数学_2020年湖北省襄阳市阳光学校中考数学模拟试卷(5)_复习

2020年湖北省襄阳市阳光学校中考数学模拟试卷（5）
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1. |−13|的倒数是( )
A. 13
B. 3
C. −13
D. −3
2. 下列计算正确的是（ ）
A. a 2+a 2＝a 4
B. a 8÷a 2＝a 4
C. (−a)2−a 2＝0
D. a 2⋅a 3＝a 6
3. 下列图形中，既是轴对称又是中心对称的图形是（ ）
A. 直角三角形
B. 正五边形
C. 正六边形
D. 等腰梯形
4. 如图，AB // CD ，直线EF 交AB 于点E ，交CD 于点F ，EG 平分∠BEF ，交CD 于点G ，∠1＝50∘，则∠2等于（ ）
A. 50∘
B. 60∘
C. 65∘
D. 90∘
5. 式子√a+2a+3有意义的条件是（ ）
A. a ≥−2且a ≠−3
B. a ≥−2
C. a ≤−2且a ≠−3
D. a >−2
6. 如图是由3个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的左视图是（ ）
A. B. C. D.
7. 若关于x 的一元二次方程x 2−2x +m =0没有实数根，则实数m 的取值是（ ）
A. m <1
B. m >−1
C. m >1
D. m <−1
8. 如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D ，E 在⊙O 上，∠AED =20∘，则∠BCD 的度数为( )
A. 100∘
B. 110∘
C. 115∘
D. 120∘
9. 如图，已知钝角△ABC ，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹．
步骤1：以C 为圆心，CA 为半径画弧①；
步骤2：以B 为圆心，BA 为半径画弧②；
步骤3：连接AD ，交BC 延长线于点H ；
下列叙述错误的是（ ）
A. BH垂直平分线段AD
B. AC平分∠BAD
C. S△ABC=1
2
BC⋅AH D. AH＝DH
10. 如图，函数y=ax2−2x+1和y=ax−a(a是常数，且a≠0)在同一平面直角坐标系的图象可能是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 计算：(1
2
)−2+(√2−1.414)0−3tan30−√(−2)2=________．
12. 某省2019年全年生产总值达到约19367亿元，19367亿用科学记数法表示为________．
13. 一套书共有上、中、下三册，将它们任意摆放到书架的同一层上，这三册书从左向右恰好成上、中、下的概率是________．
14. 解古算题：今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱四十八，乙得甲太半而亦钱四十八．甲、乙持钱各几何？题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有
钱的一半，那么甲共有钱48，如果乙得到甲所有钱的2
3
，那么乙也共有钱48．则甲带了
________钱．
15. 方程x
x−1−1=3
x+2
的解是________．
16. 如图，△CAB与△CDE均是等腰直角三角形，并且∠ACB＝∠DCE＝90∘．连接BE，AD 的延长线与BC、BE的交点分别是点G与点F，且AF⊥BE，将△CDE绕点C旋转直至
CD // BE时，若DA＝4.5，DG＝2，则BF的值是________．
三、解答题（本大题共9个小题，共72分）
17. 化简求值：x−1
