振安区二中2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案

振安区二中2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
一、选择题
1．
已知向量=（2，1
），
=10，
|
+
|=
，则
||=（ ）
A
． B
． C ．5 D ．25
2．
设=（1，2
），=（1，1
），
=
+k
，若，则实数k 的值等于（ ）
A
．﹣
B
．﹣
C
．
D
．
3． 数列{a n }的首项a 1=1，a n+1=a n +2n ，则a 5=（ ） A ．
B ．20
C ．21
D ．31
4． 设曲线2()1f x x =+在点(,())x f x 处的切线的斜率为()g x ，则函数()cos y g x x =的部分图象 可以为（ ）
A ．
B ． C. D ．
5． 连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m 和n
，记向量=（m ，n
），向量=（1，﹣2
），则
⊥的概率是（ ） A
． B
．
C
．
D
．
6． 如图，空间四边形ABCD 中，M 、G 分别是BC 、CD
的中点，则等（ ）
A
． B
． C
． D
． 7． 已知△ABC 中，a=1，
b=，B=45°，则角A 等于（ ）
A ．150°
B ．90°
C ．60°
D ．30° 8． 过点P （﹣2，2）作直线l ，使直线l 与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，这样的直线l 一共有（ ）
A ．3条
B ．2条
C ．1条
D ．0条
9． 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若（acosB+bcosA ）=2csinC ，a+b=8，且△ABC 的
面积的最大值为
4
，则此时△ABC 的形状为（ ）
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
___________________________________________________________________________________________________
A ．等腰三角形
B ．正三角形
C ．直角三角形
D ．钝角三角形
10．某棵果树前n 年的总产量S n 与n 之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，则m 的值为（ ）
A ．5
B ．7
C ．9
D ．11
11．设a 是函数
x 的零点，若x 0＞a ，则f （x 0）的值满足（ ）
A ．f （x 0）=0
B ．f （x 0）＜0
C ．f （x 0）＞0
D ．f （x 0）的符号不确定
12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若﹣
+1=0，则角B 的度数是（ ）
A ．60°
B ．120°
C ．150°
D ．60°或120°
二、填空题
13．直线2x+3y+6=0与坐标轴所围成的三角形的面积为 ．
14．若x ，y 满足线性约束条件
，则z=2x+4y 的最大值为 ．
15．运行如图所示的程序框图后，输出的结果是
16．阅读下图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n 的值等于_________. 17．已知函数
a+b= ． 18．△ABC 外接圆半径为，内角A A=60°，b=2，则c 的值为 ．
三、解答题
19．设函数
（1）若x=1是f（x）的极大值点，求a的取值范围．
（2）当a=0，b=﹣1时，函数F（x）=f（x）﹣λx2有唯一零点，求正数λ的值．20．已知函数f（x）=x2﹣（2a+1）x+alnx，a∈R
（1）当a=1，求f（x）的单调区间；（4分）
（2）a＞1时，求f（x）在区间[1，e]上的最小值；（5分）
（3）g（x）=（1﹣a）x，若使得f（x0）≥g（x0）成立，求a的范围.
21．已知函数f（x）=lg（x2﹣5x+6）和的定义域分别是集合A、B，
（1）求集合A，B；
（2）求集合A∪B，A∩B．
22．已知函数f（x）=ax3+2x﹣a，
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若a=n且n∈N*，设x n是函数f n（x）=nx3+2x﹣n的零点．
（i）证明：n≥2时存在唯一x n且；
（i i）若b n=（1﹣x n）（1﹣x n+1），记S n=b1+b2+…+b n，证明：S n＜1．
23．函数。

