[研究生入学考试]微积分练习册上

习题1-1 函数
1. 填空题：
（1）()x y 32log log =的定义域 。

（2）5
23arcsin
3x
x y -+-=的定义域 。

（3）x
x
y +-=
11的反函数 。

（4）已知31122
++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+
x
x x x f ，则=)(x f 。

2. 设⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≥<=3x , 0 3
, sin )(π
πϕx x x ，求()2,6-⎪⎭⎫ ⎝⎛ϕπϕ，并作出函数()x ϕη=的图形。

3. 指出下列函数的复合过程。

（1）x e y 1
= （2）x e y 3
sin =
（3）()[]12ln arcsin +=x y
4. 设()x f 为定义在（-L,L ）内的奇函数，若()x f 在（0，L ）内单调增加，证明：()x f 在（-L,0）内也单调增加。

5. 设()⎩
⎨
⎧<≥=0 , 10
, x x x x f
（1）求()1-x f （2）求()()1-+x f x f ，（写出最终的结果）
·微积分（上）练习册·[第二章] 极限与连续
习题2-1 极 限
2. 用极限的定义证明：02lim
=∞
→n
n
班级： 姓名： 学号：
3. 若a u n n =∞
→lim ，证明：a u n n =∞
→lim ，并举例说明反过来未必成立。

4. 求()[]x x f =在0→x 时的左右极限，并说明它在0→x 的极限是否存在。

5. 证明：若A u n n =∞
→lim ，且0>A ，则存在0>N ，当N n >时，恒有0>n u .
6. 证明：()A x f x x =→0
lim 的充要条件是()()A x f x f x x x x ==-
→+
→00lim lim
7. 设()x
x x f 2
=
，回答下列问题： （1）函数()x f 在0=x 处的右，左极限是否存在？ （2）函数()x f 在0=x 处是否有极限？为什么？
（3）函数()x f 在1=x 处是否有极限？为什么？
习题2-2 无穷小，无穷大，极限运算法则
1. 填空题：
（1）若22
lim 2
22=--++→x x b
ax x x ，则a = ，b = . （2）若2134lim 2=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛++-+∞→b ax x x x ，则a = ，b = . （3）若21
lim
1=-+→x b
ax x ，则a = ，b = .
（4）(
)=--+∞
→5
210
100lim x x x .
2. 根据定义证明：x
x
y 21+=
为当0→x 时的无穷大，问x 应满足什么条件，能使410>y ？
3. 计算下列极限. （1）x
x
x arctan lim ∞→ （2）()
n n
n n -+∞→1lim
（3）12lim 21+-→x x x （4）()h
x h x h 3
3
0lim -+→
（5）()N n x x n x ∈--→11lim 21 （6）2
31
lim 42-++∞→x x x x
（7）()22333lim -+→x x
x x （8）()()()
3020
10152312lim ++⋅-∞→x x x x
（9）⎪⎭⎫ ⎝
⎛+⋯+++∞
→n n 2141211lim （10）()⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡++⋯+⋅+⋅∞→11321211lim n n n
（11）⎪⎭⎫ ⎝⎛---→311311
lim x x x （12）()()
112525lim ++∞→-+-+n n n
n n
习题2-3 极限存在准则，两重要极限及无穷小比较
1. 计算下列极限 （1）x x x 5sin 3sin lim ∞→ （2）x
x x
x sin 2cos 1lim 0-→
（3）n n
x x 2sin 2lim ⋅∞→（x 为不等于0的常数） （4）x
x x x 21lim ⎪⎭
⎫
⎝⎛+∞→
2. 利用夹逼准则计算下列极限
（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋯++++∞→n n n n n 2221211
1lim
（2）⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⋅→x x x 1lim 0，其中[]x y =为取整函数
（3）数列
个根号
n n x x x x 222,,222,22,2321+⋯++=⋯++=+==
（1）证明：n n x ∞
→lim 存在. （2）求n n x ∞
→lim
4. 当1→x 时，无穷小x -1和下列无穷小是否同阶？是否等价？ （1）2
1x - （2）()
313
1
x -
5. 已知当0→x 时，(
)
1112
-+ax 与x cos 1-是等价无穷小，求a .
6. 已知2lim =⎪⎭
⎫
⎝⎛-∞→x
x c x x ，求c .
7. 利用等价无穷小的性质，求下列极限. （1）x x x 2sin 3arctan lim 0→ （2）()3
0arctan sin tan lim x x
x x -→
（3）⎪⎭
⎫ ⎝⎛
-∞
→x x x 1cos 1lim 2
（4）()x
x x 5sin 21ln lim
0-→
习题2-4 函数的连续性
1. 填空题 （1）设()()x
x x f -=
1ln ，若补充()=0f 可使()x f 在0=x 处连续.
（2）1=x 是2
31
22+--=x x x y 的第 类间断点，且为 间断点.
（3）函数0,tan ==
x x
x
y 是第 类间断点，且为 间断点. ()⋯±±==2,1k k x π是第 类间断点，且为 间断点.
()⋯±±=+
=2,12
k k x π
π是第 类间断点，且为 间断点.
（4）a x =是a
x a x y --=
的第 类间断点，且为 间断点.
（5）0=x 是x
y 1
cos
2
=的第 类间断点，且为 间断点.
