高考数学压轴专题阜阳备战高考《平面向量》难题汇编含答案

新数学《平面向量》专题解析
一、选择题
1．平面向量a →与b →的夹角为π3，()2,0a →=，1b →=，则2a b →→-=（ ）
A ．
B
C ．0
D ．2
【答案】D
【解析】
【分析】 根据向量的模的计算和向量的数量积的运算即可求出答案.
【详解】
()2,0a →=Q ，
||2a →
∴=
22222(2)||4||444421cos 43a b a b a b a b π→→→→∴-=-=+-⋅=+-⨯⨯⨯=r r r r ， |2|2a b ∴-=r r ， 故选：D
【点睛】
本题考查了向量的模的计算和向量的数量积的运算，属于中档题.
2．在ABC V 中，312AB AC ==，D 是AC 的中点，BD u u u r 在AC u u u r
方向上的投影为4-，则向量BA u u u r 与AC u u u r 的夹角为（ ）
A ．45°
B ．60°
C ．120°
D ．150°
【答案】C
【解析】
【分析】 设BDC α∠=，向量BA u u u r 与AC u u u r 的夹角为θ，BD u u u r 在AC u u u r 方向上的投影为cos =4BD α-u u u r ，利用线性代换并结合向量夹角公式即可求出夹角．
【详解】
312AB AC ==，D 是AC 的中点，
则4AC =，2AD DC ==， 向量BD u u u r 在AC u u u r 方向上的投影为4-， 设BDA α∠=，向量BA u u u r 与AC u u u r 的夹角为θ， 则cos =4BD α-u u u r
，
∴()
cos ===BD DA AC BA AC BD AC DA AC BA AC BA AC BA AC
θ+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()()cos cos180444211===1242BD AC DA AC AB AC α⋅+⋅⨯+-⨯-⨯︒⨯⋅-u u u u u r u u u r u u u u r u u u r u ur r u ， 故夹角为120°，
故选：C .
【点睛】
本题考查向量的投影，利用数量积求两个向量的夹角，属于中等题.
3．下列说法中说法正确的有（ ） ①零向量与任一向量平行；②若//a b r r ，则()a b R λλ=∈r r ；
③()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r ④||||||a b a b +≥+r r r r ；⑤若0AB BC CA ++=u u u r u u u r u u u r r ，则A ，B ，C
为一个三角形的三个顶点；⑥一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；
A ．①④
B ．①②④
C ．①②⑤
D ．③⑥ 【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用向量的基础知识的应用求出结果.
【详解】
对于①：零向量与任一向量平行，故①正确； 对于②：若//a b r r ，则()a b R λλ=∈r r ，必须有0b ≠r r ，故②错误；
对于③：()()
a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r ，a r 与c r 不共线，故③错误； 对于④：a b a b +≥+r r r r ，根据三角不等式的应用，故④正确；
对于⑤：若0AB BC CA ++=u u u r u u u r u u u r r ，则,,A B C 为一个三角形的三个顶点，也可为0r ，故⑤错误；对于⑥：一个平面内，任意一对不共线的向量都可以作为该平面内所有向量的基底，故⑥错误.
综上：①④正确.
故选：A.
【点睛】
本题考查的知识要点：向量的运算的应用以及相关的基础知识，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题． 4．已知O 是平面上一定点，满足()||cos ||cos AB AC OP OA AB B AC C
λ=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，[0λ∈，)+∞，
则P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）
A ．外心
B ．垂心
C ．重心
D ．内心
【答案】B
【解析】
【分析】 可先根据数量积为零得出BC uuu r 与()||cos ||cos AB AC AB B AC C λ+u u u r
u u u r u u u
r u u u r 垂直，可得点P 在BC 的高线上，从而得到结论． 【详解】 Q ()||cos ||cos AB AC OP OA AB B AC C
λ=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， ∴()||cos ||cos AB AC OP OA AB B AC C
λ-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 即()||cos ||cos AB AC AP AB B AC C λ=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， Q cos BA BC B BA BC ⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ，cos CA CB C CA CB
⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ， ∴()0||cos ||cos AB AC BC BC BC AB B AC C
⋅+=-+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， ∴BC uuu r 与()||cos ||cos AB AC AB B AC C
λ+u u u r u u u r u u u r u u u r 垂直， 即AP BC ⊥uu u r uu u r ，
∴点P 在BC 的高线上，即P 的轨迹过ABC ∆的垂心.
故选：B ．
【点睛】
本题重点考查平面向量在几何图形中的应用，熟练掌握平面向量的加减运算法则及其几何意义是解题的关键，考查逻辑思维能力和转化能力，属于常考题.