定义数列如下：是过两点的直线
与轴交点的横坐标。

（1）证明：；
（2）求数列的通项公式。

24．已知，且．
（1）求sinα，cosα的值；
（2）若，求sinβ的值．
振安区二中2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】C
【解析】解：∵|+|=
，||=
∴（+）2
=
2
+
2
+2
=50，
得||=5 故选C ．
【点评】本题考查平面向量数量积运算和性质，根据所给的向量表示出要求模的向量，用求模长的公式写出关于变量的方程，解方程即可，解题过程中注意对于变量的应用．
2． 【答案】A
【解析】解：∵ =（1，2），=（1，1），
∴=+k =（1+k ，2+k ）
∵
，∴ =0，
∴1+k+2+k=0，解得k=﹣
故选：A
【点评】本题考查数量积和向量的垂直关系，属基础题．
3． 【答案】C
【解析】解：由a n+1=a n +2n ，得a n+1﹣a n =2n ，又a 1=1， ∴a 5=（a 5﹣a 4）+（a 4﹣a 3）+（a 3﹣a 2）+（a 2﹣a 1）+a 1 =2（4+3+2+1）+1=21． 故选：C ．
【点评】本题考查数列递推式，训练了累加法求数列的通项公式，是基础题．
4． 【答案】A 【解析】
试题分析：()()()()()2,cos 2cos ,,cos cos g x x g x x x x g x g x x x ==-=--=，()cos y g x x ∴=为奇函数，排除B ，D ，令0.1x =时0y >，故选A. 1 考点：1、函数的图象及性质；2、选择题“特殊值”法.
5． 【答案】A
【解析】解：因为抛掷一枚骰子有6种结果，设所有连续抛掷两次骰子得到的点数为（m ，n ），有36种可能，
而使⊥的m ，n 满足m=2n ，这样的点数有（2，1），（4，2），（6，3）共有3种可能；
由古典概型公式可得⊥的概率是：；
故选：A ．
【点评】本题考查古典概型，考查用列举法得到满足条件的事件数，是一个基础题．
6．【答案】C
【解析】解：∵M、G分别是BC、CD的中点，
∴=，=
∴=++=+=
故选C
【点评】本题考查的知识点是向量在几何中的应用，其中将化为++，是解答本题的关键．
7．【答案】D
【解析】解：∵，B=45°
根据正弦定理可知
∴sinA==
∴A=30°
故选D．
【点评】本题主要考查正弦定理的应用．属基础题．
8．【答案】C
【解析】解：假设存在过点P（﹣2，2）的直线l，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为8，
设直线l的方程为：，
则．
即2a﹣2b=ab
直线l与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积S=﹣ab=8，
即ab=﹣16，
联立，
解得：a=﹣4，b=4．
∴直线l的方程为：，
即x﹣y+4=0，
即这样的直线有且只有一条，
故选：C
【点评】本题考查了直线的截距式、三角形的面积计算公式，属于基础题．
【解析】解：∵（acosB+bcosA）=2csinC，
∴（sinAcosB+sinBcosA）=2sin2
C，
∴sinC=2sin2
C，且sinC＞0，
∴sinC=，
∵a+b=8，可得：8≥2，解得：ab≤16，（当且仅当a=b=4成立）
∵△ABC的面积的最大值S
△ABC=absinC≤=4，
∴a=b=4，
则此时△ABC的形状为等腰三角形．
故选：A．
10．【答案】C
【解析】解：若果树前n年的总产量S与n在图中对应P（S，n）点则前n年的年平均产量即为直线OP的斜率
由图易得当n=9时，直线OP的斜率最大
即前9年的年平均产量最高，
故选C
11．【答案】C
【解析】解：作出y=2x和y=log x的函数图象，如图：
由图象可知当x0＞a时，2＞log x0，
∴f（x0）=2﹣log x0＞0．
故选：C．
【解析】解：根据正弦定理有：=，
代入已知等式得：﹣+1=0，
即﹣1=，
整理得：2sinAcosB﹣cosBsinC=sinBcosC，
即2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C），
又∵A+B+C=180°，
∴sin（B+C）=sinA，
可得2sinAcosB=sinA，
∵sinA≠0，
∴2cosB=1，即cosB=，
则B=60°．
故选：A．
【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．
二、填空题
13．【答案】3．
【解析】解：把x=0代入2x+3y+6=0可得y=﹣2，把y=0代入2x+3y+6=0可得x=﹣3，∴直线与坐标轴的交点为（0，﹣2）和（﹣3，0），
故三角形的面积S=×2×3=3，
故答案为：3．
【点评】本题考查直线的一般式方程和三角形的面积公式，属基础题．
14．【答案】38．
【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由z=2x+4y得y=﹣x+，
平移直线y=﹣x+，由图象可知当直线y=﹣x+经过点A时，
直线y=﹣x+的截距最大，此时z最大，
由，解得，
即A（3，8），
此时z=2×3+4×8=6+32=32，
故答案为：38
15．【答案】 0
【解析】解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出S=sin +sin
+…+sin
的值，
由于sin 周期为8，
所以S=sin
+sin
+…+sin
=0．
故答案为：0．
【点评】本题主要考查了程序框图和算法，考查了正弦函数的周期性和特殊角的三角函数值的应用，属于基本知识的考查．
16．【答案】6
【解析】解析：本题考查程序框图中的循环结构．第1次运行后，9,2,2,S T n S T ===>；第2次运行后，
13,4,3,S T n S T ===>；第3次运行后，17,8,4,S T n S T ===>；第4次运行后，21,16,5,S T n S T ===>；第5次运行后，25,32,6,S T n S T ===<，此时跳出循环，输出结果6n =程
