初中数学一轮复习 方程与函数篇 第三节 二元一次方程组导导学练

二元一次方程组
学习目标：
1.通过复习二元一次方程（组）的有关概念，会解简单的二元一次方程组（数字系数），
2.能根据具体问题中的数量关系，列出二元一次方程组解决简单的实际问题，并能检验解的合理性. 发展学生灵活运用有关知识解决实际问题的能力，培养学生良好的数学应用意识.
3.了解二元一次方程组的图像解法，初步体会方程与函数的关系.
4.理解解二元一次方程组的“消元”思想，从而初步理解解化“未知”为“已知”和化复杂问题为简单问题的化归思想.
复习反馈：
1.含有____未知数，并且________的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是____________________
2.写出一个你喜欢的二元一次方程：___________________
3. 解二元一次方程采用的主要方法有哪些？
4.解三元一次方程组的基本步骤是怎么样的？
合作探究：
考点1 二元一次方程组及方程组解的概念
（2014•山东烟台，第5题3分）按如图的运算程序，能使输出结果为3的x，y的值是（）
A． x=5，y=﹣2 B． x=3，y=﹣3 C． x=﹣4，y=2 D． x=﹣3，y=﹣9
考点：实数的运算，二元一次方程的解．
分析：根据运算程序列出方程，再根据二元一次方程的解的定义对各选项分析判断利用排除法求解．
解答：由题意得，2x﹣y=3，A、x=5时，y=7，故本选项错误；
B、x=3时，y=3，故本选项错误；
C、x=﹣4时，y=﹣11，故本选项错误；
D、x=﹣3时，y=﹣9，故本选项正确．故选D．
点评：本题考查了代数式求值，主要利用了二元一次方程的解，理解运算程序列出方程是解题的关键．
考点2 二元一次方程组与一次函数的关系
（2015•青海西宁第27题10分）兰新铁路的通车，圆了全国人民的一个梦，坐上火车去观赏青海门源百里油菜花海，感受大美青海独特的高原风光，暑假某校准备组织学生、老师到门源进行社会实践，为了便于管理，师生必须乘坐在同一列高铁上，根据报名人数，若都买一等座单程火车票需2340元，若都买二等座单程火车票花钱最少，则需1650元：
西宁到门源的火车票价格如下表
运行区间票价
上车站下车站一
等
座
二
等
座西宁门源36
元
30
元（1）参加社会实践的学生、老师各有多少人？
（2）由于各种原因，二等座火车票单程只能买x张（参加社会实践的学生人数＜x＜参加社会实践的总人数），其余的须买一等座火车票，在保证每位参与人员都有座位坐并且总费用最低的前提下，请你写出购买火车票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式．
考点：一次函数的应用；二元一次方程组的应用．.
分析：（1）设参加社会实践的学生有m人，老师有n人，根据都买一等座单程火车票需2340元，若都买二等座单程火车票花钱最少，则需1650元，列出方程组即可；
（2）当50＜x＜65时，费用最低的购票方案为：学生都买学生票共50张，（x﹣50）名老师买二等座火车票，（65﹣x）名老师买一等座火车票，然后列出函数关系式即可．
解答：解；（1）设参加社会实践的学生有m人，老师有n人．
若都买二等座单程火车票且花钱最少，则全体学生都需买二等座学生票，根据题意得：
，
解得：．
答：参加社会实践的学生、老师分别为50人、15人；
（2）由（1）知所有参与人员总共有65人，其中学生有50人．
当50＜x＜65时，费用最低的购票方案为：
学生都买学生票共50张，（x﹣50）名老师买二等座火车票，（65﹣x）名老师买一等座火车票．
∴火车票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式为：y=30×0.8×50+30（x﹣50）+36（65﹣x）即y=﹣6x+2040（50＜x＜65）．
答：购买火车票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式是y=﹣6x+2040（50＜x＜65）．点评：本题主要考查的是二元一次方程组的应用和列函数关系式，分别求得购买二等座火车票的教师的人数和一等座火车票的人数是解题的关键．
考点3消元法和转化思想.
