1.3_条件概率、全概率公式和贝叶斯公式

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一、 条件概率
定义 6 设 A, B 是两个事件，且 P(A) 0 ，则事件 A 发生 的 条 件 下 事 件 B 发 生 的 条 件 概 率 (conditional probability)为
P(B | A) P(AB) ． P( A)
类似地，当 P(B) 0 时，事件 B 发生的条件下事件 A 发生的条件概率
a P( A1) a b ,
P( A2
|
A1 )

a
a
b
c
c
,
P(
A3
|
A1 A2
)

a
a
b
2c 2c
,
2019年12月18日星期三
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a (m 1)c P( Am | A1A2 Am1) a b (m 1)c ,
P( Am1 | A1A2
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【例 14】设袋中有 a 只红球，b 只白球，随机取出一只， 观察颜色后放回，并加进同样颜色的球 c 只，一共取了 m n次球，试求前 m 次取到红球，后 n 次取到白球的概 率．
解 设 Ai 表示第 i 次取到红球的事件， i 1, 2, , m n ， 则前 m 次取到红球，后 n 次取到白球的事件为 A1 A2 Am Am1 Am2 Amn ．依题设有
P(B) 0.05 ，所需求的概率为 P(B | A) .由贝叶斯公式
P(B | A)
P(B)P(A | B)
P(B)P(A | B) P(B)P(A | B)

0.95 0.98
0.97.
0.95 0.98 0.05 0.55
2019年12月18日星期三
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|
A1)

0.5 0.09年12月18日星期三
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四、 贝叶斯公式(Bayesian formula)
设 A1, A2 , , An 为试验 E 的样本空间 的一个划分，且
P(Ai ) 0,(i 1, 2, , n) ， B 为 E 的一个事件，且 P(B) 0 ，
2019年12月18日星期三
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§1.3 条件概率、全概率公 式和贝叶斯公式
一、条件概率 二、乘法公式 三、全概率公式 四、贝叶斯公式
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【引例】考虑有两个小孩的家庭．样本空间 {(男、 男)，(男、女)，(女、男)，(女、女)} . 设事件 A 为{家 中至少有一个男孩}，事件 B 为{家中至少有一个女 孩}．求已知家中至少有一男孩的条件下至少有一女孩的 概率．
P( AB)
P(A | B)
．
P(B)
2019年12月18日星期三
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关于条件概率，作如下几点说明：
(1) P(B | A) 可认为是 A, B 同时发生的次数占 A 发生次 数的比例．一般地， P(B | A) P(B) ， P(B | A) P(A) ， P(B | A) P(BA) ．
P( A) 2 ， P( A) 8 ， P(B | A) 1 ， P(B | A) 2 ．
10
10
9
9
由全概率公式
抽
P(B) P( A)P(B | A) P( A)P(B | A)
签 公
2 1 8 2 2 0.2. 10 9 10 9 10
平 原
理
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活 25 岁以上的概率为 0.5．求
(1) 如果现在有一个 20 岁的这种动物，它能活 25 岁
以上的概率？
(2) 如果现在有一个 20 岁的这种动物，它活不到 25
岁的概率？
解 (1)设事件 A ={能活 20 岁以上}；事件 B ={能活 25 岁
以上}，则
．
P(B | A) P(AB) 0.5 0.625.
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【例 17】对以往的数据分析结果表明，当机器调整得良 好时，产品的合格率为 98%，而当机器发生某种故障时， 其合格率为 55%. 每天早上机器开动时，机器调整良好 的概率为 95%. 试求已知某日早上第一件产品是合格品 时，机器调整良好的概率是多少？ 解 设 A 为事件“产品合格”，B 为事件“机器调整良好”. 已 知 P(A | B) 0.98 ， P( A | B) 0.55 ， P(B) 0.95 ，
解 设事件 A ={第一件取正品}；事件 B ={第二件取次
品}．依题意， P( A) = 90 ， P(B | A) = 3 .由乘法公式得
93
92
P( AB) P( A)P(B | A) 90 3 45 0.0315.
93 92 1426
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相 信 你
P( | D) P( D) 0.891 0.9,
的
P(D) 0.891 0.099
直
P(D | ) P( D) 0.009 0.08.
觉
P() 0.009 0.099
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【例 12】设某种动物从出生起活 20 岁以上的概率为 0.8，
解 (1)以 A1 、A2 、A3 分别表示事件“取得的这件产品是 甲、乙、丙厂生产”；以 B 表示事件“取得的产品为次 品”，则
2019年12月18日星期三
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P(
A1
)

5 10
,
P(
A2
)

3 10
,
P(
A3
)

2 10
,
P(B
|
A1 )

1 10
,
P(B
|
A2 )

