怀柔区2023-2024学年第二学期期末高二数学试题及答案

2024北京怀柔高二（下）期末
数
学
2024．7
注意事项：
1.考生要认真填写姓名和考号.
2.本试卷分第一部分（选择题)和第二部分(非选择题)，共150分，考试时间120分钟.
3.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡的对应位置,在试卷上作答无效.第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答.
4.考试结束后，考生应将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回.
第一部分选择题
（共40分）
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的.)
1.集合A={}
02x ≥+x ，B={}
13- x <<x ，则A B=A.{}
12- x <≤x B.{}
-3
x >x C.{}0 1-2- ，， D.{}
1 0 1-2-，，，2.等比数列2
1
，-1，2，-4，……则数列的第七项为A.32
B.-32
C.64
D.-64
3.在二项式6
2）
（x
x -的展开式中，常数项为A.20
B.-40
C.80
D.-160
4.已知函数1sin )(+=x x f ，则)3(π
f '的值为
A.2
1-
B.
2
1 C.
2
3 D.
2
3
A.
256
B.
256
C.
128
D.
256
6．2021年7月20日，公布了《中共中央、国务院关于优化生育政策促进人口长期均衡发展的决定》，决定实施一对夫妻可以生育三个子女的政策及配套的支持措施。

假设生男、生女的概率相等，如果一对夫妻计划生育三个小孩，在已经生育了两个男孩的情况下，第三个孩子是女孩的概率为A.
8
1
B.
4
1 C.
3
1 D.
2
17.已知函数()y f x =的图象如图所示，则下列各式中正确的是
A ．(3)(2)-(3))1(f f f f '>>'
B ．(2)-(3)(1))3(f f f f >'>'
C ．(1)
(2)-(3))3(f f f f '>>'D ．(2)
-(3)(3))1(f f f f >'>'8.若{}n a 是公比为q 的等比数列，其前n 项和为n S ,01>a ，则“10<<q ”是“n S 单调递增”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
9.设函数x a e x x
x f -+=2b
)(，曲线()y f x =在点
），（)1(1f 处的切线方程为e y 2=，则b a ，值分别为A.1
, ==b e a B.e
b a == 2, C.1
1,==b a D.e
b a 1,==10.若函数ax xe x f x -=)(，则根据下列说法选出正确答案是①当(]-2e --，∞∈a 时，)(x f 在R x ∈上单调递增；②当)0,(2
--∈e a 时，)(x f 有两个极值点；③当(
]
-2e --，∞∈a 时，)(x f 没有最小值.A.①②
B.②③
C.①③
D.①②③
第二部分非选择题(共110分）
二、填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分.）
14.分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，分形几何具有自身相似性，从它的任何一个局部经过放大，都可以得到一个和整体全等的图形。

