导数及其应用多选题单元 期末复习测试提优卷试题

导数及其应用多选题单元 期末复习测试提优卷试题
一、导数及其应用多选题
1．已知函数()21
x
x x f x e
+-=，则下列结论正确的是（ ） A ．函数()f x 存在两个不同的零点 B ．函数()f x 既存在极大值又存在极小值
C ．当0e k -<<时，方程()f x k =有且只有两个实根
D ．若[),x t ∈+∞时，()2max 5
f x e
=，则t 的最小值为2 【答案】ABC 【分析】
首先求函数的导数，利用导数分析函数的单调性和极值以及函数的图象，最后直接判断选项． 【详解】
对于A ．2
()010f x x x =⇒+-=，解得15
2
x -±=
，所以A 正确； 对于B ．22(1)(2)
()x x
x x x x f x e e
--+-=-=-'， 当()0f x '>时，12x -<<，当()0f x '<时，1x <-或2x >，
所以(,1),(2,)-∞-+∞是函数的单调递减区间，(1,2)-是函数的单调递增区间， 所以(1)f -是函数的极小值，(2)f 是函数的极大值，所以B 正确．
对于C ．当x →+∞时，0y →，根据B 可知，函数的最小值是(1)f e -=-，再根据单调性可知，当0e k -<<时，方程()f x k =有且只有两个实根，所以C 正确；
对于D ：由图象可知，t 的最大值是2，所以D 不正确． 故选：ABC.
【点睛】
易错点点睛：本题考查了导数分析函数的单调性，极值点，以及函数的图象，首先求函数的导数，令导数为0，判断零点两侧的正负，得到函数的单调性，本题易错的地方是
(2,)+∞是函数的单调递减区间，但当x →+∞时，0y →，所以图象是无限接近轴，
如果这里判断错了，那选项容易判断错了．
2．关于函数()2
ln f x x x
=
+，下列判断正确的是（ ） A ．2x =是()f x 的极大值点 B ．函数y
f x
x 有且只有1个零点
C ．存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立
D ．对任意两个正实数1x ，2x ，且21x x >，若()()12f x f x =，则124x x +> 【答案】BD 【分析】
对于A ，利用导数研究函数()f x 的极值点即可； 对于B ，利用导数判断函数y f x
x 的单调性，再利用零点存在性定理即得结论；
对于C ，参变分离得到22ln x
k x x <
+，构造函数()22ln x g x x x
=+，利用导数判断函数()g x 的最小值的情况；
对于D ，利用()f x 的单调性，由()()12f x f x =得到1202x x <<<，令()2
1
1x t t x =
>，由()()12f x f x =得21222
ln t x x t t
-+=，所以要证124x x +>，即证2224ln 0t t t -->，构
造函数即得． 【详解】
A ：函数()f x 的定义域为0,
，()22212
x f x x x x
-'=-
+=，当()0,2x ∈时，0f x
，()f x 单调递减，当()2,x ∈+∞时，0f
x
，()f x 单调递增，所以
2x =是()f x 的极小值点，故A 错误．
B ：()2ln y f x x x x x
=-=+-，222
212
10x x y x x x -+'=-+-=-<，所以函数在0,上单调递减．又()112ln1110f -=+-=>，()221ln 22ln 210f -=+-=-<，所以函数y
f x
x 有且只有1个零点，故B 正确．
C ：若()f x kx >，即
2
ln x kx x +>，则22ln x k x x <+．令()22ln x g x x x
=+，则
()3
4ln x x x
g x x
-+-'=
．令()4ln h x x x x =-+-，则()ln h x x '=-，当()0,1∈x 时，()0h x '>，()h x 单调递增，当()1,∈+∞x 时，()0h x '<，()h x 单调递减，所以()()130h x h ≤=-<，所以0g x
，所以()22ln x g x x x
=
+在0,上单调递减，
函数无最小值，所以不存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立，故C 错误． D ：因为()f x 在()0,2上单调递减，在2,上单调递增，
∴2x =是()f x 的极小值点．
∵对任意两个正实数1x ，2x ，且21x x >，若()()12f x f x =，则1202x x <<<． 令()211x t t x =>，则21x tx =，由()()12f x f x =，得1212
22
ln ln x x x x +=+， ∴
211222ln ln x x x x -=-，即()2121212ln x x x x x x -=，即()11121ln t x t x tx -=⋅，解得()121ln t x t t
