2017-2018学年高中数学必修一北师大版练习：第3章 1正

第三章 §1
A 级 基础巩固
1．下列各项对正整数指数函数的理解正确的有导学号 00814549( D )
①底数a ≥0；②指数x ∈N ＋；③底数不为0；④y ＝a x (a >0，a ≠1，x ∈N ＋)．
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
[解析] 由正整数指数函数定义知①错误，②③④正确故选D ． 2．函数y ＝(12
)x ，x ∈N ＋的值域是导学号 00814550( D ) A ．R
B ．[0，＋∞)
C ．N
D ．{12，122，12
3，…} [解析] ∵n ∈N ＋，∴把n ＝1,2,3，…代入可知选D ．
3．下列函数：①y ＝3x 2(x ∈N ＋)；②y ＝5x (x ∈N ＋)；
③y ＝3x ＋1(x ∈N ＋)；④y ＝3·2x (x ∈N ＋)． 其中是正整数指数函数的个数为导学号 00814551( B )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
[解析] 由正整数指数函数的定义知，①③④不是正整数指数函数，②是，故选B ． 4．函数y ＝(38
)x ，x ∈N ＋是导学号 00814552( D ) A ．奇函数
B ．偶函数
C ．增函数
D ．减函数
[解析] ∵0<38
<1，当x ∈N ＋且由小变大时，函数值由大变小，故选D ． 5．函数y ＝7x ，x ∈N ＋的单调递增区间是导学号 00814553( D )
A ．R
B ．N ＋
C ．[0，＋∞)
D ．不存在
[解析] 由于函数y ＝7x ，x ∈N ＋的定义域是N ＋，而N ＋不是区间，则该函数不存在单调区间．
6．满足3x 2－1＝19
的x 的值的集合为导学号 00814554( C ) A ．{1} B ．{－1,1}
C ．∅
D ．{0} [解析] 3x 2－1＝3－2，∴x 2－1＝－2，即x 2＝－1，无解．
7．已知函数f (x )＝(m －1)·4x (x ∈N ＋)是正整数指数函数，则实数m ＝_2__.导学号 00814555
[解析] 由m －1＝1，得m ＝2.
8．由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机的价格降低13
，则现在价格为8100元的计算机经过15年价格应降为_2400元__.导学号 00814556
[解析] 5年后价格为8100×⎝⎛⎭⎫1－13；10年后价格为8100×⎝⎛⎭
⎫1－132；15年后价格为8100×⎝⎛⎭
⎫1－133＝2400(元)． 9．对于五年可成材的树木，在此期间的年生长率为18%，以后的年生长率为10%，树木成材后，即可以售树木，重栽新树木；也可以让其继续生长．问哪一种方案可获得较大的木材量？(只需考虑十年的情形)导学号 00814557
[解析] 设新树苗的木材量为Q ，则十年后有两种结果：
①连续生长十年，木材量N ＝Q (1＋18%)5(1＋10%)5；
②生长五年后重栽，木材量M ＝2Q (1＋18%)5，
则M N ＝2(1＋10%)5
， 因为(1＋10%)5≈1.61<2，所以M N
>1，即M >N . 因此，生长五年后重栽可获得较大的木材量．
10．农民收入由工资性收入和其他收入两部分构成.2012年某地区农民人均收入为23150元(其中工资性收入为17800元，其他收入为5350元)．预计该地区自2013年起的5年内，农民的工资性收入将以每年6%的年增长率增长，其他收入每年增加1160元．根据以上数据，求2017年该地区农民人均收入约为多少元？(其中 1.064≈1.26,1.065≈1.34,1.066≈ 1.42)导学号 00814558
[分析] 本小题主要考查指数函数型的实际问题，也考查学生运用函数知识解决实际问题的能力．
[解析] 农民人均收入来源于两部分，一是工资性收入即17800×(1＋6%)5＝17800×1.065＝23852(元)，二是其它收入即5350＋5×1160＝11150(元)，
∴农民人均收入为23852＋11150＝35002(元)．
答：2017年该地区农民人均收入约为35002元．
B 级 素养提升
1．若f (x )＝3x (x ∈N 且x >0)，则函数y ＝f (－x )在其定义域上为导学号 00814559( B )
A ．增函数
B ．减函数
C ．先增后减
D ．先减后增
[解析] ∵f (x )＝3x (x ∈N 且x <0)，
∴y ＝f (－x )＝3－x ＝(13
)x ， ∴函数为减函数，故选B ．
2．某地区重视环境保护，绿色植被面积呈上升趋势，经调查，从2002年到2011年这10年间每两年上升2%,2010年和2011年种植植被815万m 2.当地政府决定今后四年内仍按这个比例发展下去，那么从2012年到2015年种植绿色植被面积为(四舍五入)导学号 00814560( B )
A ．848万m 2
B ．1679万m 2
C ．1173万m 2
D ．12494万m 2 [解析] 2012～2013年为815×(1＋2%)，
2014～2015年为815×(1＋2%)×(1＋2%)．
共为815×(1＋2%)＋815×(1＋2%)(1＋2%)≈1679.
