2021-2022学年北京156中九年级(上)期中数学试卷(附详解)

2021-2022学年北京156中九年级（上）期中数学试卷
1.抛物线y=−2(x+1)2−1的开口方向和顶点坐标分别是()
A. 向上，(1,−1)
B. 向下，(−1,−1)
C. 向下，(1,−1)
D. 向上，(−1,−1)
2.在下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()
A. B. C. D.
3.若关于x的一元二次方程(a−2)x2+2x+a2−4=0有一个根为0，则a的值为()
A. ±2
B. ±√2
C. −2
D. 2
4.如图，△ABC内接于⊙O，连结OA，OB，∠ABO=40°，则∠C
的度数是()
A. 100°
B. 80°
C. 50°
D. 40°
5.关于x的一元二次方程ax2−2x+1=0有实数根，则a的取值范围是()
A. a>1
B. a<1
C. a≤1且a≠0
D. a≥1且a≠0
6.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°，得到△ADE.若点D在线段BC的延长线上，
则∠B的大小为()
A. 30°
B. 40°
C. 50°
D. 60°
7.已知：a>b>c，且a+b+c=0，则二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是下
列图象中的()
A. B.
C. D.
8.如图，A点在半径为2的⊙O上，过线段OA上的一点P
作直线l，与⊙O过A点的切线交于点B，且∠APB=
60°，设OP=x，则△PAB的面积y关于x的函数图象
大致是()
A. B. C. D.
9.如图，⊙O的弦AB=8，OD⊥AB于点D，OD=3，则⊙O的
半径等于______．
10.已知y与x的函数满足下列条件：①它的图象经过(1,1)点；②当x>1时，y随x的
增大而减小．写出一个符合条件的二次函数：______．
11.如果圆的半径为6，那么60°的圆心角所对的弧长为______．
12.若a是方程x2−x−1=0的一个根，则−a3+2a+2021的值为______．
13.如图，∠AOB=30°，OM=6，那么以M为圆心，3为半径
的圆与直线OA的位置关系是______．
14.已知扇形的圆心角为150°，弧长为20πcm，则扇形的面积为______cm2．
15.如图，正方形ABCD的边长为1，AC，BD是对角线．将△DCB绕着点D顺时针旋转45°
得到△DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG.则下列结论：
①四边形AEGF是菱形；②△AED≌△GED；③∠DFG=112.5°；④BC+FG=1.5．
其中正确的结论是______．
16.下面是“作一个30°角”的尺规作图过程．
已知：平面内一点A．
求作：∠A，使得∠A=30°．
作法：如图，
(1)作射线AB；
(2)在射线AB上取一点O，以O为圆心，OA为半径作圆，与射线AB相交于点C；
(3)以C为圆心，OC为半径作弧，与⊙O交于点D，作射线AD．
∠DAB即为所求的角．
请回答：该尺规作图的依据是______．
17.解下列方程：
(1)x(x+3)=2x+6；
(2)x2−4x−7=0．
18.二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：
x…−4−3−2−1012…
y…50−3−4−305…
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)在图中画出这个二次函数的图象．
(3)当函数值y<0时，对应的x的取值范围是______．
(4)当自变量x的取值范围是−3<x<3时，那么对应函数值y的取值范围是______．
19.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，对角线AC是⊙O
的直径，AB=2，∠ADB=45°.求⊙O半径的长．
20.已知：关于x的一元二次方程x2−2x+m−1=0有两个不相等的实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)如果m为非负整数，且该方程的根都是整数，求m的值．
21.如图，AB是⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，CF⊥AB于
点F，CE⊥AD交AD的延长线于点E，且CE=CF．
(1)求证：CE是⊙O的切线；
(2)连接CD，CB.若AD=CD=3，求四边形ABCD的面积．
22.阅读下列材料：
问题：如图(1)，已知正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，且∠EAF=45°.