2. 指出函数1
21211
+-=x
y 的间断点，并判定其类型.
3. 已知x x x y n
n
n ⋅+-=∞→2211lim
， （1）求函数()x f y =的表达式.
（2）讨论()x f 的连续性，若有间断点，判别其类型.
4. 设()()0 0,0,2
cos >⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧<--≥+=a x x x a a x x x
x f ，当a 取何值时，()x f 在0=x 处连续.
5. 求下列函数的极限.
（1）⎪⎭⎫ ⎝
⎛
→x x x 1sin sin lim 0 （2）11lim 3
1--→x x x
（3）()
x x x x
x --+-∞
→22
lim （4）a
x a
x a x --→sin sin lim
（5）e x 1lim ∞
→ （6）⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+
∞
→2121ln cos lim x x x
（7）(
)
x
x x
2
cot 20
1lim +→ （8）1
ln lim
21
-→x x
x
（9）()0lim ≠⎪⎭
⎫
⎝⎛-+∞→a a x a x x
x （10）()14sin lim 1-→x x x π
习题2-5 闭区间上连续函数的性质
1. 试证下列方程在指定区间内至少有一实根. （1）0135
=--x x ，在区间（1，2）；
（2）2-=x e x ，在区间（0，2）.
2. 设函数()x f 在区间[0，2a ]上连续，且()()a f f 20= 证明：在[0，a ]上至少存在一点ξ，使()()a f f +=ξξ.
3. 证明方程23=⋅x
x 至少有一个小于1的正根.
4. 若()x f 在（a ，b ）上连续，n x x x ⋯,,21为（a ，b ）内的n 个点， 证明：在（a ，b ）内至少存在一点ξ，使()()()()[]n x f x f x f n
f +⋯++=211
ξ
5. 设()x f 在[a ，b ]上连续，且无零点，则()x f 在[a ，b ]上的值不变号.（提示：用反证法）
6. 若()x f 与()x g 都在[a ，b ]上连续，且()()()()b g b f a g a f ><,，则至少存在一点
()b a c ,∈，使()()c g c f =.
7. 若()x f 在（a ，b ）内连续，且()()+∞=+∞=-
→+
→x f x f b x a x lim ,lim
证明：()x f 在（a ，b ）内有最小值.
·微积分（上）练习册·[第三章] 导数、微分、边际与弹性
习题3-1 导数的概念
1. 填空题：
（1）若()()A f f ='=0,00，则()=→x
x f x 0
lim
. （2）若()0x f '存在，则下列的A 取何值. ()()
==∆-∆-→∆A A x x f x x f x ,lim
000
.
()()
==--+→A A h
h x f h x f h ,lim
000
.
（3）函数()x f y =在0x x =处可导是()x f y =在0x x =处连续的 条件. （4）曲线x
y 1=
在21
=x 处切线方程 ，法线方程 .
2. 利用导数的定义求下列函数的导数. （1）()x x f =
，求()x f ' （2）()21
x
x f =
在0x x =处的导数()0x f '.
3. 设()()()x g x x x f 0-=，其中()x g 在0x 处连续，求()0x f '.
4. 讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0, 0
,1sin 2
x x x
x y 在0=x 处的连续性与可导性.
5. 已知()⎩⎨⎧≤>+=0
,cos 0
,x x x bx a x f 在0=x 处可导，求a ，b .
6. 设()⎪⎩⎪⎨⎧≥<=0
,0
,23x x x x x f ，求导函数()x f '.
7. 已知()x f 在1=x 处连续，且()21
lim
1
=-→x x f x ，求()1f '.
8. 若()A x f ='0，求⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝
⎛
--⎪⎭⎫ ⎝⎛+
∞
→n x f n x f n n 11lim 00.
习题3-2 导数的四则运算
1. 求下列函数的导数（a 、b 、c 为常数，x 、t 、μ为自变量） （1）x
x y 22+
= （2）5sin cos 2π+=x e y x
（3）x x y cos sin = （4）()1,0≠>⋅=a a x a y a
x
（5）t t s cos 1sin 1++=
（6）u
u y -+
+=11
11
2. 求下列函数在给定点处的导数. （1）ϕϕϕcos 21sin +=y ，求4
πϕϕ=d dy
（2）()t
t t f +-=11，求()4f '
3. 设()⎪⎩
⎪
⎨⎧<-=>=0,10, 0
0,tan x e x x x x x f x ，求()()x f f '',0
4. 求曲线22
-+=x x y 的切线方程，使此切线平行于直线03=-+y x .
习题3-3 复合函数的导数
1. 求下列函数的导数
（1）()4
32+=x y （2）x e y 2-=
（3）x y 3cos = （4）22x a y -=
（5）()[]x y -=1sin ln （6）x y -=1arcsin
（7）y = （8）2
1arctan
2
1+=
x y
（9）()x x y tan sec ln += （10）x
e y 1
cos =
2. 求下列函数的导数
（1）nx x y n
cos sin = （2）(2ln 2
a y x =+
（3）2
2arcsin ⎪⎭⎫ ⎝
⎛=x y （4）{}
ln cos arctan x
y e -⎡⎤=⎣⎦
（5）e y 1
2sin -= （6）2
1arccos
t t y +=
3. 设()()x g x f ,可导，()()()()x g x f
y x g x f 22
22
,0+=
≠+，求dx
dy .
