高三数学一轮复习 第二章第十节课时知能训练 理 (广东专用)

课时知能训练 一、选择题 1．(2012·中山模拟)观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，
(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝( )
A ．f (x )
B ．－f (x )
C ．g (x )
D ．－g (x )
【解析】 观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，…
由归纳推理知偶函数的导函数为奇函数，
∵f (－x )＝f (x )，
∴f (x )为偶函数，
又f ′(x )＝g (x )，
∴g (x )为奇函数，g (－x )＝－g (x )．
【答案】 D
2．(2011·重庆高考)曲线y ＝－x 3＋3x 2在点(1,2)处的切线方程为( )
A ．y ＝3x －1
B ．y ＝－3x ＋5
C ．y ＝3x ＋5
D ．y ＝2x
【解析】 ∵y ′＝(－x 3＋3x 2)′＝－3x 2＋6x
∴k ＝y ′|x ＝1＝－3＋6＝3，
因此在点(1,2)处的切线为y ＝3x －1.
【答案】 A
3．设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝( )
A ．e 2
B ．e
C.ln 22
D ．ln 2 【解析】 ∵f (x )＝x ·ln x ，
∴f ′(x )＝ln x ＋1，
则f ′(x 0)＝ln x 0＋1＝2，
∴ln x 0＝1，x 0＝e.
【答案】 B
4．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则
曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为( )
A ．4
B ．－14
C ．2
D ．－12
【解析】 ∵y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，∴g ′(1)＝2. 又f ′(x )＝g ′(x )＋2x ，所以f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4.
故y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线斜率为4.
【答案】 A
5．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1
上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )
A ．[0，π4)
B ．[π4，π2
) C ．(π2，3π4] D ．[3π4
，π) 【解析】 y ′＝(4e x ＋1)′＝－4e x e x ＋12＝－4e x ＋e －x ＋2
，
∵e x ＋e －x ≥2，∴y ′≥－42＋2
＝－1， 由导数的几何意义，tan α≥－1，且y ′＜0，即tan α∈[－1,0)，
又倾斜角α∈[0，π)，
∴3π4
≤α＜π. 【答案】 D
二、填空题
6．曲线y ＝x e x ＋2x ＋1在点(0,1)处的切线方程为________．
【解析】 ∵y ′＝(x e x ＋2x ＋1)′＝e x ＋x ·e x ＋2
∴y ′|x ＝0＝3.
∴切线方程为y －1＝3(x －0)，即3x －y ＋1＝0.
【答案】 3x －y ＋1＝0
7．已知函数f (x )＝f ′(π2)sin x ＋cos x ，则f (π4
)＝________. 【解析】 f ′(x )＝f ′(π2
)cos x －sin x ， 令x ＝π2，则f ′(π2)＝－sin π2
＝－1， ∴f (x )＝－sin x ＋cos x ，
∴f (π4)＝－sin π4＋cos π4
＝0. 【答案】 0
8．(2012·扬州模拟)若函数f (x )＝－1b
e ax 的图象在x ＝0处的切线l 与圆C ：x 2＋y 2＝1相离，则点P (a ，b )与圆C 的位置关系是________．
【解析】 因为f (x )＝－1b e ax ，所以f ′(x )＝－a b
e ax . 所以切线在x ＝0处的斜率k ＝
f ′(x )|x ＝0＝－a b
，
所以x ＝0处的切线l 的方程为y －(－1b )＝－a b
x ， 即ax ＋by ＋1＝0.
又l 与圆C ：x 2＋y 2＝1相离， 所以1
a 2＋b
2＞1，即a 2＋b 2＜1. 所以点P (a ，b )在圆C 内．
【答案】 点P (a ，b )在圆C 内
三、解答题
9．若曲线f (x )＝ax 2＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，试求实数a 的取值范围．
【解】 由f (x )＝ax 2＋ln x ，得f ′(x )＝2ax ＋1x
， 又f (x )存在垂直于y 轴的切线，不妨设切点为P (x 0，y 0)，其中x 0＞0.
则f ′(x 0)＝2ax 0＋1x 0
＝0. ∴a ＝－12x 20
，x 0∈(0，＋∞)，因此a ＜0. ∴实数a 的取值范围是(－∞，0)．
10．设有抛物线C ：y ＝－x 2＋92
x －4，过原点O 作C 的切线y ＝kx ，使切点P 在第一象
限，求切线方程． 【解】 设点P 的坐标为(x 1，y 1)，则y 1＝kx 1，①
y 1＝－x 21＋92
x 1－4， ② ①代入②得x 21＋(k －92
)x 1＋4＝0. ∵P 为切点，
∴Δ＝(k －92)2－16＝0得k ＝172或k ＝12
. 当k ＝172
时，x 1＝－2，y 1＝－17. 当k ＝12
时，x 1＝2，y 1＝1. ∵P 在第一象限，
∴所求的斜率k ＝12
. 故所求切线方程为y ＝12
x . 11．已知函数f (x )＝x 2＋b ln x 和g (x )＝x －9x －3
的图象在x ＝4处的切线互相平行． (1)求b 的值；
(2)求f (x )的极值．
【解】 (1)对两个函数分别求导，得
f ′(x )＝2x ＋b x ，
g ′(x )＝x －3－x －9x －32＝6x －32
. 依题意，有f ′(4)＝g ′(4)，
∴8＋b 4
＝6，∴b ＝－8. (2)显然f (x )的定义域为(0，＋∞)，
由(1)知b ＝－8，
∴f ′(x )＝2x －8x ＝2x 2－8x
. 令f ′(x )＝0，解得x ＝2或x ＝－2(舍去)．
∴当0＜x ＜2时，f ′(x )＜0；当x ＞2时，f ′(x )＞0.
∴f (x )在(0,2)上是单调递减函数，在(2，＋∞)上是单调递增函数．
∴f (x )在x ＝2时取得极小值f (2)＝4－8ln 2.。