判断线段BE、EF、FD之间的数量关系，并说明理由．
小明同学的想法是：已知条件比较分散，可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是他将△DAF绕点A顺时针旋转90°，得到△BAH，然后通过证明三角形全等可得出结论．
请你参考小明同学的思路，解决下列问题：
(1)图(1)中线段BE、EF、FD之间的数量关系是______；
(2)如图(2)，已知正方形ABCD边长为5，E、F分别是BC、CD边上的点，且∠EAF=
45°，AG⊥EF于点G，则AG的长为______，△EFC的周长为______；
(3)如图(3)，已知△AEF中，∠EAF=45°，AG⊥EF于点G，且EG=2，GF=3，
求△AEF的面积，写出解答过程．
23.小明爸爸经营的水果店出售一种优质热带水果，正在上初三的小明经过调查和计算，
发现这种水果每月的销售量y(千克)与销售单价x(元)之间存在着一次函数关系：
y=−10x+500．
下面是他们的一次对话：
小明：“您要是告诉我咱家这种水果的进价是多少？我就能帮你预测好多信息呢！”
爸爸：“咱家这种水果的进价是每千克20元”
聪明的你，也来解答一下小明想要解决的三个问题：
(1)若每月获得利润w(元)是销售单价x(元)的函数，求这个函数的解析式．
(2)当销售单价为多少元时，每月可获得最大利润？
(3)如果想要每月从这种水果的销售中获利2000元，那么销售单价应该定为多少元？
24.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠C=40°，点D是线段BC上的动点，将线段AD绕
点A顺时针旋转50°至AD′，连接BD′.已知AB=2cm，设BD为x cm，BD′为y cm.小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究，下面是小明的探究过程，请补充完整．(说明：解答中所填数值均保留一位小数)
(1)通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：
x/cm00.50.7 1.0 1.5 2.0 2.3
y/cm 1.7 1.3 1.1______ 0.70.9 1.1
(2)建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函
数的图象．
(3)结合画出的函数图象，解决问题：线段BD′的长度的最小值约为______cm；若
BD′≥BD，则BD的长度x的取值范围是______．
25.已知抛物线l1与l2形状相同，开口方向不同，其中抛物线l1：y=ax2−8ax−7
交x
2轴于A，B两点(点A在点B的左侧)，且AB=6；抛物线l2与l1交于点A和点C(5,n)．
(1)求抛物线l1，l2的表达式；
(2)当抛物线l1与l2上的点的纵坐标同时随横坐标的增大而增大时，求x的取值范围；
(3)直线MN//y轴，交x轴，l1，l2分别相交于点P(m,0)，M，N，当1≤m≤7时，
求线段MN的最大值．
26.如图，△ABC为等边三角形，点P是线段AC上一动点(点P不与A，C重合)，连接BP，
过点A作直线BP的垂线段，垂足为点D，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接DE，CE．
(1)求证：BD=CE；
(2)延长ED交BC于点F，求证：F为BC的中点；
(3)若△ABC的边长为1，直接写出EF的最大值．
27.在平面直角坐标系xOy中，点P的横坐标为x，纵坐标为2x，满足这样条件的点称为
“关系点”．
(1)在点A(1,2)、B(2,1)、M(1
2,1)、N(1,1
2
)中，是“关系点”的______；
(2)⊙O的半径为1，若在⊙O上存在“关系点”P，求点P坐标；
(3)点C的坐标为(3,0)，若在⊙C上有且只有一个“关系点”P，且“关系点”P的横坐标满足−2≤x≤2.请直接写出⊙C的半径r的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵y=−2(x+1)2−1，
∴该抛物线的开口向下，顶点坐标是(−1,−1)，
故选：B．
根据二次项系数可以判断抛物线的开口方向，根据抛物线函数的顶点式可以直接得到顶点坐标，本题得以解决．
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
2.【答案】A
【解析】解：A、既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项正确；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；
D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：A．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3.【答案】C
【解析】解：把x=0代入方程，得a2−4=0，
解得a=2或a=−2，
而a−2≠0，
所以a的值为−2．
故选：C．
根据一元二次方程的解定义把x=0代入一元二次方程得a2−4=0，解得a=±2，然后根据一元二次方程的定义确定满足条件的a的值．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二