5．已知菱形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=︒，则BD CD ⋅=u u u v u u u v
（）
A ．4
B ．6
C ．
D ．【答案】B
【解析】
【分析】 根据菱形中的边角关系，利用余弦定理和数量积公式，即可求出结果．
【详解】
如图所示，
菱形形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=︒，
∴120C ∠=︒，∴22222222cos12012BD =+-⨯⨯⨯︒=， ∴23BD =，且30BDC ∠=︒，
∴|||3 302|326BD CD BD CD cos =⨯⨯︒=⨯⨯
=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ， 故选B ．
【点睛】
本题主要考查了平面向量的数量积和余弦定理的应用问题，属于基础题.．
6．在平面直角坐标系中，()1,2A -，(),1B a -，(),0C b -，,a b ∈R ．当,,A B C 三点共线时，AB BC ⋅u u u r u u u r 的最小值是（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．2 【答案】B
【解析】
【分析】
根据向量共线的坐标表示可求得12b a =-，根据数量积的坐标运算可知所求数量积为()211a -+，由二次函数性质可得结果.
【详解】 由题意得：()1,1AB a =-u u u r ，(),1BC b a =--u u u r ，
,,A B C Q 三点共线，()()111a b a ∴⨯-=⨯--，即12b a =-，()1,1BC a ∴=-u u u r ，
()2111AB BC a ∴⋅=-+≥u u u r u u u r ，即AB BC ⋅u u u r u u u r 的最小值为1.
故选：B .
【点睛】
本题考查平面向量的坐标运算，涉及到向量共线的坐标表示和数量积的坐标运算形式，属于基础题.
7．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ⊥DC ，AD ＝DC ＝2AB ，E 为AD 的中点，若(,)CA CE DB R λμλμ=+∈u u u r u u u r u u u r ，则λ＋μ的值为（ ）
A．6 5
B．
8
5
C．2D．8
3
【答案】B
【解析】
【分析】
建立平面直角坐标系，用坐标表示,,
CA CE DB
u u u r u u u r u u u r
，利用(,)
CA CE DB R
λμλμ
=+∈
u u u r u u u r u u u r
，列出方程组求解即可.
【详解】
建立如图所示的平面直角坐标系，则D(0，0).
不妨设AB＝1，则CD＝AD＝2，所以C(2，0)，A(0，2)，B(1，2)，E(0，1)，(2,2),(2,1),(1,2)
CA CE DB
∴=-=-=
u u u r u u u r u u u r
CA CE DB
λμ
=+
u u u r u u u r u u u r
Q
∴(－2，2)＝λ(－2，1)＋μ(1，2)，
22
22
λμ
λμ
-+=-
⎧
∴⎨
+=
⎩
解得
6
5
2
5
λ
μ
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
则
8
5
λμ
+=.
故选：B
【点睛】
本题主要考查了由平面向量线性运算的结果求参数，属于中档题.
8．在ABC
∆中，若点D满足3
CD DB
=
u u u r u u u r
，点M为线段AC中点，则MD=
u u u u r
（）A．
31
44
AB AC
-
u u u r u u u r
B．
11
36
AB AC
-
u u u r u u u r
C．
21
33
AB AC
-
u u u r u u u r
D．
31
44
AB AC
+
u u u r u u u r
【答案】A
【解析】
【分析】
根据MD MA AB BD
=++
u u u r u u
u u u u r u r u u u r
，化简得到答案.
【详解】
()
1131
2444
MD MA AB BD AC AB AC AB AB AC
=++=-++-=-
u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u
u u u u r r u u u r
.
故选：A.
【点睛】
本题考查了向量的运算，意在考查学生的计算能力.
9．已知5MN a b =+u u u u r r r ，28NP a b =-+u u u r r r ，3()PQ a b =-u u u r r r ，则（ ）
A ．,,M N P 三点共线
B ．,,M N Q 三点共线
C ．,,N P Q 三点共线
D ．,,M P Q 三点共线 【答案】B
【解析】
【分析】
利用平面向量共线定理进行判断即可.
【详解】
因为28NP a b =-+u u u r r r ,3()PQ a b =-u u u r r
r 所以()
2835NQ NP PQ a b a b a b =+=-++-=+u u u r u u u r u u u r r r r r r r
,
因为5MN a b =+u u u u r r r ,所以MN NQ =u u u u r u u u r 由平面向量共线定理可知,MN u u u u r 与NQ uuu r 为共线向量,
又因为MN u u u u r 与NQ uuu r 有公共点N ,所以,,M N Q 三点共线. 故选: B
【点睛】
本题考查利用平面向量共线定理判断三点共线;熟练掌握共线定理的内容是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.
