高考数学一轮 知识点各个击破 第七章 第五节 直线、平面垂直的判定及性质追踪训练 文(含解析)新人教A版

第七章第五节直线、平面垂直的判定及性质
一、选择题
1．给出以下命题，其中错误的是 ( )
A．如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面
B．垂直于同一平面的两条直线互相平行
C．垂直于同一直线的两个平面互相平行
D．两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面
2．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是 ( ) A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥α
B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α
C．若l∥α，m⊂α，则l∥m
D．若l∥α，m∥α，则l∥m
3．若m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命
题是
( ) A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥α
B．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β
C．若m⊥β，m∥α，则α⊥β
D．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ
4．已知α，β，γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题，如果把α，β，γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有 ( ) A．0个B．1个
C．2个D．3个
5．已知两条直线m，n，两个平面α，β，给出下面四个命题：
①m∥n，m⊥α⇒n⊥α；
②α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n；
③m∥n，m∥α⇒n∥α；
④α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β.
其中正确命题的序号是 ( )
A．①③B．②④
C．①④D．②③
6．如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，现在沿DE ，DF 及EF 把△ADE ，△CDF 和△BEF 折起，使A ，B ，C 三点重合，重合后的点记作P ，那么在四面体P －DEF 中必有 ( )
A ．DP ⊥平面PEF
B ．DM ⊥平面PEF
C ．PM ⊥平面DEF
D ．PF ⊥平面DEF
二、填空题
7．已知直线l ，m ，n ，平面α，m ⊂α，n ⊂α，则“l ⊥α”是“l ⊥m 且l ⊥n ”的________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”“既不充分也不必要”)
8．正四棱锥S －ABCD 的底面边长为2，高为2，E 是边BC 的中点，动点P 在表面上运动，并且总保持PE ⊥AC ，则动点P 的轨迹的周长为________．
9．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，底面是以∠ABC
为直角的等腰直角三角形，AC ＝2a ，BB 1＝3a ，D 是A 1C 1的中点，点F 在线段AA 1上，当AF ＝________时，CF ⊥平面B 1DF .
三、解答题
10.三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，AC ＝BC ＝AA 1＝2，
∠ACB ＝90°，E 为BB 1的中点，∠A 1DE ＝90°，求证：CD ⊥平面A 1ABB 1.
11.如图，三棱锥A －BCD 中，∠BCD ＝90°，BC ＝CD ＝1，AB ⊥平面BCD ，
∠ADB ＝60°，E ，F 分别是AC ，AD 上的动点，且AE AC ＝AF AD
＝λ(0＜λ＜1)．
(1)求证：不论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC ；
(2)当λ为何值时，平面BEF ⊥平面ACD .
12．如图，梯形ABCD 和正△PAB 所在平面互相垂直，其中AB
∥DC ，AD ＝CD ＝12
AB ，且O 为AB 的中点． (1)求证：BC ∥平面POD ；
(2)求证：AC ⊥PD .
详解答案
一、选择题
1．解析：一条直线可以垂直于一个平面内的无数条平行直线，但这条直线不垂直这个平面．
答案：A
2．解析：根据定理：两条平行线中的一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平面可知B 正确．
答案：B
3．解析：对于A ，由m ⊂β，α⊥β显然不能得知m ⊥α；对于B ，由条件也不能确定α∥β；对于C ，由m ∥α得，在平面α上必存在直线l ∥m .又m ⊥β，因此l ⊥β，且l ⊂α，故α⊥β；对于D ，垂直于同一平面的两个平面不一定垂直，因此D 也不正确．
答案：C
4．解析：若α，β换为直线a ，b ，则命题化为“a ∥b ，且a ⊥γ⇒b ⊥γ”，此命题为真命题；若α，γ换为直线a ，b ，则命题化为“a ∥β，且a ⊥b ⇒b ⊥β”，此命题为假命题；若β，γ换为直线a ，b ，则命题化为“a ∥α，且b ⊥α⇒a ⊥b ”，此命题为真命题，
故选C.