（2015•四川成都,第15题12分）（2）解方程组：．
考点：解二元一次方程组.
专题：计算题．
分析：方程组利用加减消元法求出解即可．
解答：解：①+②得：4x=4，即x=1，
把x=1代入①得：y=2，
则方程组的解为．
点评：解二元一次方程组，熟练掌握解题方法是解本题的关键．
考点4 二元一次方程组的建模与应用
例题1：（2015•山东泰安,第7题3分）小亮的妈妈用28元钱买了甲、乙两种水果，甲种水果每千克4元，乙种水果每千克6元，且乙种水果比甲种水果少买了2千克，求小亮妈妈两种水果各买了多少千克？设小亮妈妈买了甲种水果x千克，乙种水果y千克，则可列方程组为（）
A．B．
C．D．
考点：由实际问题抽象出二元一次方程组．.
分析：设小亮妈妈买了甲种水果x千克，乙种水果y千克，根据两种水果共花去28元，乙种水果比甲种水果少买了2千克，据此列方程组．
解答：解：设小亮妈妈买了甲种水果x千克，乙种水果y千克，
由题意得．
故选A．
点评：本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组．
例题2：（2015•曲靖第20题3分）某商场投入13800元资金购进甲、乙两种矿泉水共500箱，矿泉水的成本价和销售价如表所示：
类别/单价成本价销售价（元/箱）
甲24 36
乙33 48
（1）该商场购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？
（2）全部售完500箱矿泉水，该商场共获得利润多少元？
考点：二元一次方程组的应用．.
分析：（1）设商场购进甲种矿泉水x箱，购进乙种矿泉水y箱，根据投入13800元资金购进甲、乙两种矿泉水共500箱，列出方程组解答即可；
（2）总利润=甲的利润+乙的利润．
解答：解：（1）设商场购进甲种矿泉水x箱，购进乙种矿泉水y箱，由题意得
，
解得：．
答：商场购进甲种矿泉水350箱，购进乙种矿泉水150箱．
（2）350×（33﹣24）+150×（48﹣36）
=3150+1800
=4950（元）．
答：该商场共获得利润4950元．
点评：本题考查了二元一次方程组的实际应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
考点4 三元一次方程组
（2015•滨州,第18题4分）某服装厂专门安排210名工人进行手工衬衣的缝制，每件衬衣由2个小袖、1个衣身、1个衣领组成，如果每人每天能够缝制衣袖10个，或衣身15个，或衣领12个，那么应该安排120 名工人缝制衣袖，才能使每天缝制出的衣袖，衣身、衣领正好配套．
考点：三元一次方程组的应用．
分析：可设应该安排x名工人缝制衣袖，y名工人缝制衣身，z名工人缝制衣领，才能使每天缝制出的衣袖，衣身、衣领正好配套，根据等量关系：①一共210名工人；②小袖的个数：衣身的个数：衣领的个数=2：1：1；依此列出方程组求解即可．
解答：解：设应该安排x名工人缝制衣袖，y名工人缝制衣身，z名工人缝制衣领，才能使每天缝制出的衣袖，衣身、衣领正好配套，依题意有
，
解得．
故应该安排120名工人缝制衣袖，才能使每天缝制出的衣袖，衣身、衣领正好配套．
故答案为：120．
点评：考查了三元一次方程组的应用，在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程．
（1）把求等式中常数的问题可转化为解三元一次方程组为以后待定系数法求二次函数解析式奠定基础．
（2）通过设二元与三元的对比，体验三元一次方程组在解决多个未知数问题中优越性．
形成提升：
1. （2015•贵州省贵阳,第11题4分）方程组的解为．