4. 设()x f 可导，求函数()x xf y sin =的导数dx
dy .
5. 设()⎪⎩⎪⎨⎧
=≠=0, 0
0,1arctan 2
x x x
x x f ，试讨论()x f '在0=x 处的连续性.
习题3-4 高阶导数
1. 填空题
（1）=''=y xe y x ,2
.
（2）=''-+=
y x
x x y ,4
23 .
（3）()
=''++=y x x y ,1ln 2 . （4）()()[]
=+=222
2
,dx
y
d x f x
f y （()x f 二阶可导）. （5）()()()()=+=2,1088
f x x f .
（6）()==-n x y e y ,21 .
2. 验证函数x x e e y -+=2满足关系式y y y 2='-''.
3. 求下列函数的n 阶导数
（1）x y 2sin = （2）x xe y = （3）x y +=
11 （4）2
21x
x y --=
4. x x y 2sin 2
=，求()
()π50y .
5. 设()u f 二阶可导，求下列函数的二阶导数
2
2dx
y d .
（1）⎪⎭
⎫ ⎝⎛=x f y 1 （2）()[]x f y ln =
（3）()x f e y -=
6. 已知⎪⎭⎫ ⎝⎛=x f x y 12，且()u f 二阶导数存在，求2
2dx
y d .
习题3-5 隐函数的导数由参数方程确定函数的导数
1. 填空题
（1）y
x e
xy +=，
=dx
dy
. （2）62
2=+-y xy x ，=dx dy . （3）()()x
y y x cos sin =，=dx
dy . （4）='⎪⎭⎫
⎝⎛+=y x y x
,11 .
（5）()()⎩
⎨⎧-=-=t a y t t a x cos 1sin ，=dx dy
. （6）⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
+=+=t t
y t
x 111，22dx y d = .
2. 求由下列方程所确定的隐函数y 的二阶导数
2
2dx
y d
（1）()y x x +=ln （2）y xe y +=1
3. 用对数求导法求下列函数的导数
（1）x
x x y ⎪⎭⎫
⎝⎛+=2 （2）()()
3232
3321x x x y --+=
4. ()(
)
⎩⎨⎧-=-=1
3t
e f y t f x π
，其中()x f 可导，且()00≠'f ，求
=t dx
dy
5. 设()()()
⎩⎨⎧-'='=t f t f t y t f x ，其中()t f ''存在且不为0，求2
2dx y
d .
6. 设x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，求证：y x dx dy -=‘
7. 已知xy
xe y +=1，求0='x y 及去0=''x y .
8. 求曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=3
2
1t
y t
x 在2=t 处的切线方程.
习题3-6 函数的微分及应用
1. 选择题
（1）函数()x f 在0x x =处连续是()x f 在0x x =处可微的（ ）条件 A 充分 B 必要 C 充分必要 D 无关的
（2）函数()x f 在0x x =处可导是()x f 在0x x =处可微的（ ）条件 A 充分 B 必要 C 充分必要 D 无关的
（3）设()x f 为可微函数，则在点x 处，当→∆0时，dy y -∆是关于x ∆的（ ） A 同阶无穷小 B 低降无穷小 C 高阶无穷小 D 等价无穷小
2. 填空题：将适当的函数填入下列括号内，使等式成立.
（1）d （ ）=dx 2 （2）d （ ）=xdx 3 （3）d （ ）=
dx x 21 （4）d （ ）=
dx x
31 （5）d （ ）= dx x
2 （6）d （ ）=dx x 2cos 1
（7）d （ ）=
dx x 2
11- （8）d （ ）=
dx x 2
11
+ （9）d （ ）= dx x ⎪⎭
⎫
⎝
⎛+
211 （10）d （ ）=dx e x 3- （11）d （ ）=
dx x
+11
（12）d （ ）=cos 2xdx （13）d （ ）= xdx 2
tan （14）d （ ）=xdx 3sec 2
3. 已知x x y -=3，计算2=x 处01.0=∆x 时，=∆y ，dy = .
4. 若可微函数()
3
sin 2y f x =，则
=dy sin 2d x
=dy ()x d 2.
5. 利用一阶微分的形式不变性，求下列函数在指定点处的微分. （1）()
1,21tan 22=+=x x y
（2）()
0,arctan 1ln 510=++=x e e y x x
6. 求下列方程确定的隐函数y 的微分dy .
（1）y
e y x =+ （2）()
22ln 2
1
arctan y x x y +=
（3）()y x y x -=+arctan
7. 计算︒29sin 的近似值.
8. 一个外直径为10㎝的球，球壳厚度为8
1
㎝，试求球壳体积的近似值.
·微积分（上）练习册·[第四章] 中值定理及导数的应用
习题4-1 中值定理
1. 填空题：
（1）()x x f ln =在[1，e ]上满足拉格朗日定理条件，则在（1，e ）内存在一点=ξ ，使()()11=-⋅'e f ξ.
（2）若()x f 在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且()00=f ，()11=f ，由拉格朗日定理，必存在点∈ξ（0，1），使()()='⋅ξξf e f .
（3）设()x x f =
，在区间[1，4]上，适合拉格朗日中值定理的=ξ ,
=θ .
（4）函数()x e x f =及()2x x F =在区间[]b a ,上满足柯西中值定理条件，即存在点
()b a ,∈ξ，使 .