x2+2x+1÷(1−2
x+1
)，其中x=√3−1．
18. 为了深入贯彻党的十八大精神，我省某中学为了深入学习社会主义核心价值观，特对本
校部分学生（随机抽样）进行了一次相关知识的测试（成绩分为A，B，C，D，E五个组，
x表示测试成绩），通过对测试成绩的分析，得到如图所示的两幅不完整的统计图，请你根
据图中提供的信息解答以下问题．
A组：90≤x≤100B组：80≤x<90C组：70≤x<80D组：60≤x<
70E组：x<60
（1）参加调查测试的学生共有________人；请将两幅统计图补充完整．
（2）本次调查测试成绩的中位数落在________组内．
（3）本次调查测试成绩在80分以上（含8为优秀，该中学共有3000人，请估计全校测试
成绩为优秀的学生有多少人？
19. 如图，反比例函数y=2
的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点A(m, 2)，点
x
B(−2, n)，一次函数图象与y轴的交点为C．
（1）求一次函数解析式和△AOB的面积．
（2）根据图象写出一次函数的值大于反比例函数的值时，x的取值范围．
20. 某种服装，平均每天可以销售20件，每件盈利44元，在每件降价幅度不超过10元的情
况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？
21. 如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋高楼顶部B的仰角为30∘，看这栋高楼底部C的俯角为65∘，热气球与高楼的水平距离AD为120m．求这栋高楼的高度．
(tan65∘＝2.145, sin65∘＝0.906, cos65∘＝0.423)
22. 如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点D，过点B作BE垂
直于PD，交PD的延长线于点C，连接AD并延长，交BE于点E．
（1）求证：AB＝BE；
（2）若PA＝2，cosB=3
，求⊙O半径的长．
5
23. 某公司招聘外卖送餐员，送餐员的月工资由底薪1000元加上外卖送单补贴（送一次外卖称为一单）构成，外卖送单补贴的具体方案如下：
（1）若某“外卖小哥”4月份送餐400单，则他这个月的工资总额为多少元？
（2）设5月份某“外卖小哥”送餐x单(x>500)，所得工资为y元，求y与x的函数关系式．（3）若某“外卖小哥”5月份送餐800单，所得工资为6500元，求m的值．
24. 如图所示，
（1）正方形ABCD及等腰Rt△AEF有公共顶点A，∠EAF＝90∘，连接BE、DF．将Rt△AEF绕点A旋转，在旋转过程中，BE、DF具有怎样的数量关系和位置关系？结合图(1)给予证明；
（2）将（1）中的正方形ABCD变为矩形ABCD，等腰Rt△AEF变为Rt△AEF，且AD＝kAB，AF＝kAE，其他条件不变．（1）中的结论是否发生变化？结合图(2)说明理由；（3）将（2）中的矩形ABCD变为平行四边形ABCD，将Rt△AEF变为△AEF，且∠BAD＝∠EAF＝a，其他条件不变．（2）中的结论是否发生变化？结合图(3)，如果不变，直接写出结论；如果变化，直接用k表示出线段BE、DF的数量关系，用a表示出直线BE、DF形成的锐角β．
25. 如图，抛物线y＝x2−4x与x轴交于O，A两点，P为抛物线上一点，过点P的直线y＝
x+m与对称轴交于点Q．
（1）这条抛物线的对称轴是________，直线PQ与x轴所夹锐角的度数是________；
S△PAQ，求m的值；
（2）若两个三角形面积满足S△POQ=1
3
（3）当点P在x轴下方的抛物线上时，过点C(2, 2)的直线AC与直线PQ交于点D，求：
