-=-.
故答案为－81.
【点睛】此题考察求等比数列中的项，可根据等比数列的通项公式求出公比q ，然后再求某一项.
{}|31A x x =-<<，集合{}|,B x x a a Z =<∈，假设A B 中恰好含有一个整数，那么a 的值是______.
【答案】-1
【解析】
【分析】
根据集合A ，B 的形式，它们交集中只有一个整数，必定是－2．
【详解】由题意2A
B -∈，1A B -∉，∴21a -<≤-，又a 为整数，∴1a =-．
故答案为－1．
【点睛】此题考察集合的交集运算，掌握交集定义是解题根底． y=x ﹣2sinx 在〔0，2π〕内的单调增区间为___________
【答案】
5,33ππ（） 【解析】
对函数求导可得'12cos y x =-，其单调增区间满足12cos 0x ->，得1cos 2<，即增区间为π5π2π2π33k x k +<<+，限定在()0,2π范围内，那么有π5π,33⎛⎫ ⎪⎝⎭
．故此题应填π5π,33⎛⎫ ⎪⎝⎭
． ()f x 在[0,)+∞上单调递减，且满足()()21f x f x >+，那么x 的取值范围为______. 【答案】1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭
【解析】
【分析】 利用偶函数的性质把不等式化为(2)(1)f x f x >+，然后利用单调性求解．
【详解】∵()f x 是偶函数，∴原不等式可化为(2)(1)f x f x >+，又()f x 在[0,)+∞上单调递减， ∴21x x <+，解得113-
<<x ． 故答案为1(,1)3
-．
【点睛】此题考察函数的奇偶性与单调性，解这类函数不等式，需要利用奇偶性把不等式化为12()()f x f x >的形式，其中12,x x 在()f x 的同一单调区间内，再由单调性去函数符号“f 〞后求解． ()cos x f x e x =在点()()0,0f 处的切线方程为______.
【答案】10x y -+=
【解析】
【分析】
求出导函数，得'(0)f ，即切线斜率，然后可得切线方程．
【详解】由题意()cos sin x x f x e x e x '=-，∴'(0)1f =，又(0)1f =，
∴所求切线方程为1y x -=，即10x y -+=．
故答案为10x y -+=．
【点睛】此题考察导数的几何意义，函数()f x 在点00(,())x f x 处的切线方程是000()()()y f x f x x x '-=-．
9.sin 3cos 0αα+=，那么sin 2α=______. 【答案】35 【解析】
【分析】
由求出tan α，由二倍角公式得sin 22sin cos ααα=，把它转化为关于tan α的代数式．
【详解】∵sin 3cos 0αα+=，∴tan 3α=-， ∴22222sin cos 2tan 2(3)3sin 22sin cos sin cos tan 1(3)15
ααααααααα⨯-=====-++-+． 故答案为35
． 【点睛】此题考察同角间的三角函数关系，考察正弦的二倍角公式．解题中注意“1〞的代换，利用“1〞的代换可化sin ,cos αα的二次式为二次齐次式，从而可化为tan α的代数式，这样解题可减少计算量．
()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝
⎭的图象关于点(),0A n 对称，也关于直线l ：x m =对称，且m n -的最小值为4π.函数()()sin f x x ωϕ=+的图象过点1,62π⎛⎫ ⎪⎝⎭
，那么4f π⎛⎫= ⎪⎝⎭
______.
【解析】
【分析】
由两个对称性可得函数的周期，从而可求得ω的值，再由函数图象过点1,62π⎛⎫ ⎪⎝⎭
，求得ϕ，最终可求()4
f π
． 【详解】∵函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝
⎭的图象关于点(),0A n 对称，也关于直线l ：x m =对称，且m n -的最小值为4
π. ∴44T π
π=⨯=，∴222T ππωπ
===，即()sin(2)f x x ϕ=+， 1()sin(2)662f ππϕ=⨯+=，2πϕ<，∴6
πϕ=-，
∴()sin(2)sin 4463f ππ
ππ=⨯-==
【点睛】此题考察三角函数的图象与性质，考察三角函数的解析式．属于根底题． 2000L 李子汁和1000L 苹果汁，又厂方的利润是消费1L 甲种饮料得3元，消费1L 乙种饮料得4元，那么厂方获得的最大利润是______元.