（5）()()()()321---=x x x x x f ，则方程()0='x f ，有 个实根，分别位于区间 内.
（6）1≥x 时，=+-
212arccos 21arctan x
x
x . 2. 求证：若1,0n a b >>>，则()()1
1n n n n nb a b a b na a b --⋅-<-<⋅-.
3. 若函数()x f 在()b a ,内有二阶导数，且()()()321x f x f x f ==，其中
123a x x x b <<<<，证明：在
()31,x x 内至少有一点ξ，使()0=''ξf .
4. ()x f 在[1，2]上连续，在（1，2）内可导，且()()122f f =，证明：存在点∈ξ(1,2)，
使()()ξξξf f ='.
5．证明：在区间（a ，b ）内（0<a <b ），必存在一点ξ，使3
2
22
b ab a ++=ξ.
6．证明方程式015
=-+x x 只有一个正根.
7．若函数()x f 在（+∞∞-,）内满足关系式()()x f x f ='，且()10=f ，证明：
()x e x f =.
习题4-2 洛必达法则
1．填空题：
（1）()=--→x
x a
x 1
1lim 0
（2）=++∞→x
x e x x 2
lim
（3）=⎪⎭
⎫
⎝⎛--→x x x x ln 11lim 1
（4）=-→10002
1
lim x
e x
x
（5）=⋅→x x x 5cot 3sin lim π
（6）()
=+→x
x
x π
cos lim 0
2．讨论函数()()
ln 1,0. cos 0. x x f x x
x x +⎧>⎪
=⎨⎪≤⎩
在0=x 处的连续性.
3．验证极限x
x
x x sin lim
+∞
→存在，但不能用罗必塔法则得出.
4．分别在下列两种条件下证明：()()()()2
2lim
h x f h x f h x f x f h --++=''→
（1）()x f 在x 处二阶导数存在且连续.
（2）()x f 在x 处二阶导数存在.
5．用洛必达法则求极限：
（1）()()
30121lim x e e x x x x --+→ （2）⎪⎭
⎫ ⎝⎛---→1112
lim 21x x x
（3）()
x
x x tan 2
sin lim π
→
习题4-3 导数的应用（一）
1．填空题： （1）函数()x
x
x f ln =
的单调增区间是 ，单调减区间是 . （2）方程0132
=+-x x 有 个实根.
（3）()321x x y ⋅-=在1x = 处有极 值，在2x = 处有极 值.
（4）若()bx ax x x f ++=35在x = 1时有极值56，则a = ，b = . （5）()1sin sin 3,23
f x a x x a =+=时，⎪⎭
⎫
⎝⎛3πf 为极 值. 2．已知()x f 在x = 0的某邻域内连续，且()2cos 1)
(lim ,000=-=→x
x f f x ，试证：()x f 在x = 0处取极小值.
3．确定下列函数的单调区间：
（1）7186223---=x x x y （2）(),0,0n x
y x e n x -=>≥
4．证明下列不等式：
（1）当0x >
时，(
1ln x x +>
（2）当02
x π
<<
时，sin tan 2x x x +>
5．求下列函数的极值.
（1）63223+-=x x y （2）()32
12+-=x y
习题4-3 导数的应用（二）
1．填空题：
（1）()x f 二阶可导，()0x f '' = 0是曲线()x f y =上点 为拐点的 条件.
（2）曲线x x y arctan =有 个拐点，在 区间上曲线是凹的. （3）曲线x
e
y arctan =有 个拐点，曲线为凹的区间是 ，曲线
为凸的区间是 .
2．曲线()
2
23-=x k y 上拐点处的法线过坐标原点，求k 的值.
3．若曲线()3
b ax y -=有拐点（1，()3
b a -），则a 、b 应满足什么关系？
4．利用函数图形的凹凸性证明不等式：
()ln ln ln
2
x y
x x y y x y ++>+ （x >0, y >0, 且x ≠y ）
5．填表并描绘函数图形： 函数x xe y -=
图形：
6．描绘下列函数的图形：
（1）x x y arctan 2-= （2）()
2
11
2--=x x y
习题4-4 函数的最大值和最小值及其在经济中的应用
1．填空题： （1）()()12243
13
≤≤-+-=
x x x x f 最大值为 ，最小值为 . （2）()=⎪⎭
⎫
⎝
⎛≤
-=x x x x x f 在22sin π 有最大值，x = 有最小值. （3）()0,1x y x x x x =>≠=在 有最 值. 2．求下列函数的最大值、最小值
（1）248x x y -=， 11≤≤-x （2）x
x y 54
2
-
=， x <0 （3）1
2
+=x x
y ， x >0
习题4-5 第四章总习题
1. 求下列极限：
（1）202lim x x x e e x -→+- （2）x
x x 2arctan 2lim ⎪⎭
⎫
⎝⎛+∞→π
（3）11
200411232004lim 2004x x x
x x →∞⎛⎫
+++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭
·微积分（上）练习册·[第五章] 不定积分
习题5-1 不定积分的概念、性质
1. 填空题：
（1）若在某区间上()()x f x F ='，则()x F 叫做()x f 在该区间上的一个 ，
()x f 的带有任意常数项的原函数称为()x f 在该区间上的 .
（2）在积分曲线族⎰
dx x x 中，过点（0，1）的曲线方程是 . （3）因为()dx x
x d 2
11arcsin -=
，所以x arcsin 是 的一个原函数.
