2019-2020学年人教A版河北省保定市高一第一学期期末数学试卷 含解析

2019-2020学年高一第一学期期末数学试卷
一、选择题
1．已知集合P＝{x|2≤x≤3}，Q＝{x|x2≤4}，则P∩Q＝（）
A．（1，3] B．{2} C．[0，2] D．[0，3]
2．若sinα＜0且tanα＞0，则α是（）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
3．函数的定义域为（）
A．（1，2）∪（2，+∞）B．（1，+∞）
C．（1，2）D．（﹣∞，0）∪（1，2）
4．设，若，则k＝（）
A．1 B．﹣1 C．D．
5．已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣2，1），C（2，2），则顶点D的坐标为（）
A．（﹣5，2）B．（﹣2，1）C．（1，0）D．（3，4）
6．已知函数y＝f（x）的图象是连续的曲线，且有如下的对应值表
x 1 2 3 4 5 6
y121.4 35 ﹣74 14.5 ﹣56.7 ﹣123.6 则函数y＝f（x）在区间[1，6]上的零点至少有（）
A．2个B．3个C．4个D．5个
7．如图为函数y＝f（x）的图象，则其定义域和值域分别为（）
A．[﹣4，0]∪[2，6]、[0，+∞）B．[﹣4，0]∪[2，6）、[0，+∞）
C．[﹣4，0]∪[2，6]、[0，6）D．[﹣4，6）、[0，+∞）
8．已知，则a，b，c的大小关系为（）
A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b
9．将函数f（x）＝cos（2x﹣）的图象向右平移个单位后得到函数y＝g（x）的图象，则y＝g（x）图象的一条对称轴是直线（）
A．B．C．D．
10．若向量，，两两所成的角相等，且||＝2，||＝2，||＝6，则|++|＝（）A．4 B．10 C．4或10 D．2或
二、填空题
11．＝．
12．已知为单位向量，．若，则与的夹角为．
13．设函数，若，则f（﹣a）＝．
14．已知角α的终边经过点（3a，4a）（a≠0），则sin2α＝．
15．已知函数则方程f[f（x）]＝0的解的个数为．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
16．已知：函数．
（1）若函数f（x）为奇函数，求a的值；
（2）试用定义判断函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性．
17．已知：．
（1）求函数f（x）的最大值及其对应的x的值；
（2）该函数的图象可由y＝2sin x的图象经过怎样的平移和伸缩变换而得到？
18．已知，且，求：
（1）sin4α、cos4α；
（2）cos6α．
19．要建造一段5000m长的高速公路，工程队需要把380名施工人员分为两组，一组负责2000m的软土地带的施工，另一组完成剩下的3000m硬土地带的施工．根据工程技术人员的测算，软、硬地带每米公路的工程量分别为50人/天和30人/天．
（1）设参与软土地带工作的人数为x人，试分别写出在软、硬地带筑路的时间t1（x），t2（x）关于x的函数表达式；
（2）问如何安排两组的人数，才能使全队筑路工期最短？
20．在平面直角坐标系xOy中，已知A（12，5），B（﹣4，12）．（1）求cos∠AOB；
（2）将OA绕点O逆时针旋转45°到OC，求点C的坐标；
（3）若将OA绕点O逆时针旋转90°到OD，求证：．
参考答案
一、选择题：（本题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．已知集合P＝{x|2≤x≤3}，Q＝{x|x2≤4}，则P∩Q＝（）
A．（1，3] B．{2} C．[0，2] D．[0，3]
【分析】求出集合P，Q，由此能求出P∩Q．
解：∵集合P＝{x|2≤x≤3}，Q＝{x|x2≤4}＝{x|﹣2≤x≤2}，
∴P∩Q＝{2}．
故选：B．
2．若sinα＜0且tanα＞0，则α是（）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【分析】由正弦和正切的符号确定角的象限，当正弦值小于零时，角在第三四象限，当正切值大于零，角在第一三象限，要同时满足这两个条件，角的位置是第三象限，实际上我们解的是不等式组．
解：sinα＜0，α在三、四象限；tanα＞0，α在一、三象限．
故选：C．
3．函数的定义域为（）
A．（1，2）∪（2，+∞）B．（1，+∞）
C．（1，2）D．（﹣∞，0）∪（1，2）
【分析】由对数式的真数大于0，分式的分母不为0联立不等式组求解．
解：由，解得x＞1且x≠2．
∴函数的定义域为（1，2）∪（2，+∞）．
故选：A．
4．设，若，则k＝（）
A．1 B．﹣1 C．D．
【分析】利用向量平行的性质直接求解．
解：∵，，
∴，
解得k＝﹣．
故选：D．