1 15
P( A) 0.8
(2) P(B | A) 1 P(B | A) 1 0.625 0.375
【注】该例说明 P(B | A) 1 P(B | A) ．
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二、 乘法公式
由条件概率的定义容易推得概率的乘法公式(multip lication formula)：
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【例 16】 设某仓库有一批产品，已知其中 50%、30%、 20%依次是甲、乙、丙厂生产的，且甲、乙、丙厂生产 的次品率分别为 1 , 1 , 1 . 求
10 15 20
(1) 现从这批产品中任取一件，求取到次品的概率？
(2) 若从这批产品中取出一件产品，发现是次品，求它 是由甲厂生产的概率？
P(AB) P(A)P(B A) P(B)P(A B) 利用这个公式可以计算积事件的概率．
推广
P(A1 An ) P(A1)P(A2 A1)P(A3 A1A2 ) P(An A1 An1)
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【例 13】 在一批由 90 件正品，3 件次品组成的产品中， 不放回地连续抽取两件产品，问第一件取正品，第二件 取次品的概率．
Am )

a

b b
mc
,
P( Amn | A1A2
Am Am1
Am n 1 )

a

b (n 1)c b (m n 1)c
上述问题所求的概率只与红球、白球出现的次数有关， 而与它们出现的次序无关．历史上玻利亚(Ploya)曾经 用此模型讨论传染病传播的规律．在时是放回抽样的 摸球问题，在时是不放回抽样的摸球问题．
P(B) P(A1)P(B A1) P(A2)P(B A2) P(An)P(B An)
n
P( Ai )P(B Ai ) ． i 1
2019年12月18日星期三
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【例 15】若 10 张彩票中有 2 张有奖，顾客各抽一张， 问第二位顾客中奖的概率是多大？
解 设 A 、 B 分别表示第一个、第二个顾客中奖，则
2019年12月18日星期三
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三、全概率公式
定义 7 设 是随机试验 E 的样本空间，A1, A2, , An 是 E 的一组事件，若
(1) Ai , Aj 两两互不相容，即 Ai Aj ,i j,i, j 1, 2, , n ；
(2) A1 A2
An ，
《概率论与数理统计》
*****大学理学院数学系
伯努利（Bernoulli） 柯尔莫哥洛夫(Kolmogorov)
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第一章 随机事件和概率
§1.1 随机事件 §1.2 概率的定义 §1.3 条件概率、全概率公式和
贝叶斯公式 §1.4 事件的独立性 §1.5 伯努利（Bernoulli）概型
(4) 一般地， P(B | A) P(A | B) ．
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【例 11】某疾病 D 的医学检验结果可能为阳性(+)和阴性 ( )，其概率如下：
D
D
+
0.009
0.099
不 要

0.001
0.891
轻
由条件概率的定义可得
易
P( | D) P( D) 0.009 0.9, P(D) 0.009 0.001
A B

{ (男、男)，(男、女)，(女、男) } { (男、女)，(女、男)，(女、女)}


P(B
|
A)

2 3
.
P( A) 3 ; 4
P(AB) 1 2 ; 24
2
P(B) 3 ; 4
P(A |
B)

2 3

4 3
;
4
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4



P(B
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先验概率: 在贝叶斯公式中， P( Ai ), i 1, 2, , n 是 在试验以前就已经知道的概率，所以习惯地称它们为先 验概率．
后验概率: 如果试验产生结果 B ，条件概率 P( Ai | B),i 1, 2, , n 反映了导致结果 B 的原因 Ai 的可能 性是多少， 通常称作后验概率．
【例 17】对以往的数据分析结果表明，当机器调整得良 好时，产品的合格率为 98%，而当机器发生某种故障时， 其合格率为 55%. 每天早上机器开动时，机器调整良好 的 时， 概机 率器 为调9整 5%良. 好试的求概已率知是某多日少早？上第一件产先品验是概合率格品 解 设 A 为事件“产品合格”，B 为事件“机器调整良好”. 已 知 P(A | B) 0.98 ， P( A | B) 0.55 ， P(B) 0.95 ，
则 称 A1, A2 , , An 为 样 本 空 间 的 一 个 划 分 (partition)．
2019年12月18日星期三
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三、全概率公式
全 概 率 公 式 (complete probability formula) ： 若 A1, A2 , , An 为 试 验 E 的 样 本 空 间 的 一 个 划 分 ， 且 P( Ai ) 0,i 1, 2, , n ，则对 中的任意一个事件 B 都有
2019年12月18日星期三
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关于条件概率，作如下几点说明：
(3) 计算条件概率可选择如下两种方法之一：① 在原 样 本 空 间 中 ， 先 计 算 P(AB), P(A) ， 再 按 公 式 P(B | A) P(AB) 计算；②由于事件 A 已经出现，它可以
P( A) 看成新的样本空间，因此可以在缩小后的样本空间 A 中 计算事件 B 发生的概率 P(B | A) ．
,
P(B
|
A3 )

1. 20
由全概率公式，有
P(B) P( A1)P(B | A1) P( A2 )P(B | A2 ) P(A3)P(B | A3)
513121 10 10 10 15 10 20
0.08.
(2)P( A1
|
B)

P( A1B) P(B)

P( A1)P(B P(B)
则有
P( Ai
|
B)

P( A1 ) P( B
P(Ai )P(B Ai ) A1) P(An )P(B
An )

P( Ai )P(B Ai )
n
.
P(Aj )P(B Aj )
j 1
这个公式称为贝叶斯公式(Bayesian formula)， 也称为后验公式 .
2019年12月18日星期三
|
A)

P( AB) P( A)
.
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事实上，设试验中样本点的总数为 n ，事件 A 所包
含的样本点的个数为 m(m 0) ，AB 所包含的样本点的个
数为 k ，则有
k
P(B
|
A)

k m

n m

P(AB) ． P( A)
n 一般地，人们将上述关系式作为条件概率的定义．
2019年12月18日星期三
(2) 条件概率 P( | A) 也满足概率公理化定义中的三条， 即：① P(B | A) 0 ；② P( | A) 1；③若 B1, B2 , 是可

数 个 两 两 互 不 相 容 的 事 件 ， 则 P( Bi | A)
i 1
P(Bi | A) ．因而也是一个概率．
i 1