北京市延庆区2019届高三一模数学(文)试题(含答案)

北京市延庆区2019届高三一模数学(文)试题(含答案)
延庆区2018—2019学年度一模统一考试
高三数学（文科）2019
年3月
本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在
每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知集合(){}10A x x x =+≤，集合{}11B x x =-<<，则=A B U （A ）{}-11x x ≤≤ （B ） {}-11x x ≤<
（C ）{}-10x x <≤ （D ）{}01x x <<
2. 圆心为(0,1)且与直线2y =相切的圆的方程为
（A ）2
2
(1)1x y -+= （B ）2
2
(1)1x y ++= （C ）2
2
(1)1x y +-=（D ）
22(1)1
x y ++=
3. “01k <<”是“方程
22
112
x y k k +=-+表示双曲线”的
（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件
（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件
4. 已知(0,1)x ∈，令3
log a x =，sin b x =，2x
c =，那么,,a b c 之
间的大小关系为
（A ）a b c << （B ）b a c << （C ）b c a <<
（D ）c a b
<<
5. 函数()=sin 232f x x x
在区间[,]22ππ
-上的零点之和
是
（A ）3
π
-
（B ）3
π
（C ）6
π
（D ）6
π
-
6.
执行如图所示的程序框图，如果输出的S 值为4，则判断框
内应填入的判断条件为
（A ）2i < （B ）3i < （C ）4i < （D ）5i <
7. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥四
主视图
俯视图
左视图
21
1
个面中最大面积是
（A ） 32
（B
（C
（D ）1
8. 4名运动员参加一次乒乓球比赛，每2名运动员都赛场并决出胜负．设第位运动员共胜场，
负场(1,2,3,4)i =，则错误的结论是
（A ）1
2
341234
x x
x x y y y y +++=+++ （B ）2
2222222
12341234x
x x x y y y y +++=+++
（C ）1
2
34
x x
x x +++为定值，与各场比赛的结果无关 （D ）2222
1234x
x x x +++为定值，与各场比赛结果无关
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分. 9. 设为虚数单位，如果复数z 满足(1)i z i -=，那么
z
的虚部为 .
10. 已知向量(1,),(,1)
a x
b x x →
→
==+则
a b
→→
g 的最小值
为 .
11. 设,x y 满足约束条件
240,20,1,x y x y x +-≤⎧⎪
-≤⎨⎪≥⎩
则2
2
x
y +的最大值
1i i
x i
y i
是 .
12. 设()f x 是定义在R 上的单调递减函数，能说明“一定存在0
x R ∈使得0
()0f x <”为假命题
的一个函数是()f x = . 13. 若函数
sin ,,()1
,,x x a f x x a x ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩
的值域为[]1,1-，则a 的取值范
围是 .
延庆区2018—2019学年度一模统一考试答案
数
学（文科） 2019.3
一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共
40分）
二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 共30分）
三、解答题(本大题共6小题,共80分)
15. （本小题满分13分） 解：(Ⅰ)设数列{}n
a 的公差为d ，
因为1
2
6
a a
+=，2
310
a
a +=，所以3
a
-14
a =，
所以24d =，2d =. ………………………3分 又1
1
6a a d ++=，所以1
2a =，………………………
4分
所以1(1)2n
a
a n d n
=+-=. ………………………6分
（Ⅱ）记1
2n a n
b
+=
所以2(1)1
24n n n
b ++==，………………………7分
又
2
11444
n n n n b b +++==，
21416
b == ………………………9分
所以{}n
b 是首项为16，公比为4的等比数
列，………………………10分
其前n 项
和
16(14)
14
n
n
S -=
- ………………………11分 24163
n +-=
. ……
…………………13分
16.（本小题满分13分）
（Ⅰ）记事件A 为该年城镇人均住房建筑面积达到小康生活住房标准…………………1分
2
()5
P A =
所以该年城镇人均住房建筑面积达到小
康生活住房标准的概率为2
5
………4分
（Ⅱ）随机抽取连续两年数据：共9次。

…………………6分
两年中城镇人均住房建筑面积增长不少于2平方米：共5次。

…………………9分
设“两年中城镇人均住房建筑面积增长不少于2平方米”为事件A ， 因此
5()9
P A =
…………………10分
（Ⅲ）21
s <22
s …………………13分.