次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
4.【答案】C
【解析】解：∵OA=OB，∠ABO=40°，
∴∠AOB=100°，
∠AOB=50°，
∴∠C=1
2
故选：C．
根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质求出∠AOB，根据圆周角定理解答．
本题考查的是圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：∵关于x的一元二次方程ax2−2x+1=0有实数根，
∴{a≠0
△=4−4a≥0，
∴a≤1且a≠0，
故选：C．
利用二次项系数非零和根的判别式△≥0，即可得出关于a的不等式组，解之即可得出a的取值范围．
本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，理解“当△≥0时，一元二次方程有实数根”是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质，根据旋转的性质结合等腰三角形的性质求出∠B的度数是解题的关键．根据旋转的性质可得出AB=AD、∠BAD=100°，再根据等腰三角形的性质可求出∠B的度数．
解：根据旋转的性质，可得：AB=AD，∠BAD=100°，
∴∠B=∠ADB=1
2
×(180°−100°)=40°．
故选B．
7.【答案】C
【解析】解：A、由图知a>0，−b
2a
=1，c>0，即b<0，
∵已知a>b>c，故本选项错误；
B、由图知a<0，而已知a>b>c，且a+b+c=0，必须a>0，故本选项错误；
C、图C中条件满足a>b>c，且a+b+c=0，故本选项正确；
D、∵a+b+c=0，
即当x=1时a+b+c=0，与图中与x轴的交点不符，故本选项错误．
故选：C．
由a>b>c，且a+b+c=0，确定a>0，c<0，与x轴交点一个是(1,0)，采取排除法即可选出所选答案．
本题主要考查了二次函数的性质，点的坐标特点等知识点，灵活运用性质进行说理是解此题的关键．题型较好．
8.【答案】D
【解析】解：∵A点在半径为2的⊙O上，过线段OA上的一
点P作直线l，与⊙O过A点的切线交于点B，且∠APB=60°，
∴AO=2，OP=x，则AP=2−x，
∴tan60°=AB
PA
=√3，
解得：AB=√3(2−x)=−√3x+2√3，
∴S△ABP=1
2×PA×AB=1
2
(2−x)⋅√3⋅(−x+2)=√3
2
x2−2√3x+2√3，
故此函数为二次函数，
∵a=√3
2
>0，
∴当x=−b
2a =2时，S取到最小值为：4ac−b2
4a
=0，
根据图象得出只有D符合要求．
=2时，S 根据已知得出S与x之间的函数关系式，进而得出函数是二次函数，当x=−b
2a
=0，即可得出图象．
取到最小值为：4ac−b2
4a
此题主要考查了动点函数的图象，根据已知得出S与x之间的函数解析式是解题关键．9.【答案】5
【解析】解：连接OA，
∵OD⊥AB，
AB=4，
∴D为AB的中点，即AD=BD=1
2
在Rt△AOD中，OD=3，AD=4，
根据勾股定理得：OA=√AD2+OD2=5，
则圆O的半径为5．
故答案为：5
连接OA，由OD垂直于AB，利用垂径定理得到D为AB的中点，由AB的长求出AD的长，在直角三角形AOD中，由AD与OD的长，利用勾股定理求出OA的长，即为圆O的半径．此题考查了垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．
10.【答案】y=−(x−1)2+1(答案不唯一)
【解析】解：依题意，抛物线开口向下，对称轴可以为x=1，
∵图象经过(1,1)点，
∴顶点为(1,1)，
∴抛物线解析式为y=−(x−1)2+1．
故答案为：y=−(x−1)2+1(答案不唯一)．
由②可知，抛物线开口向下，对称轴可以为x=1，已知抛物线经过点(1,1)，则顶点为(1,1)，根据顶点式求抛物线解析式即可．
本题考查了二次函数的性质．抛物线的顶点式y=a(x−ℎ)2+k，顶点坐标为(ℎ,k)．11.【答案】2π
【解析】解：根据弧长的公式l=nπr
180=60π×6
180
=2π．
直接根据弧长公式进行计算．
此题考查了弧长公式．
12.【答案】2020
【解析】解：∵a是方程x2−x−1=0的一个根，
∴a2−a−1=0，
∴a2−a=1．
∴原式=−(a3−2a)+2021
=−(a3−a2+a2−a−a)+2021
=−[a(a2−a)+1−a]+2021
=−(a+1−a)+2021
=−1+2021
=2020．
故答案为：2020．
因为a是方程x2−x−1=0的一个根，所以a2−a−1=0，所以a2−a=1，然后整体代入求值即可．
本题考查了一元二次方程的解，根据条件得a2−a=1，然后整体代入求值是解题的关键．
13.【答案】相切
【解析】解：过点M作MD⊥AO于点D，
∵∠AOB=30°，OM=6，
∴MD=1
2
OM=3，
∴MD=r，
∴以点M为圆心，半径为3的圆与OA的位置关系是：相切．
故答案为：相切．
利用直线l和⊙O相切⇔d=r，进而判断得出即可．
此题主要考查了直线与圆的位置，正确掌握直线与圆相切时d与r的关系是解题关键．14.【答案】240π
【解析】解：设扇形的半径为R cm，
，
则由弧长公式得：20π=150πR
180
解得：R=24，
×20π×24=240π(cm2).
