2021年九年级中考数学 二轮专题突破：多边形与平行四边形

2021中考数学二轮专题突破：多边形与平行四
边形
一、选择题
1. 已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，E是BC的中点，以下说法错误的是( )
A. OE＝1
2
DC B. OA＝OC
C. ∠BOE＝∠OBA
D. ∠OBE＝∠OCE
2. （2020·温州）如图，在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，点D在AC边上，以CB，CD为边作□BCDE，则∠E的度数为
A．40° B．50° C．60° D．70°
3. 如图，在▱ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处，若∠B=60°，AB=3，则△ADE的周长为()
A.12
B.15
C.18
D.21
4. 如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是
A ．180°
B ．360°
C ．540°
D ．720°
5. 如图，将▱
ABCD 沿对角线AC 折叠，使点B 落在点B ′处．若∠1＝∠2＝44°，则∠B 为( )
A . 66°
B . 104°
C . 114°
D . 124°
6. 一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为
1080°，那么原
多边形的边数为( ) A ．7
B ．7或8
C ．8或9
D ．7或8或9
7. (2020·潍坊)如图，点
E 是□ABCD 的边AD 上的一点，且
1
2
DE AE =，连接BE 并延长交CD 的延长线于点F ，若3,4DE DF ==，则□ABCD 的周长为（ ）
F
E
D
C
B
A
A .
21 B. 28 C. 34 D. 42
8. （2020·泰安）如图，四边形
ABCD 是一张平行四边形纸片，其高AG ﹦2cm ，底边BC ﹦6cm ，∠B ﹦45°，沿虚线EF 将纸片剪成两个全等的梯形．若∠BEF ﹦30°，则AF 的长为（ ）
A ．1cm
B ．
63
cm C ．（2 3 —3）cm D ．（2— 3 ）cm
A
B
C
D
E
F
G
二、填空题
9. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是AB的中点，△BEO的周长是8，则△BCD的周长为
.
10. 将平行四边形OABC放置在如图所示的平面直角坐标系中，点O为坐标原点.若点A的坐标为(3，0)，点C的坐标为(1，2)，则点B的坐标为.
11. 如图所示，在▱ABCD中，∠C＝40°，过点D作AD的垂线，交AB于点E，交CB的延长线于点F，则∠BEF的度数为__________．
12. 如图所示，x的值为________．
13. （2020·武汉）在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，AC是□ABCD的对角线，点E在AC上，AD＝AE＝BE，∠D＝102°，则∠BAC 的大小是____________．
D
A
E
C
B
14. 如图，在▱
ABCD 中，E 为边CD 上一点，将△ADE 沿AE 折叠至△AD ′E 处，
AD ′与CE 交于点F ，若∠B ＝52°，∠DAE ＝20°，则∠FED ′的大小为________．
15. 如图，在平行四边形□ABCD 中，2,AB ABC =∠的平分线与BCD ∠的平分线交于点E ，若点E 恰好在边AD 上，则22BE CE +的值为
．
E
D
C
B A
16. （2020·天津）如图，
ABCD 的顶点C 在等边BEF
的边BF 上，点E 在AB
的延长线上，G 为DE 的中点，连接CG ．若3AD =，2AB CF ==，则CG 的长为_______．
三、解答题
17. 如图，在▱ABCD 中，点E ，F 在对角线AC 上，且AE ＝CF. 求证：(1)DE ＝BF ；
(2)四边形DEBF 是平行四边形．
18. 如图，在四边形
ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥CD ，∠B=45°，延长CD 到点E ，使
DE=DA ，连接AE. (1)求证:AE=BC ;
(2)若AB=3，CD=1，求四边形ABCE 的面积.