5．已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣2，1），C（2，2），则顶点D的坐标为（）
A．（﹣5，2）B．（﹣2，1）C．（1，0）D．（3，4）
【分析】利用向量相等的性质直接求解．
解：设D（x，y），
∵平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣2，1），C（2，2），∴＝，∴（x+1，y﹣3）＝（4，1），
解得x＝3，y＝4，
∴顶点D的坐标为（3，4）．
故选：D．
6．已知函数y＝f（x）的图象是连续的曲线，且有如下的对应值表
x 1 2 3 4 5 6
y121.4 35 ﹣74 14.5 ﹣56.7 ﹣123.6 则函数y＝f（x）在区间[1，6]上的零点至少有（）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】利用已知条件，结合零点判定定理，转化求解即可．
解：由题意可知f（2）f（3）＜0，f（3）f（4）＜0，f（4）f（5）＜0．
函数零点个数为：3．
故选：B．
7．如图为函数y＝f（x）的图象，则其定义域和值域分别为（）
A．[﹣4，0]∪[2，6]、[0，+∞）B．[﹣4，0]∪[2，6）、[0，+∞）
C．[﹣4，0]∪[2，6]、[0，6）D．[﹣4，6）、[0，+∞）
【分析】由图象观察即可得到答案．
解：由图可知，定义域为[﹣4，0]∪[2，6）；值域为[0，+∞）．
故选：B．
8．已知，则a，b，c的大小关系为（）
A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b
【分析】结合指数函数的单调性及特殊点的函数值分别确定a，b，c的范围，即可比较大小
解：∵a＝＞43＝64，b＝2∈（1，2），c＝5＞2，
又c＜5，
故a＞c＞b．
故选：C．
9．将函数f（x）＝cos（2x﹣）的图象向右平移个单位后得到函数y＝g（x）的图象，则y＝g（x）图象的一条对称轴是直线（）
A．B．C．D．
【分析】由条件利用y＝A cos（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，得出结论．
解：将函数f（x）＝cos（2x﹣）图象上所有点向右平移个单位
得到函数y＝g（x）＝cos[2（x﹣）﹣]
＝cos（2x﹣）＝sin2x的图象，
令2x＝kπ+，求得x＝+，k∈Z，
则y＝g（x）的图象的一条对称轴是直线x＝，
故选：C．
10．若向量，，两两所成的角相等，且||＝2，||＝2，||＝6，则|++|＝（）A．4 B．10 C．4或10 D．2或
【分析】由题意可得任意两个向量的夹角为0或．分别求出的值，从而得出结论．
解：由于向量两两所成的角相等，故任意两个向量的夹角为0或．再由，可得
①若任意两个向量的夹角为0，则＝2+2+6＝10．
②若任意两个向量的夹角为，则＝2×2×cos＝﹣2，＝＝2×6
×cos＝﹣6，
故＝＝＝4，故选：C．
二、填空题（本题共5个小题，每小题5分，）
11．＝．
【分析】结合诱导公式及特殊角的三角函数值即可求解．
解：tan（﹣）＝tan（）＝tan＝．
故答案为：
12．已知为单位向量，．若，则与的夹角为45°．【分析】由已知结合向量数量积的性质及向量的夹角公式可求．
解：设与的夹角为θ，
因为||＝1，．，
所以5＝＝1+2+2，
所以，＝1，
则cosθ＝＝＝，
所以θ＝45°．
故答案为：45°．
13．设函数，若，则f（﹣a）＝．
【分析】根据题意，分析可得f（x）+f（﹣x）＝0，即可得函数f（x）为奇函数，据此分析可得答案．
解：根据题意，f（x）＝﹣，则f（﹣x）＝﹣＝﹣，
则f（x）+f（﹣x）＝（﹣）+（﹣）＝1﹣1＝0，即函数f（x）为奇函数，
若，则f（﹣a）＝﹣f（a）＝；
故答案为：
14．已知角α的终边经过点（3a，4a）（a≠0），则sin2α＝．【分析】由已知利用任意角的三角函数定义求得sinα，cosα的值，再由倍角公式求解．解：由已知可得，点（3a，4a）到原点的距离r＝，
若a＞0，则sin，cosα＝，则sin2α＝2sinαcosα＝；
若a＜0，则sin，cos，则sin2α＝2sinαcosα＝．∴sin2α＝．
故答案为：．
15．已知函数则方程f[f（x）]＝0的解的个数为 4 ．【分析】由题意画出大致图象，将方程f[f（x）]＝0分f（x）大于0或小于等于0两种情况讨论可得方程的解f（x）的值，转化为与函数f（x）的交点问题，数形结合可得方程f[f（x）]＝0的解的个数．
解：当f（x）＞0，则方程f[f（x）]＝0可得e f（x）﹣3＝0，可得f（x）＝ln3，而ln3∈（1，2），由图象可知，f（x）＝ln3与函数f（x）有3个交点，即是方程f[f（x）]＝0有3个解；
当f（x）＜0，则方程f[f（x）]＝0可得﹣（f（x））2﹣2f（x）+1＝0，
可得f（x）＝﹣1﹣＜﹣2，由图象可知f（x）＝﹣1﹣与函数f（x）仅有一个交点，