答案：C
5．解析：对于①，由于两条平行线中的一条直线与一个平面垂直，则另一条直线也与该平面垂直，因此①是正确的；对于②，分别位于两个平行平面内的两条直线必没有公共点，但它们不一定平行，因此②是错误的；对于③，直线n可能位于平面α内，此时结论显然不成立，因此③是错误的；对于④，由m⊥α且α∥β得m⊥β，又m∥n，故n⊥β，因此④是正确的．
答案：C
6．解析：在正方形中，DA⊥EA，DC⊥FC，
∴在折叠后的四面体P－DEF中有DP⊥EP，DP⊥FP.
又EP∩FP＝P，
∴DP⊥平面PEF.
答案：A
二、填空题
7．解析：若l⊥α，则l垂直于平面α内的任意直线，故l⊥m且l⊥n，但若l⊥m 且l⊥n，不能得出l⊥α.
答案：充分不必要
8．解析：如图，取CD的中点F、SC的中点G，连接EF，EG，FG，
设EF交AC于点H，
易知AC⊥EF，
又GH∥SO，
∴GH⊥平面ABCD.
∴AC⊥GH.又GH∩EF＝H，
∴AC⊥平面EFG.
故点P的轨迹是△EFG，其周长为2＋ 6.
答案：2＋ 6
9．解析：由题意易知，B1D⊥平面ACC1A1，所以B1D⊥CF.
要使CF⊥平面B1DF，只需CF⊥DF即可．
令CF⊥DF，设AF＝x，则A1F＝3a－x.
由Rt△CAF∽Rt△FA1D，
得AC
A1F
＝
AF
A1D
，即
2a
3a－x
＝
x
a
，
整理得x2－3ax＋2a2＝0，解得x＝a或x＝2a.
答案：a 或2a
三、解答题
10. 证明：∵AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，
∴AB ＝2 2.
设AD ＝x ，则BD ＝22－x ，
∴A 1D 2＝4＋x 2，DE 2＝1＋(22－x )2
，
A 1E 2＝(22)2
＋1.
∵∠A 1DE ＝90°，
∴A 1D 2＋DE 2＝A 1E 2
.∴x ＝ 2.
∴D 为AB 的中点．∴CD ⊥AB .
又AA 1⊥CD 且AA 1∩AB ＝A ，
∴CD ⊥平面A 1ABB 1.
11. 解：(1)∵AB ⊥平面BCD ，∴AB ⊥CD .
∵CD ⊥BC ，且AB ∩BC ＝B ，∴CD ⊥平面ABC .
又∵AE AC ＝AF AD ＝λ(0＜λ＜1)，
∴不论λ为何值，恒有EF ∥CD .
∴EF ⊥平面ABC ，EF ⊂平面BEF .
∴不论λ为何值恒有平面BEF ⊥平面ABC .
(2)由(1)知，BE ⊥EF ，∵平面BEF ⊥平面ACD ，
∴BE ⊥平面ACD .∴BE ⊥AC .
∵BC ＝CD ＝1，∠BCD ＝90°，∠ADB ＝60°，
∴BD ＝2，AB ＝2tan 60°＝ 6.
∴AC ＝AB 2＋BC 2＝7.
由AB 2＝AE ·AC ，得AE ＝6
7. ∴λ＝AE AC ＝6
7. 故当λ＝6
7时，平面BEF ⊥平面ACD .
12．证明：(1)因为O 为AB 的中点，所以BO ＝1
2AB ，
又AB ∥CD ，CD ＝1
2AB ，
所以有CD ＝BO ，CD ∥BO ，
所以四边形ODCB为平行四边形，所以BC∥OD，
又DO⊂平面POD，BC⊄平面POD，
所以BC∥平面POD.
(2)连接OC.
因为CD＝BO＝AO，CD∥AO，所以四边形ADCO为平行四边形，又AD＝CD，所以ADCO为菱形，
所以AC⊥DO，
因为△PAB为正三角形，O为AB的中点，
所以PO⊥AB，
又因为平面ABCD⊥平面PAB，平面ABCD∩平面PAB＝AB，
所以PO⊥平面ABCD，
而AC⊂平面ABCD，所以PO⊥AC，
又PO∩DO＝O，所以AC⊥平面POD.
又PD⊂平面POD，所以AC⊥PD.。