2018-2019学年安徽省合肥市第五十二中学高二数学文期末试题含解析

2018-2019学年安徽省合肥市第五十二中学高二数学文
期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知命题：，，则命题的否定为
A．，B．，
C．，D．，
参考答案：
D
2. 设P为椭圆上一点，且∠PF1F2 = 30°，∠PF2F1 = 45°，其中F1，F2为椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率e的值等于（）
（A）（B）（C）（D）
参考答案：
B
3. 一个结晶体的形状是平行六面体ABCD-A1B1C1D1，以A顶点为端点的三条棱长均是1，且它们彼此的夹角都是，则对角线AC1的长度是（）
A．B．2 C. D．
参考答案：
D
，故选.
4. 曲线在点处的切线与坐标轴所围成三角形的面积
为（）
A．B．C．D．
参考答案：
D
5. 直线在轴上的截距是（）
A． B． C． D．
参考答案：
B解析：令则
6. 原点和（1，1）在直线x+y-a=0的两侧，则 a的取值范围
是（）
A．a < 0 或a >2 B. a =0或a=2 C. 0< a <2 D. 0≤a≤2
参考答案：
C
7. 直线与圆的位置关系是（）．
A．相切B．相交
C．相离D．不确定
参考答案：
A
直线，
即，即直线过点，
∵把点代入圆的方程有，
∴点在圆的内部，
∴过点的直线一定和圆相交．
故选．
8. 函数f（x）是定义在（-∞，+∞）上的可导函数. 则“函数y=f（x）在R上单调递增”是“f'（x）>0在R上恒成立”的
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
参考答案：
B
9. 若，则下列不等式中，正确的不等式有 ( )
①②③④
A.1个
B.2个
C. 3
个 D.4个
参考答案：
B
略
10. 曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）
A. B. C. D.
参考答案：
A
分析：先求切线斜率，再根据点斜式得切线方程，最后根据切线与坐标轴交点坐标，求三角形面积.
详解：因为，所以,
所以切线方程为，
因此与坐标轴交点为，围三角形的面积为
选A.
点睛：利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知定点，点在直线上运动，当线段最短时，点的坐标是．
参考答案：
12. 在平面直角坐标系xOy中，若直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆（x﹣1）2+（y﹣a）
2=相交于A，B两点，且△ABC为正三角形，则实数a的值是．
参考答案：
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】利用点到直线的距离公式可得：圆心C（1，a）到直线ax+y﹣2=0的距离d，由于△ABC为正三角形，可得=cos30°，代入即可得出．
【解答】解：圆心C（1，a）到直线ax+y﹣2=0的距离d==．
∵△ABC为正三角形，∴=cos30°，
∴=×，化为：2a=0，
解得a=0．
故答案为：0．
13. 点为定点，点是抛物线的焦点，点在抛物线上移动，若
取得最小值，则点的坐标为。

参考答案：
（1,2）
14. 设向量a＝（2，2m－3，n＋2），b＝（4，2m＋1，3n－2），且a∥b，则mn ＝▲．
参考答案：
21
略
15. 如图(1)所示，在Rt △ABC中，∠C=90°，设a，b，c分别表示三条边的长度，由勾股定理得c2=a2+b2．类似地，在四面体P—DEF中，
∠PDF=∠PDE=∠EDF=90°，设S1，S2，S3和S分别表示△PDF，△PDE，△EDF和△PEF的面积(如图(2))；类比勾股定理的结构，猜想S，S1，S2，S3之间的关系式为▲．
参考答案：
16. 已知是椭圆和双曲线的公共顶点。

是双曲线上的动点,是椭圆上的动点（、都异于、），且满足
，其中，设直线、、、的斜率分别记为，，则．
参考答案：
-5
17. 无论m取何实数时，直线(m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0恒过定点，则定点的坐标
为
参考答案：
(7/2,5/2)
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 某校高二年级某班的数学课外活动小组有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X表示其中男生的人数．
(1)请列出X的分布列；
(2)根据你所列的分布列求选出的4人中至少有3名男生的概率．
参考答案：
（1）
（2）
试题分析：（1）本题是一个超几何分步，用X表示其中男生的人数，X可能取的值为0，1，2，3，4．结合变量对应的事件和超几何分布的概率公式，写出变量的分布列和数
学期望．
（2）选出的4人中至少有3名男生，表示男生有3个人，或者男生有4人，根据第一问做出的概率值，根据互斥事件的概率公式得到结果．
解：（1）依题意得，随机变量X服从超几何分布，
随机变量X表示其中男生的人数，X可能取的值为0，1，2，3，4．
．
∴所以X的分布列为：
（2）由分布列可知至少选3名男生，
即P（X≥3）=P（X=3）+P（X=4）=+=．
点评：本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望，考查超几何分步，考查互斥事件的概率，考查运用概率知识解决实际问题的能力．
19. 已知椭圆的两焦点为,离心率.
（1）求此椭圆的标准方程。

（2）设直线,若l与此椭圆相交于P,Q两点,且等于椭圆的短轴长,求m的值。

参考答案：
由题意, ,又;;,椭圆方程
为：.
（2）由消去,得,设,,则,,;
;,.
20. （本小题满分12分）
已知等差数列满足：，，的前n项和为．
（Ⅰ）求及；
（Ⅱ）令=（），求数列的前n项和.
参考答案：
解：（Ⅰ）设等差数列的首项为，公差为.
由于，
所以，
解得
………………………………………………………………………2分
由于
所以 (4)
分
由于,
所以……………………………………………………………………6分（Ⅱ）因为
所以
因此 (9)
分
故
所以数列的前项和 (12)
分
21. （10分）如图，是以为直角的等腰直角三角形，直角边长为8，
，
，沿将折起使得点在平面上的射影是点，．
（Ⅰ）在上确定点的位置，使得；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求与平面所成角的正弦值．
参考答案：
解：（Ⅰ）由已知，点A在平面BCED上的射影是点C，
则可知,而如图建立空间直
角坐标系，则可知各点的坐标为
C(0,0,0)，A(0,0,4),B(0,8,0),D(3,5,0),E(3,0,0)
由MC=AC，可知点M的坐标为（0,0，），设点N 的坐标为（x,y,0）
则可知y=8-x，即点N 的坐标为（x,8-x,0）
设平面ADE的法向量为，
由题意可知,而,
可得，取x=4,则z=3,
可得
要使等价于即
解之可得，即可知点N的坐标为（2,6,0），点N为BD的三等分点．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，设平面ADB的法向量为，由题意可知
,而,可得，取x=1,则y=1,z=2
可得
设CN与平面ABD所成角为，=
略
22. 如图，四棱锥的底面为菱形，，，分别为和的中点．
（）求证：平面．
（）求证：平面．
参考答案：
见解析．
解：
（）证明：取中点为，
∵在中，是中点，是中点，
∴，且，
又∵底面是菱形，
∴，
∵是中点，
∴，且，
∴，且，
∴四边形是平行四边形，
∴，
又平面，平面，
∴平面．
（）证明：设，则是中点，∵底面是菱形，
∴，
又∵，是中点，
∴，
又，
∴平面．。