回归分析法

( xi x) 2 •
( yi y)2
r
n xi yi xi • yi
[n xi 2 ( xi )2 ][n yi 2 ( yi )2 ]
相关性检验
在前例中，用上述公式
r=0.9471
现f=n-2=13;若取
，查表可得相应的
相 性关检r系验数通r临过 界。值 所以，可，用r显前然0.面5有13求9 得的，直相线关
设定回归方程
设定回归方程
根据列表数据，我们可以在直角坐标系中 绘出散点图
散点图
设定回归方程
根据列表数据，我们可以在直角坐标系 中绘出散点图，从散点图中，我们假定y与 x之间大致呈线性关系，则可用直线方程
y=a+bx
近似地描述散点的分布情况。这条直线称 为y对x的回归直线，上式称为回归方程，a、 b称为回归系数。
相关系数临界值表
相关性检验
表中f称为自由度，f=n-m-1,（n为数 据组数，m为自变量个数），对于一元线 性回归，f=n-2; 称为显著性水平 。显著
性水平 值越小，即要求y与x的相关关系
与回归直线之间的差异之显著程度越小。 亦即要求用回归直线来描述y与x 的相关关 系其置信度越高，则要求值 r越大。
称为相关性检验。
相关性检验
回归平方和U在总偏差平方和中所占的
比重越大，说明回归方程描述实际数据的近 似程度越好，亦即回归方程越可信。因此， 我们可用回归平方和占总偏差平方和的比重 的大小来检验回归模型与实际变量之间的近 似程度。据此，相关系数为:
相关性检验
r U 1 Q
S yy
S yy
r 1
预测及其置信区间
s2
( yi yi )2 Q
n2
n2
s2是 2的无偏估计量（其中s2称剩余方差，s称剩余标准差）
故对给定的 x，0 y值的概率为0.95的预测区 间是
( y0 1.96s, y0 1.96s)
( y0 2s, y0 2s)
预测及其置信区间
另外严格地计算预测值的置信区间，可按下 式求得
0<r<1
r=1
相关程度示意图
相关性检验
因此，可以用r的大小来进行相关性检验。
r应该至少大到什么程度，才可以使得用 回归直线来描述y与x的关系达到足够好的 近似程度？这个相关系数的最低值称为相
关系数临界值，记为 ，r它是相关性检验的 标准。
相关系数临界值 与r数 据组的个数有关， 还与要求回归直线在多大程度上可信有关。
概述
为使回归方程较能符合实际，首先应
尽可能定性判断自变量的可能种类和个数， 并在观察事物发展规律的基础上定性判断 回归方程的可能类型；其次，力求掌握较 充分的高质量统计数据，再运用统计方法， 利用数学工具和相关软件从定量方面计算 或改进定性判断。
概述
回归分析中的几个常用概念：
✓ 实际值：实际观测到的研究对象特征数据值，
信息分析与预测
回归分析法
概述
概述
回归分析法（regression analysis)是
通过研究两个或两个以上变量之间的相关 关系对未来进行预测的一种数学方法，它
既提供了建立变量之间相关关系的数学表 达式（通常称为经验公式）的一般途径， 又可以对所建立的经验公式的适用性进行 分析，使之能有效地用于预测和控制。
一元线性回归分析法的步骤
➢设定回归方程 ➢确定回归系数 ➢相关性检验 ➢预测及其置信区间
确定回归系数
回归系数a、b的确定可以采用最小二乘 法。最小二乘法是测量工作和科学实验中最 常用的一种数据处理方法，其基本原理是， 根据实验观测得到的自变量x和因变量y之间 的一组对应关系，找出一个给定类型的函数 y=f(x)，使得它所取的值
概述
回归一词最早见于生物学。英国生物学家兼统 计学家Galton通过对遗传现象的大量观察统计，
发现子女身高与父母身高之间有一定关系。平均 来看，若父母很高，他们的子女并不会像父母那 样高；而父母很矮，他们的子女也不像父母那样 矮。这种遗传身高趋于“平均数”的现象，称为 回归。
后来回归一词被用于描述多个随机变量之间在 统计平均意义上趋向于某种较为确定的相互依赖 关系，即统计相关关系。
Q 2 a Q 2
b
yi (a bxi )] 0
[ yi (a bxi )]xi 0