序结束．
17．【答案】 2 ．
【解析】解：∵f （x ）是定义在[﹣2a ，3a ﹣1]上奇函数， ∴定义域关于原点对称， 即﹣2a+3a ﹣1=0， ∴a=1，
∵函数为奇函数，
∴f （﹣x ）=
=﹣
，
即b •2x ﹣1=﹣b+2x
，
∴b=1．
即a+b=2，
故答案为：2．
18．【答案】．
【解析】解：∵△ABC外接圆半径为，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若A=60°，b=2，
∴由正弦定理可得：，解得：a=3，
∴利用余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：9=4+c2﹣2c，即c2﹣2c﹣5=0，
∴解得：c=1+，或1﹣（舍去）．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和计算能力，属于基础题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），，由f'（1）=0，得b=1﹣a．
∴．…
①若a≥0，由f'（x）=0，得x=1．
当0＜x＜1时，f'（x）＞0，此时f（x）单调递增；
当x＞1时，f'（x）＜0，此时f（x）单调递减．
所以x=1是f（x）的极大值点．…
②若a＜0，由f'（x）=0，得x=1，或x=．
因为x=1是f（x）的极大值点，所以＞1，解得﹣1＜a＜0．
综合①②：a的取值范围是a＞﹣1．…
（Ⅱ）因为函数F（x）=f（x）﹣λx2有唯一零点，
即λx2﹣lnx﹣x=0有唯一实数解，
设g（x）=λx2﹣lnx﹣x，
则．令g'（x）=0，2λx2﹣x﹣1=0．
因为λ＞0，所以△=1+8λ＞0，
方程有两异号根设为x1＜0，x2＞0．
因为x＞0，所以x1应舍去．
当x∈（0，x2）时，g'（x）＜0，g（x）在（0，x2）上单调递减；
当x∈（x2，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）在（x2，+∞）单调递增．
当x=x2时，g'（x2）=0，g（x）取最小值g（x2）．…
因为g（x）=0有唯一解，所以g（x2）=0，
则即
因为λ＞0，所以2lnx2+x2﹣1=0（*）
设函数h（x）=2lnx+x﹣1，因为当x＞0时，
h（x）是增函数，所以h（x）=0至多有一解．
因为h（1）=0，所以方程（*）的解为x2=1，
代入方程组解得λ=1．…
【点评】本题考查函数的单调性、极值、零点等知识点的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
20．【答案】解：（1）当a=1，f（x）=x2﹣3x+lnx，定义域（0，+∞），
∴…（2分）
，解得x=1或x=，x∈，（1，+∞），f′（x）＞0，f（x）是增函数，x∈（，1），
函数是减函数．…（4分）
（2）∴，∴，
当1＜a＜e时，
∴f（x）min=f（a）=a（lna﹣a﹣1）
当a≥e时，f（x）在[1，a）减函数，（a，+∞）函数是增函数，
∴
综上…（9分）
（3）由题意不等式f（x）≥g（x）在区间上有解
即x2﹣2x+a（lnx﹣x）≥0在上有解，
∵当时，lnx≤0＜x，
当x∈（1，e]时，lnx≤1＜x，∴lnx﹣x＜0，
∴在区间上有解．
令…（10分）
∵，∴x+2＞2≥2lnx∴时，h′（x）＜0，h（x）是减函数，x∈（1，e]，h（x）是增函数，
∴，
∴时，，∴
∴a的取值范围为…（14分）
21．【答案】
【解析】解：（1）由x2﹣5x+6＞0，即（x﹣2）（x﹣3）＞0，
解得：x＞3或x＜2，即A={x|x＞3或x＜2}，
由g（x）=，得到﹣1≥0，
当x＞0时，整理得：4﹣x≥0，即x≤4；
当x＜0时，整理得：4﹣x≤0，无解，
综上，不等式的解集为0＜x≤4，即B={x|0＜x≤4}；
（2）∵A={x|x＞3或x＜2}，B={x|0＜x≤4}，
∴A∪B=R，A∩B={x|0＜x＜2或3＜x≤4}．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）f'（x）=3ax2+2，
若a≥0，则f'（x）＞0，函数f（x）在R上单调递增；
若a＜0，令f'（x）＞0，∴或，
函数f（x）的单调递增区间为和；
（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）得，f n（x）=nx3+2x﹣n在R上单调递增，
又f n（1）=n+2﹣n=2＞0，
f n（）==
==﹣
当n≥2时，g（n）=n2﹣n﹣1＞0，，
n≥2时存在唯一x n且
（i i）当n≥2时，，∴（零点的区间判定）
∴，（数列裂项求和）
∴，
又f1（x）=x3+2x﹣1，，（函数法定界）
，又，
∴，
∴，（不等式放缩技巧）
命题得证．
【点评】本题主要考查了导数的求单调区间的方法和利用数列的裂项求和和不等式的放缩求和技巧解题，属于难题．
23．【答案】
【解析】（1）为，故点在函数的图像上，故由所给出的两点
，可知，直线斜率一定存在。

故有
直线的直线方程为，令，可求得
所以
下面用数学归纳法证明
当时，，满足
假设时，成立，则当时，
24．【答案】
【解析】解：（1）将sin+cos=两边平方得：（sin+cos）2=sin2+2sin cos+cos2=1+sinα=，
∴sinα=，
∵α∈（，π），
∴cosα=﹣=﹣；
（2）∵α∈（，π），β∈（0，），
∴α+β∈（，），
∵sin（α+β）=﹣＜0，
∴α+β∈（π，），
∴cos（α+β）=﹣=﹣，
则sinβ=sin=sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=﹣×（﹣）﹣（﹣）×=+=．【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及运用诱导公式化简求值，熟练掌握公式是解本题的关键．。