江苏省大港中学高三数学总复习教案：三角函数 两角和

第十九教时
教材：两角和与差的正弦、余弦、正切的综合练习⑵
目的：通过例题的讲解，增强学生利用公式解决具体问题的灵活性。

过程：一、公式的应用
例一 在斜三角形△ABC 中，求证：tanA+tanB+tanC=tanA •tanB •tanC
证一：在△ABC 中，∵A+B+C=π ∴A+B=π-C
从而有 tan(A+B)=tan(π-C) 即：C B
A B A tan tan tan 1tan tan -=-+ ∴tanA+tanB=-tanC+tanAtanBtanC
即：tanA+tanB+tanC=tanA •tanB •tanC
证二：左边= tan(A+B)(1-tanAtanB) +tanC=tan(π-C) (1-tanAtanB) +tanC
=-tanC+ tanAtanBtanC+tanC=tanAtanBtanC=右边
例二 求(1+tan1︒)(1+tan2︒)(1+tan3︒)……(1+tan44︒)
解： (1+tan1︒)(1+tan44︒)=1+tan1︒+tan44︒+tan1︒tan44︒
=1+tan45︒(1- tan1︒tan44︒)+ tan1︒tan44︒=2
同理：(1+tan2︒)(1+tan43︒)=2 (1+tan3︒)(1+tan42︒)=2 …… ∴原式=222
例三 《教学与测试》P 113例一 （略）口答
例四 《教学与测试》P 113例二 已知tan θ和)4tan(θπ-是方程02=++q px x
的两个根，证明：p -q+1=0
证：由韦达定理：tan θ+)4tan(θπ-=-p ，tan θ•)4tan(θπ
-=q ∴q p --=-⋅--+=-+==1)4tan(tan 1)4tan(tan )]4(tan[4tan 1ϑπθϑπ
θθπθπ ∴p -q+1=0
例五 《教学与测试》 例三 已知tan α=
)1(3m +，tan(-β)=3(tan αtan β+m)又α,β都是钝角，求α+β的值
解：∵两式作差，得：tan α+tan β=3 (1-tan αtan β
即：3tan tan 1tan tan =-+βαβα ∴3)tan(=+βα
又：α,β都是钝角 ∴π<α+β<2π ∴α+β34π=
二、关于求值、求范围
例六 已知tan α，tan β是关于x 的一元二次方程x 2+px+2=0的两实根，求)cos()
sin(βαβα-+的值。

解：∵=++=-+βαβαβαβαβαβαsin sin cos cos sin cos cos sin )cos()sin(s s βαβαtan tan 1tan tan ++
tan α，tan β是方程x 2+px+2=0的两实根 ∴⎩⎨⎧=⋅-=+2tan tan tan tan βαβαp ∴3
21)cos()sin(p p -=+-=-+βαβα 例七 求
20cos 20sin 10cos 2-的值。

解：原式=
20cos 20sin 20sin 30sin 220cos 30cos 220cos 20sin )2030cos(2-+=-- =320cos 20sin 20sin 20cos 3=-+
三、作业：《教学与测试》 P 111-114 53、54课中练习题。