（4）设()x f 的一个原函数为x ln ，则()='x f .
（5）若曲线()y f x =上点（x ，y ）的切线斜率与3
x 成正比例，并且通过点A （1,6）
和B （2，－9），则该曲线方程为 .
（6）⎰
=dx e x
x 3 .
2. 计算题： （1）()
⎰++dx x x e
x
cos sin 23 （2）()
⎰+dx x x 2
32
（3）⎰dx x 2cos 2
（4）⎰+dx x
x x x 2222sin sin
（5）22cos 2sin cos x dx x x ⎰ （6）⎰+dx x 2cos 11
（7）
⎰+dx x x x
sin cos 2cos
3．一曲线过点（1，0）且在任一点处切线斜率为该点横坐标的倒数，求曲线方程.
4．设()x x f 2sec tan ='且f （0 = 1），求f （x ）.
5．证明函数x 2
sin ，x 2cos 2
1
-，x 2cos -都是x 2sin 的原函数.
习题5-2 换元积分法（一）
1．填空题：
（1）xdx = ()2
x
d
（2）=dx x 2
()
3
32x d -
（3）=dx e x
2 ()
x e d 2 （4）()d dt wt =+ϕsin ( ) （5）
=+2
91x dx
()x d 3arctan
（6）
=-2
1x
xdx ()
21x d -
2．计算题：
（1）⎰
+dx e x
x ln 32 （2）()
⎰+dx e x 2
1
（3）⎰+--dx x x x 83322 （4）⎰++322x x dx
（5）
23225x dx x x --+⎰ （6）⎰+dx x x cos 1sin
（7）⎰x x dx cos sin （8）ln tan sin cos x dx x x ⎰
（9）()⎰x x x dx
ln ln ln （10）⎰+21x xdx
（11）⎰
-dx xe x 2
（12）⎰+dx x x 321
（13）()⎰+x x dx
1
习题5-2 换元积分法（二）
1．填空题： （1）
()()⎰=+'x f dx
x f 21
（2）
⎰
=dx x
x
3
sin cos
（3）
⎰=x
x dx tan cos 2
（4）⎰
=dx e e x
x sin
（5）⎰
=xdx e
x
cos sin （6）
⎰
=-dx x
x 6
21
2．计算题： （1）⎰-+x x e e dx （2）⎰-+211x dx
（3）⎰
+-dx x x
11 （4）⎰--dx x
x 2491 （5）()
⎰+4
6x x dx （6）⎰xdx 3
cos （7）
()
⎰+dx x x x
2
ln ln 1 （8）⎰
x
x dx
44cos sin
（9
）()2 0dx a > （10）()
⎰
+3
2
1
x
dx
（11
）用指定的变换计算
()1x >
（ⅰ）t x sec = （ⅱ）t
x 1=
习题5-3 分部积分法
1. 求下列不定积分
（1）⎰
-dx xe x 2 （2）(
)
⎰+dx x 2
1ln
（3）()⎰''dx x f x （4）⎰
xdx x arctan 2
（5）⎰xdx x 2
tan （6）⎰
xdx x x cos sin
（7）⎰-xdx e x
2sin （8）()⎰
dx x ln cos
习题5-4 有理函数的积分
1. 求下列积分 （1）()()⎰---dx x x x 2132 （2）()
⎰+12x x dx
（3）⎰+dx x x 23 （4）⎰+4x
x dx
（5）()
⎰-x x dx
1 （6）
⎰+
x
dx 21
习题5-5 不定积分总复习
1. 计算： （1）⎰--x x e e dx
（2）()x e f x
+='1，求f （x ）
（3）⎰dx x x x 3sin cos （4）sin 1cos x x
dx x ++⎰
（5）⎰dx x x ln ln （6）⎰+dx x x
sin 1sin
（7）⎰-dx x x cos 1 （8）()⎰+dx x x x 1arctan
（9）()
⎰+dx x x
2
1ln （10）⎰
+x
e
dx 1
（11）()
⎰+dx e xe x x
2
1 （12）⎰+⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-+dx e x x x x 111
2. 已知()x f 的原函数为x 2
ln ，求()⎰
'.dx x f x
3. 已知()t t f cos ln =，求()()⎰'.dt t f t f t
·微积分（上）练习册·[第六章] 定积分及其应用
习题6-1 定积分的概念
1. 用定积分的几何意义画图说明下列等式：
（1）() 2 0
04
a a π
=
>⎰
（2）2
2
2
cos 2cos .xdx xdx πππ-=⎰
⎰
（3）
2 0
sin 0xdx π
=⎰
2. 利用定积分定义计算下列定积分： （1） 2
xdx ⎰
（2） 1
x e dx ⎰
习题6-2 定积分的性质
1. 不算出积分值，比较下列各组积分的大小，并说明理由. （1）() 2
2
2
12 1
1
ln , ln I xdx I x dx ==⎰
⎰；
（2）() 1
1
12 0
, 1.x
I e dx I x dx ==+⎰
⎰
2. 证明不等式1
2
4 0
2
2
2 2x
x
e e dx e ---≤≤-⎰
3. 设()x f 在[0，1]上连续， 在（0，1）内可导，且5() 4
5
1
1 2f x dx f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
⎰
， 证明
