高三数学—杨浦静安青浦宝山二模理

静安、杨浦、青浦、宝山
2013—2014学年数学试卷理科
一、填空题 本大题共有14题;满分56分 1. 二阶行列式
i
i i ++-110
1的值是 . 其中i 为虚数单位
2. 已知j i
,是方向分别与x 轴和y 轴正方向相同的两个基本单位向量;则平面向
量j i +的模等于 .
3. 二项式7)1(+x 的展开式中含3x 项的系数值为_______________.
4. 已知圆锥的母线长为5;侧面积为π15;则此圆锥的体积为__________.结果中
保留π
5. 已知集合{}sin ,A y y x x R ==∈;{}21,B x x n n Z ==+∈;则A B = .
6. 在平面直角坐标系xOy 中;若圆22(1)4x y +-=上存在A ;B 两点;且弦AB 的中点为(1,2)P ;
则直线AB 的方程为 .
7. 已知1log log 22=+y x ;则y x +的最小值为_____________.
8. 已知首项31=a 的无穷等比数列{}n a )(*N n ∈的各项和等于4;则这个数列{}n a 的公比是 ．
9. 在平面直角坐标系xOy 中;曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==,
sin 2,
cos 2ααy x α为参数;O 为坐
标原点;
M 为1C 上的动点;P 点满足2OP OM =;点P 的轨迹为曲线2C ．则2C 的参数方程为 .
10. 阅读右面的程序框图;运行相应的程序;输出的结果为 .
11. 从5男和3女8位志愿者中任选3人参加冬奥会火炬接力
第10题
活动;若随机
变量ξ表示所选3人中女志愿者的人数;则ξ的数学期望是 ． 12. 设各项均不为零的数列{}n c 中;所有满足01<⋅+i i c c 的正整数i 的个数
称为这个数列{}n c 的变号数.已知数列{}n a 的前n 项和442+-=n n S n ;
n
n a b 4
1-
=*N n ∈;则数列{}n b 的变号数为 . 13. 已知定义在[)+∞,0上的函数)(x f 满足)2(3)(+=x f x f .当[)2,0∈x 时
x x x f 2)(2
+-=.设)(x f 在[)n n 2,22-上的最大值为n a ;且数列}{n a 的 前n 项和为n S ;则=∞
→n n S lim . 其中*N n ∈
14. 正方形1S 和2S 内接于同一个直角三角形ABC 中;如图所示;设α=∠A ;若
4411=S ;4402=S ;
则=α2sin .
二、选择题本大题共有4题;满分20分每题有且只有一个正确答案;考生应在答
题纸相应编号上;将代表答案的小方格涂黑;选对得5分;否则一律得零分． 15. 在实数集R 上定义运算*：(1)x y x y *=⋅-．若关于x 的不等式()0x x a *->的解集是
集合{|11}x x -≤≤的子集;则实数a 的取值范围是…………………… . 16．“1=ω”是“函数x x x f ωω22cos sin )(-=的最小正周期为π”的……… .
)(A 充分必要条件 )(B 充分不必要条件 )(C 必要不充分条件 )(D 既不充分又必要条件
17. 若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等;圆柱、球的表面积分别记为1S 、
2S ;则1S :2S =… .
)(A 1:1 )(B 2:1 )(C 3:2 )(D 4:1
A B C
D
E F
S 1 ? A B
C
P N
F S 2
?M Q
A
D
C
F
P B
第20题图 18. 函数()f x 的定义域为实数集R ;⎪⎩⎪
⎨⎧<≤--≤≤=.01,1)2
1(,10,)(x x x x f x 对于任意的x R
∈都有
(1)(1)f x f x +=-.若在区间[1,3]-上函数()()g x f x mx m =--恰有四个不同的
零点;
则实数m 的取值范围是………………………………………………… .