【答案】10000
【解析】
【分析】
设消费甲和饮料x L ，消费乙种饮料y L ，根据题意列出,x y 满足的不等关系，然后求()max 34x y +．
【详解】设消费甲和饮料x L ，消费乙种饮料y L ，消费甲种饮料需要()34x L ，李子汁和()14x L 苹果汁，消费乙种饮料需要()12y L ，李子汁和()12
y L 苹果汁， 那么312000*********
20,0x y x y x y ⎧+≤⎪⎪⎪+≤⎨⎪≥≥⎪⎪⎩
，.利润34z x y =+， 由312000*********
2x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得20001000x y =⎧⎨=⎩，
作出可行域，如图四边形OABC 内部〔含边界〕，作直线:340l x y +=，
平移直线l ，当l 点(2000,1000)B 时，34z x y =+获得最大值10000．
故答案为10000.
【点睛】此题考察简单的线性规划，解题时设出两个变量,x y ，列出,x y 满足的不等关系，即约束条件，同时表示目的函数，再根据线性规划的解题方法求得最优解．
ABC ∆中，M ，N 是斜边BC 上的两个三等分点，ABC ∆的面积为2，那么AM AN ⋅的最小值为______.
【答案】169
【解析】
以A 为坐标原点，分别以AB ，AC 为x 、y 轴建立直角坐标系，
设(),0B t ，由面积求得AC ，即C 点坐标，计算出,M N 的坐标，再计算AM AN ⋅，最后利用根本不等式可得最小值．
【详解】如图，以A 为坐标原点，分别以AB ，AC 为x 、y 轴建立直角坐标系，设(),0B t ，
∵122
ABC S AB AC ∆=⋅=， 4AC t =，40,C t ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， ∴8,33t M t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，24,33t N t ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 22232641699819
AM AN t t ⋅=+≥=， 当且仅当2223299t t
=即2t =时取“=〞， ()
min 169AM AN ⋅=. 故答案为169
. 【点睛】此题考察平面向量的数量积，考察根本不等式求最小值．由于题中图形是直角三角形，因此建立平面直角坐标系，用坐标运算表示平面向量数量积可以减小思维量，减小难度． {}n a 和{}n b 满足21n n b a =-，{}25,9,7,15,35n b ∈---，且数列{}n a 中存在三个数经过适当排列后可以构成公比为()1q q <的等数列，那么q =______. 【答案】23
-
【解析】
由n b 求出n a 的可能值，然后再检验哪三个数可能构成等比数列，从而确定q ．
【详解】{}2125,9,7,15,35n n b a =-∈---，
那么{}12,4,3,8,18n a ∈---，
∵()2
12818-=⨯， n a 可取18，-12，8这三项，
122183
q -==-. 故答案为23-
. 【点睛】此题考察等比数列的性质，三个数非零实数,,x y z 成等比数列的充要条件是2y xz =．
()()2221,2log 2,2x x x f x x x ⎧-++≤⎪=⎨->⎪⎩，那么方程114f x a x ⎛⎫++= ⎪⎝
⎭恰好有6个不同的解，那么实数a 的取值范围为______.
【答案】(0,1]
【解析】
【分析】 令114x t x ++=，()114f x a f t a x ⎛⎫++=⇔= ⎪⎝⎭
，作出()f x 图象，作出114t x x =++图像，通过图象分析解的各种情况． 【详解】令114x t x ++=，()114f x a f t a x ⎛⎫++=⇔= ⎪⎝
⎭， 作出()f x 图象，作出114t x x
=++图像，
1︒2a >时，
()f t a =有两根，设为1t ，2t ，
那么123t <<，23t >， 即1114x t x
++=，此时有2个根， 2114x t x
++=，此时有2个根， 一共4个根，不满足条件.
2︒2a =时，()f t a =，
解得1t =或者
94或者6， 即1114x x
++=，无解， 19144
x x ++=，2解， 1164x x +
+=，2解， 一共4个解，不满足条件.
3︒12a <<时，()f x a =，
有四个根，设为3t ，4t ，5t ，6t ，
其中301t <<，412t <<，59542
t <<，646t <<，
即3114x t x
++=，无解， 4114x t x
++=，无解， 5114x t x
++=，2解， 6114x t x +
+=，2解， 一共4个解，不满足条件.
4︒1a =时，()f t a =有4个根，0，2，m ，n 〔23,3m n <<>〕
， 1104x x
+
+=，1解， 1124x x
++=，1解， 114x m x
++=，2解， 114x n x ++=，2解， 一共6解，满足条件.
5︒01a <<时，()f t a =，
有3个根，设为7t ，8t ，9t ，
其中90t <，8532
t <<，934t <<， 即7114x t x
++=有2解， 8114x t x
++=有2解， 9114x t x +
+=有2解， 一共6解，满足条件.
