2019版高考数学(理科)一轮复习通用版：“导数及其应用”双基过关检测

“导数及其应用”双基过关检测
一、选择题
1．已知函数f (x )＝log a x (a>0且a ≠1)，若f ′(1)＝－1，则a ＝( ) A ．e B. 1e C.1e
2 D.12
解析：选B 因为f ′(x )＝
1x ln a ，所以f ′(1)＝1ln a ＝－1，所以ln a ＝－1，所以a ＝1e
. 2．直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 2＋ax ＋b 相切于点A(1,3)，则2a ＋b 的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．2
D ．－2
解析：选C 由曲线y ＝x 2＋ax ＋b ，得y ′＝2x ＋a ， 由题意可得⎩⎪⎨⎪
⎧
k ＋1＝3，k ＝2＋a ，
1＋a ＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪
⎧
k ＝2，a ＝0，
b ＝2，
所以2a ＋b ＝2.
3．函数y ＝2x 3－3x 2的极值情况为( ) A ．在x ＝0处取得极大值0，但无极小值 B ．在x ＝1处取得极小值－1，但无极大值
C ．在x ＝0处取得极大值0，在x ＝1处取得极小值－1
D ．以上都不对
解析：选C y ′＝6x 2－6x ，
由y ′＝6x 2－6x >0，可得x >1或x <0， 即单调增区间是(－∞，0)，(1，＋∞)． 由y ′＝6x 2－6x <0，可得0<x <1，
即单调减区间是(0,1)，所以函数在x ＝0处取得极大值0，在x ＝1处取得极小值－1. 4．若f(x)＝－1
2x 2＋m ln x 在(1，＋∞)是减函数，则m 的取值范围是( )
A ．[1，＋∞)
B ．(1，＋∞)
C ．(－∞，1]
D ．(－∞，1)
解析：选C 由题意，f ′(x )＝－x ＋m
x ≤0在(1，＋∞)上恒成立，即m ≤x 2在(1，＋∞)上恒成立，又因为x 2>1，
所以m ≤1.
5．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( )
A ．(－∞，2)
B ．(0,3)
C ．(1,4)
D ．(2，＋∞)
解析：选D 依题意得f ′(x )＝(x －3)′e x ＋(x －3)(e x )′＝(x －2)e x ， 令f ′(x )>0，解得x >2，
∴f (x )的单调递增区间是(2，＋∞)．故选D.
6．已知函数f (x )＝x (x －m )2在x ＝1处取得极小值，则实数m ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2
D ．3
解析：选B f (x )＝x (x 2－2mx ＋m 2)＝x 3－2mx 2＋m 2x ， 所以f ′(x )＝3x 2－4mx ＋m 2＝(x －m )(3x －m )． 由f ′(1)＝0可得m ＝1或m ＝3. 当m ＝3时，f ′(x )＝3(x －1)(x －3)，
当1<x <3时，f ′(x )<0，当x <1或x >3时，f ′(x )>0，此时在x ＝1处取得极大值，不合题意， ∴m ＝1，此时f ′(x )＝(x －1)(3x －1)，
当13<x <1时，f ′(x )<0，当x <1
3或x >1时，f ′(x )>0， 此时在x ＝1处取得极小值．选B.
7．由曲线y ＝x 2－1，直线x ＝0，x ＝2和x 轴所围成的封闭图形的面积是( ) A.⎠⎛0
2(x 2－1)d x
B.⎠⎛0
2|x 2－1|d x
C.⎠⎛02(x 2－1)d x
D.⎠⎛0
1(x 2－1)d x ＋⎠⎛1
2(1－x 2)d x
解析：选B 作出封闭图形的示意图如图所示，
易得所围成的封闭图形的面积是
S ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x ＝⎠⎛0
2|x 2－1|d x .