即扇形的面积是1
2
故答案为：240π．
先根据弧长公式求出扇形的半径，再根据扇形面积公式求出即可．
×弧长×半径．
本题考查了弧长公式和扇形面积公式的应用，注意：扇形的面积=1
2
15.【答案】①②③
【解析】
【分析】
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是通过计算发现角相等，学会这种证明角相等的方法，属于中考常考题型．首先证明Rt△ADE≌Rt△GDE，再求出∠AEF、∠AFE、∠GEF、∠GFE 的度数，推出AE=EG=FG=AF，由此可以一一判断．
【解答】
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC=BC=AB，∠DAB=∠ADC=∠DCB=∠ABC=90°，∠ADB=∠BDC=∠CAD=∠CAB=45°，
∵△DHG是由△DBC旋转得到，
∴DG=DC=AD，∠DGE=∠DCB=∠DAE=90°，
在Rt△ADE和Rt△GDE中，
{DE=DE
DA=DG，
∴Rt△ADE≌Rt△GDE(HL)，故②正确，
∴∠ADE=∠EDG=22.5°，AE=EG，
∴∠AED=∠AFE=67.5°，
∴AE=AF，同理△AEF≌△GEF，可得EG=GF，
∴AE=EG=GF=FA，
∴四边形AEGF是菱形，故①正确，
∵∠DFG=∠GFC+∠DFC=∠BAC+∠DAC+∠ADF=112.5°，故③正确．
∵AE=FG=EG=BG，BE=√2AE，
∴BE>AE，
∴AE<1
，
2
∴CB+FG<1.5，故④错误．
故答案为①②③．
16.【答案】三边相等的三角形是等边三角形，圆周角的度数等于圆心角度数的一半
【解析】解：如图，连接OD、OC，
由作图知，OB=OC=CD，
∴△OCD为等边三角形，
则∠COD=60°，
∠COD=30°，
∴∠DAC=1
2
综上可知，该尺规作图的依据是：三边相等的三角形是等边三角形，圆周角的度数等于圆心角度数的一半，
故答案为：三边相等的三角形是等边三角形，圆周角的度数等于圆心角度数的一半．
先根据作图得出OB=OC=CD，即△OCD为等边三角形，据此可得∠COD=60°，再根
∠COD=30°，从而得出答案．
据圆周角定理知∠DAC=1
2
本题主要考查作图−复杂作图，解题的关键是熟练掌握等边三角形的判定和圆周角定理．17.【答案】解：(1)x(x+3)−(2x+6)=0，
x(x+3)−2(x+3)=0，
(x+3)(x−2)=0，
则x+3=0或x−2=0，
∴x1=−3，x2=2；
(2)x2−4x−7=0，
x2−4x+4=11，
(x−2)2=11，
x−2=±√11，
解得：x1=2+√11，x2=2−√11．
【解析】(1)首先把右边化为0，再提公因式x+3，进而达到分解的目的，然后可得x+3=
0或x−2=0，再解即可；
(2)方程两边加上11变形后，开方即可求出解．
此题考查了解一元二次方程−配方法与因式分解法，熟练掌握各自解法是解本题的关键．18.【答案】−3<x<1−4≤y<12
【解析】解：(1)由题意可得二次函数的顶点坐标为(−1,−4)，
设二次函数的解析式为：y=a(x+1)2−4，
把点(0,−3)代入y=a(x+1)2−4得a=1，
∴抛物线解析式为y=(x+1)2−4；
(2)如图所示：
(3)观察函数图象知，y<0时，x的取值范围是−3<x<1，
故答案为：−3<x<1；
(4)∵当x=−1时，y=−4；x=3时，y=12，
∴当自变量x的取值范围是−3<x<3时，对应函数值y的取值范围是−4≤y<12，
