2019年高考数学一轮复习文理通用试题：第3章三角函数、解三角形练案26 含解析 精品

练案[26] 第五讲 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及应用
A 组基础巩固
一、选择题
1．(2017·江苏无锡模拟)函数y ＝sin(2x －π3)在区间[－π
2，π]上的简图是导学号 58534230
( A )
[解析] 令x ＝0得y ＝sin(－π3)＝－3
2，排除B 、D 项．
由f (－π3)＝0，f (π
6
)＝0，排除C 项．故选A.
2．(2017·青岛质检)将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平行移动π10个单位长度，再
把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是导学号 58534231( C )
A ．y ＝sin(2x －π
10)
B ．y ＝sin(2x －π
5)
C ．y ＝sin(12x －π
10
)
D ．y ＝sin(12x －π
20
)
[解析] y ＝sin x ―――――→右移π
10
个单位
y ＝sin(x －π10)――→横坐标伸长到原来的2倍y ＝sin(12x －π
10
)． 3．(2016·全国卷Ⅰ)将函数y ＝2sin(2x ＋π6)的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的
函数为导学号 58534232( D )
A ．y ＝2sin(2x ＋π
4)
B ．y ＝2sin(2x ＋π
3)
C ．y ＝2sin(2x －π
4
)
D ．y ＝2sin(2x －π
3
)
[解析] 函数y ＝2sin(2x ＋π
6
)的周期为
π，y ＝2sin(2x ＋π6)――――→右移π
4个单位
用x －π4
代换x y ＝2sin[2(x －π4)＋π
6
]＝
2sin(2x －π
3
)，故选D.
4．(2015·山东卷)要得到函数y ＝sin(4x －π
3)的图象，只需将函数y ＝sin4x 的图象
导学号 58534233( B )
A ．向左平移π
12个单位
B ．向右平移π
12个单位
C ．向左平移π
3
个单位
D ．向右平移π
3
个单位
[解析] y ＝sin(4x －π3)＝sin4(x －π
12
)，选B.
5．(2018·湖北襄阳四校期中)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，|φ|<π
2)的部分图象如图所
示，将函数f (x )的图象( )可得g (x )＝sin(2x ＋π
6
)的图象.导学号 58534234( D )
A ．向右平移π
6个长度单位
B ．向左平移π
12个长度单位
C ．向左平移π
6
个长度单位
D ．向右平移π
12
个长度单位
[解析] 显然A ＝1，又T 4＝7π12－π3＝π
4，∴T ＝π，
∴2πω，∴ω＝2，又2π
3＋φ＝π＋2k π(k ∈Z ) ∴φ＝π3＋2k π(k ∈Z )，又|φ|<π2，∴φ＝π3.
∴f (x )＝sin(2x ＋π3)＝sin[2(x ＋π12)＋π6
]
―――――→用x －π
12代换x
右移π12
个单位
g (x )＝sin(2x ＋π6)，故选D.
6．(2017·洛阳模拟)将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象向左平移π
8个单位长度，所得的函数关
于y 轴对称，则φ的一个可能取值为导学号 58534235( B )
A.3π4 B ．π4
C ．0
D ．－π4
[解析]
f (x )＝sin(2x ＋φ)――――――→向左平移π
8个单位
用x ＋π8
代换x
f (x )＝sin(2x ＋π
4＋φ) 由题意知π4＋φ＝π
2
＋k π(k ∈Z )
∴φ＝π4＋k π(k ∈Z )，k ＝0时，φ＝π
4
，故选B.
7．(2015全国卷Ⅰ)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为导学号 58534236( D )
A ．(k π－14，k π＋3
4)，k ∈Z
B ．(2k π－14，2k π＋3
4)，k ∈Z
C ．(k －14，k ＋3
4
)，k ∈Z
D ．(2k －14，2k ＋3
4
)，k ∈Z
[解析] 由图可知T ＝2(54－14)＝2，∴ω＝2π
T ＝π
又π4＋φ＝π2，∴φ＝π4，∴f (x )＝sin(πx ＋π
4
) 由2k π<πx ＋π4<π＋2k π(k ∈Z )得2k －14<x <2k ＋3
4
，(k ∈Z )，故选D.
