§10-3自感 互感 磁场能量

di 由欧姆定律得 L iR dt Ldi iRdt
Lidi i Rdt
2
R
L
K1
K2

t 2
两边积分得

0
I
Lidi
电阻放出的焦耳-楞次热 储存在自感内的能量
i Rdt i Rdt
0 t 2 0
1 2 LI 2
转化为焦耳热
四、磁场的能量和能量密度
线圈的磁能是贮存在磁场中的,也就是说 有磁场必然有能量,磁能量与磁场共存.
i
B
dI 0 dt
I
回路中的磁通为 LI
自感系数：比例系数 L 为该回路的自感系数
说明：
1、自感电动势 自感系数的大小 L
i
dI dt
LI
L

I
2、计算自感系数的方法
L
I
或 L
i
dI dt
自感系数的大小与回路的形状、匝数、介质等因数有关 3、“－”表示自感电动势的方向。 L的方向总是要阻 碍回路本身电流的变化。 4、自感系数的单位
讨论实际线路中的感生电动势问题。 一.自感现象 自感系数
i
K
dI 0 dt dI 0 dt
i
A
B
合上 K,支路中灯泡A先亮, 灯泡B后亮。
断开K ，A立即熄灭，B会瞬间闪亮再熄灭。 电路中电感元件具有阻交流、通直流的作用 。 电路中电容元件具有阻直流、通交流的作用 。
自感现象: 由于电路中的电流变化， 而在自己的线路 中产生感应电流的现象叫自感现象。 设电路中的电流为I 全磁通与回路的电流成正比：
K
接通K1，断开K2，某瞬时回路的电流为i，达到 恒定状态时回路电流I，所用时间t
由欧姆定律（全电路）得
di 自感电动势为 L dt
R
L
K1
K2
i

两边积分得
R
L
K1
K2
i

——电源作功 ——电源反抗自感电动势作的功 ——回路电阻所放出的焦耳热 电源反抗自感电动势作的功储存在自感内
回路的电流稳定后，断开K1，同时接通K2
1 LP I WP LP I P 2 2 ( ) 2 1 LQ I Q WQ LQ I Q 2
2 P

Q
1 2 1 2 ( ) 2 2
答案：(D)
1亨利 1伏特 秒 安培-1
亨利 H
毫亨 mH 微亨 H
例1 设一长直螺线管，长为l ，截面积S，线圈总匝 数N ，管中充有磁导率μ的介质，求自感系数L。
解：设螺线管通有I 的电流, 则管内磁场为
B H nI
S
N NΦ NBS N IS l 2 N
b
I
取小面元ds，其上的磁通量
I dΦ B ds l dx 2π x d b I Φ l dx d 2π x

d
o x
dx
l
x
Il
2π
ln(
bd ) d
若导线如左图放置
M
Φ l b d ln( ) I 2π d
Φ 0
得 M 0
l
b 2 b 2
例8 一磁导率为的均匀磁棒，在长为l1的区域绕 有N1匝线圈，在长为l2的区域绕有N2匝线圈，两线 圈截面积相等，均为S。求（1）互感系数，并证明 M12=M21=M；（2）两个线圈的自感L1和L2与互感M
变 不变
C
例6 有两个长度均为l,半径分别为r1和r2（ r1<r2 ）,匝数分 别为N1和N2的同轴长直密绕螺线管.求它们的互感系数M. 解：设半径 r1 的线圈中通有电流 I1 ,则
N1 B1 0 I1 0 n1 I1 l
穿过半径为 r2 的线圈的全磁通
r2 r1
N2 N1
N2Φ21 N2 B1 (πr12 ) n2lB1 ( πr12 )
L I
管内全磁通:
l
nN l
l V lS
S
L n V
2
自感系数 L 与螺线管体积V 、单位长度匝数 n、介质 有关
除线圈外，任何一个实际电路都存在电感，输电线相当 于单匝回路，回路中也分布电感。 例2 两根平行输电导线，中心距离为d，半径为a，求：两 导线单位长度上的分布电感（d >>a）。 解：设导线中有电流I
B1 0 n1I1代入上式
0n1n2l (πr12 ) I1
N 2Φ21 0 n1n2l ( πr12 ) I1
互感系数
M
例7 在磁导率为μ的均匀无限大的磁介质中, 一无限长直 导线与一宽长分别为b和l的矩形线圈共面,直导线与矩形线圈的 一侧平行,且相距为d. 求二者的互感系数. 解 设长直导线通电流 I
通过C1线圈的全磁通
例9 两个同轴放置的圆形线圈C1和C2，C1的面积S=4.0cm2，共有50 匝；C2的半径R=20cm，共有100匝。 求（1）两线圈的互感系数M； （2）当C2中的电流以50A/s的变化率减小时， C1中的互感电动势 (2) 因当C2中的电流变化率为
dI2/dt =-50 A/s
例11 两个长度相同、匝数相同、截面积不同的 长直螺线管,通以相同大小的电流.现将小螺管放 入大螺管里(轴线重合),且使两者产生的磁场方向 一致,则小螺管内的磁能密度是原来的 4 倍; 若使两者产生的磁场方向相反,则小螺管内的磁能 密度为 0 . 解： ⑴单个大螺管内的磁场 B=0nI 放入小螺线管后,小螺管内磁场 B=2B
互感系数的计算
21 12 M I1 I2
互感系数的单位
或M
亨利 H
21
dI 1 dt