19. 如图，ABC ∆中，E 、F
分别是AB 、BC 的中点，G 、H 是AC 的三等分点，
连结并延长EG 、FH 交于点D ．求证：四边形ABCD 是平行四边形．
H
G
F
E
D
C
B
A
20. 如图，在四边形ABCD 中，E 为AB 上一点，ADE ∆和BCE ∆都是等边三角形，
AB 、BC 、CD 、DA 的中点分别为P 、Q 、M 、N ，证明四边形PQMN 为平行
四边形且PQ PN =．
Q
E
P N
M
D
C
B
A
21. 如图，在平面直角坐标系中，四边形
OABC 是平行四边形．直线l 经过O 、C
两点，点A 的坐标为(8，0)，点B 的坐标为(11，4)，动点P 在线段OA 上从O 出发以每秒1个单位的速度向点A 运动，同时动点Q 从点A 出发以每秒2个单位的速度沿A →B →C 的方向向点C 运动，过点P 作PM 垂直于x 轴，与折线O —C —B 相交于点M ．当P 、Q 两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P 、Q 运动的时间为t 秒（t ＞0），△MPQ 的面积为S ．
（1）点C 的坐标为____________，直线l 的解析式为____________；
（2）试求点Q 与点M 相遇前S 与t 的函数关系式，并写出相应的t 的取值范围． （3）试求题（2）中当t 为何值时，S 的值最大？最大值是多少？
22. 如图，求证：四边形两组对边中点连线与两对角线中点连结这三条线共点．
O
E F
L
H
N
M
D
C
B A
2021中考数学 二轮专题突破：多边形与平行四
边形-答案
一、选择题
1. 【答案】D 【解析】A 、B 、C 均正确，因为OB 不一定等于OC ，所以∠OBE 不一定等于∠OCE .
2. 【答案】D
【解析】本题考查了等腰三角形的性质以及平行四边形的性质，由∠A ＝40°，AB ＝AC ，求得∠C ＝70°，又因为四边形BCDE 是平行四边形，所以∠E ＝∠C ＝70°，因此本题选D ．
3. 【答案】C [解析]∵折叠后点D 恰好落在DC 的延长线上的点E 处，∴AC ⊥DE ，
EC=CD=AB=3， ∴ED=6.
∵∠B=60°，∴∠D=60°，∴AD=2CD=6， ∴AE=6，∴△ADE 的周长=AE +AD +ED=18，故选C .
4. 【答案】C
【解析】黑色正五边形的内角和为：(5–2)×180°=540°， 故选C ．
5. 【答案】C
【解析】设∠ACD ＝x ，∠B ＝y ，则根据题意可列方程组
⎩⎨⎧x ＋y ＋44°＝180°180°－y －（44°－x ）＝44°，解得y ＝114°.
6. 【答案】D
[解析] 设内角和为1080°的多边形的边数为n ，则(n －2)×180°
＝1080°，解得n ＝8.则原多边形的边数为7或8或9.故选D.
7. 【答案】B
【解析】利用平行四边形、相似的有关性质解决问题.∵
1
2
DE AE =，DE=3，∴AE=6.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD=BC,AB=CD,AB ∥CD,∴△DEF ∽△AEB, ∴DE DF
AE AB =,又DF=4，∵AB=8，∴□ABCD 的周长为28.故选B.
8. 【答案】 D
【解析】本题考查了图形全等的概念、平行四边形的性质以及解直角三角形，过点F 作FH ⊥BC ，垂足为H.
E C
F
H
A B D
G
设AF=x ，因为四边形ABCD 是一张平行四边形纸片，所以AD=BC.因为沿虚线EF 将纸片剪成两个全等的梯形，所以BE=DF ，所以AF=EC=x ．因为AG 是BC 边上的高，FH ⊥BC ，所以GH=AF=x .因为∠B=45°，AG=2，所以BG=2，则HE=6-2-2x =4-2x .
因为tan ∠BEF=HF HE ，所以HE=tan HF BEF ∠=3
=2 3 ，则4-2x =2 3 ，解得
x =2- 3 ，因此本题选D ．
二、填空题
9. 【答案】16 [解析]由O 是平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 的交点，点E 是
AB 的中点，可得OE=AD ，BE=AB ，BO=BD ，可得△BEO 的周长是△BAD 周长的一
半，而△BCD 的周长与△BAD 的周长相等，故△BCD 的周长为16.
10. 【答案】(4，2)
[解析]因为四边形OABC 是平行四边形，
所以BC=OA=3. 所以点B (4，2).
11. 【答案】50°
【解析】在平行四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴∠FBA
＝∠C ＝40°，∵FD ⊥AD ，∴∠ADF ＝90°，∵AD ∥BC ，∴∠F ＝∠ADF ＝90°，∴∠BEF ＝180°－90°－40°＝50°.