例如图（1）是一个边长为1的正三角形，将每边3等分，以中间一段为边向外作正三角形，并擦去中间一段，得到图（2），如此继续下去，得到图（3），则第三个图形的边数________；第n 个图形的周长________.
15.已知数列{}n a 的通项公式an n a n 22-=，则下列各项说法正确的是________.(填写所有正确选项的序号)
①当1-=a 时，数列⎭
⎫⎩⎨⎧n a 1的前n 项和21
11211(21+-+-+=n n T n ；
②若数列{}n a 是单调递增数列，则(]1 ,∞-∈a ；③R a ∈∀,数列{}n a 的前n 项积既有最大值又有最小值；④若]2 -(-4，恒成立，则，∞∈≥*∈∀a a N n n .
三、解答题（本题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.）
16（本小题13分）某学校对食堂饭菜质量进行满意度调查，随机抽取了200名学生进行调查，获取
数据如下：
（I ）用频率估计概率，该校学生对食堂饭菜质量满意的概率；
（Ⅱ）用分层抽样的方法从上表中不满意的50人中抽取5人征求整改建议，再从这5个人中随机抽取2人
参与食堂的整改监督，则抽取的2人中女生的人数X ,求X 的分布列和期望.
17.（本小题13分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且18,1034==S a .（Ⅰ）求等差数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若各项均为正数的数列{}n b n 项和为n T ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个
作为已知，设n n n c a b =+，求数列{}n b 的通项公式和数列{}n c 的前n 项和n M ．条件①：13-=n n T ；条件②： 3
, 21
1==+n
n b b b ；条件③：331112
,2 , ,2S b b b b b Z n n n n n ==⋅=∈≥∀+-成立都有且.
18.（本小题14分）设函数133
1)(23
+-+=
x x x x f ，（Ⅰ）求曲线y=)(x f 在点（0，)0(f ）处的切线方程；（Ⅱ）求函数)(x f 在区间]3 ,4[-上的最大值与最小值；
（Ⅲ）若方程b x f =)(在R x ∈有三个不同的根，求b 的取值范围.
满意度
性别满意
不满意
弃权
男生803010女生
50
20
10
19.（本小题15分）为了了解高三学生的睡眠情况，某校随机抽取了部分学生，统计了他们的睡眠时间，得到以下数据（单位：小时）：
男生组：5， 5.5，6，7，7，7.5，8，8.5，9；女生组：5.5，6，6，6, 6.5，7，7，8．用频率估计概率，且每个学生的睡眠情况相互独立．
（I ）世界卫生组织建议青少年每天最佳睡眠时间应保证在8-10（含8小时）小时，估计该校高三学生睡眠
时间在最佳范围的概率；
（Ⅱ）现从该校的男生和女生中分别随机抽取1人，X 表示这2个人中睡眠时间在最佳范围的人数，求X
的分布列和数学期望()E X ；
（Ⅲ）原女生组睡眠时间的样本方差为20s ，若女生组中增加一个睡眠时间为6.5小时的女生，并记新得到
的女生组睡眠时间的样本方差为21s ．写出2
0s 与2
1s 的大小关系．（结论不要求证明）
20（本小题15分）已知函数2ln )(x x a x f +=，其中R a ∈（I ）求函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）当曲线)(y x f =在点）
，（)1(1f 处的切线与直线y=-x 垂直时，若函数)(x f y =的图象总在函数bx x g =)(图象的上方，则b 的取值范围.
21（本小题15分）已知数集{}12,,,n A a a a = （121,2n a a a n ≤<<<≥ ）,若对任意的,i j （1i j n ≤≤≤），i j a a 与
j i
a a 两数中至少有一个属于A ，则称数集A 具有性质P .
（Ⅰ）分别判断数集B={}1,2,4与数集C={}1,3,5,7是否具有性质P ，并说明理由；（Ⅱ）若数集A 具有性质P.
（i ）当3n =时，证明11a =，且123,,a a a 成等比数列；（ii ）证明：1212111
(
)n n n
a a a a a a a +++=++ .
参考答案
一、选择题：本题共10道小题，每小题4分，共40分．
题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）答案
A
A
D
B
C
D
C
A
B
D
二、填空题：本题共5道小题，每小题5分，共25分.题号（11）
（12）
（13）（14）（15）
答案
92+-=n a n ；16
3
16
21；32
48；1
-n 3
43）
（⨯①④
注：1.（11）（12）作对一个给3分，作对二个给5分.
2.(14)第一空2分，第二空3分.
3.(15)选对一个给3分，选对二个给5分，多选不给分.
三、解答题：本题共6道小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.【解析】
（I ）设“对食堂饭菜质量满意”为事件A.
------1分在200人中对饭菜质量满意的有130人
------3分20
13
)(=
∴A p ------5分
（Ⅱ）分层抽取比例10
1505==
λ男生抽取人310130=⨯
，女生抽取210
1
20=⨯人------7分抽取的2人中女生人数X 的所有可能为0，1，2
---------8分
10
3)0(25
223=
=
=C C C X P -----9分53106)1(25
1213===
=C C C X P -------10分
10
1)2(25
2203==
=C C C X P --------11分
X X =0
X=1X=2
P
10
35
3
10
1随机变量X 的数学期望5
410125311030)(=⨯+⨯+⨯
=X E ------13分
17.【解析】
（Ⅰ）已知等差数列{}n a 中，满足18,1034==S a ．
⎩⎨⎧==⎩⎨
⎧=+==+=24
183310311314d a d a S d a a 解得--------4分
2
2+=∴n a n ----------5分
（Ⅱ）选条件①
13-=n n T .
2
1311=-==∴b n 时，当111n 32)13()13(2---⋅=---=-=≥n n n n n T T b n 时，当1=n 时，2
3201=⋅=b 1
n 32-⋅=∴n b ----------8分
332321
1=⋅⋅=-+n n
n n b b {}为公比的等比数列.3 为首项，2是以n b ∴---------9分
132)22(-⋅++=+=n n n n n b a c 的前n 项和n
M []分
13 -------- 13)3(3
1312
2
2)24 )
3....333(322)2........86(4 3222.........3283263241-n 320120-++=--+++=+++++++++++=⋅++++⋅++⋅++⋅+==n n n n n n n n n n M （）（（Ⅱ）选条件②
{}为公比的等比数列。

为首项，是以32b 3
, 2n 1
1∴==+n
n b b b -------7分
1
n 32-⋅=∴n b ---------9分
13222-⋅++=+=n n n n n b a c ）（的前n 项和n
M []分
（）（-13----- 13)3(3
1312
2
2)24 )
3....333(322)2........86(4 3222.........3283263241-n 320120-++=--+++=+++++++++++=⋅++++⋅++⋅++⋅+==n n n n n n n n n n M （Ⅱ）选条件③
{}为等比数列。

