高中数学第三章指数函数对数函数和幂函数3.1.2第2课时指数函数的图象与性质的应用课件苏教版必修10

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[探究共研型]
指数函数性质(xìngzhì)的综合应用
探究 通过指数函数 y＝2x，y＝12x 的图象，可以抽象出指数函数的性质有哪 些？
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提示】 指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)的图象和性质
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已知定义域为 R 的函数 f (x)＝－2x＋21x＋＋ab是奇函数． (1)求 a，b 的值； (2)若对任意的 t∈R，不等式 f (t2－2t)＋f (2t2－k)<0 恒成立，求 k 的取值范围； (3)求 f (x)在[－1,2]上的值域． 【精彩点拨】 (1)根据奇函数的定义，求出 a，b.(2)利用单调性和奇偶性去掉 f 解不等式求 k 的范围．(3)利用(2)中单调性求 f (x)的值域．
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【自主解答】 (1)∵函数 y＝f (x)是定义域 R 上的奇函数，源自∴ f f0＝0， －1＝－f
1，
－21＋＋ab＝0， ∴－220－＋1＋a b＝－－222＋1＋ab，
∴b＝1，a＝2.
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(2)由(1)知 f (x)＝212－x＋2x1 ＝－12＋2x＋1 1， 设 x1，x2∈R 且 x1<x2， 则 f (x2)－f (x1)＝2x21＋1－2x11＋1＝2x2＋2x11－22xx12＋1<0， ∴f (x)在定义域 R 上为减函数， 由 f (t2－2t)＋f (2t2－k)<0 恒成立，
阶
阶
段
段
(j
(j
iē
iē
d
d
u
u
à
à
n) 一
第2课时 指数函数的图象与性质的应用
n) 三
阶
段
学
(j
业
iē
分
d
层
u à
测 评
n)
二
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1．能掌握指数函数的图象和性质，会用指数函数的图象和性质解决相关的问 题．(重点、难点)
2．能应用指数函数及其性质解决实际应用题．(难点)
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【自主解答】 (1)1 年后城市人口总数为： y＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)． 2 年后城市人口总数为： y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2% ＝100(1＋1.2%)2， 同理 3 年后城市人口总数为 y＝100(1＋1.2%)3， … 故 x 年后的城市人口总数为 y＝100(1＋1.2%)x.
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【解析】 (1)设 y＝2u，u＝x12，
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【答案】 (－∞，0) (2)设 u＝x2－4x，则 f (x)＝au，u＝x2－4x， 易知 u＝x2－4x 在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增， 故当 a>1 时，y＝au 递增，故 f (x)的单调增区间为(2，＋∞)，单调减区间为(－ ∞，2)， 当 0<a<1 时，y＝au 递减，故 f (x)的单调增区间为(－∞，2)，单调减区间为(2， ＋∞).
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探究 4 由以上 3 个探究，我们可以对由 y＝f (u)，u＝g(x)复合而成的函数 y ＝f (g(x))的单调性做出什么猜想．
【提示】 y＝f (g(x))可以由 y＝f (u)，u＝g(x)复合而成，复合而成的函数单调 性与 y＝f (u)，u＝g(x)各自单调的关系为“同增异减”．即 f 与 g 单调性相同，复 合后单调递增，f 与 g 单调性不同，复合后单调递减．
经过 1 年后，该乡镇粮食总产量为 360M(1＋4%)千克，人口数量为 M(1＋1.2%)． 则人均占有粮食为3M60M1＋11＋.24%%千克， 经过 2 年后，人均占有粮食为 3M60M1＋11＋.24%%22千克， …
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经过 x 年后，人均占有粮食为 y＝3M60M1＋11＋.24%%xx千克， 即所求函数解析式为 y＝36011.0.0142x(x∈N*)．
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【解】 (1)由 f (x)＝f (－x) 得4ax＋4ax＝4a－x＋4a－x， 即 4x1a－a＋41xa－1a＝0， 所以4x－41x1a－a＝0， 根据题意，可得1a－a＝0， 又 a>0，所以 a＝1.
