6.3数列的综合25()改

第三节 数列的综合
数列是一种特殊的函数，解数列题时要注意运用函数与方程、分类讨论和等价转化思想等，将复杂的数列问题化繁为简.常见的数列综合题主要有数列与函数的综合及数列与不等式的综合两类形式.
题型归纳及思路提示
题型87 数列与不等式的综合
思路提示
数列与不等式的综合是高考的热点问题，内容主要包括两个方面：其一，不等式恒成立条件下，求参数的取值范围；其二，不等式的证明，常见方法有比较法、构造辅助函数法、放缩法和数学归纳法等.
一、不等式恒成立条件下，求参数的取值范围问题
利用等价转化思想将其转化为最值问题.
()a F n >恒成立max ()a F n ⇔>；
()a F n <恒成立min ()a F n ⇔<.
例6.38 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，1110,910n n a a S +==+.
（1）求证：{lg }n a 是等差数列；
（2）设n T 是数列13{
}(lg )(lg )n n a a +的前n 项和，求使21(5)4
n T m m >-对所有的*n N ∈都成立的最大正整数m 的值.
例6.39 数列{}n a 中，148,2a a ==且满足212(*)n n n a a a n N ++=-∈.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设12||||||n n S a a a =+++，求n S ； （3）设1(*)(12)
n n b n N n a =∈-，12(*)n n T b b b n N =+++∈，是否存在最大的整数m ，使得对任意*n N ∈，均有32
n m T >成立若成立？求出m 的值；若不存在，请说明理由.
评注 本题中的的第（3）问，还可以如下表述：110(12)2(1)n n b n a n n ==>-+，故数列{}n b 的前n 项和n T 是关于n 的单调递增函数，故n T 的最小值为1114T b ==，所以114T =为n T 的最小值，故18432m m >⇒<，故m 的最大整数值是7.即存在最大整数7m =，使对任意*n N ∈，均有32n m T >. 变式1 已知等差数列{}n a 满足1(*)n n a a n N +>∈，11a =，该数列的前3项分别加上1，1，3后顺次成为等比数列{}n b 的前3项.
（1）分别求数列{}n a ，{}n b 的通项公式,n n a b ；
（2）设1212(*)n n n a a a T n N b b b =
+++∈，若231()2n n n T c c Z n
++-<∈恒成立，求c 的最小值.
例6.40 已知数列{}n a 的首项为1，前n 项和n S 与n a 之间满足22(2,*)21
n n n S a n n N S =≥∈-. （1）求证：数列1{}n
S 是等差数列； （2）求数列{}n a 的通项公式；
（3）设存在正整数k
，使12(1)(1)(1)n S S S +++≥*n N ∈都成立，求k 的最大值.
变式1 设函数()y f x =的定义域为R ，当0x <时，()1f x >，且对任意,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=成立，数列{}n a 满足1(0)a f =，且11()(*)(2)n n f a n N f a +=
∈--. （1）证明：()f x 在R 上为减函数；
（2）求2015a 的值；
（3
）若不等式12111(1)(1)(1)n
a a a +
++≥*n N ∈都成立，求k 的最大值.
变式2 已知{}n a 是递增数列，其前n 项之和为n S ，11a >，且10(21)(2)(*)n n n S a a n N =++∈.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）是否存在,,*m n k N ∈，使得2()m n k a a a +=成立？若存在，写出一组符合条件的,,m n k 的值；若不存在，请说明理由；
（3）设2(3)3,251n n n n n a n b a c n +-=-
=-，若对于任意的*n N ∈，不等式
12031(1)(1)(1)n b b b ≤+++恒成立，求正整数m 的最大值.
二、不等式的证明（构造辅助函数法与放缩法的应用）
1.构造辅助函数（数列）证明不等式
引理：10,ln(1)ln 1(1)1x x x x x x x x x x
-><+<⇔<<->+. 证明：先证不等式的左边，
ln(1)1x x x <++，移项得ln(1)01x x x -+<+， 构造辅助函数()ln(1)(0)1
x f x x x x =-+>+. 易知(0)0f =，欲证明()0f x <，只需证明()f x 在(0,)+∞上单调递减即可.
22
11()0(1)1(1)x f x x x x '=-=-<+++，故函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，()(0)0f x f <=， 故ln(1)1
x x x <++. 再证明不等式的右边，ln(1)x x +<.
移项得ln(1)0x x +-<，构造辅助函数()ln(1)(0)g x x x x =+->.