6︒0a =时，()0f t =， 有两根12--和3，
11124x x
++=--有2个根， 1134x x +
+=有2个根， 一共4个根，不满足条件，
综上01a <≤.
故答案为(0,1].
【点睛】此题考察函数与方程根的分布问题，解题时可把复杂的方程简单化，如设114t x x =++，方程化为()f t a =，114t x x
=++，这样可作出两个函数()y f x =和114t x x =+
+的图象，由图象分析方程根的所有可能情形，从而得出结论．数形结合思想是解这类问题的重要思想方法．
二、解答题：〔本大题一一共6小题，一共90分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤〕
15.如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，点E 为1AB 的中点，点F 为1A D 的中点.
求证：〔1〕//EF 平面ABCD ；
〔2〕1AA EF ⊥.
【答案】〔1〕证明见解析〔2〕证明见解析
【解析】
【分析】
〔1〕由中位线定理证明//EF BD 即可；
〔2〕直四棱柱中1AA ⊥平面ABCD ，从而1AA BD ⊥，再由平行线的性质得1AA EF ⊥. 【详解】
证明：〔1〕连接1A B ，BD ，
∵四棱柱1111ABCD A B C D -为直四棱柱，
∴四边形11A ABB 为平行四边形，∴E 为1A B 的中点，
又∵F 为1A D 的中点，
∴//EF BD ，
∵BD ⊂平面ABCD ，EF ⊄平面ABCD ，
∴//EF 平面ABCD .
〔2〕∵四棱柱1111ABCD A B C D -为直四棱柱，
∴1AA ⊥平面ABCD ，
又∵BD ⊂平面ABCD ，
∴1AA BD ⊥.
又∵//EF BD ，
∴1AA EF ⊥.
【点睛】此题考察线面平行的证明，以及线线垂直的证明.属于根底题.
16.如图，设Ox ，Oy 是平面内相交成60︒角的两数轴，1e ，2e 分别与x 轴，y 轴正方向同
向的单位向量，假设向量12OP xe ye =+，那么把有序数对(),x y 叫做向量OP 在坐标系xOy 中的坐标.
〔1〕设()0,1M ，()1,0N ，求OM ON ⋅的值；
〔2〕假设1232OP e e =+，计算OP 的大小.
【答案】〔1〕12
〔219【解析】
【分析】
〔1〕由向量数量积的定义计算.
〔2〕把模的运算转化为向量的平方，即向量的数量积计算.
【详解】解：〔1〕1cos602OM ON OM ON ⋅=⋅︒=
. 〔2〕2222129412OP e e e e =++⋅941211cos6019=++⨯⨯⨯︒=.
∴19OP =【点睛】此题考察向量数量积和向量的模.求向量的模一般可利用
22a a =转化为向量的数量积运算.
17.如图，在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，AD BC ⊥于D ，点D 在边BC 上〔不与端点重合〕，且12
AD BC =.
〔1〕假设60BAC ∠=︒，求sin sin B C 的值.
〔2〕求b c c b
+的取值范围. 【答案】〔132〕2,22⎡⎣ 【解析】
【分析】
〔1〕把ABC ∆面积用两种方法表示出来建立边之间的关系，然后用正弦定理转化为角的关系后，可求得sin sin B C ；
〔2〕同〔1〕把ABC ∆面积用两种方法表示出来建立边之间的关系，得22sin a bc BAC =∠，再由余弦定理得2222cos b c a bc BAC +=+∠2sin 2cos bc BAC bc BAC =∠+∠，求出b c c b
+，用两角和的正弦公式化为一个角的一个三角函数，再由正弦函数性质得最大值，由根本不等式得最小值.
【详解】解：〔1〕AD 为BC 边上的高，
211112224
ABC S AD BC BC BC BC ∆=⋅=⋅⋅=， 13sin 24ABC S AB AC BAC AB AC ∆=
⋅∠=⋅， ∴2134BC AB AC =⋅， ABC ∆中由正弦定理
sin sin sin a b c A B C ==得 213sin sin 4A B C =，
3sin sin 4B C =. 〔2〕22111244ABC S AD BC BC a ∆=⋅==， 1sin 2
ABC S bc BAC ∆=∠， ∴211sin 42
a bc BAC =∠， ∴22sin a bc BAC =∠，
()2222cos 2sin cos b c a bc BAC bc BAC BAC +=∠=∠+∠+，
()222sin cos bc BAC BAC b c b c c b bc bc
∠+∠++==22sin 4BAC π⎛⎫=∠+ ⎪⎝⎭， 当4BAC π
∠=时c b b c
+取最大值22， 2c b b c
+≥，当且仅当b c =时“=〞即min 2c b b c ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ∴c b b c
+的取值范围是2,22⎡⎤⎣⎦. 【点睛】此题考察正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，考察两角和的正弦公式、正弦函数的性质，根本不等式等知识，考察知识较多，要求较高，属于中档题型.