在（0，1）内存在一点ξ，使().0='ξf
习题6-3 微积分基本公式
1. 求下列函数的导数： （1
） 3 0.x d dx ⎰ （2）() cos 2
sin cos x x d t dt dx
π⎰
（3）求由 0
cos 0y
x
t
e dt tdt +=⎰
⎰所决定的隐函数()x y y =的导数
.dx
dy
（4）设()()() 0
x
F x x u f u du =-⎰，其中()x f 连续，求()x F ''
2. 当x 为何值时，()2
x
t I x te dt -⎰
取得极值？
3. 求极限：
()22
2
0 0
2 0
lim
x
t x
x t e dt te dt
→⎰⎰
4. 设()[)
[)⎩
⎨⎧∈∈=2,1 1,0 ,2x x x x x f ，计算() 2 0
f x dx ⎰
5. 证明：当0≠x 时，1 2
2 0 0112x
x
dt dt t t π+=++⎰⎰
6. 计算下列积分： （1）(
)22
0dx
a a x >+⎰
（2）dx x ⎰π20sin
习题6-4 定积分的换元法
1. 计算下列定积分： （1
） 1
（2
） 100 0π⎰（参看后面第4题结论） （3
）() 0
0a
a >⎰
（4
） 1
3/⎰
（5
） /2
/ππ-⎰
（6）2
2
cos cos 2.x xdx ππ-⎰
（7）
() 2
1f x dx -⎰
，其中()⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧+≥+=0,110,11
x e x x
x f x
2. 利用函数的奇偶性计算： （1）() 1
22 1
sin 5x x x dx -+⎰
（2）() /4
2
/4
cos cos sin x x x dx ππ-+⎰
3. 计算：2
10 1010 0
sin sin cos x
x x
π+⎰
4. 设()x f 是以T 为周期的连续函数，证明：()() 0
.a T
T
a
f x dx f x dx +=⎰
⎰
习题6-5 定积分的分部积分法
1. 计算下列定积分： （1） 1
x
xe dx ⎰
（2） 1
ln e
x xdx ⎰
（3） 2 0
sin x x π
⎰
（4）⎰
30
2
cos π
dx x
x
（5） 1
tan xan xdx ⎰
（6）() 1
ln 1x dx +⎰
（7）
2
sin x e xdx π⎰
2. 利用递椎公式计算：
100100 0
sin I x xdx π
=⎰
3. 设()f x 连续，证明：
()()() 0 0 0x
u x f t dt du x u f u du ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦
⎰⎰⎰
习题6-6 广义积分与Γ-函数
1. 判别下列广义积分的收敛性，如收敛，则计算广义积分的值： （1）() 0
kt
pt
e e dt p k +∞
->⎰
（2） 0
sin t e tdt +∞
-⎰
（3） 2 22
dx x x +∞
-∞
++⎰
（4）() 22 01dx
x -⎰ （5）
1
e
⎰
2. 利用Γ-函数计算： （1） 0
n x n I x e dx +∞
-=⎰
，
（n 为自然数） （2）2
5 0
x x e dx +∞
-⎰
3. 当k 为何值时，广义积分()() b
k
a
dx
b a x a >-⎰收敛？又当k 为何值时，此广义积分
发散？
4. ()()
2
ln k
dx I k x x +∞
=⎰
，求函数I （k ）的定义域，当k 取何值时，I （k ）取得最小
值？
1. 求由下列各曲线所围成的图形的面积： （1）,,1x x y e y e x -===；
（2）23,2y x y x =-=
（3）()ln ,ln ,ln 0,0.y x y a y b b a x ===>>=
2. 求位于曲线x y e =下方，该曲线过原点的切线的左方以及x 轴上方之间的图形的面积.
3. 求曲线2
y x =与直线1y kx =+所围平面图形的面积，问k 为何时，该面积最小？
4. 现有抛物线2
y x
=()01x ≤≤和直线()01y a a =≤≤，它们与直线0x =围成的
面积为1A ，与直线1x =围成的面积为A 2，求12A A A =+的最小值.
1. 求0,8y x y ===所围成的图形分别绕y 轴及直线4x =旋转所得的旋转体
的体积.
2. 222x y a +=绕直线x a =旋转的旋转体的体积.
3. 有一立体以抛物线22y x =与直线2x =所围成图形为底，而垂直于抛物线轴的截面都是等边三角形，求其体积.
4. 证明曲线()()0,0,,0y f x y x a x b b a =≥===>>所围曲边梯形绕y 轴旋转的旋转体的体积公式为：
() 2b
a
V xf x dx π=⎰
5. 求半径为R 的球体中高为()h h R <的球缺的体积.
微积分（上）参考答案
参 考 答 案
习题1-1
1.（1）1x > （2）13x -≤≤ （3）11x
y x
-=+ （4）()21f x x =+ 2.
1,02
3.（1）由1
,2
u
y e u ==
复合而成 （2）由3,,sin u y e u v v x ===复合而成 5.（1）()1,11 1 ,1x x f x x -≥⎧-=⎨<⎩ （2）()()21,1
11,01 2 ,0
x x f x f x x x x -≥⎧⎪
+-=+≤<⎨⎪<⎩
6. (),04
,5ks s a m ka k s a s a ≤≤⎧⎪=⎨+->⎪⎩
7. ()48000
1.20800P x x x
=
+<≤
习题2-1 1.