易知(0)0f =，欲证明()0g x <只需证明()g x 在(0,)+∞上单调递减，
1()1011
x g x x x '=-=-<++，故函数()g x 在(0,)+∞上为减函数. ()(0)0g x g <=，故ln(1)x x +<.
综上所述，当0x >时ln(1)1
x x x x <+<+. 不妨令1(0,1],*x n N n
=∈∈，则上述不等式变形为： 经典不等式一：111ln(1)(*)1n N n n n
<+<∈+ 下面就利用经典不等式一来证明在有关数列与不等式综合题中所涉及的不等式证明问题.
例6.41 证明不等式111ln (2,*)23n n n N n
>
+++≥∈.
.
变式1 证明：不等式22221111(1)(1)(1)(1)234e n +
+++<.
变式2 数列{}n a 满足112111,(1)(*)2
n n n a a a n N n n +==++∈+. （1）求证：2(*,2)n a n N n ≥∈≥；
（2）已知不等式ln(1)x x +<对0x >成立，试证明：2n a e <.
变式3 设函数()ln 1f x x px =-+.
（1）求函数()f x 的极值；
（2）当0p >时，若对任意的0x >，恒有()0f x ≤，求p 的取值范围；
（3）求证：2222222ln 2ln 3ln 21(*,2)232(1)
n n n n N n n n --+++<∈≥+.
变式4 已知函数2()22
x f x x =-，各项都小于零的数列{}n a 满足14()1n n S f a =.
（1）求证：
111ln (*)1n n n n N a n a +<<-∈-； （2）求证：
11111ln 2015123201522014
+++<<+++.
变式5 已知函数()x f x e x =-，其中e 为自然对数的底数.
（1）求()f x 的最小值；
（2）设*n N ∈，且2n ≥，证明：1211()()()1
n n n n n n n e -+++<-.
变式6 证明：不等式2111()ln (1,2,)12n
k k n n k =-<-≤=+∑
.
经典不等式二：2111ln(1)(*)n N n n n
+>-∈. 经典不等式三：23111ln(1)(*)n N n n n
+>-∈. 证明：令1(0,1]x n
=∈，经典不等式二可变为2ln(1)x x x +>-，移项得2ln(1)0x x x +-+>， 构造辅助函数2()ln(1)([0,1])f x x x x x =+-+∈.
211(21)(1)121(21)()1201111
x x x x x x f x x x x x x +-+++-+'=-+===>++++， 故函数()f x 在[0,1]x ∈上单调递增，又(0)0f =，故()(0)0f x f >=，即2ln(1)0x x x +-+>. 令1(0,1]x n =∈，得2111ln(1)(*)n N n n n
+>-∈. 同理可将经典不等式三构造辅助函数23()ln(1)([0,1])f x x x x x =+-+∈.
3232
213213(1)()230,[0,1]111
x x x x x f x x x x x x x +-++-'=-+==>∈+++， 故函数()f x 在[0,1]x ∈上单调递增，又(0)0f =，故()(0)0f x f >=，即23ln(1)0x x x +-+>. 令1(0,1]x n =∈，得23111ln(1)(*)n N n n n
+>-∈. 例6.42 求证：对任意的*n N ∈，都有2
11ln(1)n i i n i =-+>∑成立.
2.放缩法证明不等式
在证明不等式时，有时把不等式的一边适当放大或缩小，利用不等式的传递性来证明，我们称这种方法为放缩法.
放缩时常采用的方法有：舍去一些正项或负项、在和或积中放大或缩小某些项、扩大（或缩小）分式的分子（或分母）.
放缩法证不等式的理论依据是：,A B B C A C >>⇒>；,A B B C A C <<⇒<.
放缩法是一种重要的证题技巧，要想用好它，必须有目标，目标可从要证的结论中去查找.
方法1：对n a 进行放缩，然后求和.
当1n
k k a =∑既不关于n 单调，也不可直接求和，右边又是常数时，就应考虑对n a 进行放缩，使目标变成可
求和的情形，通常变为可裂项相消或压缩等比的数列.证明时要注意对照求证的结论，调整与控制放缩的度. 例6.43 求证：2211n k k =<∑
.
评注 不同的证明方法可达不同的结论，基本原则是裂项要能相消；放缩程度越小、越精确，效果越好.此外，常用2(1)(1)n n n n n -<<+来放缩有关2n 的问题.
变式1 正项数列{}n a 的前n 项和n S 满足：222(1)()0n
n S n n S n n -+--+=. （1）求数列{}n a 的通项公式n a ；
（2）令221(2)n n n b n a +=
+，数列{}n b 的前n 项和为n T .证明：对于任意的*n N ∈，都有564n T <.