18.如图，在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，AD BC ⊥于D ，点D 在边BC 上〔不与端点重合〕，且12
AD BC =.
〔1〕假设310sin BAC ∠=sin sin B C 的值.
〔2〕求b c c b
+的取值范围.
【答案】〔1〔2〕2,⎡⎣ 【解析】
【分析】
〔1〕把ABC ∆面积用两种方法表示出来建立边之间的关系，然后用正弦定理转化为角的关系后，可求得sin sin B C ；
〔2〕同〔1〕把ABC ∆面积用两种方法表示出来建立边之间的关系，得22sin a bc BAC =∠，再由余弦定理得2222cos b c a bc BAC +=+∠2sin 2cos bc BAC bc BAC =∠+∠，求出b c c b
+，用两角和的正弦公式化为一个角的一个三角函数，再由正弦函数性质得最大值，由根本不等式得最小值.
【详解】解：〔1〕AD 为BC 边上的高，
211112224
ABC S AD BC BC BC BC ∆=⋅=⋅⋅= 1sin 2
ABC S AB AC BAC ∆=⋅∠， ABC ∆中的正弦定理
sin sin sin a b c A B C ==可得 211sin sin sin sin 42
C B C BAC =∠
∴1sin sin sin 220
B C BAC ⋅=∠=. 〔2〕22111244
ABC S AD BC BC a ∆=⋅==， 1sin 2
ABC S bc BAC ∆=∠，
∴211sin 42a bc BAC =∠， ∴22sin a bc BAC =∠，
()2222cos 2sin cos b c a bc BAC bc BAC BAC +=∠=∠+∠，
()222sin cos bc BAC BAC b c b c c b bc bc
∠+∠++==22sin 4BAC π⎛⎫=∠+ ⎪⎝⎭， 当4BAC π
∠=时c b b c
+取最大值22， 2c b b c
+≥，当且仅当b c =时“=〞即min 2c b b c ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∴c b b c
+的取值范围是2,22⎡⎤⎣⎦. 【点睛】此题考察正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，考察两角和的正弦公式、正弦函数的性质，根本不等式等知识，考察知识较多，要求较高，属于中档题型.
19.为了丰富学生活动，在体育课上，体育老师设计了一个游戏，让甲、乙、丙三人各抓住橡皮带的一端，甲站在直角ABC ∆斜边AC 的中点F 处，乙站在B 处，丙站在C 处.游戏开场，甲不动，乙、丙分别以()/v m s 和()2/v m s 的速度同时出发，匀速跑向终点A 和B ，运动过程中绷紧的橡皮带围成一个如下图的DEF ∆.〔规定：只要有一人跑到终点，游戏就完毕，且()03/v m s <≤〕.AB 长为40m ，BC 长为80m ，记经过()t s 后DEF ∆的面积为()2
S m .
〔1〕求S 关于t 的函数表示，并求出t 的取值范围；
〔2〕当游戏进展到10s 时，体育老师宣布停顿，求此时()2
S m 的最小值.
【答案】〔1〕()3221204016002S v t v v t ⎡⎤=-++⎣⎦，其中02v <≤时，400,t v ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，23v <≤时，2800,
t v ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.〔2〕()
2S m 最小值为2400m 【解析】
【分析】 〔1〕求出路程,BD CE ，从而可得BE ，由勾股定理得DE ，以,BC BA 为,x y 轴建立平面直角坐标系，可得直线DE 的方程，求出F 到直线DE 的间隔 ，即FDE ∆的高，从而可表示出其面积.计算两人分别走到,A B 所用时间是
24080,v v ，比拟它们的大小，可得t 的取值范围.
〔2〕由〔1〕得()3232
50100280050100200800S v v v v v v =-++=--+，利用导数求出其最小值.