-=，()2121ln t t x tx t t
-==
，所以21222
ln t x x t t
-+=．
故要证124x x +>，需证1240x x +->，需证
22240ln t t t -->，需证2224ln 0ln t t t
t t
-->． ∵2
1
1x t x =
>，则ln 0t t >， ∴证2224ln 0t t t -->．令()()2
224ln 1H t t t t t =-->，()()44ln 41H t t t t '=-->，
()()()414401t H t t t t
-''=-
=>>，所以()H t '在1,上是增函数．
因为1t →时，()0H t '→，则()0H t '>，所以()H t 在1,
上是增函数．
因为1t →时，()0H t →，则()0H t >，所以
2224ln 0ln t t t
t t
-->， ∴124x x +>，故D 正确． 故选：BD ． 【点睛】
关键点点睛：利用导数研究函数的单调性、极值点，结合零点存在性定理判断A 、B 的正误；应用参变分离，构造函数，并结合导数判断函数的最值；由函数单调性，应用换元法并构造函数，结合分析法、导数证明D 选项结论.
3．已知函数()1
ln f x x x x
=-+
，()()1ln x x x x g --=，则下列结论正确的是（ ） A ．()g x 存在唯一极值点0x ，且()01,2x ∈ B ．()f x 恰有3个零点
C ．当1k <时，函数()g x 与()h x kx =的图象有两个交点
D ．若120x x >且()()120f x f x +=，则121=x x 【答案】ACD 【分析】
根据导数求得函数()g x '在(0,)+∞上为单调递减函数，结合零点的存在性定，可判定A 正确；利用导数求得函数 ()f x 在(,0)-∞，(0,)+∞单调递减，进而得到函数 ()f x 只有2个零点，可判定B 不正确；由()g x kx =，转化为函数()()1ln x x x ϕ-=和 ()(1)m x k x =-的图象的交点个数，可判定C 正确；由()()120f x f x +=，化简得到 ()12
1
()f x f x =，结合单调性，可判定D 正确. 【详解】
由函数()()1ln x x x x g --=，可得 ()1ln ,0g x x x x '=-+>，则()211
0g x x x
''=--<，
所以()g x '在(0,)+∞上为单调递减函数，又由 ()()1
10,12ln 202
g g '=>=-+<， 所以函数()g x 在区间(1,2)内只有一个极值点，所以A 正确； 由函数()1ln f x x x x
=-+
， 当0x >时，()1ln f x x x x
=-+，可得 ()221
x x f x x -+-'=，
因为2
2131()024
x x x -+-=---<，所以 ()0f x '<，函数()f x 在(0,)+∞单调递减；
又由()10f =，所以函数在(0,)+∞上只有一个零点， 当0x <时，()1ln()f x x x x =--+，可得 ()22
1
x x f x x -+-'=，
因为2
2
13
1()02
4
x x x -+-=---
<，所以 ()0f x '<，函数()f x 在(,0)-∞单调递减； 又由()10f -=，所以函数在(,0)-∞上只有一个零点， 综上可得函数()1
ln f x x x x
=-+
在定义域内只有2个零点，所以B 不正确； 令()g x kx =，即()1ln x x x kx --=，即 ()1ln (1)x x k x -=-， 设()()1ln x x x ϕ-=， ()(1)m x k x =-， 可得()1ln 1x x x ϕ'=+-
，则 ()211
0x x x
ϕ''=+>，所以函数()x ϕ'(0,)+∞单调递增， 又由()01ϕ'=，可得当(0,1)x ∈时， ()0x ϕ'<，函数()x ϕ单调递减， 当(1,)x ∈+∞时，()0x ϕ'>，函数 ()x ϕ单调递增，
当1x =时，函数()x ϕ取得最小值，最小值为()10ϕ=， 又由()(1)m x k x =-，因为1k <，则 10k ->，且过原点的直线，
结合图象，即可得到函数()()1ln x x x ϕ-=和 ()(1)m x k x =-的图象有两个交点，所以C 正确；
由120x x >，若120,0x x >>时，因为 ()()120f x f x +=，
可得()()1222222221111
1ln ln
1f x f x x x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-=--+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即
()121
(
)f x f x =，因为()f x 在(0,)+∞单调递减，所以 12
1x x =，即121=x x ， 同理可知，若120,0x x <<时，可得121=x x ，所以D 正确. 故选：ACD.