所以方程f[f（x）]＝0仅有一个解；
综上所述：方程f[f（x）]＝0有4个解．
故答案为：4．
三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
16．已知：函数．
（1）若函数f（x）为奇函数，求a的值；
（2）试用定义判断函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性．
【分析】（1）结合奇函数的定义可知f（﹣x）＝﹣f（x），代入即可求解a，
（2）设0＜x1＜x2，结合函数单调性的定义，利用作差法比较f（x1）与f（x2）的大小即可判断．
解：（1）因为函数f（x）为奇函数，
所以f（﹣x）＝a+＝﹣f（x）＝﹣a+，
所以，当a＝﹣a时，即a＝0，
（2）设0＜x1＜x2，
则f（x1）﹣f（x2）＝﹣（）＝﹣，
因为0＜x1＜x2，所以x1x2＞0，x2﹣x1＞0，
∴﹣＜0，
所以f（x1）＜f（x2），
所以函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增．
17．已知：．
（1）求函数f（x）的最大值及其对应的x的值；
（2）该函数的图象可由y＝2sin x的图象经过怎样的平移和伸缩变换而得到？
【分析】1）根据已知关系式以及数量积直接求出函数的最值，及相应的集合．
（2）利用三角函数的平移变换和伸缩变换求出结果
解：（1）由题意得：
f（x）＝＝sin+cos＝2sin（+），
所以函数f（x）的最大值为2，
由+＝2kπ+，即x＝4kπ+，k∈Z．
（2）y＝2sin x向左平移个单位得出y＝2sin（x+），
再把函数的横标伸长为原来的2倍得到：y＝2sin（+）的图象．
18．已知，且，求：
（1）sin4α、cos4α；
（2）cos6α．
【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求cos2α的值，进而根据二倍角公式即可求解．
（2）由（1）及两角和的余弦函数公式即可计算求值得解．
解：（1）由，得＜2α＜π，
又因为，
所以cos2α＝﹣＝﹣，
所以sin4α＝sin[2×（2α）]＝2sin2αcos2α＝2×＝﹣，
cos4α＝cos[2×（2α）]＝1﹣2sin22α＝1﹣2×（）2＝．
（2）cos6α＝cos（2α+4α）＝cos2αcos4α﹣sin2αsin4α＝（﹣）×﹣×（﹣）＝＝﹣．
19．要建造一段5000m长的高速公路，工程队需要把380名施工人员分为两组，一组负责2000m的软土地带的施工，另一组完成剩下的3000m硬土地带的施工．根据工程技术人员的测算，软、硬地带每米公路的工程量分别为50人/天和30人/天．
（1）设参与软土地带工作的人数为x人，试分别写出在软、硬地带筑路的时间t1（x），t2（x）关于x的函数表达式；
（2）问如何安排两组的人数，才能使全队筑路工期最短？
【分析】（1）参与软土地带工作的人数为x人，则在硬地带工作的人数为（380﹣x）人，列出函数的解析式．
（2）要使工期最短，需软硬地带同时完工．结合（1）令t1＝t2，求出x＝200．利用函数的单调性，求解函数的最小值，得到结果．
解：（1）因为参与软土地带工作的人数为x人，则在硬地带工作的人数为（380﹣x）人所以，在软土地带筑路的时间为：
t1（x）＝＝，
t2（x）＝＝，其中x∈（0，380），x∈N•，
（2）要使工期最短，需软硬地带同时完工．结合（1）
令t1＝t2，即，解得x＝200．
因为函数t1（x），在x∈（0，200]为减函数，在t2（x），x∈[200，380）为增函数且t1（200）＝t2（200）
所以，当200人到软土地带工作，180人到硬土地带工作时，可使全队筑路工期最短．20．在平面直角坐标系xOy中，已知A（12，5），B（﹣4，12）．
（1）求cos∠AOB；
（2）将OA绕点O逆时针旋转45°到OC，求点C的坐标；
（3）若将OA绕点O逆时针旋转90°到OD，求证：．
【分析】（1）利用cos∠AOB＝，即可得出．
（2）设与x轴正方向的夹角为α，则根据三角函数的定义可得：sinα＝，cosα＝．所以＝（13cos（+α），13sin（+α）），即可得出C点坐标．
（3）过B作OA的垂线，垂足为E．利用S△AOB＝|OA|•|BE|＝|OA|•|OB|sin∠AOB ＝|OA|•|OB|sin（﹣∠DOB），及其数量积运算性质即可得出．
解：（1）cos∠AOB＝＝＝．
（2）设与x轴正方向的夹角为α，则根据三角函数的定义可得：sinα＝，cosα＝．
所以＝（13cos（+α），13sin（+α）），
而13cos（+α）＝13×（﹣）＝，13sin（+α）＝13×（+）＝．
故C点坐标为（，）．
（3）证明：过B作OA的垂线，垂足为E
因为S△AOB＝|OA|•|BE|＝|OA|•|OB|sin∠AOB＝|OA|•|OB|sin（﹣∠DOB）＝|OA|•|OB|cos∠DOB＝．。