2. （2015•聊城，第18题7分）解方程组．
3. ．（2015•河北,第11题2分）利用加减消元法解方程组，下列做法正
确的是（）
A．要消去y，可以将①×5+②×2 B．要消去x，可以将①×3+②×（﹣5）
C．要消去y，可以将①×5+②×3 D．要消去x，可以将①×（﹣5）+②×2
4. （2015•齐齐哈尔,第8题3分）为了开展阳光体育活动，某班计划购买毽子和跳绳两种体育用品，共花费35元，毽子单价3元，跳绳单价5元，购买方案有（）
A． 1种 B． 2种 C． 3种 D． 4种
5. （2015•滨州,第20题9分）根据要求，解答下列问题
（1）解下列方程组（直接写出方程组的解即可）
①的解为②的解为③的解为
（2）以上每个方程组的解中，x值与y值的大小关系为x=y ．
（3）请你构造一个具有以上外形特征的方程组，并直接写出它的解．
6，（2015•甘肃庆阳，第26题，10分）某体育用品专卖店销售7个篮球和9个排球的总利润为355元，销售10个篮球和20个排球的总利润为650元．
（1）求每个篮球和每个排球的销售利润；
（2）已知每个篮球的进价为200元，每个排球的进价为160元，若该专卖店计划用不超过17400元购进篮球和排球共100个，且要求篮球数量不少于排球数量的一半，请你为专卖店设计符合要求的进货方案．
7. （2015•桂林）（第24题）“全民阅读”深入人心，好读书，读好书，让人终身受益．为满足同学们的读书需求，学校图书馆准备到新华书店采购文学名著和动漫书两类图书．经了解，20本文学名著和40本动漫书共需1520元，20本文学名著比20本动漫书多440元（注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的动漫书价格都一样）．
（1）求每本文学名著和动漫书各多少元？
（2）若学校要求购买动漫书比文学名著多20本，动漫书和文学名著总数不低于72本，总费用不超过2000元，请求出所有符合条件的购书方案．
8. （2015•宁夏第22题6分）某校在开展“校园献爱心”活动中，准备向南部山区学校捐赠男、女两种款式的书包．已知男款书包的单价50元/个，女款书包的单价70元/个．（1）原计划募捐3400元，购买两种款式的书包共60个，那么这两种款式的书包各买多少个？
（2）在捐款活动中，由于学生捐款的积极性高涨，实际共捐款4800元，如果至少购买两种款式的书包共80个，那么女款书包最多能买多少个？
9。

（2015•四川凉山州第22题8分）2015年5月6日，凉山州政府在邛海“空列”项目考察座谈会上与多方达成初步合作意向，决定共同出资60.8亿元，建设40千米的邛海空中列车．据测算，将有24千米的“空列”轨道架设在水上，其余架设在陆地上，并且每千米水上建设费用比陆地建设费用多0.2亿元．
（1）求每千米“空列”轨道的水上建设费用和陆地建设费用各需多少亿元？
（2）预计在某段“空列”轨道的建设中，每天至少需要运送沙石1600m3，施工方准备租用大、小两种运输车共10辆，已知每辆大车每天运送沙石200m3，每辆小车每天运送沙石120m3，大、小车每天每辆租车费用分别为1000元、700元，且要求每天租车的总费用不超过9300元，问施工方有几种租车方案？哪种租车方案费用最低，最低费用是多少？
10. （2015•四川攀枝花第19题6分）某超市销售有甲、乙两种商品，甲商品每件进价10元，售价15元；乙商品每件进价30元，售价40元．
（1）若该超市一次性购进两种商品共80件，且恰好用去1600元，问购进甲、乙两种商品各多少件？
（2）若该超市要使两种商品共80件的购进费用不超过1640元，且总利润（利润=售价﹣进价）不少于600元．请你帮助该超市设计相应的进货方案，并指出使该超市利润最大的方案．
