高考总复习_第一章_集合与简易逻辑

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第一Байду номын сангаас 集 合
[ 备考方向要明了 ]
考 什么
怎么考
1. 集合的含义与表示
(1) 了解集合的含义，体会元素与集合的属于
关系．
(2) 能用自然语言、图形语言、集合语言
(列
举法或描述法 ) 描述不同的具体问题．
2. 集合间的基本关系
1. 对集合的含义与表示的考查主要涉及集合 中元素的互异性以及元素与集合之间的关 系，考查利用所学的知识对集合的性质进行 初步探究的基本逻辑能力．如 ( 理 )2012 年全 国 T1，T1 等． ( 文 )2012 年 T9 等． 2. 对于两个集合之间关系的考查主要涉及以
当 m＝－ 1 时 M＝ {1,1,5} 不满足互异性．
∴ m的值为 3 或 1.
4． ( 教材改编题 ) 已知集合 A＝ {1,2} ，若 A∪B＝ {1,2} ，则集合 B 有 ________个．
解析：∵ A＝ {1,2} ， A∪ B＝ {1,2} ，
∴ B? A，∴ B＝? ， {1} ，{2} ， {1,2} ．
关系
表示
文字语言
符号语言
相等
集合 A与集合 B中的所有元素都相同
A? B且 B? A? A ＝B
子集
A 中任意一个元素均为 B中的元素
A? B或 B? A
真子集
A中任意一个元素均为 B中的元素，且 B 中至少有一个 元素不是 A 中的元素
A B或 B A
空集
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集
(1) 理解集合之间包含与相等的含义，能识别
下两个方面：
给定集合的子集． (2) 在具体情境中，了解全集与空集的含义． 3. 集合的基本运算 (1) 理解两个集合的并集与交集的 含义，会求两个简单集合的并集与交集． (2) 理解在给定集合中一个子集的补集的含
(1) 判断给定两个集合之间的关系，主要是子 集关系的判断．如 ( 文 )2012 年全国 T1， T1， T1 等． ( 理 )2011T1.
? ? A? B( B≠ ? )
[ 探究 ] 3. 对于集合 A，B，若 A∩ B＝ A∪B，则 A，B 有什么关系？
提示： A＝ B. 假设 A≠ B，则 A∩ B A∪ B，与 A∩ B＝ A∪ B 矛盾，故 A＝ B.
3．集合的基本运算
集合的并集
集合的交集
集合的补集
符号表示
A∪B
A∩ B
若全集为 U，则集合 A 的补集为 ? UA
a＋ 1<4，
a>2， ∴
a<3.
即 2<a<3.
答案： (2,3)
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集合的基本概念
[ 例 1] (1)( 理)(2012 ·新课标全国卷 ) 已知集合 A＝ {1,2,3,4,5} ， B＝ {( x， y)| x∈
A， y∈ A， x－ y∈ A} ，则 B 中所含元素的个数为 ( )
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根据两集合的关系求参数的方法
已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化
为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、
Venn 图帮助分析，而且经常要对
参数进行讨论．
本例 (2) 中，将“ 9∈ ( A∩B) ”改为“ A∩ B＝{9} ”，其他条件不变，则实数 a 为何值？ 解：∵ A∩ B＝ {9} ，∴ 9∈A 且 9∈ B， ∴ 2a－1＝ 9 或 a2＝9， 即 a＝5 或 a＝± 3. 当 a＝5 时， A＝{ － 4,9,25} ， B＝{0 ，－ 4,9} ， ∴ A∩ B＝ { － 4,9} ，不满足题意， ∴ a≠5. 当 a＝3 时， A＝{ － 4,5,9} ， B＝ { － 2，－ 2,9} ，不满足集合中元素的互异性，∴ a≠3. 当 a＝－ 3 时， A＝ { － 4，－ 7,9} ， B＝ { － 8,4,9} ， ∴ A∩ B＝ {9} ，符合题意， 综上 a＝－ 3.
