人教A版高一数学必修第二册第六章《平面向量及其应用》章末练习题卷含答案解析 (25)

高一数学必修第二册第六章《平面向量及其应用》单元练习题卷10
（共22题）
一、选择题（共10题）
1. 化简 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于 ( )． A ． AB ⃗⃗⃗⃗⃗ B ． BA
⃗⃗⃗⃗⃗ C ． 0
D ． AC
⃗⃗⃗⃗⃗ 2. a =(−4,3)，b ⃗ =(5,6)，则 3∣a ∣2−4a ⋅b
⃗ 等于 ( ) A ． 23
B ． 57
C ． 63
D ． 83
3. 若 ∣a ∣=∣b ⃗ ∣，那么要使 a =b ⃗ ，两向量还需要具备的条件是 ( ) A ．方向相反 B ．方向相同 C ．共线 D ．方向任意
4. 在下列判断中，正确的是 ( ) ①长度为 0 的向量都是零向量； ②零向量的方向都是相同的； ③单位向量的长度都相等； ④单位向量都是同方向； ⑤任意向量与零向量都共线． A ．①②③ B ．②③④ C ．①②⑤ D ．①③⑤
5. 在 △ABC 中 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则 CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于 ( ) A ． a +b ⃗ B ． b ⃗ −a C ． a −b
⃗ D ． −a −b
⃗ 6. 任给 △ABC ，设角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，则下列等式成立的是 ( )
A ．c 2=a 2+b 2+2abcosC
B ．c 2=a 2+b 2−2abcos
C C ．c 2=a 2+b 2+2absinC
D ．c 2=a 2+b 2−2absinC
7. 在 △ABC 中，若 sinA:sinB:sinC =2:3:4，则 cosC 的值等于 ( ) A ． 1
3
B ． −1
6
C ． −1
12
D ． −1
4
8. 如果 a ，b ⃗ 是两个单位向量，则 a 与 b ⃗ 一定 ( ) A ．相等 B ．平行 C ．方向相同 D ．长度相等
9. 在如图所示的平面图形中，e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 为互相垂直的单位向量，则向量 a
+b ⃗ −c 可表示为 ( )
A ． e 1⃗⃗⃗ −2e 2⃗⃗⃗
B ． −e 1⃗⃗⃗ +2e 2⃗⃗⃗
C ． 3e 1⃗⃗⃗ −2e 2⃗⃗⃗
D ． 3e 1⃗⃗⃗ +2e 2⃗⃗⃗
10. 已知线段上 A ，B ，C 三点满足 BC
⃗⃗⃗⃗⃗ =2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则这三点在线段上的位置关系是 ( ) A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题（共6题）
11. 的合成可以看作向量加法的三角形法则的物理模型， 的合成可以看作向量加法的平行四
边形法则的物理模型．
12. 已知向量 a =(1,n ),b ⃗ =(−1,n )，若 a ⊥b ⃗ ，则 n = ．
13. 思考辨析，判断正误．
∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣+∣∣BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=∣∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣．
14. 思考辨析 判断正误
仰角是视线与视线在水平面的射影的夹角．
15. 的两个向量互为负向量，它们的和为 ．
16. 有一个正四面体的棱长为 3，现用一张圆形的包装纸将其完全包住（不能裁剪纸，但可以折叠），
那么包装纸的最小半径为 ．
三、解答题（共6题）
17. 如图，已知在 △OCB 中，A 是 CB 的中点，D 是将 OB
⃗⃗⃗⃗⃗ 分成 2:1 一个内分点，DC 与 OA 交于点 E ，设 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b
⃗ ．
(1) 用 a 和 b ⃗ 表示向量 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ； (2) 若 OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求实数 λ 的值．
18. 已知向量 a +2b ⃗ =(3,−1)，a −b ⃗ =(0,2)，c =(3,−4)，求：
(1) a ，b ⃗ ； (2) ∣3a −2c ∣．
19. 已知 a =(1,2)，b ⃗ =(−2,1)，u ⃗ =a +2b ⃗ ，v =2a −b
⃗ ． (1) 求向量 u ⃗ 的单位向量 u 0⃗⃗⃗⃗ ； (2) 求与 v 反向的单位向量 v 0⃗⃗⃗⃗ ； (3) 若 w ⃗⃗ =3u ⃗ −v ，求 ∣w ⃗⃗ ∣．
20. 已知 O 是坐标原点，点 A (−1,1)，若点 M (x,y ) 为平面区域 {x +y ≥2,x ≤1,y ≤2
内的一个动点，求
OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围．
21. 如图，用两根绳子把重 10 N 的物体 W 吊在水平杆子 AB 上，∠ACW =150∘，∠BCW =120∘，
求 A 和 B 处所受力的大小．（忽略绳子重量）
22.在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c．已知△ABC面积S△ABC=√3，A=120∘．
(1) 若c=2，求b的值；
(2) 若b+c=3√2，求a的值．
答案
一、选择题（共10题）
1. 【答案】D
【解析】 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EB
⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 【知识点】平面向量的加减法及其几何意义
2. 【答案】D
【解析】 3∣a ∣2−4a ⋅b
⃗ =3[(−4)2+32]−4(−4×5+3×6)=83． 【知识点】平面向量数量积的坐标运算
3. 【答案】B
【解析】两向量相等应具备长度相等、方向相同两个条件，因此选B ． 【知识点】平面向量的概念与表示
4. 【答案】D
【知识点】平面向量的概念与表示
5. 【答案】B
【知识点】平面向量的加减法及其几何意义
6. 【答案】B
【知识点】余弦定理
7. 【答案】D
【解析】由正弦定理可知 a:b:c =sinA:sinB:sinC =2:3:4， 不妨设 a =2k ，b =3k ，c =4k (k >0)， 则由余弦定理的推论得 cosC =