8．若函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
1－2x
，x ≤0，
x 3－3x ＋a ，x >0的值域为[0，＋∞)，则实数a 的取值范围是( )
A ．[2,3]
B ．(2,3]
C ．(－∞，2]
D ．(－∞，2)
解析：选A 当x ≤0时，0≤f (x )＝1－2x <1； 当x >0时，f (x )＝x 3－3x ＋a ，f ′(x )＝3x 2－3， 当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，
当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，
所以当x ＝1时，函数f (x )取得最小值f (1)＝1－3＋a ＝a －2. 由题意得0≤a －2≤1，解得2≤a ≤3，选A. 二、填空题
9．若函数f (x )＝x ＋a ln x 不是单调函数，则实数a 的取值范围是________． 解析：由题意知f (x )的定义域为(0，＋∞)，
f ′(x )＝1＋a
x ，要使函数f (x )＝x ＋a ln x 不是单调函数， 则需方程1＋a
x ＝0在(0，＋∞)上有解，即x ＝－a ，∴a <0. 答案：(－∞，0)
10．已知函数f (x )＝ln x －f ′(－1)x 2＋3x －4，则f ′(1)＝________. 解析：∵f ′(x )＝1
x －2f ′(－1)x ＋3， ∴f ′(－1)＝－1＋2f ′(－1)＋3， ∴f ′(－1)＝－2，∴f ′(1)＝1＋4＋3＝8. 答案：8
11．已知函数f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝1
2x ＋3，则f (1)＋f ′(1)＝________.
解析：由题意知f ′(1)＝12，f (1)＝12×1＋3＝7
2，
∴f (1)＋f ′(1)＝72＋1
2＝4.
答案：4
12．已知函数g (x )满足g (x )＝g ′(1)e x －
1－g (0)x ＋12x 2，且存在实数x 0，使得不等式 2m －1≥g (x 0)成立，则
实数m 的取值范围为________．
解析：g ′(x )＝g ′(1)e x －
1－g (0)＋x ，
令x ＝1时，得g ′(1)＝g ′(1)－g (0)＋1， ∴g (0)＝1，g (0)＝g ′(1)e 0－
1＝1，
∴g ′(1)＝e ，
∴g (x )＝e x －x ＋1
2x 2，g ′(x )＝e x －1＋x ，
当x <0时，g ′(x )<0，当x >0时，g ′(x )>0， ∴当x ＝0时，函数g (x )取得最小值g (0)＝1. 根据题意得2m －1≥g (x )min ＝1，∴m ≥1. 答案：[1，＋∞) 三、解答题
13．已知函数f (x )＝x ＋a
x ＋b (x ≠0)，其中a ，b ∈R.
(1)若曲线y ＝f (x )在点P (2，f (2))处的切线方程为y ＝3x ＋1，求函数f (x )的解析式； (2)讨论函数f (x )的单调性；
(3)若对于任意的a ∈⎣⎡⎦⎤12，2，不等式f (x )≤10在⎣⎡⎦⎤1
4，1上恒成立，求实数b 的取值范围． 解：(1)f ′(x )＝1－a
x
2(x ≠0)，
由已知及导数的几何意义得f ′(2)＝3，则a ＝－8.
由切点P (2，f (2))在直线y ＝3x ＋1上可得－2＋b ＝7，解得b ＝9， 所以函数f (x )的解析式为f (x )＝x －8
x ＋9. (2)由(1)知f ′(x )＝1－a
x
2(x ≠0)．
当a ≤0时，显然f ′(x )>0，这时f (x )在(－∞，0)，(0，＋∞)上是增函数． 当a >0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝±a ， 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：
a )
(3)由(2)知，对于任意的a ∈⎣⎡⎦⎤12，2，不等式f (x )≤10在⎣⎡⎦
⎤14，1上恒成立等价于⎩⎪⎨⎪⎧
f ⎝⎛⎭⎫14≤10，f (1)≤10，
即⎩⎪⎨⎪⎧
b ≤394－4a ，
b ≤9－a
对于任意的a ∈⎣⎡⎦⎤12，2成立，从而得b ≤7
4
， 所以实数b 的取值范围是⎝
⎛⎦⎤－∞，7
4. 14．已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝1
2x .
(1)求a 的值；
(2)求函数f (x )的单调区间与极值．
解：(1)对f (x )求导，得f ′(x )＝14－a x 2－1
x (x >0)，
由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝1
2x ，
知f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝5
4
.
(2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －3
2，
则f ′(x )＝x 2－4x －5
4x 2
，
令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5.
因为x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去． 当x ∈(0,5)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,5)内为减函数；
当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(5，＋∞)内为增函数． 由此知函数f (x )在x ＝5时取得极小值f (5)＝－ln 5，无极大值．。