12. 【答案】55°
[解析] 由多边形的外角和等于360°，得360°－105°－60°
＋x ＋2x ＝360°，解得x ＝55°.
13. 【答案】26°
【解析】本题考查了等腰三角形性质，平行四边形性质等，∵□ABCD ，∴AD ＝BC ，AD ∥BC ，DC ∥AB ，又∵AD ＝AE ＝BE ，∴BC ＝AE ＝BE ，∴∠BAC ＝∠EBA ，∠BEC ＝∠BCE ，∵AD ∥BC ，DC ∥AB ，∴∠DCB ＝78°，∠BAC ＝∠DCA ，∵∠BEC ＝∠BAC ＋∠EBA ，∴∠BCE ＝2∠BAC ，∴3∠BAC ＝78°，解得∠BAC ＝26°，因此本题答案为26°．
14. 【答案】36° 【解析】∵在▱ABCD 中，∠D ＝∠B ＝52°，∴∠AEF ＝∠DAE ＋∠D ＝20°＋52°＝72°，∴∠AED ＝180°－∠AEF ＝108°，由折叠的性质得，∠AED ′＝∠AED ＝108°，∴∠FED ′＝∠AED ′－∠AEF ＝108°－72°＝36°.
15. 【答案】16
【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD=2,AD=BC,AD ∥BC ，AB ∥CD,∴∠ABC+∠BCD=180°, ∠AEB=∠EBC ，∠DEC=∠ECB.又∵BE 、CE 分别是∠ABC 与∠DCB 的平分线，∴∠ABE=∠EBC ，∠DCE=∠ECB ，∴∠EBC+∠BCE=90°，∠ABE=∠AEB ，∠DCE=∠DEC ，∴AB=AE=2,DC=DE=2,2222416.BC BE CE =+==
16. 【答案】3
2
【解析】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的性质、中位线等知识点，延长DC 交EF 于点M ，利用平行四边形、等边三角形性质求出相应的线段长，证出CG 是DEM △的中位线是解题的关键．延长DC 交EF 于点M （图见详解），根据平行四边形与等边三角形的性质，可证△CFM 是等边三角形，
BF=BE=EF=BC+CF=5，可求出CF=CM=MF=2，可得C 、G 是DM 和DE 的中点，根据中
位线的性质，可得出CG=1
2
EM ，代入数值即可得出答案．如下图所示，延长DC
交EF 于点M ，3AD =，2AB CF ==，
平行四边形ABCD 的顶点C 在等边BEF 的边BF 上，
//DM AE ∴，
CMF ∴是等边三角形，
2AB CF CM MF =∴===．
在平行四边形ABCD 中，2AB CD ==，3AD BC ==， 又
BEF 是等边三角形，
325BF BE EF BC CF ===+=+=∴，
523EM EF MF =∴=--=．
G 为DE 的中点，2CD CM ==，
C ∴是DM 的中点，且CG 是DEM △的中位线，
1322
CG EM =
∴=． 故答案为：3
2
．
三、解答题
17. 【答案】
解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ＝BC ，AD ∥BC ， ∴∠DAE ＝∠BCF ，(1分) 又∵AE ＝CF ，
∴△DAE ≌△BCF(SAS )， ∴DE ＝BF.(2分)
(2)由(1)得△DAE ≌△BCF ， ∴∠DEA ＝∠BFC ，
∴∠DEF ＝∠BFE ，(3分) ∴DE ∥BF ，(4分) 又∵DE ＝BF ，
∴四边形DEBF 是平行四边形．(5分)
18. 【答案】
解:(1)证明:∵AD ⊥CD ，AB ∥CD ， ∴∠ADE=∠DAB=90°. ∵AD=DE ，∴∠E=∠DAE=45°， ∴∠EAB=135°.
∵∠B=45°，∴∠B +∠EAB=180°， ∴AE ∥BC ，
∴四边形ABCE 是平行四边形， ∴AE=BC.
(2)由(1)知AB=CE ， ∵CD=1，AB=3， ∴DE=2. ∵AD=DE ， ∴AD=2，
∴S 四边形ABCE =3×2=6.