即可得使Q达到最小的a,b值
确定回归系数
a y b x
b
( xi x)( yi y)
( xi x)2
x
、y
分别是n个x
i、y
的平均值
i
x
1
n
xi,
y
1 n
yi
确定回归系数
b
概述
需要说明的是，回归分析与相关分析
既有联系又有区别。两者都是研究及度量相 关变量之间关系的统计方法，从广义上说 相关分析包括回归分析；不同的是，相关 分析是探讨变量间关系的密切程度，回归 分析则是探求变量间关系究竟为何种形式。 另外，两种分析均可不依赖对方而独自进 行。
概述
回归分析的类型：
一元线性回归：即只有一个自变量的线性回归，
( yi yi )(yi y) 0
( yi y)2 ( yi yi )2 ( yi y)2
确定回归系数
syy Q U
Q-y的剩余平方和，或误差平方和； U-y的回归平方和
Q ( yi yi )2
U ( yi y)2
确定回归系数
对于研究对象的给定的实际数据，s yy是
与观测值
在某种尺度下最接近，即
在各点处的偏差的平方和达到最小。
确定回归系数
n
s yy ( yi y)2
i 1
上式描述了一个因变量y的某次实际观测值
yi与这个因变量的平均值的偏差平方和，它 的大小描述了这n个数据的分散程度，记作
s yy。
确定回归系数
yi y (yi yi ) (yi y)
xi yi x
yi
xi2 x xi
确定回归系数
在例子中，应用前表可以算出各数据， 应用上述公式即可求得回归系数a,b。 于是得到回归直线的方程为：
y 69.8587 0.0073x
一元线性回归分析法的步骤
➢设定回归方程 ➢确定回归系数 ➢相关性检验 ➢预测及其置信区间
相关性检验
对于若干组具体数据 都可算出回归系 数a、b，从而得到回归方程。至于y与x之 间是否真有如回归模型所描述的关系，或者 说用所得的回归模型去拟合实际数据是否有 足够好的近似，并没有得到判明。因此，必 须对回归模型描述实际数据的近似程度，也 即对所得的回归模型的可信程度进行检验，
相关系数临界值表
相关性检验
当确定了 后，并根据已知数据组的
个数算出f，即可查得相应的相关系数临界
值。当 r 时r， 则可用回归模型
y=a+bx 来描述y与x 之间的关系，其置信
区间为 100(1； )否%则，相关性检验不予通
过，应重新设定回归曲线模型。
相关性检验
r 另外还可以表示为
r
(xi x)(yi y)
初步设定回归方程 求出合理的回归系数 进行相关性检验，确定相关系数
在符合相关性要求后，即可根据已得的回 归方程与具体条件相结合，来确定事物的
未来状况，并计算预测值的置信区间
概述
注意事项：
用回归分析法进行预测首先要对各个自变 量做出预测。若各个自变量可以由人工控制
或易于预测，而且回归方程也较为符合实际， 则应用回归预测是有效的，否则就很难应用。
用于两个变量接近线性关系的场合。
多元线性回归：用于一个因变量Y同多个自变
量X1, X2,… Xm,线性相关的问题。
非线性回归：又可分为两类：一类可通过数学
变换变成线性回归，如取对数可使乘法变成加 法等；另一类可直接进行非线性回归，如多项 式回归。
概述
回归分析的步骤： 根据自变量与因变量的现有数据以及关系，
13
15 12133312168
1214.4947 76.041 2.161.4057 1214.4947 230.8842(亿元）
所以，在置信度为95%的情况下2010年全 国技术贸易额的预测区间为 （983.6105,1445.3789）亿元
经验总结
➢ 在选择具体的模型时应对数据作较详 细的分析，对散点图的观察更细致， 则预测结果会较令人满意。
y y0
(yi yi )2
n2
• t ,(n2) 2
•
1 1
n
(x0 x)2
(xi x)2
其中t来自于t检验的统计量，其值与显著水平 、
自由度 f=(n-2）有关，可由t检验的临界值表查
得。
若取显著水平为0.05，查t分布表可知t值为2.16。
预测及其置信区间
????