图形表示
? UA＝ { x| x∈ U，且 x
意义
{ x| x∈ A，或 x∈ B}
{ x| x∈ A，且 x∈ B}
? A}
[ 探究 ] 4. 同一个集合在不同全集中的补集相同吗？ 提示：一般情况下不相同，如 A＝ {0,1} 在全集 B＝ {0,1,2} 中的补集为 ? BA＝ {2} ，在全 集 D＝ {0,1,3} 中的补集为 ? DA＝{3} ．
2． ( 教材改编题 ) 已知集合 A＝ { x|2 x－ 3<3x} ， B＝ { x| x≥2} ，则 ( )
A． A? B
B ． B? A
C． A? ? RB
D ． B? ? RA
解析：选 B ∵A＝ { x|2 x－ 3<3x} ＝ { x| x>－ 3} ，
B＝ { x| x≥2} ，
∴ B? A.
(2) 以不等式的求解为背景，利用两个集合之 间的子集关系求解参数的取值围问题． 3. 集合的基本运算在高考命题中主要与简单
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义，会求给定子集的补集． (3) 能使用韦恩 (Venn) 图表达集合间的基本 关系及集合的基本运算 .
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不等式的求解、函数的定义域或值域的求法 相结合考查集合的交、并、补运算，以补集 与交集的基本运算为主，考查借助数轴或 Venn 图进行集合运算的数形结合思想和基本 运 算 能 力 ． 如 ( 理 )2012T1 、 T1 、 T1 等． ( 文 )2012T1 、 T2 等 .
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11 － a≥－ 2， 则 4 a≤2，
a≥2或 a<0， 即
a≥2或 a<0.
又∵ a>0，∴ a≥2. 综上知，当 A? B 时， a<－ 8 或 a≥2. [ 答案 ] ( －∞，－ 8) ∪ [2 ，＋∞）
保持例题条件不变，当 a 满足什么条件时， B? A? 解：当 a＝ 0 时，显然 B? A； 当 a<0 时，若 B? A，如图，
——————————————————— 解决集合问题的一般思路
(1) 研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用 描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．
(2) 对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合是否满足互异性．
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1． (1) 已知非空集合 A＝{ x∈ R| x2＝ a－ 1} ，则实数 a 的取值围是 ________． (2) 已知集合 A＝ { x| x2－ 2x＋ a>0} ，且 1? A，则实数 a 的取值围是 ________． 解析： (1) ∵集合 A＝ { x∈R| x2＝ a－ 1} 为非空集合， ∴ a－1≥0，即 a≥1. (2) ∵ 1? { x| x2－ 2x＋ a>0} ， ∴ 1∈ { x| x2－ 2x＋a≤0} ， 即 1－2＋ a≤0，∴ a≤1. 答案： (1)[1 ，＋∞ ) (2)( －∞， 1]
整数集 Z
有理数集 Q
实数集 R
[ 探究 ] 1. 集合 A＝ { x| x2＝ 0} ， B＝ { x| y＝ x2} ， C＝ { y| y＝ x2} ， D＝ {( x， y)| y＝ x2} 相
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同吗？它们的元素分别是什么？ 提示：这 4 个集合互不相同， A是以方程 x2＝ 0 的解为元素的集合，即 A＝ {0} ；B 是函
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[ 自测·牛刀小试 ]
1．(2012 ·高考 ) 已知全集 U＝ {0,1,2,3,4} ，集合 A＝ {1,2,3} ， B＝ {2,4} ，则 ( ? UA) ∪
B为( )
A． {1,2,4}
B． {2,3,4}
C． {0,2,4}
D ． {0,2,3,4}
解析：选 C 由题意知 ? UA＝ {0,4} ，又 B＝ {2,4} ，所以 ( ? UA) ∪ B＝ {0,2,4} ．
集合间的基本关系
1 [ 例 2] 已知集合 A＝ { x|0< ax＋1≤5} ， B＝ x| －2<x≤２ ，若 A? B，则实数 a 的取值
围是 ________．
[ 自主解答 ] A中不等式的解集应分三种情况讨论：
①若 a＝ 0，则 A＝ R；
4
1
②若 a<0，则 A＝ x| a≤ x<－ a ；
A． 3
B． 6
C． 8
D ． 10
( 文)(2013 ·模拟 ) 若集合 A＝ { － 1,1} ， B＝ {0,2} ，则集合 { z| z＝ x＋ y ， x∈ A， y∈ B}
中的元素的个数为 ( )
A． 5
B ．4
C． 3
D ．2
(2) 已知集合 A＝ { － 4,2 a－1， a2} ， B＝{ a－ 5,1 － a, 9} ，若 9∈ ( A∩B) ，则实数 a 的值
答案： 4 5．已知集合 A＝ { x| a－1≤ x≤ a＋ 1} ， B＝{ x| x2－ 5x＋4≥0} ，若 A∩ B＝ ? ，则实数 a
的取值围是 ________． 解析：∵ B＝ { x| x2－ 5x＋4≥0} ＝ { x| x≥4，或 x≤1} ， 且 A∩B＝ ? ，
a－ 1>1， ∴
[ 归纳·知识整合 ]
1．元素与集合
(1) 集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．
(2) 集合与元素的关系：若 a 属于 A，记作 a∈ A；若 b 不属于 A，记作 b? A.
