高三数学第一次月考试题 理 新人教A版

高三第一次模拟考试题
理科数学
注意事项：
1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、考号、考场号、座位号等在答题卡上
填写清楚，并认真核准。

2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号。

在试题卷上作答无效。

参考公式：
如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式
P(A+B)=P(A)+P(B) 24R S π= 如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径
P(A·B)=P(A)·P(B) 球的体积公式
如果事件A 在一次试验中发生的概率是
34
3
V R π=
P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径
()(1)(0,1,2,,)k k n k
n n
P k C P P k n -=-= 一、选择题：（每小题5分，满分60分）
1．i 为虚数单位，复平面内表示复数i
i
z +-=2的点在 （ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．设M {}
0|2≤-=x x x ，函数)1ln(
)(x x f -=的定义域为N ，则M N =（ ） A ．[)0,1 B ．()0,1
C ．[]
0,1
D ．(]1,0-
3．如果命题“()p q ⌝或”是假命题，则正确的是 （ ） A ．p 、q 均为真命题
B ．p 、q 中至少有一个为真命题
C ．p 、q 均为假命题
D ．p 、q 中至多有一个为真命题
4．已知等比数列}{n a 的公比为正数，且1,422
475==⋅a a a a ，则1a =( )
A ．
21 B ．2 C ．2 D ．2
2
5．函数cos ()sin ()y x x π
π
2
2=+
-+44
的最小正周期为 （ ） A ．
4
π B ．2
π C ．π
D ．2π
6．对两个变量y 和x 进行线性回归分析，得到一组样本数据：1122(,),(,),,(,),n n x y x y x y
则下列说法中不正确的是 （ ）
A ．由样本数据得到线性回归方程为ˆˆˆy
bx a =+必过样本点的中心(,) B ．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好
C ．用相关指数R 2
来刻画回归效果，R 2
的值越小，说明模型的拟合效果越好
D ．残差点分布的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高。

7．过点（5，0）的椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与双曲线
2
213
x y -=有共同的焦点，则 椭圆的短轴长为 （ ）
A B ．
C D ．
8．如图，设D 是图中边长为4的正方形区域，E 是D 内
函数2
y x =图象下方的点构成的区域。

向D 中随机投 一点，则该点落入E 中的概率为 （ ）
A ．
61 B ．51 C ．41 D ．3
1
9．()f x 是奇函数，则①|()|f x 一定是偶函数；②()()f x f x -一定是偶函数； ③()()0f x f x -≥；④()|()|0.f x f x -+=其中错误命题．．．．的个数是 （ ）
A ．1个
B ．0个
C ．4个
D ．2个
10．已知直线22x y +=与x 轴，y 轴分别交于,A B 两点，若动点(,)P a b 在线段AB 上，则
ab 的最大值为
（ ）
A ．2
B ．
12 C ．3 D ．3
1
11．已知,,,S A B C 是球O 表面上的点，SA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，1SA AB ==，
BC =O 的表面积等于（ ）
A. 4π
B. 3π
C. 2π
D. π
12．由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是（ ）
A ．72
B ．96
C ． 108
D ．144 二．填空题：（本大题共4小题,每小题5分,共20分） 13．右图是求实数x 的绝对值的算法程序框图，则判断框①
中可填 ．
14．已知向量(1,2),(,1)a b x ==
，若向量a b + 与向量a b -
平行，则实数x = .
15．一个多面体中某一条棱的正视图、侧视图、俯视图长度
分别为,,a b c ，则这条棱的长为____ _。

16. 在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，
已知2
2
2a c b -=，且sin cos 3cos sin ,A C A C = 则b = 。

三．解答题：（本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.(本小题满分12分) 设{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知
433,73213++=a a a S ，，且构成等差数列．
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）令 21ln 13，，==+n a b n n ，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
18．（本小题满分12分）
为调查某市学生百米运动成绩,从该市学生中按照男女生比例随机抽取50名学生进行百米测试，学生成绩全部都介于13秒到18秒之间，将测试结果按如下方
式分成五组，第一组[)14,13，第二组[)15,14……第五组[]18,17，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，根据有关规定，成绩小于16秒为达标．
（1）用样本估计总体，某班有学生45人,设ξ为达标人数,求ξ的数学期望与方差； （2）如果男女生使用相同的达标标准,则男女生达标情况如下表：
请把表格填写完整。

根据表中所给的数据，能否有99%的把握认为“体育达标与性别有关”？若有，你能否提出一个更好的解决方法来？
附：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++
19．（本小题满分12分）已知正方体ABCD A B C D ''''-的 棱长为1，点M 是棱AA′的中点，点O 是对角线BD′的 中点.
（1）求证：BD OM ⊥′；
（2）求二面角M －BC′－B′的大小；
∙D 'A
B
C
D M O
A '
B '
C '
∙
20．（本小题满分12分） 在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点A （-1,1）关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于1
3
-. （1）求动点P 的轨迹方程；
（2）设直线AP 和BP 分别与直线x=3交于点M,N ，问：是否存在点P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由。

21、（本小题满分12分） 已知函数：)(3ln )(R a ax x a x f ∈--= （1）讨论函数)(x f 的单调性；
（2）求证：),2(1
ln 55ln 44ln 33ln 22ln *∈≥<⨯⨯⨯⨯N n n n
n n ．
（请考生在22，23，24三题中任选一题做答）
22．（10分。