19. 【答案】
连接BG 、BH 、BD ，设BD 与AC 相交与点O
∵E 、F 分别是AB 、BC 的中点，∴EG ∥BH ，同理FH ∥BG ∴四边形BHDG 是平行四边形，∴OB OD =，OG OH = ∵AG HC =，∴OA OC =
∴四边形ABCD 是平行四边形
20. 【答案】
如图，连结AC 、BD ．
∵PQ 为ABC ∆的中位线
∴PQ AC ∥且12
PQ AC =
同理MN AC ∥且12
MN AC =
∴MN PQ ∥且MN PQ =
∴四边形PQMN 为平行四边形． 在AEC ∆和DEB ∆中
AE DE =，EC EB =,60AED CEB ∠=︒=∠ 即AEC DEB ∠=∠ ∴AEC DEB ∆∆≌ ∴AC BD =
∴1122
PQ AC BD PN ===.
Q
E P N
M
D C
B
A
21. 【答案】
（1）点C 的坐标为(3，4)，直线l 的解析式为43
y x =．
（2）①当M 在OC 上，Q 在AB 上时，502
t ＜≤．
在Rt △OPM 中，OP ＝t ，4tan 3OMP ∠=，所以43
PM t =．
在Rt △AQE 中，AQ ＝2t ，3cos 5QAE ∠=，所以65
AE t =．
于是618855PE t t t =+-=+．因此212162153
S PE PM t t =⋅=+．
②当M 在OC 上，Q 在BC 上时，532
t ＜≤．
因为25BQ t =-，所以11(25)163PF t t t =---=-． 因此2132223
S PF PM t t =⋅=-+．
③当M 、Q 相遇时，根据P 、Q 的路程和2115t t +=+，解得163
t =．
因此当M 、Q 都在BC 上，相遇前，1633
t ＜≤，PM ＝4，162163MQ t t t =--=-．
所以16322
S MQ PM t =⋅=-+．
图2 图3 图4 （3）①当502
t ＜≤时，222162160(20)15
3
15
3
S t t t =+=+-．
因为抛物线开口向上，在对称轴右侧，S 随t 的增大而增大， 所以当52
t =时，S 最大，最大值为856
．
②当532
t ＜≤时，2232812822()3
3
9
S t t t =-+=--+．
因为抛物线开口向下，所以当83
t =时，S 最大，最大值为1289
．
③当1633
t ＜≤时，16322
S MQ PM t =⋅=-+．
因为S 随t 的增大而减小，所以当3t =时，S 最大，最大值为14．
综上所述，当83
t =时，S 最大，最大值为1289
．
考点伸展
第（2）题中，M 、Q 从相遇到运动结束，S 关于t 的函数关系式是怎样的？ 此时16133
2
t ＜≤， 216316MQ t t t =+-=-．因此16322
S MQ PM t =⋅=-．
图5
22. 【答案】
方法一：设N H M L F E ，，，，，分别为AB BC CD DA AC BD ，，，，，的中点，要证明EF LH ，，及MN 三线共点．因为LF DC ∥且12
LF DC =， 所以EF DC ∥且1
2
EF DC =，
LF EH ∥且LF EH =，
从而四边形EHFL 为平行四边形，故LH 与EF 互相平分．
设LH 与EF 的交点为O ，则LH 经过EF 中点O （当然也是LH 中点）．同理，MN 也过EF 中点O ．所以，EF ，LH ，MN 三线共点于O ． 说明：本题证明的关键是平行四边形EHFL 的获得（它是通过三角形中位
线定理来证明的）．
由此可见，在某些四边形的问题中，通过构造平行四边形去解题是一种常用的技巧． 请看下例．
方法二：应用中点公式法
可设()11A x y ，
，()()()223344B x y C x y D x y ，，，，， 那么AC 线段的中点坐标为131322x x y y F ++⎛⎫
⎪⎝⎭
，，BD 线段的中点坐标为242422x x y y E ++⎛⎫
⎪⎝⎭
，
那么EF 线段的中点坐标为1234123422x x x x y y y y ++++++⎛⎫
⎪⎝⎭
， 同理可得：MN LH ，的中点坐标也为1234123422x x x x y y y y ++++++⎛⎫
⎪⎝⎭
， 所以可知：EF ，LH ，MN 三线共点于O。