①PD+DQ的最大值；②PD⋅DQ的最大值．
2020年湖北省襄阳市阳光学校中考数学模拟试卷（5）答案
1. B
2. C
3. C
4. C
5. B
6. A
7. C
8. B
9. B
10. B
11. 3−√3
12. 1.9367×1012
13. 1
6
14. 36
15. x=5
2
16. 3
2
17. x−1
x2+2x+1÷(1−2
x+1
)=x−1
(x+1)2
⋅x+1
x−1
=1
x+1
，
∵ x=√3−1，
∴ 原式=
√3−1+1=√3
3
．
18. 400
B 估计全校测试成绩为优秀的学生有1650人
19. 由题意，把A(m, 2)，B(−2, n)代入y=2
x 中，得{
m=1
n=−1
，
∴ A(1, 2)，B(−2, −1)将A、B代入y＝kx+b中得：{k+b=2
−2k+b=−1
，
∴ {k=1
b=1
，
∴ 一次函数解析式为：y＝x+1；
当x＝0时，y＝1，
∴ C(0, 1)；
作AD⊥y轴于D，作BE⊥y轴于E．
对于一次函数y＝x+1，当x＝0时，y＝1，
∴ C(0, 1)，
∵ S△AOB＝S△A0C+S△BOC，
∴ S△AOB=1
2OC×AD+1
2
OC×BE，
=1
2
×1×(1+2)，
＝1.5；
由图象知当一次函数的值大于反比例函数的值时，x的取值范围为−2<x<0或x>1．
20. 每件服装应降价4元
21. 这栋高楼的高度为(40√3+257.4)m
22. 证明：连接OD，
∵ PD切⊙O于点D，
∴ OD⊥PD，
∵ BE⊥PC，
∴ OD // BE，
∴ ∠ADO＝∠E，
∵ OA＝OD，
∴ ∠OAD＝∠ADO，
∴ ∠OAD＝∠E，
∴ AB＝BE；
由（1）知，OD // BE，
∴ ∠POD＝∠B，
∴ cos∠POD＝cosB=3
5
，
在Rt△POD中，cos∠POD=OD
OP =3
5
，
∵ OD＝OA，PO＝PA+OA＝2+OA，
∴ OA
2+OA =3
5
，
∴ OA＝3，
∴ ⊙O半径＝3．
23. 工资总额＝1000+400×6＝3400元
当500<x≤m，y＝1000+500×6+8(x−500)＝8x
当x>m，y＝1000+500×6+8(m−500)+10(x−m)＝10x−2m 当500<x≤m时，则x＝800，y最多＝6400元，不合题意舍去
当x>m时，6500＝10×800−2m
解得：m＝750
答：m的值为750
24. DF与BE互相垂直且相等．
证明：延长DF分别交AB、BE于点P、G
在正方形ABCD和等腰直角△AEF中
AD＝AB，AF＝AE，
∠BAD＝∠EAF＝90∘
∴ ∠FAD＝∠EAB
∴ △FAD≅△EAB
∴ ∠AFD＝∠AEB，DF＝BE
∵ ∠AFD+∠AFG＝180∘，
∴ ∠AEG+∠AFG＝180∘，
∵ ∠EAF＝90∘，
∴ ∠EGF＝180∘−90∘＝90∘，
∴ DF⊥BE
数量关系改变，位置关系不变．DF＝kBE，DF⊥BE．延长DF交EB于点H，
∵ AD＝kAB，AF＝kAE
∴ AD
AB =k，AF
AE
=k
∴ AD
AB =AF
AE
∵ ∠BAD＝∠EAF＝a ∴ ∠FAD＝∠EAB
∴ △FAD∽△EAB
∴ DF
BE =AF
AE
=k
∴ DF＝kBE
∵ △FAD∽△EAB，
∴ ∠AFD＝∠AEB，
∵ ∠AFD+∠AFH＝180∘，
∴ ∠AEH+∠AFH＝180∘，
∵ ∠EAF＝90∘，
∴ ∠EHF＝180∘−90∘＝90∘，
∴ DF⊥BE
不改变．DF＝kBE，β＝180∘−a．
证法（一）：延长DF交EB的延长线于点H，∵ AD＝kAB，AF＝kAE
∴ AD
AB =k，AF
AE
=k
∴ AD
AB =AF
AE
∵ ∠BAD＝∠EAF＝a ∴ ∠FAD＝∠EAB