8．(2017·黑龙江双鸭山一中期中)函数f (x )＝3sin(2x －π
3)的图象为M ，下列结论中正确的
是导学号 58534237( C )
A ．图象M 关于直线x ＝π
6对称
B ．图象M 关于点(－π
6，0)对称
C ．f (x )在区间(－π12，5π
12
)上递增
D ．由y ＝3sin2x 的图象向右平移π
3
个单位长度可得M
[解析] f (π6)＝3sin0＝0，A 错；f (－π6)＝3sin(－2π3)≠0，B 错；由－π2＋2k π≤2x －π3≤π
2＋
2k π(k ∈Z )得－
π12＋k π≤x ≤5π12＋2k π(k ∈Z )．当k ＝0时得增区间[－π12，5π
12
]，故选C ；y ＝3sin2x ―――――→右移π
3个单位
用x －π3
代换x
y ＝3sin2(x －π3)＝3sin(2x －2π
3)，D 错．
9．(2018·河北五校联盟摸底)把函数y ＝sin(2x －π6)的图象向左平移π
6个单位后，所得函数
图象的一条对称轴为导学号 58534238( C )
A ．x ＝0
B ．x ＝π
2
C ．x ＝π
6
D ．x ＝－π
12
[解析]
y ＝sin(2x －π6)―――――→左移π
6个单位
用x ＋π6
代换x y ＝sin(2x ＋π
6
) 当x ＝π6时2x ＋π6＝π
2，故选C.
二、填空题
10．(文)(2016·课标全国Ⅲ)函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝2sin x 的图象至少向右平移__π
3
__个单位长度得到.导学号 58534239
[解析] y ＝sin x －3cos x ＝2sin(x －π3)“五点法”作图中第一个点横坐标x ＝π
3，而y ＝
2sin x “五点法”作图中第一个点横坐标为x ＝0，故需至少向右平移π
3
个单位．
(理)(2016·全国卷Ⅲ)函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝sin x ＋3cos x 的图象至少向右平移__2π
3
__个单位长度得到.导学号 58534240
[解析] y ＝sin x －3cos x ＝2sin(x －π3)＝2sin[(x －2π3)＋π3]，y ＝sin x ＋3cos x ＝2sin(x ＋π
3)，
故需至少向右平移2π
3
个单位．
11．(2017·南昌模拟)将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π
2)图象上每一点的横坐标缩
短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f (π6)＝2__.导学号 58534241
[解析] 将y ＝sin x 的图象向左平移π
6个单位长度，再把横坐标伸长到原来的2倍，纵坐
标不变，得f (x )＝sin(12x ＋π6)，所以f (π6)＝sin(12·π6＋π6)＝sin π4＝2
2
.
12．(2017·重庆模拟)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π
2)的图象上有一个最高点
的坐标为(2，2)，由这个最高点到其右侧相邻最低点间的图象与x 轴交于点(6,0)，则此解析式为84
)__.导学号 58534242
[解析] 由题意得：A ＝2，T 4＝6－2，T ＝16，ω＝2πT ＝π8，又sin(π8×2＋φ)＝1，π
4＋φ
＝π
2
＋2k π(k ∈Z )， 又|φ|<π2，所以φ＝π4
，
所以函数解析式为y ＝2sin(π8x ＋π4)．
三、解答题
13．(2017·上饶地区联考)已知函数f (x )＝4cos x sin(x ＋π
6)＋a 的最大值为
2.导学号 58534243
(1)求实数a 的值及f (x )的最小正周期； (2)在坐标纸上作出f (x )在[0，π]上的图象． [答案] (1)a ＝－1，T ＝π (2)略
[解析] (1)f (x )＝4cos x (sin x cos π6＋cos x sin π6)＋a ＝3sin2x ＋cos2x ＋1＋a ＝2sin(2x ＋π
6)＋a
＋1，
最大值为3＋a ＝2，∴a ＝－1.T ＝2π
2＝π.