【归纳总结】
【形成提升参考答案】
1. （2015•贵州省贵阳,第11题4分）方程组的解为．
考点：解二元一次方程组．
分析：用代入法即可解答，把②y=2，代入①即可求出x的值；
解答：解：解，
把②代入①得x+2=12，∴x=10，
∴．
故答案为：．
点评：本题考查了解二元一次方程组，有加减法和代入法两种，根据y的系数互为相反数确定选用加减法解二元一次方程组是解题的关键．
2. （2015•聊城，第18题7分）解方程组．
考点：解二元一次方程组．
解析：方程组利用加减消元法求出解即可．
解答：，
①+②得：3x=9，即x=3，
把x=3代入①得：y=﹣2，
则方程组的解为．
点评：此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
3. ．（2015•河北,第11题2分）利用加减消元法解方程组，下列做法正
确的是（）
A．要消去y，可以将①×5+②×2 B．要消去x，可以将①×3+②×（﹣5）
C．要消去y，可以将①×5+②×3 D．要消去x，可以将①×（﹣5）+②×2
考点：解二元一次方程组．
专题：计算题．
分析：方程组利用加减消元法求出解即可．
解答：解：利用加减消元法解方程组，要消去x，可以将①×（﹣5）+
②×2．
故选D
点评：此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
4. （2015•齐齐哈尔,第8题3分）为了开展阳光体育活动，某班计划购买毽子和跳绳两种体育用品，共花费35元，毽子单价3元，跳绳单价5元，购买方案有（）
A． 1种 B． 2种 C． 3种 D． 4种
考点：二元一次方程的应用．
分析：设毽子能买x个，跳绳能买y根，依据“某班计划购买毽子和跳绳两种体育用品，共花费35元，毽子单价3元，跳绳单价5元”列出方程，并解答．
解答：解：设毽子能买x个，跳绳能买y根，根据题意可得：
3x+5y=35，y=7﹣x，
∵x、y都是正整数，∴x=5时，y=4；x=10时，y=1；
∴购买方案有2种．故选B．
点评：此题主要考查了二元一次方程的应用，根据题意得出正确等量关系是解题关键．
5. （2015•滨州,第20题9分）根据要求，解答下列问题
（1）解下列方程组（直接写出方程组的解即可）
①的解为②的解为③的解为
（2）以上每个方程组的解中，x值与y值的大小关系为x=y ．
（3）请你构造一个具有以上外形特征的方程组，并直接写出它的解．
考点：二元一次方程组的解．
专题：计算题．
分析：（1）观察方程组发现第一个方程的x系数与第二个方程y系数相等，y系数与第二个方程x系数相等，分别求出解即可；
（2）根据每个方程组的解，得到x与y的关系；
（3）根据得出的规律写出方程组，并写出解即可．
解答：解：（1）①的解为；②的解为；③的解为；
（2）以上每个方程组的解中，x值与y值的大小关系为x=y；
（3），解为，
故答案为：（1）①；②；③；（2）x=y
点评：此题考查了二元一次方程组的解，弄清题中的规律是解本题的关键．
6，（2015•甘肃庆阳，第26题，10分）某体育用品专卖店销售7个篮球和9个排球的总利润为355元，销售10个篮球和20个排球的总利润为650元．
（1）求每个篮球和每个排球的销售利润；
（2）已知每个篮球的进价为200元，每个排球的进价为160元，若该专卖店计划用不超过17400元购进篮球和排球共100个，且要求篮球数量不少于排球数量的一半，请你为专卖店设计符合要求的进货方案．
考点：一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．.