∴ △FAD∽△EAB
∴ DF
BE =AF
AE
=k
∴ DF＝kBE
由△FAD∽△EAB得∠AFD＝∠AEB
∵ ∠AFD+∠AFH＝180∘
∴ ∠AEB+∠AFH＝180∘
∵ 四边形AEHF的内角和为360∘，
∴ ∠EAF+∠EHF＝180∘
∵ ∠EAF＝α，∠EHF＝β
∴ a+β＝180∘∴ β＝180∘−a
证法（二）：DF＝kBE的证法与证法（一）相同
延长DF分别交EB、AB的延长线于点H、G．由△FAD∽△EAB得∠ADF＝∠ABE ∵ ∠ABE＝∠GBH，∴ ∠ADF＝∠GBH，
∵ β＝∠BHF＝∠GBH+∠G∴ β＝∠ADF+∠G．
在△ADG中，∠BAD+∠ADF+∠G＝180∘，∠BAD＝a
∴ a+β＝180∘∴ β＝180∘−a
证法（三）：在平行四边形ABCD中AB // CD可得到∠ABC+∠C＝180∘
∵ ∠EBA+∠ABC+∠CBH＝180∘∴ ∠C＝∠EBA+∠CBH
在△BHP、△CDP中，由三角形内角和等于180∘可得∠C+∠CDP＝∠CBH+∠BHP ∴ ∠EBA+∠CBH+∠CDP＝∠CBH+∠BHP
∴ ∠EBA+∠CDP＝∠BHP
由△FAD∽△EAB得∠ADP＝∠EBA
∴ ∠ADP+∠CDP＝∠BHP即∠ADC＝∠BHP
∵ ∠BAD+∠ADC＝180∘，∠BAD＝a，∠BHP＝β
∴ a+β＝180∘∴β＝180∘−a
（有不同解法，参照以上给分点，只要正确均得分．）
25. 2,45∘
①过点C 作CH // x 轴交直线PQ 于点H ，如图③，可得△CHQ 是等腰三角形， ∵ ∠CDQ ＝45∘+45∘＝90∘，
∴ AD ⊥PH ，
∴ DQ ＝DH ，
∴ PD +DQ ＝PH ，
过P 点作PM ⊥CH 于点M ，则△PMH 是等腰直角三角形，
∴ PH =√2PM ，
∴ 当PM 最大时，PH 最大，
∴ 当点P 在抛物线顶点处时，PM 最大，此时PM ＝6，
∴ PH 的最大值为6√2，
即PD +DQ 的最大值为6√2．
②由①可知：PD +DQ ≤6√2，
设PD ＝a ，则DQ ≤6√2−a ，
∴ PD ⋅DQ ≤a(6√2−a)＝−a 2+6√2a ＝−(a −3√2)2+18，
∵ 当点P 在抛物线的顶点时，a ＝3√2，
∴ PD ⋅DQ ≤18．
∴ PD ⋅DQ 的最大值为18．
方法二：
略．（1）过点A 作x 轴垂线，与直线PQ 交于点D ，设直线PQ 与y 轴交于点C ， ∴ C(0, m)，D(4, 4+m)，
∵ S △POQ =12(Q x −P x )(Q Y −∁Y )，
S △PAQ =12(Q x −P x )(D Y −A Y )， ∵ S △POQ S △PAQ =13，
∴ |O Y −C Y
D Y −A Y |=|0−m 4+m |=13， ∴ m 1＝2，m 2＝−1．（2）①设P(t, t 2−4t)(0<t <4)，
∵ K PQ ＝1，∴ l PQ :y ＝x +t 2−5t ，
∵ C(2, 2)，A(4, 0)，
∴ l AC :y ＝−x +4，
∴ D X =−t 2+5t+42，DY =t 2−5t+42，
∴ Q(2, t 2−5t +2)，
∵ PQ ⊥AC ，垂足为点D ，
∴ 点Q 关于直线AC 的对称点Q′(−t 2+5t +2, 2)，
欲使PD +DQ 取得最大值，只需PQ′有最大值，
PQ′=√(t 2−4t −2)2+(t 2−4t −2)2=√2|t 2−4t −2|，
显然当t＝2时，PQ′的最大值为6√2，即PD+DQ的最大值为6√2，
②∴ (PD−DQ)2≥0，
∴ (PD+DQ)2≥4⋅PD⋅DQ，
∴ PD⋅DQ≤(PD+DQ
2)2=(6√2
2
)2=18，
∴ PD⋅DQ的最大值为18．。