对应于本例，若按照现有的增长速度 7%（2002年全国GDP为102398亿元）， 到2010年时我国的GDP将达到 175938.8284亿元，则据此可以预测2010 年全国技术贸易额将为：
y0 69.8587 0.0073175938.82841214.4947(亿元）
预测及其置信区间
y y0
(yi yi )2 n 2
• t ,(n2) 2
•
1 1 n
(x0 x)2
(xi x)2
y 1214.4947 75169.06 2.16 1 1 11032419833.9687
不论确定关系还是不确定关系，对具有相关 关系的现象，都可以选择一适当的数学关系 式，用以说明一个或几个变量变动时，另一 变量或几个变量平均变动的情况，这种关系 式就称为回归方程。
概述
回归分析法主要解决以下两个问题：
一是确定几个变量之间是否存在相关关系， 如果存在，找出他们之间适当的数学表达式； 二是根据一个或几个变量的值，预测或控制 另一个或几个变量的值，且要估计这种控制 或预测可以达到何种精确度。
➢ 数据较复杂时可使用EXCEL或SPSS 软件。
的单点预测估计值，预测值应该有一个置 信区间。
预测及其置信区间
由正态分布理论可知，有
P(y0 1.96 y y0 1.96 ) 0.95
即当x取值 x时0 ，对应的y值以0.95的概率落 在区间 (y0 1.96内, y0，此1.9区6 )间称为y的概率 为0.95的预测区间，亦称置信区间，由于
回归方程
y 69.8587 0.0073x
来描述技术贸易额与全国GDP之间的关系， 其置信度为95%。
一元线性回归分析法的步骤
➢设定回归方程 ➢确定回归系数 ➢相关性检验 ➢预测及其置信区间
预测及其置信区间
由于回归方程是由数理统计得出的，它 反映的是实际数据的统计规律，所以，根
据回归方程所得的预测值y0只是对应于 x0
用yi表示。
✓ 理论值：根据实际值我们可以得到一条倾向线，
用数学方法拟合这条曲线，可以得到数学模型， 根据这个数学模型计算出来的、与实际值相对
✓ 应预测的值值：，称实际为上理也论值是，根用据数y表学i 示模。型计算出来的
理论值，但它是与未来对应的理论值，用y0表 示。
一元线性回归分析法
一元线性回归分析法的步骤
概述பைடு நூலகம்
概念： 当研究对象的一个或多个变量X1,
X2,… Xm,的变化会引起另一个或多个变量 Y1, Y2,... Yn发生变化时，我们就说它们之间 存在着某种相关关系。其中诸X带有“原因” 的性质，故称为自变量，诸Y带有“结果” 的性质，称之为因变量。
概述
相关关系包括两种类型：确定关系和不确 定关系。
确定不变的，只要能寻找一个回归方程， 使Q尽可能小（即U尽可能的大），也就是 使回归方程在总体上能尽可能近似地描述 实际变量数据。根据剩余平方和Q最小的原 则来确定回归系数，称为最小二乘原则。
确定回归系数
对于一元线性回归分析，Q是一个二 元(a,b)函数，根据微积分学中的极值原理， 解下列联立方程组
➢设定回归方程 ➢确定回归系数 ➢相关性检验 ➢预测及其置信区间
设定回归方程
全国每年的技术贸易额与很多因素有关， 但经过分析，它主要受全国GDP这一因素的 影响和制约，于是，我们来寻求二者之间的 统计规律，并进行预测。
以x表示自变量-----全国GDP数量，以y表示 因变量-----全国技术贸易额。根据国家统计 局公布的数字，将15年的数据列于下表:
( yi yi )2
( yi y)2
相关性检验
当r越接近于1时，剩余平方和Q(a,b)的 值越接近于0，即回归模型描述y与x的关系 的近似程度越好，对于一元线性回归而言， 表示y与x的关系越接近于线性；当r=1时， Q(a,b)=0，此时即每一个理论值都等于对 应的实际值，回归直线通过每一个数据点， 这种情况称为完全线性相关，r越接近于0， y与x的关系与线性关系相差就越远，甚至 根本不能用所得到的回归方程来描述，当 r=0时，称完全无线性相关。