故答案为：−4≤y<12．
(1)利用表中数据和抛物线的对称性可得到二次函数的顶点坐标为(−1,−4)，则可设顶
点式y=a(x+1)2−4，然后把点(0,3)代入求出a即可；
(2)利用描点法画二次函数图象；
(3)观察函数图象即可求解；
(4)求得x=3时的函数值，然后根据函数的图即可求解．
本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．数形结合是解题的关键．
19.【答案】解：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∵∠ADB=45°，
∴∠ACB=∠ADB=45°，
∵AB=2，
∴BC=AB=2，
∴AC=√AB2+BC2=2√2，
∴⊙O半径的长为√2．
【解析】根据圆周角定理得∠ABC=90°，然后在Rt△ABC利用勾股定理计算即可．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对
的弦是直径．
20.【答案】解：(1)∵一元二次方程x2−2x+m−1=0有两个不相等的实数根，
∴△=(−2)2−4×1×(m−1)>0，
∴m<2；
(2)∵m为非负整数，
∴m=0或1，
当m=0时，x2−2x−1=0，
∵△=(−2)2−4×1×(−1)=8，此时方程的根不是整数，
∴m=0舍去；
当m=1时，x2−2x=0，
∵△=(−2)2−4×1×0=4，此时方程的根都是整数，
∴m=1．
【解析】(1)根据根的判别式可得方程x2−2x+m−1=0有两个不相等的实数根则△> 0，然后列出不等式计算即可；
(2)根据m为非负整数，得到m=0或1，代入方程求出方程的解即可求解．
此题考查了根的判别式和根与系数的关系，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)△<
0⇔方程没有实数根，根与系数的关系是x1+x2=−b
a ，x1x2=c
a
．
21.【答案】(1)证明：如图，连接OC．∵CF⊥AB，CE⊥AD，且CE=CF，∴∠CAE=∠CAB，
∵OC=OA，
∴∠CAB=∠OCA，
∴∠CAE=∠OCA，
∴OC//AE，
∴∠AEC+∠OCE=180°，
∴∠OCE=90°，即OC⊥CE，
∵OC是⊙O的半径，点C为半径外端，∴CE是⊙O的切线；
(2)解：∵AD=CD，
∴∠DAC=∠DCA=∠CAB，
∴DC//AB，
∵∠CAE=∠OCA，
∴OC//AD，
∴四边形AOCD是平行四边形，
∴OC=AD=3，AB=6，
∵∠CAE=∠CAB，
∴CD=CB=3，
∴CB=OC=OB，
∴△OCB是等边三角形，
在Rt△CFB中，CF=√CB2−FB2=3√3
2
，
∴S
四边形ABCD =1
2
(DC+AB)⋅CF=1
2
×(3+6)×3√3
2
=27√3
4
．
【解析】(1)连接OC，可先证明AC平分∠BAE，结合圆的性质可证明OC//AE，可得
∠OCB=90°，可证得结论；
(2)可先证得四边形AOCD为平行四边形，再证明△OCB为等边三角形，可求得CF、AB，利用梯形的面积公式可求得答案．
本题主要考查切线的判定，掌握切线的两种判定方法是解题的关键，即有切点时连接圆心和切点，然后证明垂直，没有切点时，过圆心作垂直，证明圆心到直线的距离等于半径．
22.【答案】EF=BE+DF510
【解析】解：(1)EF=BE+DF.理由如下：
∵将△DAF绕点A顺时针旋转90°，得到△BAH，
