2020年全国版2017版高考数学一轮复习不等式选讲1绝对值不等式课件理选修4_5

(2)因为|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3. 当且仅当(x+1)(x-2)≤0即-1≤x≤2时取到等号,所以 f(x)的最小值为3.
【母题变式】 1.若本例第(2)问中函数改为f(x)=|x-1|+|x-4|,求其 最小值. 【解析】f(x)=|x-1|+|x-4|≥|(x-1)-(x-4)|=3,所以, 其最小值为3.
2.本例条件不变,求函数f(x)=|x+a|-|x-2|的最大值. 【解析】因为|x+a|-|x-2|=|x+1|-|x-2|≤|(x+1)(x-2)|=3, 当且仅当(x+1)(x-2)≤0,即-1≤x≤2时取到等号,所以 f(x)的最大值为3.
【规律方法】对绝对值三角不等式定理的理解注意以 下三点 (1)等号成立的条件在解题时经常用到,特别是用此定 理求函数的最大(小)值时.
考向三 与绝对值不等式有关的参数范围问题
【典例3】(2014·全国卷Ⅱ)设函数f(x)= 3x2a1,xa,
x 2a 1,a x 1,
+|x-a|(a>0).
3x 12a,x 1，
(1)证明:f(x)≥2.
(2)若f(3)<5,求a的取值范围.
【解题导引】 (1)利用绝对值不等式和基本不等式的性质证明. (2)通过讨论脱去绝对值号,解不等式求得a的取值范围.
(a-b)(b-c)≥0
2.绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集:
不等式
a>0
a=0
a<0
|x|<a _{_x_|_-_a_<_x_<_a_}_
_∅_
_∅ _
|x|>a ______________ _______________ __ {x|x>a或x<-a} {x|x∈R且x≠0} R
易错提醒:易出现解集不全的错误.对于含绝对值的不 等式,不论是分段去绝对值号还是利用几何意义,都要 不重不漏.
【变式训练】(2016·郑州模拟)已知函数f(x)=|2x+1| +|2x-3|. (1)求不等式f(x)≤6的解集. (2)若关于x的不等式f(x)<|a-1|的解集非空,求实数a 的取值范围.
【变式训练】(2016·大同模拟)已知a和b是任意非
零实数.
(1)求
的最小值.
x 1,
(2)若不 等2 x式|22a+b|0+|2a-b|≥|a|(|2+x|+|2-x|)恒成
立,求实数x的取值范围.
【解析】(1)因为
2


4

x 0
1,
x 2,

方法二:利用“零点分区法”求解,体现了分类讨论的 思想. 方法三:通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函 数与方程的思想.
【特别提醒】 1.应用“零点分区法”的注意点 令每个绝对值符号里的代数式等于零,求出相应的根, 要把这些根按由小到大进行排序,在各个区间上解不等 式时,端点值要不重不漏.
2
3
2
(2)函数f(x)=|x+1|-2|x-a|
=1
2 由此求得f(x)的图象与x轴的交点A , 1
B(2a+1,0),
2
故f(x)的图象与x轴围成的三角形的第三个顶点
C(a,a+1),
由△ABC的面积大于6,
可得
·(a+1)>6,求得a>2.
故要求{x的R|xa4的t1t范,t(围0,为)}(2,+∞).
2
2
所以B2 =[4,+∞),
所以A∩B=[4,6].
考向二 绝对值三角不等式的应用
【典例2】设不等式|x-2|<a(a∈N*)的解集为A,
且 ∈A, ∉A.
3
1
(1)2 求a的值2 .
(2)求函数f(x)=|x+a|+|x-2|的最小值.
【解题导引】(1)由 |2ab|∈|2ab| A, 2a∉b2abA知 满|2b|2b|(2b)(2b)|4.足不等式, 不满2ab2ab 足
综上,a的取值范围是 {x|5＜x＜1} 33
②当2<x<5时,f(x)=2x-7,原不等式等价于:
| x ⇔1 3≤|x<5 ③当x≥5时,af(x)=3,原不等式等价于:
⇔5≤x≤4+
综|x上1a,不(x等a式)|的1a 解集为[3,4+ | 3 ]1a .|
|3 1 | a
2.设函数f(x)= 1
a
(1)当a=5时,求函数f(x)的定义域.

8

2x

0.
所以
的最小值为4.
|x 1 |
a
(2)因为|2a+b|+|2a-b|≥|2a+b+2a-b|=4|a|,不等式 |2a+b|+|2a-b|≥|a|(|2+x|+|2-x|)恒成立, 所以4|a|≥|a|(|2+x|+|2-x|),即|2+x|+|2-x|≤4. 而|2+x|+|2-x|表示数轴上的x对应点到-2,2对应点的 距离之和,它的最小值为4.
选修4-5 不等式选讲 第一节 绝对值不等式
(
2
，2
).
3
x 1 2a,x 1, 3x 1 2a,1 x a, x 1 2a,x a,
(2a 1,0)
3
1(2a12a1) 23
【知识梳理】 1.绝对值三角不等式 定理1:如果a,b是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当 ______时,等号成立. 定ab理≥20:如果a,b,c是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|, 当且仅当______________时,等号成立.
1 【解析】(1)原不等式等价于
或2 4 t 1
t
t
或1
t 解之得 <x≤2或- ≤x≤ 或-1≤x<- .
即不等式1 的解集为{3x|-1≤x1≤2}.
3
2
2
2
2
(2)因为f(x)=|2x+1|+|2x-3|≥|(2x+1)-(2x-3)|=4, 所以|a-1|>4,解此不等式得a<-3或a>5.
(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集.
(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的
取值范围.
【解题导引】(1)当a=1时,把原不等式去掉绝对值,转 化为与之等价的三个不等式组,分别求得每个不等式组 的解集,再取并集,即得所求. (2)化简函数f(x)的解析式,求得它的图象与x轴围成的 三角形的三个顶点的坐标,从而求得f(x)的图象与x轴围 成的三角形面积;再根据f(x)的图象与x轴围成的三角形 面积大于6,从而求得a的取值范围.
⇒-5≤x<-3,
若-3≤x≤4, |x+3|+|x-4|≤11⇒x+3-x+4≤11⇒-3≤x≤4, 若x>4, |x+3|+|x-4|≤11⇒x+3+x-4≤11 ⇒4<x≤6, 所以A=[-5,6],
又因为t>0,所以4t+3 ≥ 1 =4,当且仅当4t= , |32|
2
即t= |
1

