登封市第一高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

登封市第一高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 复数满足2＋2z
1－i ＝i z ，则z 等于（ ）
A ．1＋i
B ．－1＋i
C ．1－i
D ．－1－i 2． 在△ABC 中，a=1，b=4，C=60°，则边长c=（ ）
A ．13
B ．
C ．
D ．21
3． 设M={x|﹣2≤x ≤2}，N={y|0≤y ≤2}，函数f （x ）的定义域为M ，值域为N ，则f （x ）的图象可以是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4． 若全集U={﹣1，0，1，2}，P={x ∈Z|x 2
＜2}，则∁U P=（ ） A ．{2} B ．{0，2}
C ．{﹣1，2}
D ．{﹣1，0，2}
5． 下列函数中，为偶函数的是（ ）
A ．y=x+1
B ．y=
C ．y=x 4
D ．y=x 5
6． 已知f （x ）为偶函数，且f （x+2）=﹣f （x ），当﹣2≤x ≤0时，f （x ）=2x ；若n ∈N *，a n =f （n ），则a 2017等于（ ）
A ．2017
B ．﹣8
C ．
D ．
7． 已知集合A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，则集合A ∪B=（ ） A ．{5，8}
B ．{4，5，6，7，8}
C ．{3，4，5，6，7，8}
D ．{4，5，6，7，8}
8． 下面的结构图，总经理的直接下属是（ ）
A．总工程师和专家办公室
B．开发部
C．总工程师、专家办公室和开发部
D．总工程师、专家办公室和所有七个部
9．如图可能是下列哪个函数的图象（）
A．y=2x﹣x2﹣1 B．y=
C．y=（x2﹣2x）e x D．y=
10．已知a为常数，则使得成立的一个充分而不必要条件是（）
A．a＞0 B．a＜0 C．a＞e D．a＜e
11．与函数y=x有相同的图象的函数是（）
A．B．C．D．
12．已知点A（1，1），B（3，3），则线段AB的垂直平分线的方程是（）
A．y=﹣x+4 B．y=x C．y=x+4 D．y=﹣x
二、填空题
13．函数f（x）=x2e x在区间（a，a+1）上存在极值点，则实数a的取值范围为．
14．已知曲线y=（a﹣3）x3+lnx存在垂直于y轴的切线，函数f（x）=x3﹣ax2﹣3x+1在[1，2]上单调递减，则a的范围为．
15．设α为锐角，=（cosα，sinα），=（1，﹣1）且•=，则sin（α+）=．
16．已知向量、满足，则|+|=．
17．在△ABC中，若角A为锐角，且=（2，3），=（3，m），则实数m的取值范围是．
18．抛物线y2=4x的焦点为F，过F且倾斜角等于的直线与抛物线在x轴上方的曲线交于点A，则AF的长
为．
三、解答题
19．已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣．
（1）若0＜α＜，且sinα=，求f（α）的值；
（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．
20．长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AA1=AD=4，点E为AB中点．
（1）求证：BD1∥平面A1DE；
（2）求证：A1D⊥平面ABD1．
21．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且990S =，15240S =． （1）求{}n a 的通项公式n a 和前n 项和n S ；
（2）设(){}
1n
n n b a --是等比数列，且257,71b b ==，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
【命题意图】本题考查等差数列与等比数列的通项与前n 项和、数列求和等基础知识，意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、代数变形能力，以及分类讨论思想、方程思想、分组求和法的应用．
22．2016年1月1日起全国统一实施全面两孩政策．为了解适龄民众对放开生育二胎政策的态度，某市选取7080100位，得到数据如表：
70后公民中随机抽取3位，记其中生二胎的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望；
（Ⅱ）根据调查数据，是否有90%以上的把握认为“生二胎与年龄有关”，并说明理由． 2.072
2.706
3.841
5.024
（参考公式：，其中n=a+b+c+d ）
23．设函数f （x ）=1+（1+a ）x ﹣x 2﹣x 3，其中a ＞0． （Ⅰ）讨论f （x ）在其定义域上的单调性；
（Ⅱ）当x ∈时，求f （x ）取得最大值和最小值时的x 的值．
24．（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边为c b a ,,，已知
1cos )sin 3(cos 2
cos 22
=-+C B B A
. （I ）求角C 的值；
（II ）若2b =，且ABC ∆的面积取值范围为，求c 的取值范围． 【命题意图】本题考查三角恒等变形、余弦定理、三角形面积公式等基础知识，意在考查基本运算能力．
登封市第一高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】
【解析】解析：选D.法一：由2＋2z
1－i ＝i z 得
2＋2z ＝i z ＋z ， 即（1－i ）z ＝－2，
∴z ＝－2
1－i ＝－2（1＋i ）
2＝－1－i.