【点睛】
函数由零点求参数的取值范围的常用方法与策略：
1、分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从()f x 中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；
2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.
4．若函数()f x 满足对于任意1x ，2(0,1)x ∈，()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤
⎪⎝⎭
，则称函数()f x 为“中点凸函数”．则下列函数中为“中点凸函数”的是（ ）
A ．2()2f x x x =-
B ．()tan f x x =
C ．()sin cos f x x x =-
D ．()e ln x f x x =-
【答案】ABD 【分析】
用计算()()121222f x f x x x f ++⎛⎫-
⎪⎝⎭
的正负值来解，运算量大，比较复杂.我们可分析“中点凸函数”的几何特征，结合图像作答.
由已知“中点凸函数”的定义，可得“中点凸函数”的图象形状可能为：
【详解】
由“中点凸函数”定义知：定义域内12,x x 对应函数值的平均值大于或等于
12
2
x x +处的函数值，∴下凸函数：任意连接函数图象上不同的两点所得直线一定在图象上方或与图象重合. 设()()1
1
,A
x f x ，()()2
2
,B x f x 为曲线()f x 在(0,1)上任意两点
A 、
B 、
C 、
D 选项对应的函数图象分别如下图示： ①2()2f x x x =-
符合题意 ②()tan f x x =
符合题意
③()sin cos 2sin 4f x x x x π⎛
⎫=-=
- ⎪⎝
⎭
放大局部图像可见，在,14
段，并不满足12,x x 对应函数值的平均值大于或等于
12
2
x x +处的函数值.
不合题意
④()e ln x f x x =-
'1()e x f x x =-，''21
()e 0x f x x
+=>
根据导函数作出图像如下
符合题意. 故选：ABD 【点睛】
本题主要考查了函数的新定义及其应用，其中解答中正确理解函数的新定义，以及结合函数的图象求解是解答的关键，学生可利用数形结合求解，需要较强的推理与运算能力.
5．下列说法正确的是（ ） A ．函数()2
3sin 30,42f x x x x π⎛⎫⎡⎤=+-
∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭
的最大值是1 B ．函数()cos sin tan 0,tan 2x f x x x x x π⎛⎫⎛⎫=⋅+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
的值域为(
2 C ．函数()1
sin 2cos 2
f x x a x =
+⋅在()0,π上单调递增，则a 的取值范围是(],1-∞- D ．函数()2222sin 42cos tx t x x
f x x x
π⎛
⎫+++ ⎪⎝⎭=
+的最大值为a ，最小值为b ，若2a b +=，
则1t = 【答案】ACD 【分析】
化简函数解析式为(
)2
cos 1f x x ⎛=--+ ⎝
⎭，利用二次函数的基本性质可判断A 选项的正误；令sin cos t x x =+，可得()()3231
t t f x g t t -==-，利用导数法可判断B 选项的正
误；利用导数与函数单调性的关系可判断C 选项的正误；计算出()()2f x f x t +-=，利用函数的对称性可判断D 选项的正误. 【详解】 A 选项，
(
)2
22311cos cos cos 144f x x x x x x ⎛=--=-+=--+ ⎝
⎭， 又
0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦可得：
[]cos 0,1x ∈，则当cos 2
x =时函数()f x 取得最大值1，A 对； B 选项，()2233sin cos sin cos cos sin sin cos x x x x
f x x x x x
+∴=+=
⋅ ()()22sin cos sin cos sin cos sin cos x x x x x x x x
++-⋅=
⋅
()(
)2
sin cos sin cos 3sin cos sin cos x x x x x x x x
⎡⎤
++-
⋅⎣⎦=
⋅，
设sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪
⎝
⎭，则()22
sin cos 12sin cos t x x x x =+=+，则21
sin cos 2
t x x -⋅=， 0,2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，3,
444x πππ⎛⎫∴+
