2020年数学中考重难点突破之几何图形的折叠与动点问题

几何图形的折叠与动点问题
1.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝9，点E在BC上，CE＝4，点F是AD 上的一个动点，若把△BEF沿EF折叠，点B落在点B′处，当点B′恰好落在矩形ABCD的一边上，则AF的长为________．
第1题图
3或11
3【解析】如解图①，当点B′落在边AD上时，则易证四边形BEB′F为
菱形，∴BF＝BE＝9－4＝5，由勾股定理易求AF＝3；如解图②，当点B′落在边CD上时，BE＝B′E＝9－4＝5.由勾股定理易求B′C＝3，∴B′D＝4－3＝1.设AF ＝x，则FD＝9－x.根据折叠的性质得BF＝B′F，∴x2＋42＝(9－x)2＋12，解得x
＝11
3，∴AF＝3或
11
3.
第1题解图
2.如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝6，点P是边BC上的动点，现将纸片折叠，使点A与点P重合，折痕与矩形边的交点分别为E、F，要使折痕始终与边AB、AD有交点，则BP的取值范围是________．
第2题图
6－25≤BP≤4【解析】①如解图①，当F、D重合时，BP的值最小，根据折叠的性质可知：AF＝PF＝6，在Rt△PFC中，PF＝6，FC＝4，则PC＝25，∴BP min＝6－25；②如解图②，当E、B重合时，BP的值最大，根据折叠的性质即可得到AB＝BP＝4，即BP的最大值为4；故BP的取值范围是6－25≤BP ≤4.
第2题解图
3.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝6，E，F分别是线段AD、BC上的点，连接EF，使四边形ABFE为正方形，若点G是AD上的动点，连接FG，将矩形沿FG折叠使得点C落在正方形ABFE的对角线所在的直线上，对应点为P，则线段AP的长为__________．
第3题图
4或4－22【解析】当C落在BE的延长线上时，对应点为P1，如解图①，连接FP1，AP1，过P1点作P1H⊥FC，垂足为点H，交AD于点N，设FH＝x，
∵∠P 1BH ＝45°，∴P 1H ＝BH ＝x ＋2，由折叠性质可得P 1F ＝FC ＝6－2＝4，在Rt △P 1HF 中，x 2＋(x ＋2)2＝42，解得x ＝7－1或x ＝－7－1(舍去)，∴P 1H ＝2＋7－1＝7＋1，P 1N ＝7＋1－2＝7－1，在Rt △P 1NA 中，AP 1＝AN 2＋P 1N 2＝（7＋1）2＋（7－1）2＝4；当点C 落在F A 的延长线上时，对应点为P 2，如解图②，易知P 2F ＝CF ＝4，AF ＝22＋22＝22，∴AP 2＝P 2F －AF ＝4－2 2 .
第3题解图
4.如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC (AD ＜BC )，AB 与CD 不平行，AB ＝CD ＝5，BC ＝12，点E 是BC 上的动点，将∠B 沿着AE 折叠，使点B 落在直线AD 上的点B ′处，DB ′＝1，直线BB ′与直线DC 交于点H ，则DH ＝________．
第4题图
511或513 【解析】
如解图①所示，∵AD ∥BC ，∴△HB ′D ∽△HBC ，∴HD HC ＝DB ′CB ，∵AB ＝CD ＝5，BC ＝12，DB ′＝1，∴HD 5＋HD ＝112
，解得：HD ＝511；如解图②所示，∵AD ∥BC ，∴△HB ′D ∽△HBC ，∴HD HC ＝DB ′BC ，∵AB ＝CD ＝5，BC ＝
12，DB′＝1，∴
HD
5－HD＝
1
12，解得：DH＝
5
13.故DH的长度为
5
11或
5
13.