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(2)由(1)可知 f (x)＝4x＋41x， 设任意的 x1，x2∈(0，＋∞)，且 x1<x2，则 f (x1)－f (x2)＝4x1＋41x1－4x2－41x2 ＝(4x1－4x2)1－4x11＋x2. 因为 0<x1<x2， 所以 4x1<4x2.
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函数 y＝12
的单调增区间为________，单调减区间为________，
最大值为________．
【精彩点拨】 先确定 u＝x2－4x 的值域、单调性，再确定 f (x)＝12u 的单调
性和值域．
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【自主解答】 令 u＝x2－4x，则 y＝12u， ∵u(x)＝x2－4x 在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，故 umin＝u(2)＝－4， 又 y＝12u 在 R 上单调递减， ∴y＝12x2－4x 在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减，且 ymax＝y(2)＝12－4 ＝16. 【答案】 (－∞，2] [2，＋∞) 16
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1．函数 f (x)＝ 1－3x＋ x1＋5的定义域为________． 【解析】 令1x＋－53>x≥0，0， ∴－5<x≤0. 【答案】 (－5,0]
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2．函数 f (x)＝13x－1，x∈[－1,2]的值域为________． 【解析】 x∈[－1,2]时，13x∈19，3，∴f (x)∈－89，2. 【答案】 －89，2
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1．关于指数型函数 y＝af (x)(a>0，且 a≠1)，它由两个函数 y＝au，u＝f (x)复合 而成．其单调性由两点决定，一是底数 a>1 还是 0<a<1；二是 f (x)的单调性．
2．求这种指数型函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解 成 y＝f (u)，u＝φ(x)，通过考查 f (u)和 φ(x)的单调性，求出 y＝f (φ(x))的单调性， 其规则是“同增异减”．
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(2)10 年后该城市人口总数为： y＝100(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈100×1.127≈113(万人)． 故 10 年后该城市人口总数约为 113 万人．
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解决实际应用题的步骤 1．领会题意，并把题中的普通语言转化为数学语言； 2．根据题目要求，分析量与量之间的关系，建立恰当的函数模型，并注意对 变量的限制条件，加以概括； 3．对已经“数学化”的问题用所学的数学知识处理，求出解； 4．检验：将数学问题的解代入实际问题检查，舍去不符合题意的解，并作答．
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与指数函数有关的综合应用问题往往涉及到指数函数的定义域、值域、单调 性、奇偶性、最值(值域)等问题，求解时可充分借助已学的知识逐项求解．
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[再练一题] 3．设 a>0，函数 f (x)＝4ax＋4ax是定义域为 R 的偶函数． (1)求实数 a 的值； (2)证明：f (x)在(0，＋∞)上是增函数．
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[再练一题] 2．某乡镇现在人均一年占有粮食 360 千克，如果该乡镇人口平均每年增长 1.2%，粮食总产量平均每年增长 4%，那么 x 年后若人均一年占有 y 千克粮食，求 出 y 关于 x 的函数解析式．
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【解】 设该乡镇现在人口数量为 M，则该乡镇现在一年的粮食总产量为 360M 千克．
探究 1 y＝2x 的单调性如何？y＝x＋1 呢？y＝2x＋1 呢？ 【提示】 y＝2x 在 R 上单调递增，y＝x＋1 在 R 上单调递增，y＝2x＋1 在 R 上 单调递增．
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探究 2 y＝12x 与 y＝12x＋1 的单调性分别如何？ 【提示】 y＝12x 单调递减，y＝12x＋1 单调递减． 探究 3 y＝－x 与 y＝2－x 的单调性如何？ 【提示】 y＝－x 单调递减，y＝2－x＝12x 单调递减．
【答案】 (－3,0] (2)y＝4－x－21－x＋1＝122x－2·12x＋1＝12x－12， ∵x∈[－3,2]，∴12x∈14，8， 令 t＝12x，得 y＝(t－1)2，其中 t∈14，8， ∴y∈[0,49]，即最大值为 49，最小值为 0.