分析：（1）设每个篮球和每个排球的销售利润分别为x元，y元，根据题意得到方程组；即可解得结果；
（2）设购进篮球m个，排球（100﹣m）个，根据题意得不等式组即可得到结果．
解答：解：（1）设每个篮球和每个排球的销售利润分别为x元，y元，
根据题意得：，
解得：，
答：每个篮球和每个排球的销售利润分别为25元，20元；
（2）设购进篮球m个，排球（100﹣m）个，
根据题意得：，
解得：≤m≤35，
∴m=34或m=35，
∴购进篮球34个排球66个，或购进篮球35个排球65个两种购买方案．
点评：本题考查了一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用，找准数量关系是解题的关键．
7. （2015•桂林）（第24题）“全民阅读”深入人心，好读书，读好书，让人终身受益．为满足同学们的读书需求，学校图书馆准备到新华书店采购文学名著和动漫书两类图书．经了解，20本文学名著和40本动漫书共需1520元，20本文学名著比20本动漫书多440元（注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的动漫书价格都一样）．
（1）求每本文学名著和动漫书各多少元？
（2）若学校要求购买动漫书比文学名著多20本，动漫书和文学名著总数不低于72本，总费用不超过2000元，请求出所有符合条件的购书方案．
考点：一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用．
分析：（1）设每本文学名著x元，动漫书y元，根据题意列出方程组解答即可；
（2）根据学校要求购买动漫书比文学名著多20本，动漫书和文学名著总数不低于72本，总费用不超过2000元，列出不等式组，解答即可．
解答：解：（1）设每本文学名著x元，动漫书y元，
可得：，
解得：，
答：每本文学名著和动漫书各为40元和18元；
（2）设学校要求购买文学名著x本，动漫书为（x+20）本，根据题意可得：
，
解得：，
因为取整数，
所以x取26，27，28；
方案一：文学名著26本，动漫书46本；
方案二：文学名著27本，动漫书47本；
方案三：文学名著28本，动漫书48本．
点评：此题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，关键是弄清题意，找出题目中的等量关系与不等关系，列出方程组与不等式组．
8. （2015•宁夏第22题6分）某校在开展“校园献爱心”活动中，准备向南部山区学校捐赠男、女两种款式的书包．已知男款书包的单价50元/个，女款书包的单价70元/个．（1）原计划募捐3400元，购买两种款式的书包共60个，那么这两种款式的书包各买多少
个？
（2）在捐款活动中，由于学生捐款的积极性高涨，实际共捐款4800元，如果至少购买两种款式的书包共80个，那么女款书包最多能买多少个？
考点：一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．.
分析：（1）设原计划买男款书包x个，则女款书包（60﹣x）个，根据题意得：50x+70（60﹣x）=3400，即可解答；
（2）设女款书包最多能买y个，则男款书包（80﹣y）个，根据题意得：70y+50（80﹣y）≤4800，即可解答．
解答：解：（1）设原计划买男款书包x个，则女款书包（60﹣x）个，
根据题意得：50x+70（60﹣x）=3400，
解得：x=40，
60﹣x=60﹣40=20，
答：原计划买男款书包40个，则女款书包20个．
（2）设女款书包最多能买y个，则男款书包（80﹣y）个，
根据题意得：70y+50（80﹣y）≤4800，
解得：y≤40，
∴女款书包最多能买40个．
点评：本题考查了一元一次方程、一元一次不等式的应用，解决本题的关键是根据题意列出方程和不等式．
9。

（2015•四川凉山州第22题8分）2015年5月6日，凉山州政府在邛海“空列”项目考察座谈会上与多方达成初步合作意向，决定共同出资60.8亿元，建设40千米的邛海空中列车．据测算，将有24千米的“空列”轨道架设在水上，其余架设在陆地上，并且每千米水上建设费用比陆地建设费用多0.2亿元．
（1）求每千米“空列”轨道的水上建设费用和陆地建设费用各需多少亿元？
（2）预计在某段“空列”轨道的建设中，每天至少需要运送沙石1600m3，施工方准备租用大、小两种运输车共10辆，已知每辆大车每天运送沙石200m3，每辆小车每天运送沙石120m3，大、小车每天每辆租车费用分别为1000元、700元，且要求每天租车的总费用不超过9300元，问施工方有几种租车方案？哪种租车方案费用最低，最低费用是多少？
考点：一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用．.