5.如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB＝8，点E为射线BC上一个动点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点B′处，过点B′作AD的垂线，分别交AD，BC 于点M，N.当点B′分线段MN为3∶5的两部分时，EN的长为________．
第5题图
355 11或539
13【解析】由翻折的性质，得AB＝AB′，BE＝B′E.①当MB′＝3，B′N
＝5时，设EN＝x，得B′E＝x2＋25.由题意得△B′EN∽△AB′M，∴
EN
B′M＝
B′E
AB′，
即x
3＝
x2＋25
8，解得x2＝
45
11，∴EN＝x＝
355
11；②当MB′＝5，B′N＝3时，设
EN＝x，得B′E＝x2＋9，由题意得△B′EN∽△AB′M，∴EN
B′M＝B′E AB′，即
x
5＝
x 2＋98，解得x 2＝7513，∴EN ＝x ＝53913，故EN 的长为35511或53913.
6.如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，点P 是对角线BD 上一动点，将纸片折叠，使点C 与点P 重合，折痕为EF ，折痕EF 的两端分别在BC 、DC 边上(含端点)，当△PDF 为直角三角形时，FC 的长为________．
第6题图
247或 83 【解析】
在矩形ABCD 中，AB ＝CD ＝6，BC ＝AD ＝8，在Rt △BCD 中，由勾股定理得BD ＝10.由折叠得PE ＝EC ，PF ＝CF ，∠EPF ＝∠FCE ＝90°.∵∠PDF ＜90°，∴△PDF 为直角三角形有以下两种情况：(Ⅰ)如解图1，当∠PFD ＝90°时，∵∠FCE ＝∠FPE ＝∠PFC ＝90°，∴四边形PECF 是矩形．∵
PF ＝FC ，∴四边形PECF 是正方形，∴PF ∥BC ，∴△DPF ∽△DBC ，∴PF BC ＝DF DC .
设FC ＝PF ＝x ，则DF ＝6－x ，∴x 8＝6－x 6，解得：x ＝247，即FC ＝247；(Ⅱ)如解
图2，当∠DPF ＝90°时，∵∠FPE ＝∠FCB ＝90°，∴此时点E 与点B 重合，∴BP ＝BC ＝8，∴PD ＝10－8＝2.∵∠PDF 公用，∠DPF ＝∠DCB ＝90°，∴△DPF
∽△DCB ，∴PF BC ＝PD DC ，即：PF 8＝26，解得：PF ＝ 83，∴FC ＝83.综上所述，FC 的
长为247或83.
第6题解图
7.如图，正方形的边长为4，E 是BC 的中点，点P 是射线AD 上一动点，过P 作PF ⊥AE 于F .若以P 、F 、E 为顶点的三角形与△ABE 相似，则P A ＝________．
第7题图
2或5 【解析】分两种情况：如解图①，当△EFP ∽△ABE 时，则有∠PEF ＝∠EAB ，∴PE ∥AB ，∴四边形ABEP 为矩形，∴P A ＝EB ＝2；如解图②，当△PFE ∽△ABE 时，则有∠PEF ＝∠AEB ，又∵∠P AF ＝∠AEB ，∴∠PEF ＝∠P AF ，
∴PE ＝P A ，∵PF ⊥AE ，∴点F 为AE 的中点，∵AE ＝42＋22
＝25，PE AE ＝EF EB ，即PE 25
＝52，得PE ＝5，∴P A ＝5，∴当P A ＝2或P A ＝5时，以P 、F 、E 为顶点的三角形与△ABE 相似．
第7题解图
8.如图，矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，E 是AD 中点，点P 在射线BD 上运动，
若△BEP 为等腰三角形，则线段BP 的长度等于____________．
第8题图
2或53或655 【解析】∵在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，E 是AD 的中点，∴∠BAD ＝90°，AE ＝DE ＝1，∴△ABE 是等腰直角三角形，∴BE ＝2AB ＝ 2.若△BEP 为等腰三角形，则分三种情况：①当BP ＝BE 时，显然BP ＝2；②当PB ＝PE 时，如解图①，连接AP .∵PB ＝PE ，AB ＝AE ，∴AP 垂直平分BE ，∵△ABE 是等腰直角三角形，∴∠BAP ＝∠EAP ＝45°，作PM ⊥AB 于点M ，设PM
＝x ，∵S △ABD ＝S △ABP ＋S △APD ，∴12×1×2＝12×1×x ＋12×2×x ，解得x ＝23，∴PM
＝23，
∴BP ＝PM sin ∠ABD
＝2325
＝53；③当EB ＝EP 时，如解图②，过点A 作AF ⊥BD 于点F ，过点E 作EG ⊥BD 于点G ，在Rt △ABF 中，AF ＝AB ·sin ∠ABF ＝1×25＝255，∵AE ＝ED ，EG ∥AF ，∴EG ＝12AF ＝5
5，在Rt △BEG 中，∵BE ＝2，EG ＝55，∴BG ＝BE 2－EG 2＝355，∵EB ＝EP ，EG ⊥BP ，∴BP ＝2BG ＝655.综
上所述，线段BP 的长度等于2或53或
655.