【详解】解：以B 为坐标原点，
分别以BC 、BA 为x 、y 轴建立直角坐标系，
40AB =，那么()0,40A ，
80BC =，那么()80,0C ，
F 为AC 中点，那么()40,20F ，
t 秒后BD vt =，2CE v t =，280BE v t =-，
()()2
2280DE vt v t =+-，
直线DE 方程为：2180x y v t vt
+=-， ()()2280800vtx v t y vt v t +---=，
F 到DE 间隔
d =
322=，
∴()3221204016002S v t v v t ⎡⎤=-++⎣
⎦， 040BD ≤≤，即040vt ≤≤，那么400t v
≤≤， 080BE ≤≤，即208080v t ≤-≤，那么2800t v ≤≤
， ()22240280408040v v v v v v
---==， 当02v <≤时，400t v
≤≤， 当23v <≤时，2800t v ≤≤
， ∴()3221204016002S v t v v t ⎡⎤=-++⎣
⎦， 其中02v <≤时，400,
t v ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 23v <≤时，2800,t v ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
. 〔2〕∵10t s =，
∴()3232
50100280050100200800S v v v v v v =-++=--+， ()22'15020020050344S v v v v =--=--()()50322v v =+-，
令'0S =得2v =，
当02v <<时，'0S <，S 为单调递减，
当23v <≤时，'0S >，S 为单调递增，
∴当2v =时S 取最小值，
此时2400S m =，
答：此时()2S m 最小值为2400m .
【点睛】此题考察函数的应用，解题关键是列出函数式，此题通过建立坐标系用解析法求点到直线的间隔 即三角形的高，这在图形是有垂直的直线时较方便，在求函数最值时，假如函数较复杂，可用导数求最值.
{}n a 的前n 项和为()*n S n N ∈，当2n ≥时，满足()112n n nS nS n S -=+-.
〔1〕求证：2132a a a =+；
〔2〕求证：数列{}n a 为等差数列；
〔3〕假设12a =-，公差*d N ∈，问是否存在n ，d ，使得15n S =？假如存在，求出所有满足条件的n ，d ，假如不在，请说明理由.
【答案】〔1〕证明见解析〔2〕证明见解析〔3〕存在，219n d =⎧⎨=⎩或者37n d =⎧⎨=⎩
. 【解析】
【分析】
〔1〕条件是2n ≥时，()112n n nS nS n S -=+-，令3n =可证结论2132a a a =+； 〔2〕条件变形()112n n nS n S nS ---=⇒()()()1121n n n n S S n n -----
()()()111131221S a n n n n n ⎛⎫==-≥ ⎪----⎝⎭，用累加的方法得()2111211n S S a n n n ⎛⎫-=- ⎪--⎝⎭
，从而()21112n a a S n n na -=⋅-+()3n ≥，把此式再写一次：
当4n ≥时，()()()21
111212
n a a S n n n a --=
--+-，两式相减得：4n ≥时，()()()1211211212n n n a S S a a n a a a n a a -=-=--+=-+-，同时123,,a a a 也合适此式，
从而证明{}n a 是等差数列； 〔3〕由12,15n a S =-=求得()
3041n
d n n +=
-，让n 从2开场一一检验，看是否有*d N ∈，
当然9n ≥时，有1d <，*d N ∉.
【详解】〔1〕证明：∵2n ≥时，()112n n nS nS n S -=+-， 令3n =得21333S S S =+，()12112333a a a a a a +=+++， ∴2132a a a =+.
〔2〕由()112n n nS n S nS ---=⇒
()()()1121n n
n n S S n n -----
()()()111
131221S a n n n n n ⎛⎫=
=-≥ ⎪----⎝⎭
，
∴()()()321341111121322113243231
112121n n S S a S S a S S a n n n n n n -⎧⎛⎫
-=- ⎪⎪⋅⋅⎝⎭⎪⎪⎛⎫
-=-⎪ ⎪⋅⋅⎝⎭⎨⎪⎪
⎪⎛⎫-=- ⎪⎪-----⎝⎭⎩
， 各式相加得()2111211n S S a n n n ⎛⎫-=- ⎪--⎝⎭
，()21112n a a S n n na -=⋅-+， 当4n ≥时，()()()21
111212
n a a S n n n a --=
--+-， 由4n ≥时，()()()1211211212n n n a S S a a n a a a n a a -=-=--+=-+-， 而1a ，2a ，3a 也满足上式，∴{}n a 为等差数列. 〔3〕∵12a =-，公差为d ，
∴()11152n n n S na d -=+=，()12152
n n n d --+=，
()3041n d n n +=-， 当2n =时，19d =，当3n =时，7d =， 当4n =时，*236d N =
∉〔舍〕，5n =时，*
52d N =∉〔舍〕， 当6n =时，*95d N =
∉〔舍〕，7n =时，*2921
d N =∉〔舍〕， 当8n =时，*31
28
d N =
∉〔舍〕， 当9n ≥时，()()2
5130430363060n n n n n --≥--==+>-， ∴()1304n n n ->+，*d N ∉〔舍〕，
综上219n d =⎧⎨=⎩或者37n d =⎧⎨=⎩
.
