切线长定理2--华师大版

A
C
B
∴AB⊥OC ∴直线AB是⊙O的切线。
例 2 如图，AB为⊙O的直径， C为⊙O上一点，CD为⊙O的 切线，且 AD⊥CD 求证：AC平分∠DAB. 证明:连结OC
D 2 A
C
1
． O
3
B
二探索
这是一位同学运动完后放的篮球，如果截它的 平面，那么你能从中发现什么几何知识呢？
P
．
A
B
墙
经过圆外一 点可以有两 条直线与圆 相切
若同时满足：①经过半径的外端； ②垂直于这条半径。 则有结论：直线是圆的切线。 符号语言: ∵OD是半径, L⊥OD于D ∴L是⊙O的切线。 O
L
D
例 : 如图 ,已知直线 AB经过⊙ O上的一点 C，且 OA=OB ， CA=CB，求证：直线AB是⊙O的切线。
证明： 连结OC
O
∵OA=OB,CA=CB ∴OC是等腰△OAB底边 上的中线
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莫艳艳说“你得知道，不是任何一个像我这样的女人都是活的这么有原则的，朋友夫不可俘！”莫艳艳每每总是躲在角落将孤独晓寂推向 了司空阳宇路过的地方，可惜孤独晓寂总是非常不争气的佯装跑步、或者路过的样子，匆匆从那位男子的身边溜了过去。 莫艳艳为此十分的恨铁不成钢“我说晓寂妹子，你就不能大方一点、奔放一点、主动一点么？人家现在也是十分适婚的年纪，就算他不着 急、难道他父母不着急么，难道他那么优秀的人的身边就没有觊觎他的人么，我说，你这都是什么事，人家都是近水楼台先得月，你这近 水楼台拱让月！你可真是既大方又蠢笨到无可救药！”莫艳艳觉得自己简直是操碎了心，奈何某位姑娘总是羞涩得可以！ 在孤独晓寂结业的那一天，莫艳艳终于下了最后通牒“晓寂妹子，你已经修成正果了，你赶紧的吧，明天你就要去师兄哪里报道了，你不 会还是要以这种别扭的方式出现在别人面前吧，你不着急，我都替你急死了！” 那一个晚上，孤独晓寂因为那样的一种事情都过得惴惴不安，睡不好觉，第二天一大早，莫艳艳便拿了一大堆衣服来到孤独晓寂的房间， 她十分悲壮的开口“我决定了，要亲自改造你，今天，你必须去跟你的师兄打招呼，然后跟他一起去单位报到！” 莫艳艳果断的催促着孤独晓寂抓紧时间洗漱，然后拿出她认为比较适合孤独晓寂的衣服一件件的给她试穿，直到她觉得很满意为止。换好 衣服，又将她的脸蛋涂抹了起来，尽管孤独晓寂小声的抗议“艳艳，我不喜欢化妆，而且我也不会化”。 莫艳艳直接无视她的抗议“妹子，这年头素颜就等于自杀，懂么，姐这是在拯救你！” 将她收拾利索之后硬是将她拽了出去，等在司空阳宇必经之路的转角处。虽然孤独晓寂仍是碎碎念“艳艳，要不今天就算了吧，我觉得这 样的自己好奇怪呀！” 莫艳艳不容置疑的瞪她一眼“到目前为止还没有人敢质疑姐姐我的化妆水平！”顺势对她举了举握紧的拳头、孤独晓寂便悄悄地闭了嘴。
P B
提出问题：
从一块三角形的材料上截下一块圆 形的用料，怎样才能使圆的面积尽 可能最大呢？
1、和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切 圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三 角形叫做圆的外切三角形。
A
如何找到这 个圆心呢？
O O
B
C
提示：我们学过：角平分线上 的点到角两边的距离相等，
三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点， 内心到三角形各边的距离相等
地面
P
思考：切线 长和切线的 区这点和切点之间的线段的长。
B
PB 、PC长叫切线长
P
O C
小结：切线是直线，不可以度量；切线长 是指切线上的一条线段的长，可以度量。
（1）请同学们任意做一个⊙O ，并过圆外一点P做圆的 两条切线，切点分别是A、B，测量切线长 PA、PB的长 度，同时观察∠1，∠2的关系。 （2）你得出什么结论了？ （3）你能不能用所 学的几何知识 A 证明你的结论？
A
O
p
符号语言： ∵PA、PB分别切⊙O于A、B,连结PO
B
∴PA = PB，∠OPA=∠OPB
练习
一判断
（1）过任意一点总可以作圆的两条切线（
）
（2）从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相等。 （ ）
二填空选择
（1）如图：PA，PB切圆于A，B两点， ∠APB＝50度，连结PO， A 则∠APO= 25° O
d>r 1、直线与圆相离 < => d>r d=r 2、直线与圆相切 < => d=r
3、直线与圆相交 < =>
d<r d为圆心到直线的距离
问题： ⒈前面我们已学过的切线的性质有哪些？ 答：①、切线和圆有且只有一个公共点；
②、切线和圆心的距离等于半径。
⒉切线还有什么性质？
切线的判定定理： 经过半径的外端并且垂直于这条半径 的直线是圆的切线。
Rt△OAP, Rt△OAP,Rt △ACO
D
P
（2）图中的直角三角形有 6 个，分别是Rt△ACP,Rt △BCO, Rt △BCP
等腰三角形有 2 个，分别是
△AOB, △APB
（3）如果半径为3cm，PO=6cm，则点P到⊙ O的切线长为 3 3 cm，两切线的夹角等于 60 度
A
（4）如果PA=4cm，PD=2cm， 试求半径OA的长。 E
解：设OA= x cm，则PO= PD + OD = (x+2) cm
x O C B D
P
在RtΔ OAP中，PA= 4cm，由勾股定理得
PA2 OA2 OP2
2
即：4
x
2