第8题解图① 第8题解图②
9.如图，在▱ABCD 中，∠B ＝30°，AB ＝AC ，O 是两条对角线的交点，过点O 作AC 的垂线分别交边AD 、BC 于点E 、F ；点M 是边AB 的一个三等分点．则△AOE 与△BMF 的面积比为__________．
第9题图
3∶4或3∶8 【解析】如解图，连接AF 、MF ，∵AB ＝AC ，∠B ＝30°，∴∠ACB ＝∠B ＝30°， ∵点O 是对角线的交点，EF ⊥AC ，∴AF ＝FC ，∴∠ACB ＝∠F AC ＝30°，∴∠F AB ＝90°，∴BF ＝2AF ＝2FC ，∵点M 为AB 的三等分点，如解图
①，当BM ＝13AB 时，设S △BMF ＝a ，则S △AMF ＝2a ，S △ABF ＝3a ，∴S △AFC ＝3a 2，∴
S △AOE ＝3a 4，∴S △AOE ∶S △BMF ＝3a 4∶a ＝3∶4.则△AOE 与△BMF 的面积比为3∶4；
如解图②，当BM ＝23AB 时，S △AOE ∶S △BMF ＝3a 4∶2a ＝3∶8.综上所述：△AOE 与
△BMF 的面积比为3∶4或3∶8.
第9题解图① 第9题解图②
10.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，AC ＝2，E 为斜边AB 的中
点，点P 是射线BC 上的一个动点，连接AP 、PE ，将△AEP 沿着边PE 折叠，
折叠后得到△EP A ′，若△EP A ′与△ABC 的另一个交点为F ，当EF ＝14AB 时，则
BP 的长为________．
第10题图 2或23 【解析】∵∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，AC ＝2，E 为斜边AB 的中点，
∴AB ＝4，AE ＝12AB ＝2，BC ＝2 3.①若P A ′与AB 交于点F ，连接A ′B ，如解图
①，由折叠可得S △A ′EP ＝S △AEP ，A ′E ＝AE ＝2，∵点E 是AB 的中点，∴S △BEP ＝
S △AEP ＝12S △ABP .∵EF ＝14AB ，∴S △EFP ＝12S △BEP ＝12S △AEP ＝
12S △A ′EP ，∴EF ＝12BE ＝BF ，PF ＝12A ′P ＝A ′F .∴四边形A ′EPB 是平行四边形，∴BP ＝A ′E ＝2；②若EA ′与BC 交于点F ，连接AA ′，交EP 于H ，如解图②.同
理可得FP ＝12BP ＝BF ，EF ＝12×2＝1.∵BE ＝AE ，∴EF ＝12EA ′＝12AP ＝1，∴AP
＝2＝AC ，∴点P 与点C 重合，∴BP ＝BC ＝2 3.故BP 的长为2或2 3.
第10题解图① 第10题解图②。