三、解答题本大题共有5题;满分74分解答下列各题须在答题纸相应编号的规
定区域内写出必要的步骤． 19．本题满分12分
如图;四棱锥P ABCD -中;底面ABCD 是平行四边形;︒=∠
90CAD ;PA ⊥平面ABCD ;1PA BC ==;AB =;F 是BC 的中点. 1求证：DA ⊥平面PAC ；
2若以A 为坐标原点;射线AC 、AD 、AP 分别是轴、轴、轴的 正半轴;建立空间直角坐标系;已经计算得)1,1,1(=n 是平面PCD 的
法向量;求平面PAF 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值. 20．本题满分14分本题共有2个小题;第1小题满分6分;第2小题满分8分
某公司承建扇环面形状的花坛如图所示;该扇环面花坛是由以点O 为圆心的两个同心圆弧AD 、
弧BC 以及两条线段AB 和CD 围成的封闭图形．花坛设计周长为30米;其中大圆弧AD 所在圆的
半径为10米．设小圆弧BC 所在圆的半径为x 米100<<x ;1求θ关于x 的函数关系式；
2在对花坛的边缘进行装饰时;已知两条线段的装饰费用为4元 弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y ; 当x 为何值时;y 取得最大值
21．本题满分14分本题共有2个小题;第1小题满分5分;第2小题满分9分
已知椭圆22
22:1x y C a b
+=(0)a b >>的右焦点为F (1,0);短轴的端点分别为12,B B ;且
12FB FB a ⋅=-.
1求椭圆C 的方程；
2过点F 且斜率为k (0)k ≠的直线l 交椭圆于,M N 两点;弦MN 的垂直平分线与x 轴相交于点D .
设弦MN 的中点为P ;试求
DP MN
的取值范围．
22．本题满分16分本题共有3个小题;第1小题满分4分;第2小题满分6分;
第3小题满分6分
设函数x x g 3)(=;x x h 9)(=.
1解方程：)9)((log )8)(2(log 33+=-+x h x g x ； 2令3
)()()(+=
x g x g x p ;3
)(3
)(+=
x h x q ;求证：
3若b
x g a
x g x f +++=)()1()(是实数集R 上的奇函数;且0))(2()1)((>⋅-+-x g k f x h f 对
任意
实数x 恒成立;求实数k 的取值范围.
23．本题满分18分本题共有3个小题;第1小题满分4分;第2小题满分6分;第
3小题满分8分
设各项都是正整数的无穷数列{}n a 满足：对任意*N n ∈;有1+<n n a a ．记n a n a b =． 1若数列{}n a 是首项11a =;公比2=q 的等比数列;求数列{}n b 的通项公式； 2若n b n 3=;证明：21=a ；
3若数列{}n a 的首项11a =;1+=n a n a c ;{}n c 是公差为1的等差数列．记n n
n a d ⋅-=2;
n n n d d d d S ++++=-121 ;问：使502
1
>⋅++n n n S 成立的最小正整数n 是否存在 并说明理由
．
试卷解答
一．填空题本大题满分56分
1．2； 2．2 3．35； 4．π12 5．{}1,1-；6． 30x y +-= 7. 22； 8．4
1 9．⎩⎨⎧==,
sin 4,cos 4ααy x α为参数； 10.
13
8 11．.8
9
5613561525630156100=⨯+⨯+⨯+⨯
=ξE 12．3． 13.23 14．10
1
2sin =α
二、选择题本大题满分20分本大题共有4题;每题有且只有一个正确答案;考生应在答案纸的相应编号上;填上正确的答案;选对得5分;否则一律得零分. 15．D ；16．B ；17．C ；18．D ；
三、解答题本大题满分74分本大题共5题;解答下列各题必须在答题纸相应编
号的规定区域内
写出必要的步骤 .
19．1
(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(1,,0),(0,0,1)2
A C
B D F P --. 1 证明方法一：
四边形是平行四边形;PA ⊥平面ABCD ∴PA DA ⊥;又
AC DA ⊥;AC
PA A =;∴DA ⊥平面PAC .
方法二：证得DA 是平面PAC 的一个法向量;∴DA ⊥平面PAC .
2通过平面几何图形性质或者解线性方程组;计算得平面PAF 一个法向量为
(1,2,0)m =;
又平面PCD 法向量为(1,1,1)n =;所以||15
cos ,5
||||
m n m n m n ⋅<>=
=
∴所求二面角的余
弦值为
. 20．1设扇环的圆心角为 ;则()30102(10)x x θ=++-;所以10210x x
θ+=+; 2 花坛的面积为2221(10)(5)(10)550,(010)2
x x x x x x θ-=+-=-++<<．
装饰总费用为()9108(10)17010x x x θ++-=+;
所以花坛的面积与装饰总费用的比22550550
==1701010(17)
x x x x y x x -++---
++;
令17t x =+;则3913243()1010
10
y t t
=-+≤;当且仅当t =18时取等号;此时
12
1,11
x θ==
． 答：当1x =时;花坛的面积与装饰总费用的比最大．
21．1依题意不妨设1(0,)B b -;2(0,)B b ;则1(1,)FB b =--;2(1,)FB b =-.