分析：（1）首先根据题意，设每千米“空列”轨道的水上建设费用需要x亿元，每千米陆地建设费用需y亿元，然后根据“空列”项目总共需要60.8亿元，以及每千米水上建设费用比陆地建设费用多0.2亿元，列出二元一次方程组，再解方程组，求出每千米“空列”轨道的水上建设费用和陆地建设费用各需多少亿元即可．
（2）首先根据题意，设每天租m辆大车，则需要租10﹣m辆小车，然后根据每天至少需要运送沙石1600m3，以及每天租车的总费用不超过9300元，列出一元一次不等式组，判断出施工方有几种租车方案；最后分别求出每种租车方案的费用是多少，判断出哪种租车方案费用最低，最低费用是多少即可．
解答：（1）设每千米“空列”轨道的水上建设费用需要x亿元，每千米陆地建设费用需y 亿元，
则，
解得．
所以每千米“空列”轨道的水上建设费用需要1.6亿元，每千米陆地建设费用需1.4亿元．答：每千米“空列”轨道的水上建设费用需要1.6亿元，每千米陆地建设费用需1.4亿元．
（2）设每天租m辆大车，则需要租10﹣m辆小车，
则
∴，
∴施工方有3种租车方案：
①租5辆大车和5辆小车；
②租6辆大车和4辆小车；
③租7辆大车和3辆小车；
①租5辆大车和5辆小车时，
租车费用为：
1000×5+700×5
=5000+3500
=8500（元）
②租6辆大车和4辆小车时，
租车费用为：
1000×6+700×4
=6000+2800
=8800（元）
③租7辆大车和3辆小车时，
租车费用为：
1000×7+700×3
=7000+2100
=9100（元）
∵8500＜8800＜9100，
∴租5辆大车和5辆小车时，租车费用最低，最低费用是8500元．
点评：（1）此题主要考查了一元一次不等式组的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤：①分析题意，找出不等关系；②设未知数，列出不等式组；③解不等式组；④从不等式组解集中找出符合题意的答案；⑤作答．
（2）此题还考查了二元一次方程组的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：①审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．②设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．③列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．④求解．⑤检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
10. （2015•四川攀枝花第19题6分）某超市销售有甲、乙两种商品，甲商品每件进价10元，售价15元；乙商品每件进价30元，售价40元．
（1）若该超市一次性购进两种商品共80件，且恰好用去1600元，问购进甲、乙两种商品各多少件？
（2）若该超市要使两种商品共80件的购进费用不超过1640元，且总利润（利润=售价﹣进价）不少于600元．请你帮助该超市设计相应的进货方案，并指出使该超市利润最大的方案．考点：一元一次不等式组的应用；一元一次方程的应用．.
专题：应用题．
分析：（1）设该超市购进甲商品x件，则购进乙商品（80﹣x）件，根据恰好用去1600元，求出x的值，即可得到结果；
（2）设该超市购进甲商品x件，乙商品（80﹣x）件，根据两种商品共80件的购进费用不超过1640元，且总利润（利润=售价﹣进价）不少于600元列出不等式组，求出不等式组的解集确定出x的值，即可设计相应的进货方案，并找出使该超市利润最大的方案．
解答：解：（1）设该超市购进甲商品x件，则购进乙商品（80﹣x）件，
根据题意得：10x+30（80﹣x）=1600，
解得：x=40，80﹣x=40，
则购进甲、乙两种商品各40件；
（2）设该超市购进甲商品x件，乙商品（80﹣x）件，
由题意得：，
解得：38≤x≤40，
∵x为非负整数，
∴x=38，39，40，相应地y=42，41，40，
进而利润分别为5×38+10×42=190+420=610，5×39+10×41=195+410=605，5×40+10×40=200+400=600，
则该超市利润最大的方案是购进甲商品38件，乙商品42件．
点评：此题考查了一元一次不等式组的应用，以及一元一次方程的应用，找出题中的等量关系及不等式关系是解本题的关键．。