∈ ⎪⎝⎭，sin 42x π⎛⎤⎛
⎫∴+∈ ⎥
⎪ ⎝⎭⎝⎦
，(t ∴∈， 令()223
221323112
t t t t t g t t t ⎛⎫
--⨯ ⎪-
⎝⎭==--，(
t ∈，()()422301t g t t --'=<-
， ()g t ∴在区间(
上单调递减，(
)
()3
2
min
1
g t g ==
=-
所以，函数()f x 的值域为)
+∞，B 错；
C 选项，
()1
sin 2cos 2
f x x a x =+⋅在区间()0,π上是增函数，
()cos2sin 0f x x a x ∴=-⋅≥'，即212sin sin 0x a x --⋅≥，
令sin t x =，(]
0,1t ∈，即2210t at --+≥，
1
2a t t ∴≤-+，令()12g t t t =-+，则()2120g t t
'=--<，()g t ∴在(]0,1t ∈递减，
()11a g ∴≤=-，C 对；
D 选项，(
)2
22cos 222cos tx x x x
f x x x
⎛⎫+++ ⎪⎝⎭=
+ ()()
2222cos sin sin 2cos 2cos t x x t x x t x x t x x
x x
++⋅+⋅+=
=+
++， 所以，()()()()
2
2sin sin 2cos 2cos t x x t x x
f x t t x x
x x --+-=+
=-
+⋅-+-，()()2f x f x t ∴+-=，
所以，函数()f x 的图象关于点()0,t 对称，所以，22a b t +==，可得1t =，D 对. 故选：ACD. 【点睛】
结论点睛：利用函数的单调性求参数，可按照以下原则进行：
（1）函数()f x 在区间D 上单调递增()0f x '⇔≥在区间D 上恒成立； （2）函数()f x 在区间D 上单调递减()0f x '⇔≤在区间D 上恒成立； （3）函数()f x 在区间D 上不单调()f x '⇔在区间D 上存在异号零点； （4）函数()f x 在区间D 上存在单调递增区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '>成立； （5）函数()f x 在区间D 上存在单调递减区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '<成立.
6．已知函数()3
2
f x x ax x c =+-+(x ∈R )，则下列结论正确的是（ ）．
A ．函数()f x 一定存在极大值和极小值
B ．若函数()f x 在1()x -∞，、2()x ，
+∞
上是增函数，则21x x -≥ C ．函数()f x 的图像是中心对称图形
D ．函数()f x 的图像在点00())(x f x ，(0x R ∈)处的切线与()f x 的图像必有两个不同的公共点 【答案】ABC 【分析】
首先求函数的导数2
()3210f x x ax =+-='，再根据极值点与导数的关系，判断AB 选
项；证明()()2()333
a a a
f x f x f -
++--=-，判断选项C ；令0a c ==，求切线与()f x 的交点个数，判断D 选项.
【详解】
A 选项，2()3210f x x ax =+-='的24120a ∆=+>恒成立，故()0f x '=必有两个不等实根，不妨设为1x 、2x ，且12x x <，
令()0f x '>，得1x x <或2x x >，令()0f x '<，得12x x x <<，
∴函数()f x 在12()x x ，上单调递减，在1()x -∞，和2()x ，
+∞上单调递增， ∴当1x x =时，函数()f x 取得极大值，当2x x =时，函数()f x 取得极小值，A 对， B 选项，令2()3210f x x ax =+-='，则1223a
x x +=-
，1213
x x ⋅=-，易知12x x <，
∴21x x -==≥
，B
对， C 选项，易知两极值点的中点坐标为(())33
a a f --，，又
23()(1)()333
a a a f x x x f -+=-+++-，
∴()()2()333
a a a
f x f x f -
++--=-， ∴函数()f x 的图像关于点(())3
3
a
a f --，成中心对称，C 对，
D 选项，令0a c ==得3()f x x x =-，()f x 在(0)0，
处切线方程为y x =-， 且3
y x
y x x =-⎧⎨=-⎩
有唯一实数解， 即()f x 在(0)0，
处切线与()f x 图像有唯一公共点，D 错， 故选：ABC ． 【点睛】
方法点睛：解决函数极值、最值综合问题的策略：
1、求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小；
2、求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论；
3、函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值.