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指数函数(zhǐ shù hán shù)的应用题
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探究 5 用单调性的定义证明：当 y＝f (u)，u＝g(x)均单调递减时 y＝f (g(x)) 单调递增．
【提示】 任取 x1，x2∈D 且 x1<x2. ∵g(x)单调递减，∴g(x1)>g(x2)，即 u1>u2， 又 f (x)单调递减，∴f (u1)<f (u2)， 即 f (g(x1))<f (g(x2))， ∴y＝f (g(x))单调递增．
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1．对于 y＝af (x)这类函数 (1)定义域是指使 f (x)有意义的 x 的取值范围． (2)值域问题，应分以下两步求解： ①由定义域求出 u＝f (x)的值域． ②利用指数函数 y＝au 的单调性或利用图象求得函数的值域． 2．对于 y＝m(ax)2＋n(ax)＋p(m≠0)这类函数值域问题．利用换元法，借助二 次函数求解．
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又 x1＋x2>0， 所以 4x1＋x2>1， 所以 1－4x11＋x2＝4x41x＋1＋x2x－2 1>0， 所以 f (x1)－f (x2)<0， 即 f (x1)<f (x2)． 于是知 f (x)在(0，＋∞)上是增函数．
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复合(fùhé)函数的单调性
某市现有人口总数为 100 万人，如果年平均增长率为 1.2%，试解答 下列问题：
(1)试写出 x 年后该城市人口总数 y 万人与 x 之间的函数关系式； (2)计算 10 年后该城市人口总数(精确到 1 万人)． 【精彩点拨】 本题考查有关增长率的问题，若设原来人口总数为 N，年平均 增长率为 p，则对于 x 年后的人口总数 y，可以用 y＝N(1＋p)x 表示．
【解析】 一个月后 a(1＋p)，二个月后 a(1＋p)(1＋p)＝a(1＋p)2，… 9 月 1 日取款时共存款 8 个月，则本利和为 a(1＋p)8. 【答案】 a(1＋p)8
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求函数的定义域、值域
[小组合作型]
求下列函数的定义域和值域：
【精彩点拨】 使式子的每个部分有意义，即可求得各自的定义域，求值域 时要把函数予以分解，求指数的范围，再求整个函数的值域．
[基础·初探] 教材整理 指数函数 形如 y＝kax(k∈R，且 k≠0，a>0 且 a≠1)的函数是一种指数(zhǐs函hù数)型，这是一 种非常有用的函数模型． 设原有量为 N，每次的增长率为 p，经过 x 次增长，该量增长到 y，则 y＝ N(1＋p) x (x∈N) ．
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某人于今年元旦到银行存款 a 万元，银行利率为月息 p，则该人 9 月 1 日取款 时，连本带利共可以取出金额为________．
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可得 f (t2－2t)<－f (2t2－k)＝f (k－2t2)， ∴t2－2t>k－2t2，∴3t2－2t－k>0 恒成立， ∴Δ＝(－2)2＋12k<0， ∴k<－13.
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(3)由(2)知 f (x)在 R 上单调递减，∴f (x)在[－1,2]上单调递减， ∴f (x)max＝f (－1)＝－12＋1＋1 12＝16，f (x)min＝f (2)＝－12＋4＋1 1＝－130，∴f (x) 的值域为－130，16.
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[再练一题] 1．(1)函数 f (x)＝ 1－2x＋ x1＋3的定义域为________.
(2)求函数 y＝4－x－21－x＋1 在 x∈[－3,2]上的最大值和最小值．
【解析】 (1)由x1＋－32>x≥0，0， 得－3<x≤0. 所以函数的定义域是(－3,0]．
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