高中数学 第三章 概率 辨析几何概型疑点及生活中的应用知识素材 北师大版必修3

辨析几何概型疑点及生活中的应用
一、几何概型的定义
1.几何概型的定义:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成正比，则称这样的概率模型为几何概型．
2．几何概型的概率计算公式，在几何概型中，事件A 的概率的计算公式如下：
())
()(A 面积或体积的区间长度试验的全部结果所构成面积或体积的区间长度构成事件=A P 二、疑点辨析
1.概率为零的事件不一定是不可能事件
不可能事件的概率一定为零，即若∅=A ，则0)(=A P 。

但反之不然，概率为零的事件却不一定是不可能事件，即若0)(=A P ，则不一定有∅=A 。

例如,在几何概率中，设}4:),{(22≤+=Ωy x y x ，}1:),{(22=+=y x y x A .Ω为圆域，而A 为其中一圆周.则 040)(==Ω=π
的面积的面积A A P 。

显然，A 是可能发生的，即若向Ω内随机投点，点落在圆周122=+y x 上的情况是可能发生的。

仅在样本点有限（比如古典概型）或样本点可数这种特殊的情况下,若0)(=A P ，则∅=A 。

2.在求解几何概率问题时,几何度量找不准是经常出错的原因之一.
例 在0～1之间随机选择两个数,这两个数对应的点把0～1之间的线段分成了三条线段,试求这三条线段能构成三角形的概率.
错解:因为⎪⎩
⎪⎨⎧<+>+121y x y x 所以121<+<y x ,于是()211211,01,21==⎪⎭⎫ ⎝⎛=P 。

错解分析：本题误把长度看作几何度量．
正确解法：设三条线段的长度分别为,1,,y x y x --则
⎪⎩
⎪⎨⎧<--<<<<<1101010y x y x 即⎩⎨⎧+-<<<<1010x y x .
在平面上建立如图所示的直角坐标系，直线1,0,1,0+-====x y y x x 围成如图所示三角形区域G ，每一对()y x ,对应着G 内的点()y x ,，由题意知,每个试验结果出现的可能性相等，因此，试验属于几何概型，三条线段能构成三角形，当且仅当
⎪⎩⎪⎨⎧>->--->+y y x x y x y x 111即⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧<<+->212121y x x y
因此图中的阴影区域g 就表示“三条线段能构成三角形”,容易求得g 的面积为81,G 的面积为21,则P (这三条线段能构成三角形)4
1G ==的面积的面积g . 三、生活应用解疑解:在奖品的诱惑面前要冷静
在一所小学的门口有人设一游戏（如图）吸引许多小学生参加。

小学生每转动指针一次交5角钱，若指针与阴影重合，奖5角钱；若连续重合2次奖文具盒一个；若连续重合3次，奖书包一个；若连续重合4次，奖电子游戏机一台。

不少学生被高额奖品所诱惑，纷纷参与此游戏，却很
少有人得到奖品，这是为什么呢？
利用几何概率可以解释这个问题。

由于指针位于圆周上阴影部分才能得奖，
设圆周周长为100cm ，阴影部分位于圆周上的每一弧长为2cm ，由几何概型及指
针的对称性知，指针落于阴影上的概率为 08.050
2222)(=⨯==圆周长D C A P 即参加一次游戏不用花钱的概率为0.08.由于每次转动可看成相互独立的随机事件(即若
B A ⋅表示事件A 与B 同时发生,则()()()B P A P B A P ⋅=⋅)，设i A ={指针与阴影连续重合i 次}，则 08.0)(1=A P 0064.008.0)(2
2==A P ，
000512.008.0)(33==A P 00004096.008.0)(44==A P
可见，参加游戏者得奖的概率很小，得到一个文具盒的可能性仅有0.0064，那么要想得到游戏机，则几乎是天方夜谭。

由小概率原理可知，只参加一次游戏，几乎不可能中奖。

所以，这是一个骗人的把戏.
精美句子
1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂； 幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。

水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。

空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。

空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。

地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了
6、朋友是什么？
朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。

朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。

7、一粒种子，可以无声无息地在泥土里腐烂掉，也可以长成参天的大树。

一块铀块，可以平庸无奇地在石头里沉睡下去，也可以产生惊天动地的力量。

一个人，可以碌碌无为地在世上厮混日子，也可以让生命发出耀眼的光芒。

8、青春是一首歌，她拨动着我们年轻的心弦；青春是一团火，她点燃了我们沸腾的热血； 青春是一面旗帜，她召唤着我们勇敢前行；青春是一本教科书，她启迪着我们的智慧和心灵。