几何证明选讲） D 、E 分别为△ABC 的边AB 、AC 上的点，且不与△ABC 的顶
点重合。

已知AE 的长为m ，AC 的长
为n ,AD 、AB 的长是关于x 的方程0142=+-mn x x 的两个根。

（1）证明：C 、B 、D 、E 四点共圆；
（2）若∠A=90°，且6,4==n m ，求C 、B 、D 、E 所在圆的半径。

23．（10分 。

坐标系与参数方程） 以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，
且两个坐标系取相等的单位长度．已知直线l 经过点P(1,1),倾斜角6
π
α=．
（1）写出直线l 的参数方程； （2）设l 与圆2=ρ相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积．
24．（10分。

选修4—5：不等式选讲） 已知函数)(x f ＝｜2x －a ｜＋a ．
（1）若不等式
)(x f ≤6的解集为{x ｜－2≤x ≤3}，求实数a 的值；
（2）在（1）的条件下，若存在实数n 使)(n f ≤)(n f m --成立，求实数m 的范围。

昆明市五华区新世纪高级中学2012届高三第一次模拟考试题
理科数学评分标准
一、选择题：（每小题5分，共计60分）
二、填空题：（每小题5分，共计20分）
13、
14、21 15．4
三、解答题：（共计70分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得， ∴
， ……8分
又，
∴
是以
为首项，以
为公差的等差数列 …………10分
∴
即． ……………………………………………………………12分
18
、
解
：
（Ⅰ）
[)0.60.380.180.0416,13=++的频率：成绩在..................................3分
若用样本估计总体，则总体达标的概率为0.6 从而ξ～B (45，0.6）
450.627E ξ∴=⨯=(人)，D ξ=10．8 (6)
分
（Ⅱ）列列联表联表如下：依据题意得相关的22⨯
.................................................9分
2
2
50(241268)32183020K ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯≈8．333
由于2
K >6．625,故有99%的把握认为“体育达标与性别有关”. ........11分
解决办法：可以根据男女生性别划分达标的标
准..............................12分
19、解：解法一：（1）连结
AC ，BD,则AC⊥BD，又DD′⊥平面ABCD ∴BD 是BD′在平面ABCD 的射影 ∴AC⊥BD′
又∵O、M 分别是BD′、AA′的中点
∴OM∥AC ∴OM⊥BD′ ……………5分
（2）取BB ’中点N
，连结MN ，则MN ⊥平面BCC ’B ’ 过点
N
作NH ⊥BC ’于H ，连结MH 则由三垂线定理得BC ’⊥MH
从而,∠MHN 为二面角M -BC ’-B ’的平面角
N =1,NH =Bnsin 45°=1224=
在Rt △MNH 中，tan ∠MHN =MN NH ==
20．解：（I ）解：因为点B 与A (1,1)-关于原点O 对称，所以点B 得坐标为(1,1)-. 设点P 的坐标为(,)x y 由题意得111
113
y y x x -+=-+- 化简得 2234(1)x y x +=≠±.
故动点P 的轨迹方程为2234(1)x y x +=≠±…………………5分
（II ）解法一：设点P 的坐标为00(,)x y ，点M ，N 得坐标分别为(3,)M y ,(3,)N y . 则直线AP 的方程为0011(1)1y y x x --=
++，直线BP 的方程为0011(1)1
y y x x ++=-- 令3x =得000431M y x y x +-=
+，000231
N y x y x -+=-.
于是PMN 得面积 200002
0||(3)1
||(3)2|1|
PMN
M N x y x S y y x x +-=--=- 又直线AB 方程为0x y +=
，||AB = 点P 到直线AB
的距离d =
. 于是PAB 的面积 001
||||2
PAB S AB d x y ==+ 当PAB
PMN S S = 时，得2
0000020||(3)|||1|
x y x x y x +-+=
- 又00||0x y +≠，所以20(3)x -=20|1|x -，解得05|3
x =。

∵220034x y +=
，∴ 0y =故存在点P 使得PAB 与PMN 的面积相等， 此时点P
的坐标为5(,3.……………………12分 解法二：若存在点P 使得PAB 与PMN 的面积相等，设点P 的坐标为00(,)x y 则
11||||sin ||||sin 22
PA PB APB PM PN MPN ∠=∠ . 因为sin sin APB MPN ∠=∠, 所以
||||
||||
PA PN PM PB =
所以
000|1||3||3||1|
x x x x +-=-- 即 22
00(3)|1|x x -=-，解得0x 53=
∵220034x y +=，∴ 09
y =±
故存在点P 使得PAB 与PMN 的面积相等，
此时点P 的坐标为5(,39
±
.……………………12分
22．
解析：（I ）连接DE ，根据题意在△ADE 和△ACB 中，
即
.又∠DAE=∠CAB,从而△ADE∽△ACB
因此∠ADE=∠ACB 所以C,B,D,E 四点共圆。

（Ⅱ）m=4, n=6时，方程x 2
-14x+mn=0的两根为x 1=2,x 2=12.故 AD=2，AB=12.
取CE 的中点G,DB 的中点F ，分别过G,F 作AC ，AB 的垂线，两垂线相交于H 点，连接DH.因为C ，B ，D ，E 四点共圆，所以C ，B ，D ，E 四点所在圆的圆心为H ，半径为DH.
由于∠A=900
，故GH∥AB, HF∥AC. HF=AG=5，DF= （12-2）=5.
故C,B,D,E 四点所在圆的半径为5
23.解：（I ）直线的参数方程是． -----------------（5分）
（II ）因为点A,B 都在直线l 上，所以可设它们对应的参数为t 1和t 2,则点A,B 的坐标分别为
．
圆
化为直角坐标系的方程
．
以直线l 的参数方程代入圆的方程
整理得到
①
因为t 1和t 2是方程①的解，从而t 1t 2＝－2．
所以|PA|·|PB|= |t 1t 2|＝|－2|＝2． -----------------（12分）。