成立都有且n n n n b b b b Z n n ∴⋅=∈≥∀+- , ,2112
---------6分
3
31, 2S b b == ⎩⎨⎧====∴18
22
1331q b s b b
)
(3,92舍负±==∴q q ----------8分
{}为公比的等比数列。

为首项，是以32b n ∴1
n 32-⋅=∴n b ------9分
13222-⋅++=+=n n n n n b a c ）（的前n 项和n
M []分
（）（13 ------- 13)3(3
1312
2
2)24 )
3....333(322)2........86(4 3222.........3283263241-n 320120-++=--+++=+++++++++++=⋅++++⋅++⋅++⋅+==n n
n n n n n n n n M 18.【解析】
（Ⅰ）0=x 代入得到1)0(=f 即切点坐标（0，1）------1分
由133
1)(23
+-+=
x x x x f ，得32)(2-+='x x x f ．3
0) ( —='∴f -------3分所以曲线y=)(x f 在点（0，)(x f ）处的切线方程为13+-=x y ------5分
（Ⅱ）x ]
3,4[-∈ 由133
1)(23
+-+=
x x x x f ，得32)(2-+='x x x f ．令()0f x '=，得0322=-+x x ，解得1
3=-=x x 或--------6分
()f x 与()f x '在区间]3,4[-∈上的情况如下：
)(x f 在区间]3 ,4[-上，
当x=-3或x=3时,)(x f 最大值为10；当x=1时，)(x f 最小值为32-。

--10分
（没画表格，写清调递区间8分，求对最值10分）（Ⅲ）若方程b x f =)(在R x ∈上有三个不同的根
可得y=)(x f 的图象与直线y=b 有3个交点．
-----11分
x
-4（-4，-3）-3（-3，1）1（1，3）3
()f x '+
-
+
()
f x 3
23↗10↘
3
2-
↗10
x
（-∞，-3）
-3（-3，1）1
（1，+∞）
由（II ）可知
当+∞→+∞→)(x f x 时，当∞→∞→-)(-x f x 时，所以)10,3
2
(-
∈b 时，方程b x f =)(有三个不同根．-----14分
18.（本小题15分）
为了了解高三学生的睡眠情况，某校随机抽取了部分学生，统计了他们的睡眠时间，得到以下数据
（单位：小时）：男生组：5， 5.5，6，7，7，7.5，8，8.5，9；
女生组：5.5，
6，
6，
6,
6.5，
7，
7，
8．
用频率估计概率，且每个学生的睡眠情况相互独立．
（I ）世界卫生组织建议青少年每天最佳睡眠时间应保证在8-10（含8小时）小时，估计该校高三学生睡眠
时间在最佳范围的概率；
（Ⅱ）现从该校的男生和女生中分别随机抽取1人，X 表示这2个人中睡眠时间在最佳范围的人数，求X 的
分布列和数学期望()E X ；
（Ⅲ）原女生组睡眠时间的样本方差为20s ，若女生组中增加一个睡眠时间为6.5小时的女生，并记新得到的
女生组睡眠时间的样本方差为21s ．写出2
0s 与2
1s 的大小关系．（结论不要求证明）
【解析】
（I ）设“该校高三学生的睡眠时间在最佳范围”为事件A
-------1分在随机抽取的17人中有4人的睡眠时间在最佳范围
-------2分所以17
4)(=
A P -------4分
（Ⅱ）由题意，“从男生中随机选出1人,其睡眠时间在最佳范围”为事件B,
3
1
93)(=
=B P ------5分
“从女生中随机选出1人，其睡眠时间在最佳范围”为事件C,
8
1)(=
C P ．-------6分由条件可知，X 的所有可能取值为0，1，2．
-------7分
；
12
7
)811)(311()0(=--==X P ()f x '+0-
0+
()
f x ↗10
↘
3
2-
↗
；
83
249)811(3181)311()1(==-⨯+⨯-==X P .
24
1
8131)2(=⨯==X P ---------10分
所以X 的分布列为：
24
11
2412249124140)(=⨯+⨯+⨯
=X E --------12分（Ⅲ）2
20
1s s >．--------15分
20（本小题15分）
已知函数2ln )(x x a x f +=，其中R a ∈（I ）求函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）当曲线)(y x f =在点）
，（)1(1f 处的切线与直线y=-x 垂直时，若函数)(x f y =的图象总在函数bx x g =)(图象的上方，则b 的取值范围.
【解析】
（I ）因为2ln )(x x a x f +=，所以函数)(x f 的定义域为)
,0(+∞∈x ------1分
x
a
x x x a x f +=
+='222)( ------2分
当0≥a 时，022)(2≥+=
+='x
a
x x x a x f 对任意的),0(+∞∈x 恒成立，所以函数)(x f 的增区间为）
，（∞+0，无减区间；-------4分
当0<a 时，令022)(2=+=+='x a x x x a x f ，得22a
x -±=舍负，
22-2
2-a
综上所述，当0≥a 时，函数)(x f 的增区间为），（∞+0，无减区间；
X
012
P
1278324
1
当0<a 时，)(x f 的单调减区间为
），（22--0a ，单调增区间为），（∞+-2
2-a
.-----7分（Ⅱ）解法一：
x x
a
x f 2)(+=
' 又曲线)(y x f =在点）
，（)1(1f 的切线与直线y=-x 垂直1
12)1(-==+='∴a a f 即-------8分
若函数)(x f y =的图象总在bx x g =)(图象的上方，即bx x f x >+∞∀)(),,0(恒成立。