3．不等式(13
)3－x 2<32x (x ∈N ＋)的解集是_{1,2}__.导学号 00814561 [解析] 由(13
)3－x 2<32x 得3x 2－3<32x . ∵函数y ＝3x ，x ∈N ＋为增函数，
∴x 2－3<2x ，即x 2－2x －3<0，
∴(x －3)(x ＋1)<0，解得－1<x <3.
又∵x ∈N ＋，∴x ＝1或x ＝2.
4．当x ∈N ＋时，用“>”“<”或“＝”填空：导学号 00814562 (12)x _<__1,2x _>__1，(12)x _<__2x ，(12)x _>__(13
)x,2x _<__3x . [解析] ∵x ∈N ＋，
∴(12
)x <1,2x >1. ∴2x >(12)x .又根据对其图像的研究，知2x <3x ，(12)x >(13
)x .也可以代入特殊值比较大小． 5．已知正整数指数函数f (x )的图像经过点(3,27)，导学号 00814563
(1)求函数f (x )的解析式；
(2)求f (5)；
(3)函数f(x)有最值吗？若有，试求出；若无，说明原因．
[解析](1)设正整数指数函数为f(x)＝a x(a>0，a≠1，x∈N＋)，因为函数f(x)的图像经过点(3,27)，
所以f(3)＝27，即a3＝27，解得a＝3，
所以函数f(x)的解析式为f(x)＝3x(x∈N＋)．
(2)f(5)＝35＝243.
(3)因为f(x)的定义域为N＋，且在定义域上单调递增，所以f(x)有最小值，最小值是f(1)＝3，f(x)无最大值．
6．某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题：导学号00814564
(1)写出该城市的人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式；
(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)；
(3)计算大经多少年以后该城市人口总数将达到120万人(精确到1年)((1＋1.2%)10≈1.127，(1＋1.2%)15≈1.196，(1＋1.2%)16≈1.21)?
[分析]本题是增长率问题，可以分别写第1年、第2年，依次类推得x年的解析式．[解析](1)1年后该城市人口总数为y＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)；
2年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2；
3年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)3.
x年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)x.
(2)10年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈112.7(万人)．
(3)令y＝120，则有100×(1＋1.2%)x＝120，解方程可得x≈16.
即大约16年后该城市人口总数将达到120万人．
C级能力拔高
截止到1999年底，我国人口约为13亿，若今后能将人口年平均递增率控制在1‰，经过x年后，我国人口数字为y(亿).导学号00814565
(1)求y与x的函数关系y＝f(x)；
(2)求函数y＝f(x)的定义域；
(3)判断函数f(x)是增函数还是减函数？并指出在这里函数的增、减有什么实际意义．
[解析](1)1999年年底的人口数：13亿；
经过1年，2000年年底的人口数：13＋13×1‰＝13(1＋1‰)(亿)；
经过2年，2001年年底的人口数：13(1＋1‰)＋13(1＋1‰)×1‰＝13(1＋1‰)2(亿)；
经过3年，2002年年底的人口数：13(1＋1‰)2＋13(1＋1‰)2×1‰＝13(1＋1‰)3(亿)．
∴经过年数与(1＋1‰)的指数相同．
∴经过x年后的人口数：13(1＋1‰)x(亿)，
∴y＝f(x)＝13(1＋1‰)x(x∈N)．
(2)理论上指数函数定义域为R，
∵此问题以年作为单位时间，∴x∈N是此函数的定义域．
(3)y＝f(x)＝13(1＋1‰)x，
∵1＋1‰>1,13>0，∴y＝f(x)＝13(1＋1‰)x是增函数，
即只要递增率为正数时，随着时间的推移，人口的总数总在增长．。