17. （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因
为
cos 10
ADB ∠=-
， 所
以
cos 10
ADC ∠=
，………………………1分
sin 10ADC ∠=
…………………2分
又因为3cos =,5C ∠4
sin 5
C ∠=，所以，…………………3分
sin sin()sin cos cos sin DAC ADC ACD ADC ACD ADC ACD ∠=∠+∠=∠⋅∠+∠⋅∠……5分
3455=
= …………7分 （Ⅱ）在
ACD
∆中，由
ADC
AC
C A
D ∠=
∠sin sin ，…………9分
得
4
7sin sin AC C AD ADC ⋅
⋅∠===∠．…………11分
所
以
11sin 10282210
ABD S AD BD ADB ∆=
⋅⋅∠=⋅⋅=． (13)
分
18. （本小题满分14分） （Ⅰ）在平行四边形ABCD 中 ，由,E F 分别为,BC AD 的中
B
P
F C A D M
N
点，得//C
EF D……………1分
因为CD⊂面PCD，EF⊄面PCD
所以//
EF面PCD……………3分
过EF的平面EFMN与面PCD交于MN…4分
所以EF∥MN………………5分
（Ⅱ）证明：在平行四边形ABCD中，
因为AB AC
=，135
∠=o，
BCD
所以AB AC
⊥.
由（Ⅰ）得//EF AB，
所以⊥.…EF AC
……………6分
因为侧面PAB⊥底面ABCD，且PA AB
⊥，面PAB I面ABCD AB
=
且PA⊂面PAB所以PA⊥底面ABCD. ………………8分
又因为EF⊂底面ABCD，
所以⊥. ……PA EF
…………9分
又因为PA AC A =I ，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ， 所
以
EF ⊥
平面
PAC
. ………………10分
所以EF ⊂平面EFMN .
平面EFMN ⊥平面PAC ………………
11分
（Ⅲ）2
EFMN
S
= ………………12分 1
1
.213
3
M EFDC
EFDC V
S h h -=
=⨯⨯= 32h = ………………13分 34λ= ………………14分 19. （本小题满分13分） （Ⅰ）当1a =时，
2
ln ()x
f x x -'=
，……………1分
(1)0f '=，0k ∴= ……………2分 (1)0f =，切点(1,0)，
∴
切线方程是1y =.……………3分
（Ⅱ）2
1ln ()x a
f x x
--'=，……………4分 令()0f x '=，1a
x e -= ……………5分
x
、()f x '及()f x 的变化情况如下
所以，()f x 在区间1(0,)a
e -上单调递增，
()
f x 在区间1(,)
a
e
-+∞上单调递减 (7)
分
（Ⅲ）法一：由（Ⅱ）可知()f x 的最大值为
1111()a
a
a
e
f e e ----=
……8分
（1）当1a =时，()f x 在区间(0,1)单调递增，在
区间(1,)e 上单调递减
由(1)0f =，故()f x 在区间(]0,e 上只有一个
零点 ……………10分
（2）当1a <时，1a ->-，10a ->，11a
e ->
且1111()0a
a
a
e
f e e
----=< ……………12分 因为()0
a
f e -< ，所以，()f x 在区间(]0,e 上
无零点……13分
综上，当1a =时，()f x 在区间(]0,e 上只有一个零点
当1a <时，()f x 在区间(]0,e 上无零点
（Ⅲ）法二：
令ln ()10x a f x x +=-=，ln 1x a
x
+= ln a x x
=-
令
()ln g x x x =- ……………8分
11
()10
x g x x x
-'=-==
1
x =
……………10分
……………11分 由已知1a ≤
所以，当1a =时，()f x 在区间(]0,e 上
只有一个零点……12分
当1a <时，()f x 在区间(]0,e 上无零
点 ……………13分
20. （本小题满分14分） 解：（Ⅰ）(,1)M c Q 在椭圆
22
212
x y a +=上
2212
c a ∴= , 由
22
b =
解得 2
4
a
∴= ………………3分
所以，椭圆的标准方程为2
