山西省康杰中学高二数学12月月考试题 文 新人教A版

高二数学（文）试题
2013.12
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出
符合题目要求的一项． 1. 下列命题中的真命题是（ ）
A ．25>
B ．2
(1)0-< C ．125≥ D ．2
0a <
2. 全称命题：0,2
>∈∀x R x 的否定是（ ） A. 0,2
≤∈∀x R x B. 0,2
>∈∃x R x C. 0,2<∈∃x R x
D. 0,2
≤∈∃x R x
3． 如果命题“p q ∨”为假命题，则（ ） A ．,p q 均为假命题 B ．,p q 中至少有一个真命题 C ．,p q 均为真命题
D ．,p q 中只有一个真命题
4．双曲线
22
1169
x y -=的渐近线方程为（ ） A. x y 43±
= B. x y 3
4
±=
C. x y 916±
= D. x y 16
9
±= 5. 条件甲：“00>>b a 且”,条件乙：“方程12
2=-b
y a x 表示双曲线”，那么甲是乙的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
6．设圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线C 上存在点P 满1122::PF F F PF =4:3:2，则曲线C 的离心率等于（ ） A ．1
322或
B ．2
3
或2 C ．1
2
或2
D ．2332
或
7．曲线22221x y a b -=与椭圆22
221(00)x y a m b m b +=>>>，的离心率互为倒数，则（ ）
A ．222a b m +>
B ．222a b m +=
C ．222a b m +<
D ．a b m +=
8．与两圆2
2
1x y += 及2
2
8120x y x +-+=都外切的圆的圆心在（ ）
A.一个椭圆上
B. 双曲线的一支上
C. 双曲线上
D. 一个圆上
9．直线l 过点(2,0)且与双曲线22
2x y -=仅有一个公共点，这样的直线有（ ）
A. 1 条
B. 2条
C. 3条
D. 4条
10．P 是双曲线
11692
2=-y x 的右支上一点，点N M ,分别是圆4)5(22=++y x 和1)5(22=+-y x 上的动点，则PN PM -的最小值为 ( )
A ． 1
B ． 2
C ． 3
D ．4
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填在题中横线上．
11．若圆2
2
(2)2x y -+=与双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的渐近线相切，则双曲线的离
心率是 .
12. 点P 为双曲线2
214
x y -=上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 中点，则点M 的轨迹方程是 .
13. 如图,已知(1,0)A -、(1,0)B 是椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的长轴
上
两定点，,C D 分别为椭圆的短轴和长轴的端点，P 是线段CD 上的 动点，若AP BP ⋅的最大值与最小值分别为3、1
5
-，则椭圆方程 为 ．
14．对于椭圆191622=+y x 和双曲线19
72
2=-y x 有下列命题： ①椭圆的焦点恰好是双曲线的顶点; ②双曲线的焦点恰好是椭圆的顶点; ③双曲线与椭圆共焦点; ④椭圆与双曲线有两个顶点相同. 其中真命题．．．
的序号是 ____。

三、 解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (本题满分10分)
求经过点P （-3，0），Q （0，-2）的椭圆的标准方程，并求出椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标.
16. (本题满分10分)
给定两个命题, P ：对任意实数x 都有012>++ax ax 恒成立；Q ：关于x 的方程
02=+-a x x 有实数根.如果P ∨Q 为真命题，P ∧Q 为假命题，求实数a 的取值范围．
17. （本小题共12分）
在平面直角坐标系xOy 中，点P 到两点(0，
，(0的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C ．
（Ⅰ）写出C 的方程；
（Ⅱ）设直线1y kx =+与C 交于A ，B 两点．k 为何值时OA ⊥OB ？此时AB 的值是多少？
18. （本小题共12分）已知双曲线:C 22221x y a b
-=(0,0)a b >>与圆22
:3O x y +=相
切，过C 的直线也与圆O 相切． （1）求双曲线C 的方程；
（2）P 是圆O 上在第一象限内的点，过P 且与圆O 相切的直线l 与C 的右支交于A 、B 两
点，AOB ∆的面积为l 的方程．
高二数学（文）参考答案
一、选择题： CDAAA ABBCC
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填在题中横线上．
11． 2 12． 2
2
41x y -= 13．2
214
x y += 14．①② 三、 解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．解： 由已知可得椭圆的标准方程为 22
194
x y +=， …………………4分 长轴长26a =, 短轴长 24b =. ………………………6分 离心率5
3
c e a =
=. ………………………………8分 焦点为 (5,0),(5,0)-. ……………………………………10分.
16.解：对任意实数x 都有012>++ax ax 恒成立⎩
⎨⎧<∆>=⇔00
0a a 或40<≤⇔a ；…2分 关于x 的方程02=+-a x x 有实数根4
1
041≤
⇔≥-⇔a a ；………………………4分
17.解：（Ⅰ）设P （x ，y ），由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以(03)(03)，，，为焦点，
长半轴为2的椭圆．它的短半轴222(3)1b =
-=，故曲线C 的方程为
2
2
14
y x +=． 4分
（Ⅱ）设1122()()A x y B x y ，，，，其坐标满足
2
214 1.y x y kx ⎧+=⎪⎨
⎪=+⎩
，消去y 并整理得22
(4)230k x kx ++-=， 故1212
2223
44
k x x x x k k +=-
=-++，． ··················· 6分 OA OB ⊥，即12120x x y y +=．而2121212()1y y k x x k x x =+++，
于是2221212222233241
14444
k k k x x y y k k k k -++=---+=++++． 所以1
2k =±
时，12120x x y y +=，故OA OB ⊥． ··············· 9分 当12k =±时，12417x x +=，1212
17
x x =-．
(AB x ==
而2
2
212112()()4x x x x x x -=+-2322
443413
4171717⨯⨯=+⨯=
， 所以
465AB =
…………………………………………12分
18.
解：（1）∵双曲线C 与圆O 相切，∴ a = ………………2分
由过C O 相切，得2c =，进而1b =
故双曲线C 的方程为2
213
x y -= ………………………………4分 （2）设直线l ：m kx y +=，)0,0(><m k ，),(11y x A ，
),(22y x B 圆心O 到直线l 的距离1
2+=
k m d ，由d =2233m k =+………6分
由22
13y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩ 得222
(31)6330k x kmx m -+++= ○* 则122631
km
x x k +=--， 2122
3331m x x k +=- ……………8分
1221x x k AB -⋅+==2121224)(1x x x x k -+⋅+
==
又AOB ∆的面积12S OP AB =
⋅==AB = …………10分
由2
31
k =- 得1-=k ，m =*式0>∆
∴直线l 的方程为y x =-+…………………12分。