000,x x x δδ><<+；000,x x x δδ>-<<；00,0x x δδ><-<；
0,X x X >>；0,X x X ><-；0,X x X >>；0,.N n N >>
习题2-2
1.（1）2,8a b ==-； （2）4,2a b =-=-； （3）2,2a b ==-； （4）+∞ 3.（1）0； （2）
12； （3）12-； （4）2
3x ； （5）2
n ； （6）0； （7）+∞ （8）1020
30
235
⋅； （9）2； （10）1； （11）-1； （12）15
习题2-3 1.（1）
35
； （2）2； （3）x ； （4）2e
2.（1）1； （2）1
3.（2）2
5. 32a =
6. ln 2c =
7.（1）32； （2）12； （3）12； （4）2
5
-
习题2-4
1.（1）－1； （2）第一类，可去； （3）第一类，可去；第二类，无穷；第一类，可去 （4）第一类，跳跃； （5）第二类，振荡
2. 0x =，第一类，跳跃
3.（1） , x 1, x 1 0 , x 1
x y x ⎧<⎪
=->⎨⎪
=⎩ （2）1x =±，第一类，跳跃
4．1a =
5．（1）0； （2）2
3； （3）－1； （4）cos a ； （5）1； （6）1
（7）e ； （8）12； （9）2a
e ； （10）4
π-
习题2-5
2. 构造函数()()()F x f x f x a =-+
4. 设()()()12,,,n f x f x f x ⋅⋅⋅中最大的为()
j f x ，最小的为(),1,i f x i j n ≤≤
则()()()()()121
i n j f x f x f x f x f x n ≤
++⋅⋅⋅+≤⎡⎤⎣
⎦ 6. 构造函数()()()F x f x g x =- 7. 考虑极限的局部保号性
习题3-1
1.（1）A ； （2）()0f x '-；()02f x '-； （3）充分； （4）11544;48
y x y x =-+=
+ 3. 提示：只能用导数的定义计算
4. 连续，可导，
5．1,0a b ==
6．()23,0
2,0
x x f x x x ⎧<'=⎨≥⎩
7．()12f '= 8．2A
习题3-2 1.（1
（2）()2cos sin x e x x - （3）cos y x '= （4）()1ln x a a x x a a -+
（5）()
2
1sin cos 1cos t t
s t ++'=
+6）()
2
2
1y u '=
-
2.（1
）
)28
π+ （2）118-
3. ()0f '不存在，()2tan sec ,0
,<0
x
x x x x f x e x ⎧+>⎪'=⎨⎪⎩ 4. 30x y ++= 5.（1）2
205
Q - （2）Q = 15处收益变化得快
习题3-3
1.（1）()3
823y x '=+ （2）22x
y e
-'=- （3）2
3cos sin y x x '=- （4
）y '=
（5）()()cos 1sin 1x y x --'=
- （6）
y '=（7
）
（8）2123y x x '=
++ （9）sec y x '= （10）1cos 211sin x
y e x x
'=⋅⋅
2.（1）()1
sin
cos 1n y n x n x -'=+
（2）y '=（
32arcsin x
⋅
（4）221x x e y e --'=+ （5）21sin 212sin x y e x x -'= （6）
2y '=3.
f x f x
g x g x dy dx ''+=
4.
()()sin cos sin dy
f x x xf x dx
'=+ 5. ()f x '在0x =处连续 习题3-4 1.（1）(
)2
23
22x x x
e + （2）5233484x x --+
- （3）()
3/221x x -+ （4）()()()()()2
2
2
2
2422f x x f x f x f x f x ''''''+++⎡⎤⎣⎦
（5）8! （6）()122n
x e --
3.（1）()
12cos 22n n n y
x π-⎛
⎫=-+ ⎪⎝⎭ （2）()()n x y e x n =+
（3）()
()()11!1n
n n n y
x +-=+ （4）()
()()()()111!1!1312n
n
n n n n n y x x ++⎡⎤--=--⎢⎥-+⎢⎥⎣⎦
4. 50
250π⋅ 5.（1）342111y f f x x x x ⎛⎫⎛⎫'''''=
+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
（2）()()()()
2
2f x f x f x f x '''-⎡⎤⎣⎦
（3）()()
()()
2
f x f x f x e f x e
--'''-+⎡⎤⎣⎦ 6. 2121112y f f f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'''''=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
习题3-5
1.（1）x y x y e y x e ++-- （2）22x y x y
-- （3）ln cos cot ln sin tan y y x
x y -+
（4）1111ln 11x
x x x ⎡⎤
⎛⎫
⎛⎫++- ⎪
⎪⎢⎥+⎝⎭
⎝⎭⎣⎦
（5）cos 2t （6）0
2.（1）22d y x y dx =+ 或x
e （2）()()
223
232y
y e d y dx y -=- 3.（1）2ln 222x
x x y x x x ⎛⎫
⎡
⎤'=+ ⎪
⎢⎥+++⎝⎭
⎣⎦
（2）
()2
121212333x y x x x ⎡⎤
+'=-+⎢⎥+--⎣⎦
4. 3
5.