x 2
2
解得： x=
3cm

半径OA的长为3cm
1 直径。求证： BAC APB 2
A P
B
已知：如图，PA ，PB分别切⊙O于A、B，AC为
7
巩固练习：
1、如图，△ABC中，∠A=55度，I是内 112.5 心 则，∠BIC＝————度。
B
A
I
C A
2、如图，△ABC中，∠A=55 度，其内切圆切△ABC 于D、 E、F，则∠FDE＝———— 67.5 度。
B
F
E
D
C
1.在△ABC中,∠ABC =500, ∠ACB=750, 点O是内心, 求∠BOC的度数.
变
2、如图，△ABC中，∠A=55度，O是内心，∠BIC＝—度。
A
O
B
2 1
3
4
C
A 三、综合练习 已知：如图PA、PB是⊙ O的两条切E 线，A、B为切点。直线OP交⊙ O 于D、E，交AB于C。 （1）图中互相垂直的关系有 3 对， 分别是 OA PA, OB PB, OP AB O C B
O C
A A
O O B C B C
作圆: 使它和已知三角形的各边都相切
已知：△ABC 求作：和△ABC的各边都相切的圆
作法：
A
1、作∠ B, ∠ C的平分线 BM和CN，交点为O
M
O
N
2、过点O作OD 足为D。
BC。垂
3、以O为圆心，OD为半 径作圆O
C
B
D
O就是所求的圆。
； https:/// 会员管理系统 会员管理软件 会员卡管理系统
.O
1、直线 与圆的位置关系(图形特征)
a
相离 相切
图1
.O b
.A
图2
.
.O
图3
.
E
F
c
相交
这时直线叫圆的割线 ． 公共点叫直线 与圆的交点．
2.直线与圆的位置关系 (数量特征)
.O
r
d
.O
d
r .D
2
.B
.A
l
. C 相切
.E
d
.Or
.N .F
3
Q.
H. 相离
相交
想一想
当直线与圆相离、 相切、相交时，d 与r有何关系？
（2）如图，Δ ABC的内切圆分别和BC，AC，AB切于D，E， F；如果AF=2cm,BD=7cm,CE=4cm,则BC=11 cm,AC= 6cm AB= 9cm A
F
2
E
4 C
B D （3）如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，DE分别交PA， PB于D、E，已知P到⊙O的切线长为8CM，则Δ PDE的周长为 A （ ） A 16cm B 14cm A C12cm D C B E P D 8cm
O
1
2
p
B
A
O
p 如图，P为⊙ O外一点，PA、PB为 B 已知：
求证： PA PB, APO BPO 在RtΔ OAP和RtΔ OBP中 ∵OA=OB， OP=OP ∴△OAP≌ △OBP （HL） ∴
⊙ O的切线，A、B为切点，连结PO
PA PB, APO BPO
切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线， 它们的切线长相等，圆心和这一点的连线 平分两条切线的夹角。