7．已知2()ln f x x x =，2()()f x g x x
'=，()'
f x 是()f x 的导函数，则下列结论正确的是（ ）
A ．()f x 在12e ,-⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增．
B ．()g x 在(0,)+∞上两个零点
C ．当120x x e <<< 时，22
1212()()()m x x f x f x -<-恒成立，则32
m ≥
D ．若函数()()h x f x ax =-只有一个极值点，则实数0a ≥ 【答案】ACD 【分析】
求出导函数()'
f x ，由()0f x '>确定增区间，判断A ，然后可得()
g x ，再利用导数确定
()g x 的单调性与极值，结合零点存在定理得零点个数，判断B ，构造函数
2()()x f x mx ϕ=-，由()ϕx 在(0,)e 上递减，求得m 范围，判断C ，利用导数研究()
h x 的单调性与极值点，得a 的范围，判断D ． 【详解】
()(2ln 1)(0)f x x x x '=+>，令()0f x '>，
得121
2ln 10ln 2
x x x e -+>⇒>-⇒>，故A 正确
2ln 1
()x g x x
+=
， 212ln ()x g x x -'=，令()0g x '>得1
21ln 2
x x e <⇒<，()0g x '<得120x e <<， 故()g x 在120,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上为减函数，在1
2e ⎛⎫+∞
⎪⎝⎭上为增函数． 当x →时，()g x →-∞；当x →+∞时，()0g x →且g()0x >
()g x ∴的大致图象为
()g x ∴只有一个零点，故B 错．
记2
()()x f x mx ϕ=-，则()ϕx 在(0,)e 上为减函数，
()(2ln 1)20x x x mx ϕ'∴=+-≤对(0,)x e ∈恒成立
22ln 1m x ∴≥+对(0,)x e ∈恒成立 23m ∴≥32
m ∴≥
． 故C 正确．
2()()ln h x f x ax x x ax =-=-，
()(2ln 1)h x x x a =+'-，设()(2ln 1)H x x x =+，
()h x 只有一个极值点， ()h x '0=只有一个解，即直线y a =与()y H x =的图象只有一个
交点．
()2(ln 1)12ln 3H x x x '=++=+，
()H x '在(0,)+∞上为增函数，令()0H x '=，得3
20
x e -=，
当0(0,)x x ∈时，()0H x '<；当0(,)x x ∈+∞时，()0H x '>．
()H x ∴在0(0,)x 上为减函数，在0(,)x +∞上为增函数，
332
203()21202H x e e -
-⎡⎤
⎛⎫=⨯-+=-< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
，
0(0,)x x ∈时，3
22ln 12ln 120x e -+<+=-<，即()0H x <，且0x →时，
()0H x →，又x →+∞时，()H x →+∞，因此()H x 的大致图象如下（不含原点）：
直线y a =与它只有一个交点，则0a ≥．故D 正确． 故选：ACD ． 【点睛】
关键点点睛：本题考查用导数研究函数的性质，解题关键是由导数确定函数的单调性，得出函数的极值，对于零点问题，需要结合零点存在定理才能确定零点个数．注意数形结合思想的应用．
8．设函数3()(,)f x x ax b a b R =++∈，下列条件中，使得()y f x =有且仅有一个零点的是（ ） A ．1,2a b == B ．3,3a b =-=- C ．0,2a b >< D ．0,0a b <>
【答案】ABC 【分析】
求导2
()3f x x a '=+，分0a ≥和0a <进行讨论，当0a ≥时，可知函数单调递增，有且
只有一个零点；当0a <时，讨论函数的单调性，要使函数有一个零点，则需比较函数的极大值与极小值与0的关系，再验证选项即可得解. 【详解】
3()f x x ax b =++，求导得2()3f x x a '=+
当0a ≥时，()0f x '≥，()f x ∴单调递增，当x →-∞时，()f x →-∞；当x →+∞时，()f x →+∞；由零点存在性定理知，函数()f x 有且只有一个零点，故A ，C 满足题意；
当0a <时，令()0f x '=，即230x a +=，解得1x =2x =当x 变化时，()'
f x ，()f x 的变化情况如下表：
f b b ⎛== ⎝
，
当3
a
x -=
，函数()f x 取得极小值2333333a a a a a a f a b b ⎛⎫-----=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭
又当x →-∞时，()f x →-∞；当x →+∞时，()f x →+∞； 要使函数()f x 有且只有一个零点，作草图
