《一元一次方程的应用》 讲义

《一元一次方程的应用》讲义一元一次方程是数学中的重要基础知识，在我们的日常生活和实际
问题中有着广泛的应用。

通过建立一元一次方程，可以将一些看似复
杂的问题转化为数学语言，从而找到解决问题的方法。

一、行程问题
行程问题是一元一次方程常见的应用场景之一。

比如，甲乙两人分
别从 A、B 两地同时出发相向而行，甲的速度为每小时 5 千米，乙的
速度为每小时 4 千米，经过 3 小时两人相遇，求 A、B 两地的距离。

我们设 A、B 两地的距离为 x 千米。

甲走的路程为 5×3 ＝ 15 千米，乙走的路程为 4×3 ＝ 12 千米。

由于两人是相向而行，所以他们走过的
路程之和等于两地的距离，即 15 ＋ 12 ＝ x，解得 x ＝ 27 千米。

再比如，一辆汽车以每小时 60 千米的速度从甲地开往乙地，4 小时后到达。

返回时由于路况不好，速度变为每小时 48 千米，求返回时需
要的时间。

设返回时需要的时间为 x 小时。

根据路程相等，去时的路程为 60×4 ＝ 240 千米，返回的路程为 48x 千米，所以 48x ＝ 240，解得 x ＝ 5 小时。

二、工程问题
工程问题也是经常用到一元一次方程的领域。

例如，一项工程，甲
单独做需要 10 天完成，乙单独做需要 15 天完成，两人合作需要多少
天完成？
设两人合作需要 x 天完成。

把这项工程的工作量看作单位“1”，甲
每天的工作效率为 1/10，乙每天的工作效率为 1/15，两人合作每天的
工作效率为 1/10 ＋ 1/15。

根据工作量＝工作效率×工作时间，可得
（1/10 ＋ 1/15)x ＝ 1，解得 x ＝ 6 天。

又如，一个水池，有甲、乙两个进水管，单开甲管8 小时可以注满，单开乙管 12 小时可以注满，现在两管同时打开，多少小时可以注满水池？
设 x 小时可以注满水池。

甲管每小时的注水量为 1/8，乙管每小时
的注水量为 1/12，两管同时开每小时的注水量为 1/8 ＋ 1/12，所以
（1/8 ＋ 1/12)x ＝ 1，解得 x ＝ 48 小时。

三、利润问题
在商业活动中，利润问题经常可以通过一元一次方程来解决。

比如，某商品的进价为 100 元，标价为 150 元，为了促销，商店决定打折销售，但要保证利润率不低于 20%，则最低可以打几折？
设最低可以打 x 折。

售价为 150×01x 元，利润为 150×01x 100 元。

根据利润率不低于 20%，可得（150×01x 100)÷100 ≥ 02，解得x ≥ 8，
即最低可以打 8 折。

再比如，某商店将进价为 8 元的商品按每件 10 元出售，每天可销
售 200 件。

如果每件商品的售价每提高 05 元，销售量就减少 10 件。

当每件商品的售价定为多少元时，每天的利润为 640 元？
设每件商品的售价定为 x 元。

每件的利润为 x 8 元，销售量为 200 10×（（x 10)÷05) 件。

根据利润＝每件利润×销售量，可得（x 8)（200 10×（（x 10)÷05)）＝ 640，解得 x₁＝ 12，x₂＝ 16。

四、储蓄问题
储蓄问题也能运用一元一次方程求解。

例如，某人将一笔钱存入银行，定期一年，年利率为 225%，到期后扣除 20%的利息税，实得利息360 元，求本金是多少？
设本金为 x 元。

利息＝本金×利率×时间，所以利息为 225%x 元，利息税为 20%×225%x 元。

根据实得利息＝利息利息税，可得 225%x 20%×225%x ＝ 360，解得 x ＝ 20000 元。

又如，某人将 5000 元存入银行，定期三年，年利率为 324%，到期后他能得到多少本息和？
设到期后能得到的本息和为 x 元。

根据本息和＝本金＋本金×利
率×时间，可得 x ＝ 5000 ＋ 5000×324%×3 ＝ 5486 元。

五、浓度问题
浓度问题在化学和日常生活中都经常出现。

比如，现有 20%的盐水50 千克，要使盐水的浓度变为 10%，需要加水多少千克？
设需要加水 x 千克。

盐的质量在加水前后不变，原来盐的质量为
50×20% ＝ 10 千克，加水后盐水的总质量为 50 ＋ x 千克，浓度为 10%，所以（50 ＋ x)×10% ＝ 10，解得 x ＝ 50 千克。

再比如，要配制 100 克 15%的糖水，需要糖和水各多少克？
设需要糖 x 克，则需要水 100 x 克。

根据浓度的定义，可得 x÷100
＝ 15%，解得 x ＝ 15 克，所以需要水 100 15 ＝ 85 克。

六、年龄问题
年龄问题也是一元一次方程的常见应用。

例如，今年父亲的年龄是
儿子年龄的 3 倍，5 年前父亲的年龄是儿子年龄的 4 倍，求父亲和儿子今年的年龄。

设儿子今年的年龄为 x 岁，则父亲今年的年龄为 3x 岁。

5 年前儿子的年龄为 x 5 岁，父亲的年龄为 3x 5 岁。

根据 5 年前父亲年龄是儿子
年龄的 4 倍，可得 3x 5 ＝ 4(x 5)，解得 x ＝ 15，所以父亲今年的年龄
为 45 岁。

又如，10 年前甲的年龄是乙年龄的 7 倍，15 年后甲的年龄是乙年
龄的 2 倍，问今年甲、乙两人的年龄各是多少？
设乙 10 年前的年龄为 x 岁，则甲 10 年前的年龄为 7x 岁。

15 年后
乙的年龄为 x ＋ 10 ＋ 15 ＝ x ＋ 25 岁，甲的年龄为 7x ＋ 10 ＋ 15 ＝
7x ＋ 25 岁。

根据 15 年后甲的年龄是乙年龄的 2 倍，可得 7x ＋ 25 ＝
2(x ＋ 25)，解得 x ＝ 5，所以今年乙的年龄为 15 岁，甲的年龄为 45 岁。

七、数字问题
数字问题常常需要我们巧妙地设未知数来解决。

比如，一个两位数，十位数字比个位数字大 3，将十位数字与个位数字交换位置后，得到的新数比原数小 27，求这个两位数。

设原数个位数字为 x，则十位数字为 x ＋ 3。

原数为 10(x ＋ 3) ＋ x
＝ 11x ＋ 30，新数为 10x ＋（x ＋ 3) ＝ 11x ＋ 3。

根据新数比原数小27，可得 11x ＋ 30 （11x ＋ 3) ＝ 27，解得 x ＝ 0，所以这个两位数为30。

再比如，一个三位数，百位数字比十位数字大 1，个位数字比十位
数字小 2，三个数字之和为 18，求这个三位数。

设十位数字为 x，则百位数字为 x ＋ 1，个位数字为 x 2。

根据三个数字之和为 18，可得（x ＋ 1) ＋ x ＋（x 2) ＝ 18，解得 x ＝ 7，所
以这个三位数为 875。

通过以上各种实际问题的例子，我们可以看到一元一次方程在解决
生活中的各种数量关系问题时具有很大的作用。

只要我们能够准确地
找出题目中的等量关系，设出合适的未知数，就能够列出方程并求解。

希望同学们在今后的学习和生活中，能够灵活运用一元一次方程，解
决更多的实际问题。