【点睛】此题考察等差数列的证明，由n S 的递推关系证明数列{}n a 是等差数列，由于式较
复杂，因此关键是第一步的变形：()112n n nS n S nS ---=⇒
()()()1121n n
n n S S n n -----
()()()111
131221S a n n n n n ⎛⎫=
=-≥ ⎪----⎝⎭
，
这样可用累加法求得n S ，再由1n n n a S S -=-得n a 〔4n ≥n S 与n a 的关系，要注意在推理过程中n 的取值范围.
()()2
1x e x b
f x x
-+=. 〔1〕当0b =时，求()f x 的单调区间；
〔2〕当[)0,1b ∈,(]
0,2x ∈时，记()f x 的最小值为()h b ，求()h b 的最大值. 【答案】〔1〕()f x 的单增区间为：(),0-∞，()2,+∞，单减区间为()0,2.〔2〕()2
max 4
e h b = 【解析】 【分析】
〔1〕求导数
'()f x ，由导数确定函数的单调区间；
〔2〕求导数'()f x ，变形为：()()32(2')2x e b
x x x
x f x ++=⋅+-，令()()22
x e x g x b x -=++，
()()
2
2
'02x e x g x x ⋅+=
>，∴()g x 在(]0,2上单调递增，∴()1b g x b -+<≤，由
()010g b =-+<，()20g b =≥，∴存在(]00,2x ∈使()00g x =.这个0x 就是()f x 的最
小值点，min
0()()()h b f x f x ==，由0()0g x =，得()00022
t e x b x -=+，代入()h b ，即化()h b 为0x 的函数，再用导数可求得得其最大值.
【详解】解：〔1〕当0b =时，()2x e f x x =，()()24322'x
x x x f x e e x x e x x
⋅-⋅-==， 当0x <时，()'0f x >，()f x 单调递增；当02x <<时，()'0f x <，()f x 单调递减； 当2x >时，()'0f x >，()f x 单调递增.
综上可得：()f x 的单增区间为：(),0-∞，()2,+∞，单减区间为()0,2. 〔2〕()
()()24
2'1x
x
e b x x e x b x
f x ⎡⎤---+⎣⎦
=
()()3
222x
x e b x e x b
x
--++=
()()()
()
33
22222x x e b e b x x x x x x x +--+++==⋅+ 令()()22
x e x g x b x -=++，()()22
'02x e x g x x ⋅+=>， ∴()g x 在(]
0,2上单调递增，∴()1b g x b -+<≤，
且()010g b =-+<，()20g b =≥，∴存在(]00,2x ∈使()00g x =. 且当00x x <<时，()0g x <，()'0f x <，()f x 单调递减； 当02x x <≤时，()0g x >，()'0f x >，()f x 单调递增.
∴()()()()00min
02
01x f e x b x x h b f x ===-+，而()
000202
x e x b x -+=+， ∴()
00022
t e x b x -=+，
∴()()()
00
00002
212x x e x e x x f x x --+⋅
+= ()00
2
02
000
22x x e x e x x x ⋅==++，(]00,2x ∈， 令()2x
e h x x =+，()()()()()
22
02212'x x x x x h x e e e x x -==++>++， ∴()h x 在(]0,2上单调递增，()()2
24
e h x h ≤=，
∴()2
max
4
e h b =，当2x =，0b =时取到. 【点睛】此题考察用导数研究函数的单调性，研究函数的最值.单调性较方便，由'()0
f x >确定增区间，由'()0f x <确定减区间.求最值时，由于有参数b ，因此需定性分析.对
'()
f x 变形为()()32(2')2x e b x x x
x f x ++=⋅+-，令()()22
x e x g x b x -=++，再用导数研究()g x 的单
调性，确定它有零点0(0,2]x ∈，同时建立0x 与b 0()()h b f x =，利用前面0x 与b 的关系把此函数式化为一个变量，即可求得最大值.此题难度很大，对学生的分析问题解决问题的才能，对运算才能的要求都较高，属于困难题.
制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日。