或
则需0303a f a f ⎧
⎛--<⎪ ⎪⎝⎨
-⎪<⎪⎩，即203320
33a a b a a b ⎧-<⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩，即2033a a
b -<<，
B 选项，3,3a b =-=-，满足上式，故B 符合题意；
则需0303a f a f ⎧⎛-->⎪ ⎪⎝⎨
-⎪>⎪⎩
，即203320
33a a b a a b ⎧->⎪⎪⎨-⎪>⎪⎩，即2033a a
b ->>，
D 选项，0,0a b <>，不一定满足，故D 不符合题意； 故选：ABC 【点睛】
思路点睛：本题考查函数的零点问题，如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b <，那么，函数()y f x =在区间(),a b 内有零点，即存在(),c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根，考查学生的逻辑推理与运算能力，属于较难题.
9．对于定义域为R 的函数()f x ，()'f x 为()f x 的导函数，若同时满足：①()00f =；②当x ∈R 且0x ≠时，都有()0xf x '>；③当120x x <<且12x x =时，都有
()()12f x f x <，则称()f x 为“偏对称函数”.下列函数是“偏对称函数”的是（ ）
A ．21()x
x f x e
e x =--
B ．2()1x
f x e x =+- C ．31,0
(),0
x e x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩
D ．42,0
()ln(1),0x x f x x x >⎧=⎨
-≤⎩
【答案】ACD
【分析】
结合“偏对称函数”的性质，利用导数的方法，分别讨论四个函数是否满足三个条件，即可得到所求结论． 【详解】
条件①()00f =；
由选项可得：001(0)00f e e =--=，0
2(0)010f e =+-=，03(0)10f e =-=，
4()ln(10)0f x =-=，即ABCD 都符合；
条件②0()0()0x xf x f x >⎧'>⇔⎨'>⎩，或0
()0x f x <⎧⎨'<⎩
；
即条件②等价于函数()f x 在区间(,0)-∞上单调递减，在区间(0,)+∞上单调递增；
对于21()x
x f x e
e x =--，则()()21()11212x x x x
f x e e e e =-+-=-'，
由0x >可得，(
)()
120(1)1x x
f x e e '-=+>，即函数1()f x 单调递增；
由0x <可得，()()1
20(1)1x
x
f x e
e '-=+<，即函数1
()f x 单调递减；满足条件②；
对于2()1x
f x e x =+-，则2()10x f x e =+>'显然恒成立，所以2()1x
f x e x =+-在定义域上单调递增，不满足条件②；
对于31,0
(),0
x e x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，当0x <时，3()f x x =-显然单调递减；当0x ≥时，
3()1x f x e =-显然单调递增；满足条件②；
对于42,0
()ln(1),0x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩
，当0x ≤时，4()ln(1)f x x =-显然单调递减；当0
x >时，4()2f x x =显然单调递增，满足条件②； 因此ACD 满足条件②；
条件③当120x x <<且12x x =时，12x x -=，都有()()12f x f x <，即
()()()()21220f x f x f x f x -=-->，
对于21()x
x f x e
e x =--，
()()2121222
11211x x x x f x f x e e e e x x -=-+--+()()()()22222222222222x x x x x x x x x e e e e e e e x e ----=----=-+-，
因为222x x e e -+≥=，当且仅当22x x e e -=，即20x =时，等号成立， 又20x >，所以222x x e e -+>， 则()()(
)()22
2212
2211222x
x x x f x f x e e
e e x
x ----=--->
令()x
x
g x e e
x -=--，0x >，
所以()1110x x e e g x -'=+->=>在0x >上显然恒成立， 因此()x
x
g x e e
x -=--在0x >上单调递增，所以()()00g x g >=，
即()()(
)22
2121120x
x f x f x e e
x -->-->，所以()()1211f x f x >满足条件③；