(2)列表如下：
B 组能力提升
1．(2017·辽宁鞍山一中模拟)将函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的图象向右平移π
4个单位长度，所
得图象经过点(3π
4
，0)，则ω的最小值是导学号 58534244( D )
A.13 B ．1 C ．53
D ．2
[解析]
f (x )＝sin ωx ――――→右移π
4个单位
用x －π4
代换x
f (x )＝sin ω(x －π
4) 又f (3π4)＝0，∴ωπ
2＝k π(k ∈Z )，即ω＝2k (k ∈Z )
又ω>0，∴ω的最小值为2，故选D.
2．(2018·河北唐山一中质检)将函数f (x )＝sin(4x ＋π3)的图象向左平移φ(φ>0)个单位后关
于直线x ＝π
12
对称，则φ的最小值为导学号 58534245( A )
A.5π24 B ．π4
C ．7π24
D ．π3
[解析] 由4x ＋π3＝π2＋k π(k ∈Z )得x ＝π24＋k π4(k ∈Z )，图象在直线x ＝π
12右侧的第一条对
称轴为x ＝π24＋π4＝7π24.，7π24－π12＝5π
24
.故选A.
3．(2017·河北邯郸联考)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π
2)的图象如图所示，则
导学号 58534246( D )
A ．f (x )＝2sin3x
B ．f (x )＝2sin(x ＋π
3
)
C ．f (x )＝2sin(3x ＋π
6
)
D ．f (x )＝2sin(2x ＋π
6
)
[解析] 由图可知A ＝2，f (π
6)＝2，f (0)＝1
即sin(π6ω＋φ)＝1，sin φ＝12，又φ∈(0，π2)
∴φ＝π6，从而π6ω＋π6＝π
2，∴ω＝2，
∴f (x )＝2sin(2x ＋π
6
)，故选D.
4．(2016·山东)设f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2.导学号 58534247 (1)求f (x )的单调递增区间；
(2)把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移π3个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (π
6
)的值．
[解析] (1)由f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2 ＝23sin 2x －(1－2sin x cos x ) ＝3(1－cos2x )＋sin2x －1 ＝sin2x －3cos2x ＋3－1 ＝2sin(2x －π
3
)＋3－1，
由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π12≤x ≤k π＋5π
12(k ∈Z )，
所以f (x )的单调递增区间是[k π－π12，k π＋5π
12](k ∈Z )．
(或(k π－π12，k π＋5π
12
)(k ∈Z ))
(2)由(1)知f (x )＝2sin(2x －π
3
)＋3－1，
把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)， 得到y ＝2sin(x －π
3)＋3－1的图象，
再把得到的图象向左平移π
3个单位，
得到y ＝2sin x ＋3－1的图象， 即g (x )＝2sin x ＋3－1. 所以g (π6)＝2sin π
6
＋3－1＝ 3.
5．(2017·江苏盐城期中)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，且A >0，ω>0,0<φ<π)
的部分图象如图所示.导学号 58534248
(1)求A ，ω，φ的值；
(2)设为锐角，且f (θ)＝－353，求f (θ－π
6)的值．
[解析] (1)由图象，得A ＝3，
最小正周期T ＝43(7π12＋π6)＝π，∴ω＝2π
T ＝2，
∴f (x )＝3sin(2x ＋φ)，
由f (7π12)＝－3，得2(7π12)＋φ＝－π
2＋2k π，k ∈Z ，
∴φ＝－5π3＋2kπ，k ∈Z ，∵0<φ<π，∴φ＝π3.
(2)由f (θ)＝3sin(2θ＋π3)＝－3
53，
得sin(2θ＋π3)＝－3
5
，
∵θ∈(0，π2)，∴2θ＋π3∈(π3，4π3)，又sin(2θ＋π3)<0，所以2θ＋π3∈(π，4π
3)，
∴cos(2θ＋π
3
)＝－
1－sin 2(2θ＋π3)＝－4
5
，
∴f (θ－π6)＝3sin2θ＝3sin[(2θ＋π3)－π
3]
＝3[sin(2θ＋π3)cos π3－cos(2θ＋π3)sin π
3]
＝3(－35×12＋45×32)＝12－33
10.。