10．设x ，y 满足102024x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩
，向量()2,1a x =r ，()1,b m y =-r ，则满足a b ⊥r r 的实数m
的最小值为（ ）
A ．125
B ．125-
C ．32
D ．32
- 【答案】B
【解析】
【分析】
先根据平面向量垂直的坐标表示，得2m y x =-，根据约束条件画出可行域，再利用m 的几何意义求最值，只需求出直线2m y x =-过可行域内的点C 时，从而得到m 的最小值即可．
【详解】 解：不等式组表示的平面区域如图所示：因为()2,1a x =r ，()1,b m y =-r ，
由a b ⊥r r 得20x m y +-=，∴当直线经过点C 时，m 有最小值，
由242x y x y +=⎧⎨=⎩，得8545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，∴84,55C ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴416122555m y x =-=
-=-， 故选：B. 【点睛】 本题主要考查了平面向量共线（平行）的坐标表示，用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属于中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．
11．已知平面向量a v ,b v 的夹角为3
π，且||2a =v ，||1b =v ，则2a b -=v v ( ) A ．4
B ．2
C ．1
D ．16
【答案】B
【解析】
【分析】
根据向量的数量积和向量的模的运算，即可求解.
【详解】 由题意，可得222|2|||4||4444||||cos 43a b a b a b a b π-=+-⋅=+-⋅=r r r r r r r r ， 所以|2|2a b -=r r ，故选B.
【点睛】 本题主要考查了平面向量的数量积的运算及应用，其中解答中熟记平面向量的数量积的运算公式，以及向量的模的运算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
12．在ABC V 中，D 、P 分别为BC 、AD 的中点，且BP AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，则λμ+=（ ）
A ．1
3- B ．13 C ．12- D ．12
【答案】C
【解析】
【分析】
由向量的加减法运算，求得BP BD DP BD PD =+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
，进而得出()()22BP AB AC BD PD λμμλλμ=+=-++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，列式分别求出λ和μ，即可求得λμ+.
【详解】
解：已知D 、P 分别为BC 、AD 的中点，
由向量的加减法运算，
得BP BD DP BD PD =+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
， 2AB AD DB BD PD =+=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 2AC AD DC BD PD =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 又()()22BP AB AC BD PD λμμλλμ=+=-++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r Q ，
则1221μλλμ-=⎧⎨+=-⎩
， 则12λμ+=-
. 故选：C.
【点睛】
本题考查平面向量的加减法运算以及向量的基本定理的应用.
13．已知向量(cos ,sin )a αα=r ，(cos ,sin )b ββ=r ，a b ⊥r r ，则当,1[]2t ∈-时，a tb -r r 的最大值为（ ）
A 2
B 3
C ．2
D 5【答案】D
【解析】
【分析】 根据(cos ,sin )a αα=r ，(cos ,sin )b ββ=r ，a b ⊥r r ，得到1a =r ，1b =r ，0a b ⋅=r r ，再利
用22()1a tb a tb t -=-=+r r r r
求解. 【详解】 因为(cos ,sin )a αα=r ，(cos ,sin )b ββ=r ，a b ⊥r r ，
所以1a =r ，1b =r ，0a b ⋅=r r ， 所以22()1a tb a tb t -=-=+r r r r ，
当[]2,1t ∈-时，max
5a tb -=r r . 故选：D
【点睛】 本题考查向量的模以及数量积的运算，还考查运算求解能力，属于中档题.
14．在ABC ∆中，2AB =，3AC =，3BAC π
∠=，若23
BD BC =u u u v u u u v ，则AD BD ⋅=u u u v u u u v （ ） A ．229 B ．229- C ．169 D ．89
- 【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要是找到两个基底向量AB u u u v ，AC u u u v ，然后用两个基底向量表示AD u u u v ，BD u u u v
，再通过向量的运算即可得出结果．
【详解】
解：由题意，画图如下：
则：()
22223333
BD BC AC AB AB AC ==-=-+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ， 2233AD AB BD AB AB AC =+=-+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 1233
AB AC =+u u u v u u u v . ∴12223333AD BD AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 22242999AB AC AB AC =-⋅+⋅-⋅⋅u u u v u u u v u u u v u u u v
24249cos 999
AB AC BAC =-⋅+⋅-⋅⋅⋅∠u u u v u u u v 82423cos 993
π=-+-⋅⋅⋅ 229
=. 故选A ．
【点睛】
本题主要考查基底向量的建立以及用两个基底向量表示别的向量，考查平面向量的数量积的计算．本题属基础题．
15．已知向量m →，n →的夹角为60︒，且1m →=，m n →→-=n →=（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 【答案】B
【解析】
【分析】
设||n x →=，利用数量积的运算法则、性质计算即可.