∴△ADF≌△ABH，
∴∠DAF=∠BAH，AF=AH，
∴∠FAH=90°，
∴∠EAF=∠EAH=45°，
在△FAE和△HAE中，
{AF=AH
∠FAE=∠HAE AE=AE
，
∴△FAE≌△HAE(SAS)，
∴EF=HE=BE+HB，
∴EF=BE+DF，
故答案为：EF=BE+DF；
(2)∵△FAE≌△HAE，AG、AB分别是△FAE
与△HAE的高，
∴AG=AB=5．
在△AEG与△ABE中，∠AGE=∠ABE=90°，
{AE=AE
AG=AB，
∴Rt△AEG≌Rt△ABE(HL)，
∴EG=BE，
同理GF=DF，
∴△EFC的周长=EC+EF+FC=EC+EG+GF+FC=EC+BE+DF+FC=BC+ CD=10；
故答案为：5；10；
(3)将△AEF置于图(2)中．
∵EG=2，GF=3，
∴BE=2，DF=3，EF=5．
设AB=x，则CE=x−2，CF=x−3，
在△CEF中，∵∠C=90°，
∴FC2+EC2=EF2，
故(x−3)2+(x−2)2=52，
解得：x1=−1(舍去)，x2=6，
∴AB=6，
∴AG=AB=6，
∴△AEF的面积=1
2EF⋅AG=1
2
×5×6=15．
(1)先根据旋转的性质得出△ADF≌△ABH，则∠DAF=∠BAH，AF=AH，再证明
∠EAF=∠EAH=45°，利用SAS证明△FAE≌△HAE，根据全等三角形的性质得出EF= HE=BE+HB，进而得出EF=BE+DF；
(2)由(1)知△FAE≌△HAE，根据全等三角形对应边上的高相等得出AG=AB=5，再利用HL证明△AEG≌△ABE，得出EG=BE，同理得到GF=DF，则△EFC的周长为BC+ CD=10；
(3)将△AEF置于图(2)中，设AB=x，则CE=x−2，CF=x−3，在△CEF中，运用勾股定理得出FC2+EC2=EF2，列出关于x的方程，解方程求出x的值，即为AG的长，再根据三角形的面积公式即可求解．
本题主要考查旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的周长与面积等知识，同时考查了学生的阅读理解能力与知识的迁移能力，综合性较
强，难度适中．
23.【答案】解：(1)根据题意可得：w=(x−20)(−10x+500)=−10x2+700x−10000；
(2)w=−10x2+700x−10000=−10(x−35)2+2250，
当x=35时，每月利润最大；
(3)当w=2000时，
−10x2+700x−10000=2000，
化简得：x2−70x+1200=0，
解得：x1=30，x2=40．
答：如果想要每月从这种水果的销售中获利2000元，那么销售单价应该定为30元或40元．
【解析】(1)根据题意可得利润=(定价−进价)×销售量，从而列出关系式；
(2)根据(1)式列出的方程式，运用配方法即可求最大利润；
(3)令w=2000，然后解一元二次方程，从而求出销售单价．
此题考查二次函数的应用以及抛物线的基本性质，注意仔细审题，将实际问题转化为求函数最值问题，培养自己利用数学知识解答实际问题的能力．
24.【答案】0.90.70≤x≤0.9
【解析】解：(1)如图1，
在AC上取一点E使AE=AB=2，
由旋转知，AD=AD′，∠DAD′=50°=∠BAC，
∴∠DAE=∠D′AB，
在△DAE和△D′AB中，
{AE=AB
∠DAE=∠D′AB AD=AD′
，
∴△DAE≌△D′AB(SAS)，
∴DE=BD′=y，
在Rt△ABC中，AB=2，∠C=40°，