bx x x x >-∞+∈∀∴ln 02），，（恒成立x
x
x b x ln ),,0(2-<
+∞∈∀即恒成立-------10分
令x
x
x x k ln )(2-=，则min
)(x k b <2
22
2ln 1)
ln (1
2()(x x x x x x x x x x k +-=---='） 令),0( ln 1)(2+∞∈+-=x x x x ϕ则01
2>+
='x
x x ）（ϕ恒成立则()ϕx 在()0,∞+上单调递增．---13分
又 (1)0ϕ=，
所以当10<<x 时，0)(<x ϕ，即0)(<'x k 所以函数)(x k 在（0，1）上单调递减
当1>x 时，0)(>x ϕ，即0)(>'x k ，所以函数)(x k 在），（∞+1上单调递增
------14分
所以1)1()(min ==k x k 故1<b ，即实数)1,(-∞∈b .
------15分
（Ⅱ）解法二：
x x
a
x f 2)(+=
' 又曲线)(y x f =在点）
，（)1(1f 的切线与直线y=-x 垂直1
12)1(-==+='∴a a f 即------8分
bx y =是一条过原点的直线
假设直线bx y =与曲线)(x f y =相切，设切点坐标）
（00,y x 则⎪⎩
⎪
⎨
⎧=-=-b x x bx x x 00002
012ln 所以0
1ln 02
0=-+x x ------9分
令1ln )(2-+=x x x k 则012)(>+='x
x x k 恒成立1ln )(2-+=∴x x x k 在),0(+∞∈x 单调递增
)1(=k 所以01ln 020=-+x x 有且仅有一解10=x ，即切点坐标（1，1）
当直线bx y =与曲线)(x f y =相切时，切点（1，1）
-------13分
此时直线bx y =的斜率为1，即1
=b 所以当函数)(x f y =的图象总在bx x g =)(图象的上方时,1)(-b 1,∞∈<即b -------15分21（本小题15分）已知数集{}12,,,n A a a a = （121,2n a a a n ≤<<<≥ ）,若对任意的,i j （1i j n ≤≤≤），i j a a 与j
i a a 两数中至少有一个属于A ，则称数集A 具有性质P .
（Ⅰ）分别判断数集B={}1,2,4与数集C={}1,3,5,7是否具有性质P ，并说明理由；（Ⅱ）若数集A 具有性质P.
（i ）当3n =时，证明11a =，且123,,a a a 成等比数列；
（ii ）证明：1212111(
)n n n a a a a a a a +++=++ .【解析】
（Ⅰ）数集{}1,2,4具有性质P ，{}1,3,5,7不具有性质P ，理由如下：
因为11⨯，12⨯，14⨯，22⨯，
42，44都属于数集{}1,2,4，所以{}1,2,4具有性质P ；因为35⨯，53
都不属于数集{}1,3,5,7，所以{}1,3,5,7不具有性质P .------3分（Ⅱ）当3n =时，{}123,,A a a a =，1231a a a ≤<<.
因为231a a <<，所以233a a a >，333a a a >，所以23a a 与33a a 都不属于A ，因此32a A a ∈,33
1a A a =∈,所以11a =.------------5分因为3321a a a <
<，且32a A a ∈，所以322a a a =，又221a a a =，所以21a a =322a a a =，所以123,,a a a 成等比数列.----------8分
（Ⅲ）因为{}12,,,n A a a a = 具有性质P ，所以n n a a ，n n
a a 至少有一个属于A ，
因为121n a a a ≤<<< ，所以n n n a a a >，n n a a A ∉，因此1n n a A a =∈,11a =.---9分因为121n a a a =<<< ，所以k n n a a a >（2,3,4,k n = ），故当2k ≥时，k n a a A ∉,n k
a A a ∈,（2,3,4,k n = ）
-------11分又因为1231n n n n n n n
a a a a a
a a a a a ->>>>> 所以1n n a
a a =，12n n a a a -=， ，21n n a a a -=，1n n
a
a a =-------13分所以121121n n n n n n n n
a
a a a a a a a a a a a --++++=++++ ，所以12121
11()
n n n
a a a a a a a +++=++ --------15分。