法二：设z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）， ∴2＋2（a ＋b i ）＝（1－i ）i （a ＋b i ）， 即2＋2a ＋2b i ＝a －b ＋（a ＋b ）i ，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧2＋2a ＝a －b
2b ＝a ＋b ， ∴a ＝b ＝－1，故z ＝－1－i. 2． 【答案】B
【解析】解：∵a=1，b=4，C=60°，
∴由余弦定理可得：c=
=
=
．
故选：B ．
3． 【答案】B
【解析】解：A 项定义域为[﹣2，0]，D 项值域不是[0，2]，C 项对任一x 都有两个y 与之对应，都不符．
故选B ．
【点评】本题考查的是函数三要素，即定义域、值域、对应关系的问题．
4． 【答案】A
【解析】解：∵x 2
＜2 ∴﹣
＜x ＜
∴P={x ∈Z|x 2
＜2}={x|﹣
＜x ＜
，x ∈Z|}={﹣1，0，1}，
又∵全集U={﹣1，0，1，2}， ∴∁U P={2}
故选：A．
5．【答案】C
【解析】解：对于A，既不是奇函数，也不是偶函数，
对于B，满足f（﹣x）=﹣f（x），是奇函数，
对于C，定义域为R，满足f（x）=f（﹣x），则是偶函数，
对于D，满足f（﹣x）=﹣f（x），是奇函数，
故选：C．
【点评】本题主要考查了偶函数的定义，同时考查了解决问题、分析问题的能力，属于基础题．
6．【答案】D
【解析】解：∵f（x+2）=﹣f（x），
∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），
即f（x+4）=f（x），
即函数的周期是4．
∴a2017=f（2017）=f（504×4+1）=f（1），
∵f（x）为偶函数，当﹣2≤x≤0时，f（x）=2x，
∴f（1）=f（﹣1）=，
∴a2017=f（1）=，
故选：D．
【点评】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性和周期性之间的关系是解决本题的关键．
7．【答案】C
【解析】解：∵A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，
∴A∪B={3，4，5，6，7，8}．
故选C
8．【答案】C
【解析】解：按照结构图的表示一目了然，
就是总工程师、专家办公室和开发部．
读结构图的顺序是按照从上到下，从左到右的顺序．
故选C．
【点评】本题是一个已知结构图，通过解读各部分从而得到系统具有的功能，在解读时，要从大的部分读起，一般而言，是从左到右，从上到下的过程解读．
9．【答案】C
【解析】解：A中，∵y=2x﹣x2﹣1，当x趋向于﹣∞时，函数y=2x的值趋向于0，y=x2+1的值趋向+∞，
∴函数y=2x﹣x2﹣1的值小于0，∴A中的函数不满足条件；
B中，∵y=sinx是周期函数，∴函数y=的图象是以x轴为中心的波浪线，
∴B中的函数不满足条件；
C中，∵函数y=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，当x＜0或x＞2时，y＞0，当0＜x＜2时，y＜0；
且y=e x＞0恒成立，
∴y=（x2﹣2x）e x的图象在x趋向于﹣∞时，y＞0，0＜x＜2时，y＜0，在x趋向于+∞时，y趋向于+∞；
∴C中的函数满足条件；
D中，y=的定义域是（0，1）∪（1，+∞），且在x∈（0，1）时，lnx＜0，
∴y=＜0，∴D中函数不满足条件．
故选：C．
【点评】本题考查了函数的图象和性质的应用问题，解题时要注意分析每个函数的定义域与函数的图象特征，是综合性题目．
10．【答案】C
【解析】解：由积分运算法则，得
=lnx=lne﹣ln1=1
因此，不等式即即a＞1，对应的集合是（1，+∞）
将此范围与各个选项加以比较，只有C项对应集合（e，+∞）是（1，+∞）的子集
