2019届高三数学一轮复习精品课件：第七章 第4节 垂直关系

答案：AB，BC，AC AB
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4．在三棱锥PABC中，点P在平面ABC中的射影为点O， (1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的 心．
(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的 心．
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1．证明线面垂直时，易忽视“面内两条直线相交”这一条 件． 2．面面垂直的判定定理中，直线在面内且垂直于另一平面易 忽视． 3．面面垂直的性质定理在使用时易忘面内一线垂直于交线而 盲目套用造成失误．
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解析：∵α∩β＝l，∴l β. ∵n⊥β，∴n⊥l.
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3.如图，∠BAC＝90° ，PC⊥平面ABC， 则在△ABC和△PAC的边所在的直线中， 与PC垂直的直线有 的直线有 ． ；与AP垂直
解析：∵PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直线AB，BC，AC； ∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，∴AB⊥平面PAC， ∴与AP垂直的直线是AB.
第七章 立体几何与空间向量 第四节 垂直关系
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C
目 录
ONTENTS
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1．以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空 间中线面垂直的有关性质与判定定理； 2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂 直关系的简单命题．
解析：对于C项，由α∥β，a α可得a∥β，又b⊥β，得a⊥b， 故选C.
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2．(2016· 高考浙江卷)已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若 直线m，n满足m∥α，n⊥β，则( C ) A．m∥l C．n⊥l B．m∥n D ．m ⊥ n
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2．平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是 直二面角，就说这两 个平面互相垂直．
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(2)判定定理与性质定理 文字语言 判定 定理 一个平面经过另一个 平面的一条垂线 ，则 这两个平面互相垂直 如果两个平面互相垂 性质 定理 直，则在一个平面内 垂直于它们交线 的直 线垂直于另一个平面
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[小题纠偏] 1．“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”是“直线a与平 面M垂直”的( B ) A．充分不必要条件 C．充要条件 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：根据直线与平面垂直的定义知“直线a与平面M的无数 条直线都垂直”不能推出“直线a与平面M垂直”，反之可 以，所以是必要不充分条件．
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1．直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义 如果一条直线 l 与平面 α 内的任意直线都垂直，就说直线 l 与 平面 α 互相垂直．
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⇒l⊥α
a⊥α b⊥α
⇒a∥b
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[必记结论] 1．直线与平面垂直的定义常常逆用，即a⊥α，b α⇒a⊥b. 2．若平行直线中一条垂直于平面，则另一条也垂直于该平 面． 3．垂直于同一条直线的两个平面平行． 4．过一点有且只有一条直线与已知平面垂直． 5．过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．
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解析：(1)如图1，连接OA，OB，OC，OP， 在Rt△POA、Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PC＝PB， 所以OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心．
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(2)如图2，∵PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P， ∴PC⊥平面PAB，AB 平面PAB， ∴PC⊥AB， 又AB⊥PO，PO∩PC＝P，∴AB⊥平面PGC， 又CG 平面PGC， ∴AB⊥CG，即CG为△ABC边AB的高． 同理可证BD，AH为△ABC底边上的高， 即O为△ABC的垂心． 答案：(1)外 (2)垂
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2．下列说法中，错误的是( )
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(2)判定定理与性质定理 文字语言 一条直线与一个平 图形表示 符号表示
两条相交直线 判定 面内的
定理 都垂直，则该直线与 此平面垂直 性质 定理 两直线垂直于同一 个平面，那么这两条 直线 平行
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l ⊥ a， l ⊥ b a∩b＝O a α b α
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图形表示
符号表示
l⊥α，l β
⇒α
⊥β
α⊥ β α∩β＝a l⊥ a l β
⇒l⊥α
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[必记结论] 1．两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情况，正方体中 任意相邻的两个面都是互相垂直的． 2．由定理可知，要证明平面与平面垂直，可转化为从现有直 线中寻找平面的垂线，即证明线面垂直．
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[小题诊断] 1．(2018· 青岛模拟)设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不 同的平面，则能得出a⊥b的是( C ) A．a⊥α，b∥β，α⊥β C．a α，b⊥β，α∥β B．a⊥α，b⊥β，α∥β D．a α，b∥β，α⊥β