∴∠BAC=50°，AC=AB
sinC =2
sin40∘
≈2
0.64
=3.13，BC=AB
tanC
=2
tan40∘
≈2
0.84
≈2.40，
∴CE=AC−AE=3.13−2=1.13，
过点E作EF⊥BC于F，
在Rt△CEF中，EF=CE⋅sinC=1.13×sin40°≈0.72，CF=CE⋅cosC=1.13×cos40°≈1.13×0.78≈0.88，
当x=1时，BD=1，
∴DF=BC−BD−CF=2.40−1−0.88=0.52，
在Rt△DEF中，根据勾股定理得，y=DE=√EF2+DF2≈0.9，
故答案为：0.9．
(2)函数图象如图2所示．
(3)方法1、由图象和表格知，线段BD′的长度的最小值约为0.7cm，
∵BD′≥BD，
∴y≥x，
由图象知，0≤x≤0.9，
故答案为：0.7，0≤x≤0.9．
(3)方法2、
由(1)知，BC=2.4，CF=0.88，EF=0.72，
DF=BC−BD−CF=2.40−x−0.88=1.52−x，
根据勾股定理得，y=√EF2+DF2=√(1.52−x)2+0.722，
∵0≤x≤2.40，
∴x=1.52时，y最小=0.72≈0.7，
当BD′=BD时，DE=y=x，
在Rt△DEF中，根据勾股定理得，DE2=DF2+EF2，
∴x2=(1.52−x)2+(0.72)2，
∴x≈0.9
∴BD′≥BD，则BD的长度x的取值范围是0≤x≤0.9．
故答案为：0.7，0≤x≤0.9．
(1)先构造出全等三角形，判断出DE=BD′=y，再利用三角函数求出BC，AC，进而得出CE，进而利用三角函数求出EF，CF，进而得出DF，最后用勾股定理即可得出结论；
(2)利用画函数图象的方法即可得出结论；
(3)方法1、利用图象和表格即可得出结论；
方法2、利用(1)的方法得出的y=√(1.52−x)2+0.722，即可得出y的最小值，再令y=x 求出x的值，即可得出结论．
此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，锐角三角函数，勾股定理，解本题的关键是构造直角三角形利用勾股定理建立函数关系式．
25.【答案】解：(1)由题意可
知，抛物线l1的对称轴为直线
x=−−8a
2a
=4．
∵抛物线l1交x轴于A，B两点(
点A在点B左侧)，且AB=6，
∴A(1,0)，B(7,0)．
把A(1,0)代入y=ax2−
8ax−7
2
，
解得a=−1
2
．
∴抛物线l1的表达式为y=−1
2x2+4x−7
2
．
把C(5,n)代入y=−1
2x2+4x−7
2
，
解得n=4．∴C(5,4)．
∵抛物线l 1与l 2形状相同，开口方向不同，
∴设抛物线l 2的表达式为y =12x 2+bx +c ．
把A(1,0)，C(5,4)代入y =12x 2+bx +c ，得{0=12+b +c 4=252+5b +c ， 解得{b =−2c =32
．
∴抛物线l 2的表达式为y =12x 2−2x +3
2；
(2)观察图象可知，中两个抛物线的顶点之间时，抛物线l 1与l 2上的点的纵坐标同时随横坐标的增大而增大，
顶点E(2,−12)，顶点F(4,9
2)，
所以2≤x ≤4时，抛物线l 1与l 2上的点的纵坐标同时随横坐标的增大而增大， 即x 的取值范围是：2≤x ≤4；
(3)∵直线MN//y 轴，交x 轴，l 1，l 2于点P(m,0)，M ，N ，
∴M(m,−12m 2+4m −72)，N(m,12m 2−2m +32).