例6.44 已知数列{}n a 满足1111,()20(*)2
n n n a n a a a n N ++=-+=∈ （1）求n a ；
（2）1(2)2n n n n a b ++=
，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求证：12
n T <.
.
变式1 已知函数()(1)(0)f x x x x =+>，数列{}n c 满足111,()(*)2
n n c c f c n N +==∈. 求证：*,2n N n ∈≥时，都有1211112111n
c c c <+++<+++.
变式2 数列{}n a 中，*1112,()2n n n a a a n N n
++==
∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设22216n n n a b n a =-，若数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：21<n T .
变式3 在数列}{n a ，}{n b 中，4,211==b a ，且1,,+n n n a b a 成等差数列，11,,++n n n b a b 成等比数列)(*N n ∈.
（1） 求432,,a a a 及432,,b b b ，并由此猜测}{n a ，}{n b 的通项公式，并证明你的结论；
（2）12
51112211<+⋅⋅⋅++++n n b a b a b a .
变式4 （2012广东理19）设数列}{n a 的前n 项和为n S ，满足*11,122N n a S n n n ∈+-=++,且
321,5,a a a +成等差数列。

（1）求1a 的值；
（2）求数列}{n a 的通项公式；
（3）证明：对一切正整数n ，有2311121<⋅⋅⋅++n a a a .
例6. 45已知数列}{n a 满足)(12,1*11N n a a a n n ∈+==+.
（1）求数列}{n a 的通项公式；
（2）证明：
)(2312*13221N n n a a a a a a n n n ∈<+⋅⋅⋅++<-+ .
变式1已知数列}{n x 满足)(11,21*11N n x x x n n ∈+==+.
（1）猜想数列}{2n x 的单调性，并证明你的结论；
（2）证明：)()52(61||*11N n x x n n n ∈⨯≤
--+.
变式2 已知曲线1:=xy C ，过C 上一点),(111y x A 作斜率为1k 的直线，交曲线C 于另一点),(222y x A ，再过点),(222y x A 作斜率为2k 的直线，交曲线C 于另一点⋅⋅⋅),(333y x A ，其中 *21)(41,1N n x x x k x n n n n ∈++=
=. （1）求1+n x 与n x 的关系式；
（2）判断n x 与2的大小关系，并证明你的结论；
（3）求证：2|2||2||2|21<-+⋅⋅⋅+-+-n x x x .
变式3已知数列}{n x ，}{n y ，满足2,12121====y y x x ，并且
λλλ(1
111-+-+⋅≥⋅⋅=n n n n n n n n y y y y x x x x 为非零实数, ),4,3,2⋅⋅⋅=n . （1）若135,,x x x 成等比数列，求参数的值；
（2）当0>λ时，证明：
)(*11N n y x y x n n n n ∈≤++； （3）当1>λ时，证明：
)(1*1133222211N n y x y x y x y x y x y x n n n n ∈-<--+⋅⋅⋅+--+--++λλ.
方法2 添舍放缩
例6. 46求证：)(2)2()1(3221*N n n n n n ∈+<
+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅.
.
变式1求证：)(4)76()19(192101*N n n n n n ∈+<
+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅.
变式2设数列}{n a 满足n n n a a a a 1,211+
==+，且12+>n a n 对一切正整数n 均成立，令),2,1(⋅⋅⋅==n n
a b n n ，判定n b 与1+n b 的大小，并说明理由.
变式3 已知)21
0(11)(≤<-+=a a a x f x x
.
求证：4|)(|1<-∑=n k f n i .
方法3 对于一边是和或者积的数列不等式，可以把另外一边的含的式子看作是一个数列的前项的和或者积，求出该数列通项后再左、右两边一对一地比较大小，这种思路非常有效，还可以分析出放缩法证明的操作方法，易于掌握. 需要指出的是，如果另外一边不是含有的式子，而是常数，则需要寻找目标不等式的加强不等式，再予以证明.
例6. 47求证：).)1(4)
12(125191*2N n n n n ∈+<++⋅⋅⋅++（
变式1 已知*N n ∈，求证：!
2159!1!31!211n n ⋅-<+⋅⋅⋅+++
.
变式2 求证：)1()1(2)1ln(131211≥+++<+⋅⋅⋅+++n n n n n .
例6. 48已知*N n ∈，求证：123121)3
11()311()31
1(++>-⋅⋅⋅⋅⋅-⋅-n n .
变式1 已知*N n ∈，求证：12)1
211()311()111(+>-+⋅⋅⋅⋅⋅+⋅+n n .