12
dI 2 dt
毫亨 mH 微亨 H O
例5
下列几种情况互感是否变化？
（1）线框平行直导线移动； 不变 （2）线框垂直于直导线移动； 变 （3）线框绕 OC 轴转动； （4）直导线中电流变化.
例3 两个无限长同轴圆筒状导体组成电缆，其间充
满磁导率为μ的介质，电缆中沿内圆筒和外圆筒流 过的电流I大小相等而方向相反。设内外圆筒的半径 分别为 和 ，求电缆单位长度的自感。
解： 应用安培环路定理，
在内圆筒之内 在外圆筒之外
B0 B0
I
R1
I
在内外两圆筒之间
I B 2r
R2
在内外圆筒之间，取如图所示的截面
磁场的能量密度为: 该公式具有普遍性, 对均匀磁场及非均匀磁场都成立. 磁场能量
积分区间为: 对磁场存在的全空间.
例10 用线圈的自感系数L来表示载流线圈磁场能量 的公式
1 We LI 2 2
(A)只适用于无限长密绕螺线管. (B)只适用于单匝圆线圈. (C)只适用于匝数很多且密绕的螺线环. (D)适用于自感系数L一定的任意线圈. 答案：(D)
(B)变小. (C)不变. (D)变大,但与电流不成反比关系.
答案：(C)
二.互感现象 互感系数
一个回路中电流变化而在另一个回路中产生感应电动势的 现象，叫做互感现象，这种感应电动势叫做互感电动势。
1
2
线圈1电流变化在线 圈2中产生感应电动势
1
2
I (t )
N 1匝
N 2匝
N 1匝
N 2匝
I (t )
C1中的互感电动势
三 磁场的能量
电容器储能
1 We CU 2 2
1 电场能量密度 we DE 2
磁场能否储能？
磁场能量密度？
讨论一个暂态过程：线圈在接通电流时，电 流由零逐渐增大，直到达到恒定电流I. 电路能量分布： （1）电阻产生焦耳热 （2）电源反抗自感电动势做功 自感磁能：电源反抗自感电动势所做的功转化载 流线圈的能量贮存在线圈中，该能量称为自感磁 能。
B wm 2 0
2
/ wm B / B 4 wm
2 2
⑵小螺管内磁场 B=0
圈P的自感和电阻分别是线圈Q的两 倍,两线圈间的互感忽略不计,则P与Q的磁场能量的比 值为 (A)4 (B)2 (C)1 (D)1/2 解：载流线圈的自感磁能
P
1 2 Wm LI 2
实际使用的自感和互感系数可以通过测量得到
例9 两个同轴放置的圆形线圈C1和C2，C1的面积S=4.0cm2，共有50 匝；C2的半径R=20cm，共有100匝。 求（1）两线圈的互感系数M； （2）当C2中的电流以50A/s的变化率减小时， C1中的互感电动势 解：（1）小线圈C1的半径
设C2通以电流I2，圆心处的磁感应强度大小为
磁场能与磁场空间分布的关系如何 ? 以长直螺线管为例, 计算磁场能量的大小, 并把所 得的结论作一推广.
设一长直螺线管，长为l ，截面积S，线圈总匝数N ， 管中充有磁导率μ的介质
螺线管的自感系数为
L n V
2
1 2 1 2 2 自感磁能 Wm LI n VI 2 2 B H 管内磁场大小 且
之间的关系。
l1
l2
N2
N1
解： （1）设线圈1中有电流I1，则
穿过N2匝线圈的总磁通量为
由
得
V2是线圈2的体积
设2号线圈中有电流I2，则
由于长直螺线管的端口外的磁感应强度为零，穿 过线圈1的总磁通量为
由
得
两次计算证明
（2）已计算出长直螺线管的自感为
所以
由此可见
当： l1 l 2 时
M L1 L2
线圈2电流变化在线圈 1中产生感应电动势
1
2
电流 I 1 在2回路中所产生的全磁通
21 M 21I1
电流 I 2在1回路中所产生的全磁通
I1 (t )
N 1匝
N 2匝
1
2
12 M12 I 2
可以证明 M 21 M12 M
N 1匝 N 2匝
I 2 (t )
M称为互感系数，和两个回路的大小、形状、匝数、 相对位置以及周围磁介质的性质有关。在没有铁磁 质时，M为常量。 dI 1 dI 2 21 M 互感电动势 12 M dt dt
则 dΦ B dS Bl dr R 2 I Φ dΦ ldr R1 2 πr Il R2 积分 Φ ln 2π R1
由自感定义可求出
R1
I
I
r
R2
dr
l
Φ l R2 L ln I 2π R1
单位长度的自感为
R2 ln 2 π R1

例4 当线圈的几何形状、大小及周围磁介质分布不 变,且无铁磁性物质时,若线圈中的电流强度变小, 则线圈的自感系数 L (A)变大,与电流成反比关系.
I
r dr
I
单位长度上的磁通量： B ds d a I d a o I o dr dr a a 2 d r 2r

o I d a ln a
d
o d a ln L I a
o d L ln a
d a