()
1
f t '' 7. 0
1,2x x y y =='
''== 8.37y x =-
习题3-6
1.（1）B （2）C （3）C
2.（1）2x c + （2）232x c + （3）1c x -+ （4）23
32x c + （5）
2ln 2
x
c + （6）tan x c + （7）arcsin x c + （8）tan arc x c + （9）1
x c x
-
+ （10）313
x
e
c --+ （11）()ln 1x c ++ （12）1
sin 2
x c +
（13）tan x x c -+ （14）1
tan 33
x c +
3. 0.110601,0.11y dy ∆==
4. ()()
2323
3sin 2sin 2,3sin 2cos 2sin 2xf x x xf x '' 5.（1）()()
2
8tan 3sec 3dx （2）
152
dx 6.（1）1y dx dy e =- （2）x y
dy dx x y +=- （3）()()
2
2
2x y dy dx x y --=+- 7. 0.485 8. 39.27㎝3
习题4-1.
1．(1).e-1；(2).e-1；(3).49，125；(4).ξξ
22
2e a
b e e a b =--；(5).3，()()().3,2,2,1,1,0；(6).2π.
习题4-2.
1．(1).a ；(2).0；(3).2
1-；(4).0；(5).53
-；(6).2π
-e .
2．连续. 5．(1).61；(2).2
1
-；(3).1.
习题4-3(一)
1．(1).()()e e ,0,,+∞；(2).2；(3).0，小；
5
2
，大；(4).-30，85；(5).大. 3．(1).在()()+∞-∞-,3,1,单调增加,在()3,1-单调减少；
(2).在()n ,0单调增加,在()+∞,n 单调减少.
5．(1).极大值()50=f ，极小值()51=f ；(2).极大值()21=-f . 习题4-3(二).
1．(1).0x x =，必要；(2).0，()+∞∞-,；(3).1,，⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-21,，⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∞,21.
2．2
41±
. 3．b a =.
习题4-4. 1．(1).
35,322-；(2).2,2ππ-；(3).,1e
小. 2．(1).最大值()93=y ，最小值()162-=y ；(2).最小值()273=-y ，没有最大值；
(3).最大值()2
1
1=
y ，没有最小值. 3．(1).101=P ，最大利润167080；(2).1
15,3-==e P x ，最大收益145-e ；
(3) 100=x ；(4).5=N .
习题4-5.
1．（1）1； （2）π
4
-e
； （3）2004！
微积分（上）参考答案
习题5-1.
1．(1).原函数，不定积分；(2).152
25
+=x y ；(3).211x
-；(4).21x -；(5).74+-=x y ；
(6).
c e x x ++33
ln 11
.
2．(1).c x x e x
++-sin cos 23；(2).
c x
x x ++⋅+9ln 96ln 624ln 4； (3).c x x ++2sin 2；(4).c x x +--1cot ；(5).c x x +--tan cot ； (6).c x +tan 21
；(7).c x x ++cos sin .
3．x y ln 52=. 4．()13
13
++=x x x f .
习题5-2(一).
1．(1).
21；(2).91-；(3).21；(4).)cos(1φϖϖ+-t ；(5)31
；(6).1-. 2．(1).c e x +2361；(2).c x e e x x +++22
12；(3).c x x ++-)83ln(2
；
(4).
c x ++2
1
arctan
2
1；(5).c x x x +-++-21
arctan
21)52ln(232； (6).c x ++-)cos 1ln(
；(7).c x +tan ln ；(8).c x +2)tan (ln 2
1
；(9).c x +ln ln ln ； .(10).c x ++2
1；(11).c e x +--221；(12) ()c x ++3
319
2.(13).c x +arctan 2.
习题5-2(二).
1．(1).c x f +)(arctan ；(2).c x
+-
sin 2；(3).c x +tan 2；(4).c e x +-cos ；
微积分（上）参考答案
(5).c e
x
+sin ；(6).c x +3arcsin 3
1
.
2．(1).c e x
+arctan ；(2).c x
x x +--+1
1arcsin 2；(3).c x x +-+21arcsin ；
(4).
c x x +-+2494
1
32arcsin 21；(5).()
c x x ++-4ln 241ln 416；
(6).c x x +-3sin 31sin ；(7).c x x +-
ln 1；(8).c x x +--2cot 3
8
2cot 83； (9).c x a x a x a +--2222arcsin 2；(10).c x x ++2
1.(11).c x +1arccos .
习题5-3. 1．(1).c e x x ++-
-2)12(41；(2).c x x x x +-++2arctan 2)1ln(2
；(3).c x f x xf +-)()('； (4).c x x x x +-++232
61arctan 31)1ln(61；(5).c x x x x ++-cos ln 21tan 2；
(6).c x x x ++-2sin 812cos 4；(7).c x x e x
++--)2cos 22(sin 51；
(8).c x x x
++)]cos(ln )[sin(ln 2
.
习题5-4.
2．(1).c x x +++-)123ln(2；(2)c x x
++1
ln
2；(3).c x x x x ++-+-2ln 8431
23；
(4).c x x x +++-)1ln(44244；(5).c x +arcsin 2；(6).c x x ++-)12ln(2.
习题5-5.
1．(1).c e e x x ++-1
1
ln 21；(2).c x x +ln ；(3).c x x x +--cot sin 22
； (4).c x x
x x ++-+)cos 1ln(2
cos ln 22tan
；(5).c x x +-)1ln (ln ln ； 微积分（上）参考答案
(6).c x x x +-+tan sec ；(7).c x
x x ++-2
sin ln 22cot
；(8).(
)
c x
+2
arctan ；。