方法4：单调放缩
例6. 49 等比数列{}n a 的前n 项之和为n S ，已知对任意的*N n ∈，点),(n S n 均在函数r b y x +=，的图象上.
（1）求r 的值；
（2）当2=b 时，记)()1(log 2*2N n a b n n ∈+=，求证：对任意的)(*N n ∈，不等式
11112211+>+⋅⋅⋅⋅⋅+⋅+n b b b b b b n
n 成立.
变式1 已知曲线)2,1(02:22⋅⋅⋅==+-n y nx x C n ，从点)0,1(-P 向曲线n C 引斜率为)0(>n n k k 的切线n l ，切点为),(n n n y x P .
（1） 求数列}{n x 的通项公式；（2）求证：n n n n x x x x x x +-<⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅--11123231. 变式2 已知各项均为正数的数列}{n a 的前n 项和n S 满足1>n S ，且)()2)(1(6*N n a a S n n n ∈++=.
（1） 求数列}{n a 的通项公式；
（2） 设数列}{n b 满足1)12(=-n b n a ，并记n T 为数列}{n b 的前n 项和. 求证：)()3(log 13*2N n a T n n ∈+>+.
变式3 已知函数,)1ln()(x x x f -+=记)(x f 在区间)(],0[*N n n ∈上的最小值为n b ，令n n b n a -+=)1l n (.求证：
1122421231423121-+<⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅++-n n n a a a a a a a a a a a a a .
最有效训练题25（限时45分钟）
1.设等差数列}{n a 的前n 项和n S ，且,0,01615<>S S 则15
152211,,,a S a S a S ⋅⋅⋅中的最大值是（ ） A.1515a S B.99a S C.88a S D.1
1a S 2.设等差数列}{n a 的前n 项和n S ，已知1)1(2012)1(,1)1(2012)1(201622016727-=-+-=-+-a a a a ，有下列结论：①;20122012-=S ②;20122012=S ③;72012a a >④72012a a <.其中正确的结论的序号是（ ）
A. ①②
B. ①③
C. ②③
D. ②④
3. 已知{}n a 是等差数列，且公差d 不为零，其前n 项和是n S ，若348,,a a a 成等比数列，则（ ）
A. 140,0a d dS >>
B. 140,0a d dS <<
C. 140,0a d dS ><
D. 140,0a d dS <>
4. 已知函数)25,
0(,sin )(π∈=x x x f ，若方程α=)(x f 有三个不同的实数根，且三个根从小到大依次成等比数列，则α的值为（） A. 21 B.22 C.2
3 D.1 5. 定义在),0()0,(+∞-∞ 上的函数)(x f ，如果对于任意给定的等比数列}}{{},{n n a f a 仍是等比数列，则
称)(x f 为“保等比数列函数”.现有定义在),0()0,(+∞-∞ 上的如下函数：①2)(x x f =；②x x f 2)(=；③||)(x x f =；④x x f ln )(=. 则其中是“保等比数列函数”的序号是（）
A. ①②
B. ③④
C. ①③
D. ②④
6. 若函数)()(*N n x x f n ∈=，图象在点)1,1(处的切线为n n l l ,在x 轴、y 轴上的截距分别为n n b a ，则数列}25{n n b a +的最大项为.
7. 等差数列}{n a ，其前项的和为,n S 满足1284=+a a ，若随机从区间]0,2[-取实数d 作为该数列的公差，则使得当9=n 时n S 最大的概率为.
8. 若数列})3
2)(4({n n n +的最大项是第k 项，则=k . 9. 定义：)0,0(),(>>=y x y y x F x ，已知数列}{n a 满足：)(),2()2,(*N n n F n F a n ∈=，若对任意正整数n ，都有)(*N k a a k n ∈≥成立，则k a 的值为.
10. （2017天津理18）已知{}n a 为等差数列，前n 项和为()
n S n *∈N ，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2312b b +=，3412b a a =-，11411S b =.
（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；
（2）求数列{}221n n a b -的前n 项和()n *∈N .
11. 已知数列}{n a 的前n 项的和为n S ，n S a ,11=与13+-n S 的等差中项是)(2
3*N n ∈-. （1）证明数列}2
3{-n S 为等比数列； （2）求数列}{n a 的通项公式；
（3）若对任意正整数n ，不等式n S k ≤恒成立，求实数k 的取值范围.
12. (2017浙江理22)已知数列{}n x 满足：11x =，()()
*11ln 1n n n x x x n ++=++∈N .证明：当*n ∈N 时. （1）10n n x x +<<；（2）1122
n n n n x x x x ++-…；（3）1-21122n n n x -剟.。