时,等号成立, 2|
|a
|a|
aaaa
|a|
不等式.
(2)利用绝对值三角不等式求解.
【规范解答】 (1)因为 2a∈b2ab A,且 2∉x7x28xA14, ,

所以 <|a|a,且 ≥2x5, a,
5 x2 8x143,
解得 x<5, a≤ ,又因为a∈N*,所以a=1.
x1x25, x1x2a.
2
当x<-1 时,f(x)=-x-5>0,得x<-5,所以,x<-5时, 2
不等式成立.
综上,原不等式的解集为{x|x＞1或x<-5}.
2.已知集合A={x∈R||x+3|+|x-4|≤11},
B= 3 【解析】2 若x<-3,
,求集合A∩B.
|x+3|+|x-4|≤11⇒-x-3-x+4≤11
2.从解集理解不等式恒成立问题 不等式的解集为R说明不等式恒成立,不等式的解集为∅, 说明其对立面恒成立.
考向一
x
3, 2
2x 1 2x 3 6,
绝对值不等式的解法
【典例1】(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=|x+1|-
2|x-a|,a>0.
(2)|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法:
①|ax+b|≤c⇔_-_c_≤__a_x_+_b_≤__c_; ②|ax+b|≥c⇔__________________.
ax+b≥c或ax+b≤-c
(3)|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不 等式的解法 方法一:利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数 形结合的思想.
(2)若函数f(x)的定义域为R,试求a的取值范围.
【解析】(1)当a=5时,f(x)= 5 2 1
2
由|x+1|+|x+2|-5≥0,
得1 或
1 5
或 a 解得x≥1或x2 ≤-4.
即函(1数5f,(5x)的21).定义域为{x|x≥1或x+|x+2|-a≥0恒成立,即a≤|x+1| +|x+2|恒成立,而|x+1|+|x+2|≥|(x+1)-(x+2)|=1, 所以a≤1,即a的取值范围为(-∞,1].

3
x

a
1，
x


a. 2
(2)f(3)= +|3-a|.
x
3x a 1， a 1 ， a
2
x
x

a 2

, 1,
3x a 1， x 1,
当a>3时,f(3)=a+ ,由f(3)<5,得3<a<
.
当0<a≤3时,f(3)=f(a2)|6a21| -a+ ,由f(3)<5,得{x|53＜<x＜a13}≤3.
故|2+x|+|2-x|=4,所以-2≤x≤2. 即实数x的取值范围为-2≤x≤2.
【加固训练】 1.(2016·西工大附中模拟)已知函数f(x)=|x-2||x-5|. (1)证明:-3≤f(x)≤3. (2)求不等式:f(x)≥x2-8x+14的解集.
【解析】(1)|f(x)|=||x-2|-|x-5||≤|(x-2)(x-5)|=3, 所以-3≤f(x)≤3. (2)①当x≤2时,f(x)=-3,而x2-8x+14=(x-4)2-2≥-2, 所以f(x)≥x2-8x+14无解,
【规律方法】 形如|x-a|+|x-b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三
种解法 (1)零点分区法:利用绝对值号内式子对应方程的根,将 数轴分为(-∞,a],(a,b],(b,+∞)(此处设a<b)三个部 分,在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式 求解,然后取各个不等式解集的并集.
(2)几何法:利用|x-a|+|x-b|>c(c>0)的几何意义:数 轴上到点x1=a和x2=b的距离之和大于c的全体,|x-a|+ |x-b|≥|x-a-(x-b)|=|a-b|. (3)图象法:作出函数y1=|x-a|+|x-b|和y2=c的图象, 结合图象求解.
【规范解答】(1)由a>0,有f(x)=
+|x-a|≥ 3x 2a 1,x 1,
x2a1,1 x a,
3x12a,x a,
+a≥2.所以f(x)≥2.
3 x a 1 ， x 1,


x

1 a ， 1
x


a, 2
【规范解答】(1)当a=1时,不等式f(x)>1, 即|x+1|-2|x-1|>1,
即

1 2

x

3 2
,
①
或 2x 1 2x②3或 6，
③
解①x求2x得121,无解2x,解3 ② 6.求得
3 <x<2 1,解③求得1≤x<2.
综上可得,原不等式的解集1 为
(2)该定理可以推广为|a+b+c|≤|a|+|b|+|c|,也可强 化为||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|,它们经常用于含绝 对值的不等式的推证. (3)当ab≥0时,|a+b|=|a|+|b|;当ab≤0时,|a-b| =|a|+|b|;当b(a+b)≤0时,|a|-|b|=|a+b|;当b(a-b) ≥0时,|a|-|b|=|a-b|.
【加固训练】 1.(2016·阳泉模拟)解不等式|2x+1|-|x-4|>0. 【解析】令f(x)=|2x+1|-|x-4|,当x≥4时,f(x)=2x+1 -(x-4)=x+5>0得x>-5,所以x≥4时,不等式成立. 当- ≤x<4时,f(x)=2x+1+x-4=3x-3>0,得x>1,所 以,11 <x<4时,不等式成立.