【详解】
设||n x →=， 因为1m →=，向量m →，n →的夹角为60︒， 所以2
213m n x x →→-=-+=，
即220x x --=，
解得2x =，或1x =-（舍去）， 所以2n →=.
故选：B
【点睛】
本题主要考查了向量的模的性质，向量数量积的运算，属于中档题.
16．设a r ，b r 不共线，3AB a b =+u u u r r r ，2BC a b =+u u u r r r ，3CD a mb =+u u u r r r ，若A ，C ，D 三点共线，则实数m 的值是（ ）
A ．23
B ．15
C ．72
D ．152
【答案】D
【解析】
【分析】 计算25AC a b =+u u u r r r ，得到()
253a b a mb λ+=+r r r r ，解得答案. 【详解】 ∵3AB a b =+u u u r r r ，2BC a b =+u u u r r r ，∴25AC AB BC a b =+=+u u u r u u u r u u u r r r ，
∵A ，C ，D 三点共线，∴AC CD λ=u u u r u u u r ，即()
253a b a mb λ+=+r r r r ， ∴235m λλ=⎧⎨=⎩，解得23
152m λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
. 故选：D .
【点睛】
本题考查了根据向量共线求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力.
17．如图，AB ，CD 是半径为1的圆O 的两条直径，3AE EO =u u u v u u u v ，则•EC ED u u u v u u u v
的值是（ ）
A ．45-
B ．1516-
C ．14-
D ．5
8
- 【答案】B
【解析】
【分析】
根据向量表示化简数量积，即得结果.
【详解】 ()()()()
•••EC ED EO OC EO OD EO OC EO OC =++=+-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 2221151416EO OC ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭
u u u v u u u v ,选B. 【点睛】
本题考查向量数量积，考查基本分析求解能力，属基础题.
18．已知单位向量a r ，b r 的夹角为3
π，(),c a b R μλμ+=λ+∈r u u r u u r ，若2λμ+=，那么c r
的最小值为（ ）
A
B C D 【答案】D
【解析】
【分析】 利用向量的数量积的运算公式，求得12a b ⋅=r r ，再利用模的公式和题设条件，化简得到24c λμ=-u r ，最后结合基本不等式，求得1λμ≤，即可求解．
【详解】
由题意，向量,a b r r 为单位向量，且夹角为3π，所以11cos 11322a b a b π⋅=⋅=⨯⨯=r r r r ， 又由(),c a b μλμ=λ+∈R r u u r u u r ， 所以()
22222222()4c a b a b λμλμλμλμλμλμλμλμ=+=++⋅=++=+-=-u r r r r r ， 因为,R λμ+∈时，所以2
22()122λμλμ+⎛⎫
≤== ⎪⎝⎭，当且仅当λμ=时取等号，
所以23c ≥u r ，即c ≥u r
故选：D ．
【点睛】 本题主要考查了平面向量的数量积的运算，以及向量的模的计算，其中解答中熟记向量的数量积和模的计算公式，以及合理应用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．
19．已知向量a v ，b v 满足a v ||1b =v ，且2b a +=v v ，则向量a v 与b v 的夹角的余弦值为（ ）
A ．2
B ．3
C
D ．4
【答案】D
【解析】
【分析】 根据平方运算可求得12
a b ⋅=r r ，利用cos ,a b a b a b ⋅<>=r r r r r r 求得结果. 【详解】 由题意可知：2222324b a b a b a a b +=+⋅+=+⋅=r r r r r r r r ，解得：12
a b ⋅=r r
cos,
4
a b
a b
a b
⋅
∴<>===
r
r
r
r
r
r
本题正确选项：D
【点睛】
本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够通过平方运算求得向量的数量积.
20．已知单位向量,a b
r r
满足3
a b
+=
r
r
，则a
r
与b
r
的夹角为
A．
6
π
B．
4
π
C．
3
π
D．
2
π
【答案】C
【解析】
由3
a b
+=
r
r2
22
36913
a b a a b b
+=+⋅+=
r r r
r r r
，
又因为单位向量,a b
r r
，所以
1
63
2
a b a b
⋅=⇒⋅=
r r
r r
，
所以向量,a b
r r
的夹角为
1
cos,
2
a b
a b
a b
⋅
〈〉==
⋅
r
r
r
r
r
r，且,[0,]
a bπ
〈〉∈
r
r
，所以,
3
a b
π
〈〉∈
r
r
，故选C.。