2
142x y +=
………………4分 (Ⅱ)
由22
20,1,42
y m x y -+=⎨+=⎪⎩
得22480x m ++-=．………………5分 因为直线l 与椭圆C 有两个交点，并注意到直线l 不过点M ，
所以22844(8)0,0.m m m ⎧-⨯->⎨≠⎩
解得40m -<<或04m <<．……………6分
设11(,)A x y ，22(,)B x y
，则12x x m +=，2128
4
m x x -=,……………8分
112
m
y +=
，222m y +=．……………10分
显然直线MA 与MB 的斜率存在，设直线MA 与MB 的斜率分别为1k ，2k ，
由（Ⅰ）可知M
则12k k +=
……………11分
12
21
(1)((1)(
m m
x x
++
-+-
=
=
=
+
=
2
=
22
==．
因为
12
k k
+=，所以MPQ MQP
∠=∠．……………13分
所以PM QM
=． (14)
分
14.已知集合{}
115
M x N x
=∈≤≤，集合321,,A
A
A满足
①每个集合都恰有5个元素; ②123
A A A M
=
U U．集合i A中元素的最大值与最小值之和称
为集合i
A 的特征数，记为i
X （1,2,3i =），则1
2
3
X X X ++
的最大值与最小值的和为 .
三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分） 已知等差数列{}n
a 满足1
2
2
3
6,10a a a a
+=+=.
（Ⅰ）求数列{}n
a 的通项公式；
（Ⅱ）设数列1
2n a n
b
+=，求数列{}n
b 的前n 项和n
S .
16.（本小题满分13分）
2020年我国全面建成小康社会，其中小康生活的住房标准是城镇人均住房建筑面积30平方米. 下表为2007年—2016年中，我区城镇和农村人均住房建筑面积统计数据. 单位：平方米.
（Ⅰ）现从上述表格中随机抽取一年数据，试估计该年城镇人均住房建筑面积达到小康生活住 房标准的概率；
（Ⅱ）现从上述表格中随机抽取连续两年数据，求这两年中城镇人均住房建筑面积增长不少于2 平方米的概率；
（Ⅲ）将城镇和农村的人均住房建筑面积经四舍五入取整后作为样本数据．记2012—2016年中城
镇人均住房面积的方差为21
s ，农村人均住
房面积的方差为2
2
s ，判断2
1
s 与2
2
s 的大小．
（只需写出结论）. （注：方差2
222121
[()()()]n s
x x x x x x n
=-+-++-K ，其中x
为 1
x 2
x ，…… n
x 的平均数） 17.（本小题满分13分）
如图，在ABC ∆中，点D 在BC 边上，cos 10ADB ∠=-，
3
cos =
5
C ∠，7AC =．
sin CAD ∠（求Ⅰ）的值；
（Ⅱ）若10BD =， 求AD 的长及
ABD
∆的面积．
18.（本小题满分14分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，135BCD ∠=o
，侧面PAB ⊥底面ABCD ，PA AB ⊥,2AB AC PA ===,
,E F
分别为,BC AD 的中点，过EF 的平面与面PCD 交于,M N
两点.
（Ⅰ）求证： //EF MN ； （Ⅱ）求证：平面EFMN ⊥平面
PAC
；
（Ⅲ）设=DM
DP
λ，当λ为何值时
四棱锥M EFDC -
的体积等于1，求λ的值.
19.（本小题满分13分）
已知函数ln ()1x a f x x +=-．
B
P F C
A D
M
N
A
D
B
C
（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；
（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；
（Ⅲ）当1a ≤时，求函数()f x 在上区间(]0,e 零点的个数.
20.（本小题满分14分）
已知椭圆G :2
2
2
12
x y
a +=，左、右焦点分别为(,0)c -、(,0)
c ，若点(,1)M c 在椭圆上，
（Ⅰ）椭圆的标准方程； （Ⅱ）若直线
:
l 20(0)
y m m -+=≠与椭圆G 交于两个
不同的点A ，B ，直线MA ，MB
与x 轴分别交于P ，Q 两点，求证：PM QM =．。