对于31,0(),0
x e x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，()()2232311211x x
f x f x e x x e -=--=-+，
令()1x
h x e x =--，0x >，则()10x
h x e '=->在0x >上显然恒成立，
所以()()00h x h >=，则()()23231210x
f x f x e x --=>-，即()()3231f x f x >满足条
件③；
对于42,0
()ln(1),0x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩
，()()()()212122442ln 12ln 1f x f x x x x x -=--=-+，
令()()2ln 1u x x x =-+，0x >， 则()1
221101u x x
'=-
>-=>+在0x >上显然恒成立，所以()()00u x u >=， 则()()()1422422ln 10f x f x x x -=-+>，即()()1442f x f x >满足条件③； 综上，ACD 选项是“偏对称函数”， 故选：ACD. 【点睛】 思路点睛：
求解此类函数新定义问题时，需要结合函数新定义的概念及性质，结合函数基本性质，利用导数的方法，通过研究函数单调性，值域等，逐项判断，即可求解.（有时也需要构造新的函数，进行求解.）
10．函数()ln f x x x =、()()f x g x x
'=
，下列命题中正确的是（ ）.
A ．不等式()0g x >的解集为1,e ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
B ．函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减
C ．若函数()()2
F x f x ax =-有两个极值点，则()0,1a ∈
D ．若120x x >>时，总有()()()22
12122
m x x f x f x ->-恒成立，则m 1≥ 【答案】AD 【分析】
对A ，根据()ln f x x x =，得到()()ln 1
f x x
g x x x
'+=
=
，然后用导数画出其图象判断；
对B ，()1ln f x x '=+，当x e >时，()0f x '>，当0x e <<时，()0f x '<判断；对C ，
将函数()()2
F x f x ax =-有两个极值点，()ln 1
20x a x
+=
+∞在，有两根判断；对D ，将问题转化为22111222ln ln 22m m x x x x x x ->-恒成立，再构造函数()2
ln 2
m g x x x x =-，用
导数研究单调性. 【详解】
对A ，因为()()()ln 1
ln f x x f x x x g x x x
'+===
、， ()2ln x
g x x
-'=
， 令()0g x '>，得()0,1x ∈，故()g x 在该区间上单调递增；
令()0g x '<，得()1
x ∈+∞，，故()g x 在该区间上单调递减. 又当1x >时，()0g x >，()10,11g g e ⎛⎫
== ⎪⎝⎭
， 故()g x 的图象如下所示：
数形结合可知，()0g x >的解集为1,e ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
，故正确；
对B ，()1ln f x x '=+，当x e >时，()0f x '>，当0x e <<时，()0f x '<，所以函数
()f x 在()0,e 上单调递减，在(,)e +∞上单调递增，错误；
对C ，若函数()()2
F x f x ax =-有两个极值点，
即()2
ln F x x x ax =-有两个极值点，又()ln 21F x x ax '=-+，
要满足题意，则需()ln 2100x ax -+=+∞在，
有两根， 也即()ln 1
20x a x
+=
+∞在，有两根，也即直线()2y a y g x ==与的图象有两个交点. 数形结合则021a <<，解得102
a <<. 故要满足题意，则1
02
a <<
，故错误； 对D ，若120x x >>时，总有()
()()2
212122
m x x f x f x ->-恒成立， 即
22
111222ln ln 22
m m x x x x x x ->-恒成立， 构造函数()2
ln 2
m g x x x x =
-，()()12g x g x >，对任意的120x x >>恒成立， 故()g x ()0+∞，
单调递增，则()ln 10g x mx x '=--≥()0+∞， 恒成立， 也即
ln 1
x m x
+≤，在区间()0,∞+恒成立，则()max 1g x m =≤，故正确. 故选：AD. 【点睛】
本题主要考查导数在函数图象和性质中的综合应用，还考查了数形结合的思想、转化化归思想和运算求解的能力，属于较难题.。