2007数学物理方程试卷A

,考试作弊将带来严重后果！没有答案，自己做！ 华南理工大学期末考试（A 卷） 《 2007数学物理方程 》试卷 1. 考前请将密封线内各项信息填写清楚； 所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)； ．考试形式：闭卷；
.在振动方程2(,)tt xx u a u f x t -=中,u 是时刻 t 点、x 处的位移；f 是时刻t 、点 处的外力密度( )； 对混合问题，只要边界条件是齐次的，就可以直接用分离变量法( )； 对方程2(,)t x x u a u f x t -=,若有两个解1(,)u x t 和2(,)u x t ，则1122(,)(,)c u x t c u x t =+也是方程的解. ( )； 设n ()J u x 是第一类Bessel 函数，则n ()J u x 和n+1()J u x 都有无穷多个正零点，且n ()J u x 与n+1()J u x 的正零点是相间出现的 ( )； 对于任意的连续函数()1x ρ=，有公式00()()()b a x x x dx x δϕϕ-=⎰( )； 若u 在Ω 内调和,在Ω+Γ 上连续,且不是常数,则它的最大、最小值只能在 内达到 ( )； 勒让德多项式()(11)n p x x -<<以()1x ρ=为权函数正交( )。

（54分） ．求贝塞尔方程22"'(5)0x y xy x y ++-=的通解；
2．验证21(,)sin 22u r r θθ=满足方程：2110rr r u u u r r θθ++=
3．验证波动方程20(,0)(,0)(),(,0)()tt xx t u a u x t u x x u x x ϕψ⎧-=-∞<<∞>⎪⎨==⎪⎩的达朗贝尔公式满足波动方
程
4．写出二维拉普拉斯方程21
10rr r u u u r r θθ++=的一个基本解；
5．用分离变量法求解20,(0,0)(0,)0,(,)0(,0)(),(,0)()tt xx t u a u x b t u t u b t u x x u x x ϕψ⎧-=<<>⎪==⎨⎪==⎩
，其中,a b 为常数
6．对二阶线性偏微分方程 111222122(,)xx xy yy x y a u a u a u bu b u cu f x y +++++=，
给出方程是双曲型，抛物型和椭圆型的条件；
三、计算题（32分）
1.将方程220xx yy y u x u -=化为标准形式
2.. 用傅里叶变换求解初值问题： 2(,)(,0)(,0)()
t xx u a u x t x t u x x δδ⎧-=-∞<<+∞>⎨=⎩
3..求解下列圆膜热传导问题，并讨论t →∞时，(,)u x t 的极限值
221()0(01,0)(1,)0(0,)(,0)t rr r r u a u u r t r u t u t u r r
⎧-+=≤<>⎪⎪=<+∞
⎨⎪=⎪⎩
4..
求解球域的边值问题10,13cos 1
xx yy zz r u u u r u θ=⎧++==⎪⎨=+⎪⎩。