由12FB FB a ⋅=-;得21b a -=-. 又因为221a b -=;
解得2,a b ==.
所以椭圆C 的方程为22
143
x y +=.
2
依题意直线l 的方程为(1)y k x =-. 由22(1),
143
y k x x y =-⎧⎪
⎨+
=⎪⎩得
2222(34)84120k x k x k +-+-=.
设11(,)M x y ;22(,)N x y ;则2
122
834k x x k
+=+;212241234k x x k -=+. 所以弦MN 的中点为222
43(
,)3434k k
P k k -++.
所以MN ==
=2212(1)
43k k +=+.
直线PD 的方程为2
2
2314()4343
k k y x k k k +=--++;
由0y =;得2243k x k =+;则2
2(,0)43k D k +;
所以DP =
所以224312(1)43
DP k k MN k +==+
+=. 又因为211k +>;所以21011k <
<+.
所以1
04
<<. 所以DP MN 的取值范围是1(0,)4
.
22．199)832(3+=-⋅⋅x x x ;93=x ;2=x 22
1323)21()20141007(
===p p ;21
63)21()20141007(
===q q ． 因为13
333
333
3
33
33)1()(11=++
+=
++
+=-+--x
x
x x
x x
x x p x p ;
所以;21
1006)20142013()20142()20141(
+=+++p p p ; 211006)20142013()20142()20141(+=+++q q q ． )2014
2013()20142()20141(p p p +++ =)20142013
()20142()20141(
q q q +++ ． 3因为b
x a
x x f +++=
)()1()(ϕϕ是实数集上的奇函数;所以1,3=-=b a .
)1
32
1(3)(+-
=x x f ;)(x f 在实数集上单调递增. 由0))(2()1)((>⋅-+-x g k f x h f 得))(2()1)((x g k f x h f ⋅-->-;又因为)(x f 是实数集上的奇函数;
所以;)2)(()1)((-⋅>-x g k f x h f ;
又因为)(x f 在实数集上单调递增;所以2)(1)(-⋅>-x g k x h 即23132-⋅>-x x k 对任意的R x ∈都成立;即x x k 3
1
3+
<对任意的R x ∈都成
立;2<k .
23．11
111a b a a ===;2
421
1
2211--====--n a n n n n a a b ；
2根据反证法排除11a =和*
113()a a N ≥∈
证明：假设12a ≠;又*N a n ∈;所以11a =或*
113()a a N ≥∈
①当11a =时;1
111a b a a ===与13b =矛盾;所以11a ≠；
②当*
113()a a N ≥∈时;即1
113a a b a ≥==;即1
1a a a ≥;
又1+<n n a a ;所以11a ≤与*
113()a a N ≥∈矛盾；
由①②可知21=a ．
3首先{}n a 是公差为1的等差数列;
证明如下：1n n a a +>*
2,n n N ⇒≥∈时1n n a a ->;
所以11n n a a -≥+()n m a a n m ⇒≥+-;*
(,)m n m n N <∈、
1111[1(1)]n n a a n n a a a a ++++⇒≥++-+即11n n n n c c a a ++-≥-
由题设11n n a a +≥-又11n n a a +-≥11n n a a +⇒-=
即{}n a 是等差数列．又{}n a 的首项11a =;所以n a n =;)223222(32n
n n S ⋅++⋅+⋅+-= ; 对此式两边乘以2;得1
4322232222+⋅--⋅-⋅--=n n n S 两式相减得=⋅-++++=+1
322
2222n n n n S 22211-⋅-++n n n 22211-=⋅+++n n n n S ;5021>⋅++n n n S 即5221≥+n ;当5≥n 时;526421>=+n ;
即存在最小正整数5使得502
1
>⋅++n n n S 成立． 注：也可以归纳猜想后用数学归纳法证明n a n =．。