(3) 集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．
(4) 常见数集及其符号表示
数集 符号
自然数集 N
正整数集 N*或 N＋
法二：因为 A中元素均为正整数，所以从 A中任取两个元素作为 x， y，满足 x>y 的 ( x， y) 即为集合 B 中的元素，故共有 C25＝ 10 个．
( 文 ) 集合 { z| z＝ x＋ y，x∈ A， y∈ B} ＝ { －1,1,3} ．
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故所求集合中元素的个数为 3. (2) ∵ 9∈ ( A∩ B) ，∴ 9∈A且 9∈ B， ∴ 2a－1＝ 9 或 a2＝9. ∴ a＝ 5 或 a＝± 3. 当 a＝5 时， A＝{ － 4,9,25} ， B＝{0 ，－ 4，9} ，符合题意；当 a＝ 3 时， A＝ { －4,5,9} ，B 不满足集合中元素的互异性，故 a≠3；当 a＝－ 3 时， A＝ { － 4，－ 7,9} ， B＝ { － 8,4,9} ，符合题意． ∴ a＝5 或 a＝－ 3. [ 答案 ] (1)( 理)D ( 文 )C (2)5 或－ 3
为 ________ ．
[ 自主解答 ] (1)( 理 ) 法一：由 x－ y∈ A，及 A＝ {1,2,3,4,5} 得 x>y，当 y＝1 时， x
可取 2,3,4,5 ，有 4 个； y＝ 2 时， x 可取 3,4,5 ，有 3 个； y＝ 3 时， x 可取 4,5 ，有 2 个； y
＝4 时， x 可取 5，有 1 个．故共有 1＋2＋ 3＋ 4＝ 10( 个 ) ．
41 a≤－ 2， 则
1 － a>2，
－8≤ a<0， 即1
－ 2<a<0.
1 又∵ a<0，∴－ 2<a<0. 当 a>0 时，若 B? A，如图，
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11 － a≤－ 2， 则 4 a≥2，
0<a≤2， 即
0<a≤2.
1 又∵ a>0，∴ 0<a≤2. , 综上知，当 B? A 时，－ 2<a≤2. )
数 y＝ x2 的定义域，即 B＝R；C 是函数 y＝ x2 的值域，即 C＝{ y| y≥0} ； D是抛物线 y＝x2 上
的点组成的集合．
2． 0 与集合 {0} 是什么关系？ ? 与集合 { ? } 呢？
提示： 0∈ {0} ，? ∈ { ? } 或 ? ? { ? } ．
2．集合间的基本关系
3．已知集合 M＝ {1 ， m＋2， m2＋ 4} ，且 5∈ M，则 m的值为 (
)
A． 1 或－ 1
B ．1 或 3
C．－ 1 或 3 解析：选 B ∵5∈ {1 ， m＋ 2， m2＋ 4} ， ∴ m＋ 2＝ 5 或 m2＋4＝ 5，
D ． 1，－ 1 或 3
即 m＝3 或 m＝± 1.
当 m＝3 时， M＝{1,5,13} ；当 m＝ 1 时， M＝ {1,3,5} ；
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③若
a>0，则
A＝
x|
14 －a<x≤ a
.
当 a＝0 时，若 A? B，此种情况不存在．
当 a<0 时，若 A? B，如图，
41 a>－ 2， 则
1 －a≤2，
a>0或 a<－ 8，
即
1
a>0或
a≤－
. 2
又∵ a<0，∴ a<－ 8. 当 a>0 时，若 A? B，如图，
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