∴原不等式成立的一个充分而不必要条件是a＞e
故选：C
【点评】本题给出关于定积分的一个不等式，求使之成立的一个充分而不必要条件，着重考查了定积分计算公式和充要条件的判断等知识，属于基础题．
11．【答案】D
【解析】解：A：y=的定义域[0，+∞），与y=x的定义域R不同，故A错误
B：与y=x的对应法则不一样，故B错误
C：=x，（x≠0）与y=x的定义域R不同，故C错误
D：，与y=x是同一个函数，则函数的图象相同，故D正确
故选D
【点评】本题主要考查了函数的三要素：函数的定义域，函数的值域及函数的对应法则的判断，属于基础试题12．【答案】A
【解析】解：∵点A（1，1），B（3，3），
∴AB的中点C（2，2），
k AB==1，
∴线段AB的垂直平分线的斜率k=﹣1，
∴线段AB的垂直平分线的方程为：
y﹣2=﹣（x﹣2），整理，得：y=﹣x+4．
故选：A．
二、填空题
13．【答案】（﹣3，﹣2）∪（﹣1，0）．
【解析】解：函数f（x）=x2e x的导数为y′=2xe x+x2e x =xe x（x+2），
令y′=0，则x=0或﹣2，
﹣2＜x＜0上单调递减，（﹣∞，﹣2），（0，+∞）上单调递增，
∴0或﹣2是函数的极值点，
∵函数f（x）=x2e x在区间（a，a+1）上存在极值点，
∴a＜﹣2＜a+1或a＜0＜a+1，
∴﹣3＜a＜﹣2或﹣1＜a＜0．
故答案为：（﹣3，﹣2）∪（﹣1，0）．
14．【答案】．
【解析】解：因为y=（a﹣3）x3+lnx存在垂直于y轴的切线，即y'=0有解，即
y'=在x＞0时有解，
所以3（a﹣3）x3+1=0，即a﹣3＜0，所以此时a＜3．
函数f（x）=x3﹣ax2﹣3x+1在[1，2]上单调递减，则f'（x）≤0恒成立，
即f'（x）=3x2﹣2ax﹣3≤0恒成立，即，
因为函数在[1，2]上单调递增，所以函数的最大值为，
所以，所以．
综上．
故答案为：．
【点评】本题主要考查导数的基本运算和导数的应用，要求熟练掌握利用导数在研究函数的基本应用．15．【答案】：．
【解析】解：∵•=cosα﹣sinα=，
∴1﹣sin2α=，得sin2α=，
∵α为锐角，cosα﹣sinα=⇒α∈（0，），从而cos2α取正值，
∴cos2α==，
∵α为锐角，sin（α+）＞0，
∴sin（α+）
====
．
故答案为：．
16．【答案】5．
【解析】解：∵=（1，0）+（2，4）=（3，4）．
∴==5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了向量的运算法则和模的计算公式，属于基础题．
17．【答案】．
【解析】解：由于角A为锐角，
∴且不共线，
∴6+3m＞0且2m≠9，解得m＞﹣2且m．
∴实数m的取值范围是．
故答案为：．
【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量共线的条件，是基础题．
18．【答案】4．
【解析】解：由已知可得直线AF的方程为y=（x﹣1），
联立直线与抛物线方程消元得：3x2﹣10x+3=0，解之得：x1=3，x2=（据题意应舍去），
由抛物线定义可得：AF=x1+=3+1=4．
故答案为：4．
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的定义，考查学生的计算能力，属于中档题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）∵0＜α＜，且sinα=，
∴cosα=，
∴f（α）=cosα（sinα+cosα）﹣，
=×（+）﹣
=．
（2）f （x ）=cosx （sinx+cosx ）﹣．
=sinxcosx+cos 2x ﹣
=sin2x+cos2x
=sin （2x+
），
∴T==π，
由2k π﹣
≤2x+
≤2k π+
，k ∈Z ，得k π﹣