①如图1，当1≤m ≤5时，MN =−m 2+6m −5=−(m −3)2+4．
∴当m =3时，MN 的最大值为4；
②如图2，当5<m ≤7时，
MN=m2−6m+5=(m−3)2−4．
∵4<m≤7在对称轴m=3右侧，
∴MN随m的增大而增大．
∴当m=7时，MN的最大值是12．
综上所述，线段MN的最大值是12．
【解析】(1)首先确定A、B两点坐标，求出抛物线l1的解析式，再求出点C坐标，利用待定系数法求出抛物线l2的解析式即可；
(2)观察图象可知，中两个抛物线的顶点之间时，抛物线l1与l2上的点的纵坐标同时随横坐标的增大而增大，求出两个抛物线的顶点坐标即可解决问题；
(3)分两种情形分别求解：①如图1中，当1≤m≤5时，MN=−m2+6m−5=−(m−3)2+4，②如图2中，当5<m≤7时，MN=m2−6m+5=(m−3)2−4，利用二次函数的性质即可解决问题；
本题考查二次函数综合题、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用数形结合的思想思考问题，学会用分类讨论的思想解决问题，属于中考压轴题．
26.【答案】(1)证明：∵线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD=AE，∠DAE=60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
{AB=AC
∠BAD=∠CAE AD=AE
，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴BD=CE；
(2)证明：如图，过点C作CG//BP交DF的延长线于点G，
∴∠G=∠BDF，
∵∠ADE=60°，∠ADB=90°，
∴∠BDF=30°，
∴∠G=30°，
由(1)可知，BD=CE，∠CEA=∠BDA，
∵AD⊥BP，
∴∠BDA=90°，
∴∠CEA=90°，
∵∠AED=60°，
∴∠CED=30°=∠G，
∴CE=CG，
∴BD=CG，
在△BDF和△CGF中，
{∠BDF=∠G
∠BFD=∠CFG BD=CG
，
∴△BDF≌△CGF(AAS)，∴BF=FC，
即F为BC的中点；
(3)解：如图，连接AF，
∵△ABC是等边三角形，BF=FC，
∴AF⊥BC，
∴∠AFC=90°，
∴∠AFC=∠AEC=90°，
∴点A，F，C，E四点在以AC为直径的圆上，
∴EF的最大值为直径，即最大值为1．
【解析】(1)利用SAS证明△BAD≌△CAE，即可得出结论；
(2)过点C作CG//BP交DF的延长线于点G，利用等角对等边可得CG=CE，由(1)△BAD≌△CAE，得BD=CE，再利用AAS证明△BDF≌△CGF，从而解决问题；
(3)由(2)知∠AFC=∠AEC=90°，则点A，F，C，E四点在以AC为直径的圆上，故EF 的最大值为直径．
本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，四点共圆等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
27.【答案】A，M
【解析】解：(1)设点P的纵坐标为y，则y=2x，
∴点P在直线y=2x上，
即：直线y=2x上的点称为“关系点”，
当x=1时，y=2×1=1，
∴点A是“关系点”，
当x=2时，y=2×2=4≠1，
∴点B不是“关系点”，
当x =12时，y =2×12=1， ∴点M 是“关系点”， ∴点A ，M 是“关系点”，
故答案为：A ，M ；
(2)如图1，过点P 作PG ⊥x 轴于点G ，
设P(x,2x)
∵OG 2+PG 2=OP 2
∴x 2+4x 2=1
∴5x 2=1
∴x 2=15
∴x =±
√55 ∴P(
√55,2√55)或P(−√55,−2√55)；
(3)如图2，
由(1)知，点P 在直线y =2x 上，
∵−2≤x ≤2，
即：点(2,4)为B ，(−2,−4)为A ，
过B 作BE ⊥x 轴于E ，
∴OE =2，BE =4，
在Rt △BOE 中，根据勾股定理得，OB =
√OE 2+BE 2=2√5，
∴sin∠BOE =BE OB =42√5=2√55，
①当⊙C 与线段AB 相切时，切点记作D ，连接CD ，
∵C(3,0)，
∴OC =3，
在Rt △COD 中，sin∠COD =CD OC ，
∴CD
3=2√55
， ∴CD =
6√55，
②当以点C为圆心的圆刚好过点B时，与线段的另一个交点记作F，⊙C的半径BC=
√(2−1)2+(4−0)2=√17，
当以点C为圆心的圆刚好过点A时，⊙C的半径AC=√(−2−3)2+(−4−0)2=√41，∵在⊙C上有且只有一个“关系点”P，
∴点P和点D重合时，满足条件，点P在线段AF上时，满足条件(包括点A，不包括点F)，∴t=6√5
或√17<r≤√41．
5
(1)先判断出直线y=2x上的点是“关系点”，再将点A，B，M，N的坐标代入判断即可得出结论；
(2)构造直角三角形，即可得出结论；
(3)先判断出满足条件的点的特点，再利用三角函数和平面坐标系中两点间的距离公式即可得出结论．
此题是圆的综合题，主要考查了新定义“关系点”的理解掌握，直线解析式的确定，圆的切线的性质，勾股定理，锐角三角函数，理解和应用新定义是解本题的关键．。