a 2+
b 2−
c 2
2ab
=
4k 2+9k 2−16k 2
2×2k×3k
=−1
4．
【知识点】正弦定理、余弦定理
8. 【答案】D
【解析】因为 a ，b
⃗ 是两个单位向量； 所以其模长相等，方向不定． 【知识点】平面向量的概念与表示
9. 【答案】A
【解析】由题图可知 a =c =e 1⃗⃗⃗ +2e 2⃗⃗⃗ ，b ⃗ =e 1⃗⃗⃗ −2e 2⃗⃗⃗ ，
所以 a +b ⃗ −c =b ⃗ =e 1⃗⃗⃗ −2e 2⃗⃗⃗ ． 【知识点】平面向量的数乘及其几何意义
10. 【答案】A
【解析】根据题意得到 BC
⃗⃗⃗⃗⃗ 和 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 是共线同向的，且 BC =2AB ． 【知识点】平面向量的数乘及其几何意义
二、填空题（共6题）
11. 【答案】 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ； a +b ⃗ ； AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ；三角形； 0⃗ +a ； a ； OC
⃗⃗⃗⃗⃗ ；平行四边形；位移；力 【知识点】平面向量的加减法及其几何意义
12. 【答案】±1
【知识点】平面向量的坐标运算、平面向量的数量积与垂直
13. 【答案】 ×
【知识点】平面向量的加减法及其几何意义
14. 【答案】 √
【知识点】解三角形的实际应用问题
15. 【答案】大小相等，方向相反； 0⃗
【知识点】平面向量的概念与表示
16. 【答案】 2√3
【解析】由题意，将正四面体沿底面将侧面都展开，如图所示，
展开图是由三个边长为 3 的小正三角形组成的一个边长为 6 的大正三角形， 设底面正三角形的中心为 O ，可得当以 SO 为圆的半径时包装纸最小， 此时由正弦定理可得 2SO =2R =6sin
π3
=4√3，
所以包装纸的最小半径为 2√3．
【知识点】正弦定理
三、解答题（共6题） 17. 【答案】
(1)
OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC
⃗⃗⃗⃗⃗ =OB
⃗⃗⃗⃗⃗ +2BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=2OA
⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a −b
⃗ . DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC
⃗⃗⃗⃗⃗ −CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a −b ⃗ −23
OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a −5
3b ⃗ . (2)
EC
⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OE
⃗⃗⃗⃗⃗ =2a −b
⃗ −λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−λ)a −b
⃗ . DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a −5
3
b
⃗ ， 因为 D ，E ，C 三点共线，
故设 EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =xDC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即 (2−λ)a −b ⃗ =x (2a −5
3b
⃗ )， 因为 a 与 b ⃗ 不共线，由平面向量基本定理，{2−λ=2x,
−1=−53x ⇒{x =3
5,
λ=45
,
故 λ=4
5．
【知识点】平面向量的分解、平面向量的数乘及其几何意义
18. 【答案】
(1) 提示：
3b ⃗ =a +2b ⃗ −(a −b ⃗ )=(3,−3)， 所以 b ⃗ =(1,−1)，a =b ⃗ +(0,2)=(1,1)． (2) 3a −2c =(3,3)−(6,−8)=(−3,11)， ∣3a −2c ∣=√130．
【知识点】平面向量数乘的坐标运算
19. 【答案】
(1) u ⃗ =(−3,4)，v =(4,3)，∣u ⃗ ∣=∣v ∣=5． u 0⃗⃗⃗⃗ =(−35,4
5)． (2) v 0⃗⃗⃗⃗ =(−4
5,−3
5)．
(3) w ⃗⃗ =(−13,9)，∣w ⃗⃗ ∣=5√10． 【知识点】平面向量数乘的坐标运算
20. 【答案】 [0,2]．
【知识点】线性规划、平面向量数量积的坐标运算
21. 【答案】设 A ，B 处所受力分别为 f 1⃗⃗⃗ ，f 2⃗⃗⃗ ，10 N 的重力用 f 表示，则 f 1⃗⃗⃗ +f 2⃗⃗⃗ =f ．如图，以
重力作用点 C 为 f 1⃗⃗⃗ ，f 2⃗⃗⃗ 的始点，作平行四边形 CFWE ，使 CW 为对角线，
则 CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =f 1⃗⃗⃗ ，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =f 2⃗⃗⃗ ，CW ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =f ，则 ∠FCW =180∘−150∘=30∘，∠ECW =180∘−120∘=60∘，
所以 ∠FCE =90∘．
所以四边形 CEWF 为矩形．
所以 ∣∣f 1⃗⃗⃗ ∣∣=∣CF ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=∣CW ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣cos30∘=10×√32
=5√3，∣∣f 2⃗⃗⃗ ∣
∣=∣CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=∣CW ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣cos60∘=10×12
=5， 即 A 处受力的大小为 5√3 N ，B 处受力的大小为 5 N ． 【知识点】平面向量的实际应用问题
22. 【答案】
(1) 由三角形面积公式可知：S △ABC =1
2bcsinA =
√3
2
b =√3，
所以 b =2．
(2) 因为 S △ABC =1
2
bcsinA =1
2
bcsin120∘=
√34
bc =√3，
所以 bc =4．
由余弦定理得：a 2=b 2+c 2−2bccosA =(b +c )2−2bc −2bccos120∘=18−4=14， 所以 a =√14． 【知识点】余弦定理。