≤x ≤k π+
，k ∈Z ，
∴f （x ）的单调递增区间为[k π﹣，k π+
]，k ∈Z ．
20．【答案】
【解析】证明：（1）连结A 1D ，AD 1，A 1D ∩AD 1=O ，连结OE ， ∵长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，ADD 1A 1是矩形， ∴O 是AD 1的中点，∴OE ∥BD 1，
∵OE ∥BD 1，OE ⊂平面ABD 1，BD 1⊄平面ABD 1， ∴BD 1∥平面A 1DE ．
（2）∵长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=2，AA 1=AD=4，点E 为AB 中点， ∴ADD 1A 1是正方形，∴A 1D ⊥AD 1，
∵长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ⊥平面ADD 1A 1， ∴A 1D ⊥AB ，
又AB ∩AD 1=A ，∴A 1D ⊥平面ABD 1．
21．【答案】
【解析】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，
则由990S =，15240S =，得11
93690
15105240a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得12a d ==，……………3分
所以2(n 1)22n a n =+-⨯=，即2n a n =，
(1)
22(1)2
n n n S n n n -=+
⨯=+，即1n S n n =+（）．……………5分
22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由已知得该市70后“生二胎”
的概率为
=，且X ～B （3
，），
P （X=0）
=
=
， P （X=1）
=
=， P （X=2）=
=， P （X=3）
=
=，
∴E （X ）=3×=2．
（Ⅱ）假设生二胎与年龄无关，
K 2=
=
≈3.030＞2.706，
所以有90%以上的把握认为“生二胎与年龄有关”．
23．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）f （x ）的定义域为（﹣∞，+∞），f ′（x ）=1+a ﹣2x ﹣3x 2
，
由f ′（x ）=0，得x 1=，x 2=，x 1＜x 2，
∴由f ′（x ）＜0得x ＜，x ＞；
由f ′（x ）＞0得＜x ＜；
故f （x ）在（﹣∞，）和（
，+∞）单调递减，
在（，
）上单调递增；
（Ⅱ）∵a ＞0，∴x 1＜0，x 2＞0，∵x ∈，当
时，即a ≥4
①当a ≥4时，x 2≥1，由（Ⅰ）知，f （x ）在上单调递增，∴f （x ）在x=0和x=1处分别取得最小值和最大值． ②当0＜a ＜4时，x 2＜1，由（Ⅰ）知，f （x ）在单调递增，在上单调递减，
因此f （x ）在x=x 2=
处取得最大值，又f （0）=1，f （1）=a ，
∴当0＜a ＜1时，f （x ）在x=1处取得最小值； 当a=1时，f （x ）在x=0和x=1处取得最小值； 当1＜a ＜4时，f （x ）在x=0处取得最小值．
24．【答案】 【解析】（I ）∵1cos )sin 3(cos 2
cos 22
=-+C B B A
， ∴0cos sin 3cos cos cos =-+C B C B A ， ∴0cos sin 3cos cos )cos(=-++-C B C B C B ，
∴0cos sin 3cos cos sin sin cos cos =-++-C B C B C B C B ，
∴0cos sin 3sin sin =-C B C B ，因为sin 0B >，所以3tan =C 又∵C 是三角形的内角，∴3
π
=
C .。